Μελέτη του Αντιθέματος

Αντίθεμα ονομάζεται η αντιστικτική μελωδία με ιδιαίτερη φυσιογνωμία, η οποία συνοδεύει συστηματικά το θέμα ή την απάντηση κατά τις θεματικές εισόδους της φούγκας. Επανεμφανίζεται αυτούσια ή με τις αναγκαίες προσαρμογές, διατηρώντας αναγνωρίσιμη τη μελωδική και ρυθμική της ταυτότητα, χωρίς να είναι απαραίτητο να ακούγεται σε κάθε είσοδο. Διακρίνεται από την ελεύθερη αντίστιξη (τα Ελεύθερα Μέρη της Έκθεσης), η οποία δεν έχει αντίστοιχη σταθερή θεματική λειτουργία.^[1] Το κανονικό αντίθεμα κατασκευάζεται συνήθως σε αναστρεφόμενη (διπλή) αντίστιξη, ώστε να μπορεί να τοποθετείται πάνω ή κάτω από το θέμα και την απάντηση. Η δυνατότητα αυτή αποτελεί βασικό ζητούμενο της μεθόδου που παρουσιάζουμε εδώ, χωρίς όμως να αποτελεί αναγκαία προϋπόθεση για κάθε ιστορική χρήση του όρου «αντίθεμα».

Όταν η φούγκα περιλαμβάνει δύο αντιθέματα, τα ονομάζουμε πρώτο και δεύτερο. Εφόσον επιδιώκουμε την ελεύθερη αναδιάταξη και των τριών μελωδιών, τα κατασκευάζουμε με το θέμα σε τριπλή αντίστιξη και ελέγχουμε και τις έξι δυνατές διατάξεις τους. Η παρουσία δύο αντιθεμάτων δεν αρκεί από μόνη της για να χαρακτηρίσουμε μια φούγκα τριπλή· ο χαρακτηρισμός αυτός αφορά την οργάνωση τριών θεμάτων ως αυτοτελών θεματικών ιδεών· τότε η δομή της μορφής της φούγκας απαιτεί ιδιαίτερο χειρισμό. Δεν θα καλύψουμε εδώ αυτήν την περίπτωση.

Για τη σύνθεση ενός αντιθέματος ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα. Η πορεία αυτή αποτελεί διδακτική μέθοδο εργασίας και οι αντιστικτικές υποδείξεις αφορούν το πλαίσιο της τονικής γραφής που μελετούμε. Οι ειδικές σχολικές ή εξεταστικές συμβάσεις επισημαίνονται χωριστά από τις γενικότερες συνθετικές αρχές.

Στις περιγραφές και στις αναλύσεις γράφουμε τους φθόγγους με τα λατινικά γράμματα A–G. Ο αριθμός σε κάτω δείκτη δηλώνει την οκτάβα, με μεσαίο C₄· π.χ. G₄, F♯₄, B♭₃. Οι ονομασίες των τονικοτήτων και των συγχορδιών παραμένουν ελληνικές, με κεφαλαίο αρχικό γράμμα, π.χ. Ντο μείζονα, Λα ελάσσονα, Λα7.

Η εφαρμογή της μεθόδου παρουσιάζεται παρακάτω, στο παράδειγμα που ακολουθεί.

1. Στοιχειώδης εναρμόνιση του θέματος. Εναρμονίζουμε το θέμα με τις βασικές αρμονίες που υποδηλώνει, προσδιορίζοντας τις θεμελίους των συγχορδιών και τον αρμονικό ρυθμό, δηλαδή τη συχνότητα αλλαγής των αρμονιών. Με τον τρόπο αυτό διαμορφώνουμε έναν αρχικό αρμονικό σκελετό, τον οποίο μπορούμε να αναθεωρούμε κατά τη σύνθεση. Οι θεμέλιοι δεν ταυτίζονται υποχρεωτικά με τους φθόγγους της χαμηλότερης φωνής.

   Για λόγους μεθοδικής εργασίας, κατασκευάζουμε αρχικά το αντίθεμα σε συνδυασμό με το θέμα. Στη συνέχεια το μεταφέρουμε και το προσαρμόζουμε στην απάντηση, με την οποία εμφανίζεται συνήθως για πρώτη φορά κατά την έκθεση της φούγκας.^[2]

2. Σχηματισμός της απάντησης. Εξετάζουμε το θέμα και γράφουμε την απάντησή του, πραγματική ή τονική. Στην πραγματική απάντηση διατηρούμε τις διαστηματικές σχέσεις του θέματος κατά τη μεταφορά του. Στην τονική πραγματοποιούμε τις αναγκαίες μεταλλαγές, ώστε να διατηρείται η κατάλληλη σχέση τονικής (T) και δεσπόζουσας (D). Εντοπίζουμε από τώρα τα σημεία που ενδέχεται να απαιτήσουν προσαρμογή του αντιθέματος.

3. Μεταφορά και προσαρμογή του θέματος στη σχετική τονικότητα. Εξετάζουμε τη δυνατότητα μεταφοράς του θέματος από τη μείζονα στη σχετική ελάσσονα τονικότητα ή αντιστρόφως, π.χ. Ντο μείζονα → Λα ελάσσονα. Οι σχετικές τονικότητες έχουν τον ίδιο οπλισμό, αλλά διαφορετική τονική.^[3] Μεταφέρουμε το θέμα με βάση τη νέα τονική και το προσαρμόζουμε στον νέο τρόπο. Η διαδικασία αυτή απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή. Ενδέχεται να προκύψουν αυξημένα ή ελαττωμένα διαστήματα, οπότε αποφασίζουμε αν μπορούν να διατηρηθούν ή αν χρειάζονται τροποποίηση, χωρίς να αλλοιωθεί η μελωδική φυσιογνωμία του θέματος. Στον ελάσσονα τρόπο εξετάζουμε ιδιαίτερα τη μορφή της 6ης και της 7ης βαθμίδας, σύμφωνα με τη μελωδική κίνηση και την αρμονική λειτουργία τους.

   Στο πλαίσιο της σχολικής μεθόδου που παρουσιάζουμε, προβλέπουμε την εμφάνιση του θέματος στη σχετική τονικότητα. Πρόκειται για διδακτική σύμβαση και, όπου ορίζεται ρητά από τις οδηγίες της συγκεκριμένης εξέτασης, για εξεταστική απαίτηση. Η εμφάνιση αυτή δεν αποτελεί καθολικό κανόνα της φούγκας· στην ελεύθερη σύνθεση ο προκαταρκτικός έλεγχος δεν μας δεσμεύει να τη χρησιμοποιήσουμε.

4. Επιλογή των βασικών φθόγγων του αντιθέματος. Από τη στοιχειώδη εναρμόνιση του θέματος επιλέγουμε τους κατάλληλους συγχορδιακούς φθόγγους, οι οποίοι μπορούν να σχηματίσουν με το θέμα αναστρεφόμενη αντίστιξη. Αποφασίζουμε αν θα χρησιμοποιήσουμε διπλή αντίστιξη στην 8η (DC[8]· DC: Double Counterpoint) ή στη 15η (DC[15]), καθώς και αν η φούγκα θα περιλαμβάνει ένα ή δύο αντιθέματα. Στη δεύτερη περίπτωση ελέγχουμε την τριπλή αντίστιξη, εφόσον επιδιώκουμε την ελεύθερη αναδιάταξη των τριών μελωδιών.

   Η DC[8] και η DC[15] διέπονται από τις ίδιες βασικές αρχές ως προς τις απλές διαστηματικές κατηγορίες. Η αναστροφή στη 15η παρέχει μεγαλύτερο περιθώριο ως προς την αρχική απόσταση των φωνών, αλλά ελέγχουμε πάντοτε τα πραγματικά διαστήματα και τη διάταξή τους.^[4] Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε διπλή αντίστιξη στη 10η (DC[10]) ή στη 12η (DC[12]), οι οποίες έχουν διαφορετικές διαστηματικές μετατροπές και αντίστοιχους περιορισμούς.

   Ως πρακτική επιλογή της παρούσας σχολικής μεθόδου, προτιμούμε ένα αντίθεμα σε DC[8], εφόσον το επιτρέπει η κατασκευή του θέματος και δεν ορίζεται διαφορετικά στην άσκηση ή στην εξέταση.

5. Διαμόρφωση του αρχικού αντιστικτικού σκελετού. Με τους φθόγγους που επιλέξαμε κατασκευάζουμε ένα αρχικό πρόπλασμα του αντιθέματος. Η έναρξη μετά την κεφαλή του θέματος είναι χρήσιμη επιλογή, επειδή μπορεί να αναδεικνύει τη θεματική είσοδο. Το αντίθεμα μπορεί, ωστόσο, να αρχίζει και ταυτόχρονα με το θέμα ή την απάντηση. Αν στην αρχή της τονικής απάντησης πραγματοποιείται μεταλλαγή, η έναρξη του αντιθέματος μετά το σημείο αυτό συχνά περιορίζει την ανάγκη πρόσθετων τροποποιήσεων.

   Σημειώνουμε με αριθμούς τα διαστήματα μεταξύ θέματος και αντιθέματος, προσέχοντας και την ποιότητά τους. Για την αρχική κατασκευή σε DC[8] αποφεύγουμε τις διασταυρώσεις και κρατούμε την απόσταση των δύο φωνών έως την οκτάβα, ώστε η μεταφορά της μίας κατά μία οκτάβα να επιτρέπει την ανταλλαγή των θέσεών τους. Στα σημεία οκτάβας προκύπτει ταυτοφωνία μετά την αναστροφή, την οποία αξιολογούμε ιδιαίτερα. Το πλαίσιο αυτό εξυπηρετεί τη συγκεκριμένη κατασκευή και δεν αποτελεί καθολική απαγόρευση διασταυρώσεων ή μεγαλύτερων αποστάσεων σε κάθε αναστρεφόμενη αντίστιξη.

   Στους ακόλουθους πίνακες οι αντιστοιχίες ισχύουν και αντίστροφα· το 1 δηλώνει ταυτοφωνία. Οι αριθμοί δείχνουν το μέγεθος των διαστημάτων· ελέγχουμε χωριστά και την ποιότητά τους. Η κόκκινη έντονη γραφή, μαζί με το σύμβολο ?, επισημαίνει τις αντιστοιχίες που δημιουργούν ειδικές δυσκολίες κατά την αναστροφή. Ο έλεγχος συμφωνιών, διαφωνιών και διαδοχών παραμένει αναγκαίος σε κάθε περίπτωση.

   DC[8] — Διπλή αντίστιξη στην 8η^[5]

   Αρχικό διάστημα	Μετά την αναστροφή
   1	8
   2	7
   3	6
   ?4	?5

   Η κρίσιμη αντιστοιχία είναι η 4Κ ↔ 5Κ. Ιδιαίτερη προσοχή απαιτεί η καθαρή πέμπτη (5Κ), η οποία γίνεται καθαρή τέταρτη (4Κ). Στη δίφωνη τονική αντίστιξη η τέταρτη έναντι της χαμηλότερης φωνής αντιμετωπίζεται ως διαφωνία. Επομένως, χρησιμοποιούμε την πέμπτη με τέτοια κίνηση, ώστε η τέταρτη που θα προκύψει να δικαιολογείται αντιστικτικά, π.χ. ως κατάλληλος διαβατικός σχηματισμός.^[6]

   DC[10] — Διπλή αντίστιξη στη 10η

   Αρχικό διάστημα	Μετά την αναστροφή
   ?1	?10
   2	9
   ?3	?8
   4	7
   ?5	?6

   Εδώ προσέχουμε ιδιαίτερα τις διαδοχές: οι παράλληλες τρίτες και έκτες μπορούν να μετατραπούν σε απαγορευμένες παράλληλες οκτάβες και πέμπτες, αντίστοιχα. Ελέγχουμε επίσης τις παράλληλες δέκατες, οι οποίες μετατρέπονται σε διαδοχικές ταυτοφωνίες. Τα κόκκινα ζεύγη υπενθυμίζουν τον έλεγχο αυτό· μεμονωμένες τρίτες, έκτες ή δέκατες μπορούν να χρησιμοποιηθούν, εφόσον ο συνδυασμός και η αναστροφή του είναι ορθοί.^[7]

   DC[12] — Διπλή αντίστιξη στη 12η

   Αρχικό διάστημα	Μετά την αναστροφή
   1	12
   2	11
   3	10
   4	9
   5	8
   ?6	?7

   Η κρίσιμη αντιστοιχία είναι η 6 ↔ 7: η σύμφωνη έκτη γίνεται διάφωνη έβδομη. Διαμορφώνουμε επομένως την κίνηση των φωνών έτσι ώστε η έβδομη που θα προκύψει να έχει κατάλληλο αντιστικτικό χειρισμό. Ελέγχουμε ιδιαίτερα τη μετρική της θέση, την προσέγγιση και τη λύση της.^[8]

6. Οριστική διαμόρφωση του αντιθέματος. Επεξεργαζόμαστε το πρόπλασμα και το μετατρέπουμε σε ολοκληρωμένη μελωδική γραμμή, αξιοποιώντας καθυστερήσεις, διαβατικούς και ποικιλματικούς φθόγγους, καθώς και άλλες κατάλληλες αντιστικτικές τεχνικές. Κάθε διαφωνία χρειάζεται τον χειρισμό που αντιστοιχεί στο είδος της και στη μετρική της θέση· ειδικά στις καθυστερήσεις ελέγχουμε προετοιμασία, διαφωνία και λύση.

   Λαμβάνουμε υπόψη ότι, στην DC[8], η καθυστέρηση 7 → 6 γίνεται 2 → 3, με τη φωνή που δημιουργεί την καθυστέρηση πλέον στη χαμηλότερη θέση. Η αρίθμηση δηλώνει τα κατακόρυφα διαστήματα και όχι τη φορά κίνησης της φωνής. Η συνήθης καθυστέρηση 4 → 3 γίνεται 5 → 6: στον απομονωμένο δίφωνο συνδυασμό προκύπτει διαδοχή συμφωνιών και χάνεται ο χαρακτήρας της ως καθυστέρησης διαφωνίας. Ελέγχουμε συνεπώς την ομαλότητα και την αρμονική καταλληλότητα τόσο της αρχικής όσο και της ανεστραμμένης μορφής.

   Το αντίθεμα πρέπει να διαθέτει σαφή μελωδική φυσιογνωμία, ρυθμική αυτοτέλεια και αντιστικτικό ενδιαφέρον. Επιδιώκουμε συμπληρωματικότητα με το θέμα, σύμφωνα με τον γενικό χαρακτήρα και το ύφος του.

   Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε νέο υλικό ή να μετασχηματίσουμε μοτίβα του θέματος, συνδυάζοντας τη θεματική συγγένεια με επαρκή μελωδική και ρυθμική διαφοροποίηση.

7. Έλεγχος του αντιθέματος με το θέμα. Ελέγχουμε το αντίθεμα τόσο πάνω όσο και κάτω από το θέμα, στις διατάξεις που επιτρέπει η επιλεγμένη διπλή αντίστιξη. Εξετάζουμε την ορθότητα των διαστημάτων και των διαδοχών τους, ιδιαίτερα τις παράλληλες καθαρές πέμπτες (5//) και οκτάβες (8//), τον χειρισμό των διαφωνιών, την ανεξαρτησία των φωνών και την αρμονική συνοχή. Ελέγχουμε αν καθεμία από τις δύο γραμμές μπορεί να αναλάβει τη θέση της χαμηλότερης φωνής χωρίς αρμονικές ή αντιστικτικές αστοχίες. Στον δίφωνο αυτό έλεγχο η αρμονία μπορεί να υποδηλώνεται χωρίς να παρουσιάζονται όλοι οι φθόγγοι κάθε συγχορδίας.

8. Προσαρμογή του αντιθέματος στην απάντηση. Μεταφέρουμε το αντίθεμα στην αρμονική περιοχή της απάντησης και πραγματοποιούμε τις αναγκαίες προσαρμογές, διατηρώντας την ταυτότητά του. Το ελέγχουμε τόσο πάνω όσο και κάτω από την απάντηση, δίνοντας ιδιαίτερη προσοχή στις διαστηματικές μεταβολές και στη λύση των καθυστερήσεων. Στην τονική απάντηση, οι μεταλλαγές της θεματικής γραμμής ενδέχεται να απαιτούν αλλαγές στο αντίθεμα· τις αποφασίζουμε από τον πραγματικό αντιστικτικό και αρμονικό συνδυασμό, χωρίς μηχανική αντιγραφή των ίδιων μεταλλαγών.

   Εξετάζουμε επίσης τη φυσική σύνδεση του τέλους του θέματος με την έναρξη του αντιθέματος στην ίδια φωνή. Ο συνδυασμός με την απάντηση πρέπει να υποστηρίζει την αρμονική της πορεία και να επιτρέπει την προετοιμασία της επόμενης θεματικής εισόδου. Όπου χρειάζεται, χρησιμοποιούμε σύντομο συνδετικό πέρασμα (codetta).

9. Έλεγχος στη σχετική τονικότητα. Μεταφέρουμε και προσαρμόζουμε το αντίθεμα στη σχετική τονικότητα και το ελέγχουμε τόσο πάνω όσο και κάτω από το θέμα, επίσης μεταφερμένο και προσαρμοσμένο στην ίδια τονικότητα σύμφωνα με το βήμα 3. Για παράδειγμα, αν η φούγκα είναι σε Ντο μείζονα, ελέγχουμε τον συνδυασμό θέματος και αντιθέματος στη Λα ελάσσονα. Εξετάζουμε αν διατηρούνται η μελωδική του φυσιογνωμία, η αντιστικτική ορθότητα και η αρμονική συνοχή. Ελέγχουμε εκ νέου το αριθμητικό μέγεθος και το είδος των διαστημάτων, τη λειτουργία των αλλοιωμένων βαθμίδων και τη λύση των διαφωνιών. Όπου χρειάζεται, πραγματοποιούμε τις κατάλληλες προσαρμογές και επαναλαμβάνουμε τον έλεγχο με την αντίστοιχη απάντηση, εφόσον αυτή πρόκειται να χρησιμοποιηθεί.

10. Τελικός αρμονικός έλεγχος. Η αρμονική διαμόρφωση πρέπει να ανταποκρίνεται στον χαρακτήρα, στη φραστική διάρθρωση και στον αρμονικό ρυθμό του θέματος. Επιδιώκουμε πλούτο και ποικιλία όπου συμβάλλουν στη μουσική ανάπτυξη, αποφεύγοντας την περιττή πολυπλοκότητα και τη μονότονη επανάληψη. Αξιοποιούμε προετοιμασμένες διαφωνίες, ιδιαίτερα καθυστερήσεις, όπου εξυπηρετούν τη μελωδική κίνηση. Κρίνουμε τη συχνότητα των αρμονικών αλλαγών από το μουσικό πλαίσιο και αναγνωρίζουμε τους ξένους φθόγγους από τη λειτουργία και την κίνησή τους, χωρίς να απαιτούμε αυτοτελή εναρμόνιση για κάθε φθόγγο.

    Ελέγχουμε επίσης την ένταξη θέματος και αντιθέματος στην προβλεπόμενη τρίφωνη ή τετράφωνη υφή: την αρμονική πληρότητα, τις εκτάσεις και την κατανομή των φωνών, τους διπλασιασμούς, τις παράλληλες πέμπτες και οκτάβες και την ανεξαρτησία κάθε γραμμής. Η ορθότητα του δίφωνου συνδυασμού δεν εξασφαλίζει αυτομάτως την ορθότητα ολόκληρου του πολυφωνικού συνόλου.

11. Τελικός μελωδικός, ρυθμικός και αισθητικός έλεγχος. Εξετάζουμε τη ρυθμική σχέση των δύο φωνών, τη φυσικότητα της μελωδικής κίνησης, τη φραστική συνοχή και την ενότητα του μουσικού ύφους. Η διαφοροποίηση των αξιών και των χρονικών σημείων κίνησης ενισχύει την αυτοτέλεια, χωρίς να αποκλείει σύντομες συμπτώσεις του ρυθμού. Παίζουμε ή τραγουδούμε το αντίθεμα μόνο του και κατόπιν το ακούμε με το θέμα και την απάντηση, στις αρχικές και στις αναστραμμένες διατάξεις, ελέγχοντας και την εκτελεστική του φυσικότητα.^[9]

    Εξετάζουμε ακόμη αν το αντίθεμα περιλαμβάνει χαρακτηριστικά μοτίβα κατάλληλα για τα επεισόδια της φούγκας, μέσω κατάτμησης, μίμησης, αλυσιδωτής μεταφοράς ή ρυθμικής μεταβολής. Έτσι μπορεί να συμβάλλει και στη συνολική μορφολογική ενότητα του έργου.^[10]

    Το αντίθεμα πρέπει να αποτελεί αυτοτελή μελωδία με συνοχή, η οποία αναδεικνύει το θέμα χωρίς να επισκιάζει τον πρωταγωνιστικό του ρόλο.

---

Παράδειγμα του τρόπου εργασίας

Εφαρμόζουμε τη μέθοδο σε θέμα του Théodore Dubois, το οποίο περιλαμβάνεται στο Traité de contrepoint et de fugue (Παρίσι: Heugel, 1901).^[11]

Το αντίθεμα που μελετούμε είναι του Edmond Malherbe (1870–1963), μαθητή των Jules Massenet και Gabriel Fauré. Προέρχεται από την τετράφωνη φούγκα του για τον προκαταρκτικό διαγωνισμό (concours d’essai) του 1897, η οποία περιλαμβάνεται στο Traité de la fugue του André Gédalge. Ο Malherbe τιμήθηκε το 1899 με το deuxième premier Grand Prix de Rome.^[12] Στο τέλος συγκρίνουμε τη γραμμή του με το διαφορετικό αντίθεμα που δίνει ο ίδιος ο Dubois στο θέμα του.

Η εναρμόνιση και το πρόπλασμα αποτελούν διδακτική ανασύνθεση: παρουσιάζουν μία δυνατή πορεία προς το ήδη δοσμένο αντίθεμα του Malherbe. Δεν τεκμηριώνουν την ιστορική διαδικασία με την οποία το συνέθεσε ούτε αποτελούν τη μοναδική δυνατή επεξεργασία του θέματος.

Στα επτά μουσικά παραδείγματα χρησιμοποιούμε σταθερά την ακόλουθη χρωματική αντιστοιχία:

Μελωδία	Χρώμα
Θέμα, στην κύρια και στη σχετική τονικότητα	Σκούρο κόκκινο
Απάντηση	Πράσινο
Αντίθεμα, πρόπλασμα και συγκριτική εκδοχή του Dubois	Μπλε

Οι τίτλοι και η περιγραφή της θέσης των φωνών επιτρέπουν την αναγνώριση των μελωδιών και σε ασπρόμαυρη εκτύπωση. Στις παραπομπές αριθμούμε τα μέτρα από αριστερά προς τα δεξιά: μ. 1–4. Στο μέτρο 3/2 οι τρεις χρόνοι είναι ήμισυ· όπου χρειάζεται μεγαλύτερη ακρίβεια, αναφερόμαστε στα έξι διαδοχικά τέταρτα του μέτρου. Το τελευταίο μέτρο του αποσπάσματος περιλαμβάνει μόνο το καταληκτικό ήμισυ.

Οι ενδείξεις T και D δηλώνουν την τονική και τη δεσπόζουσα περιοχή. Δεν αποτελούν από μόνες τους πλήρη συγχορδιακή ανάλυση. Οι αριθμοί βαθμίδων στο παράδειγμα Β αναφέρονται στην εκάστοτε τονική περιοχή· διακρίνονται από την αρίθμηση των κατακόρυφων διαστημάτων στα παραδείγματα Γ και Δ.

Οι τρεις συνδυασμοί του παραδείγματος

Συνδυασμός	Θεματική γραμμή	Αντίθεμα	Τονική πορεία
Με το θέμα	Θέμα στην επάνω φωνή, σκούρο κόκκινο	Κάτω φωνή, μπλε	Αρχική τονικότητα Σολ ελάσσονα· κατεύθυνση προς τη δεσπόζουσα, Ρε ελάσσονα
Με την απάντηση	Τονική απάντηση στην κάτω φωνή, πράσινο	Επάνω φωνή, μπλε	Αντιστροφή της σχέσης T/D και επιστροφή προς τη Σολ ελάσσονα
Στη σχετική τονικότητα	Θέμα στη Σι♭ μείζονα, στην κάτω φωνή, σκούρο κόκκινο	Επάνω φωνή, μπλε, σε κλειδί G με ένδειξη οκτάβας κάτω	Τονική περιοχή Σι♭ μείζονας· κατεύθυνση προς τη δεσπόζουσα, Φα μείζονα

Από την εναρμόνιση στην τελική μορφή του αντιθέματος

Τα παραδείγματα Α–Γ παρουσιάζουν τη στοιχειώδη εναρμόνιση, την επιλογή των συγχορδιακών φθόγγων και την τελική αντιστικτική επεξεργασία. Αντιστοιχούν στα βήματα 1, 4–5 και 6 της μεθόδου.

Στοιχειώδης εναρμόνιση

Παράδειγμα Α — Στοιχειώδης εναρμόνιση του θέματος

Η εναρμόνιση δίνει ένα συγκεκριμένο αρμονικό υπόβαθρο για την επιλογή των φθόγγων του αντιθέματος:

Μέτρο	Αρμονική πορεία
1	Στη Σολ ελάσσονα: i → iv⁶₄ → αλλοιωμένη δεσπόζουσα της δεσπόζουσας, με G3 στον μπάσο.
2	V⁶ → V⁶₅ → i στη Σολ ελάσσονα.
3	V⁴₂ στη Σολ ελάσσονα → Σολ μείζονα σε α΄ αναστροφή, που γίνεται IV⁶ στη Ρε ελάσσονα → V⁷ → V⁴₂ στη Ρε ελάσσονα.
4	i⁶ στη Ρε ελάσσονα.

Στο τέλος του μ. 1 οι φθόγγοι A₄–C♯₅–E♭₄–G₃ σχηματίζουν Λα7 με ελαττωμένη πέμπτη, με την έβδομη G₃ στον μπάσο. Η ένδειξη ♭6 του ενάριθμου βασίμου δηλώνει ρητά τη E♭₄ πάνω από τον μπάσο G₃. Η αλλοίωση αυτή ανήκει στη συγκεκριμένη αρμονική επιλογή και λαμβάνεται υπόψη κατά την ανάγνωση της λειτουργίας V/v.

Στο μ. 3 η B♮₃ δίνει μείζονα μορφή στη συγχορδία της Σολ, η οποία αναλαμβάνει τη λειτουργία της IV στη Ρε ελάσσονα. Στην επόμενη Λα7 η G₄ του άλτο είναι έβδομη, όπως δηλώνει η αρίθμηση. Η B♮₄ της θεματικής γραμμής εντάσσεται στη διαβατική κίνηση A₄–B♮₄–C♯₅, πάνω στην ίδια δεσποζουσική περιοχή.

Επιλογή συγχορδιακών φθόγγων και διαμόρφωση του προπλάσματος

Παράδειγμα Β — Θέμα και πρόπλασμα αντιθέματος

Από τις παραπάνω αρμονίες επιλέγουμε το πρόπλασμα:

G₄–F♯₄–A₄–G₄–F♯₄–G₄–A₄–F♮₄.

Οι φθόγγοι επιλέγονται από διαφορετικές θέσεις των συγχορδιών και τοποθετούνται στην έκταση του αντιθέματος.

Θέση	Επιλογή	Αρμονική σχέση
Μ. 1, τρίτος χρόνος	G4	Έβδομη της αλλοιωμένης Λα7.
Μ. 2, αρχή	F♯4	Τρίτη της Ρε μείζονας· διατηρείται και στη Ρε7.
Μ. 2, τέταρτο 4	A4	Πέμπτη της Ρε7.
Μ. 2, τρίτος χρόνος	G4	Θεμέλιος της Σολ ελάσσονας.
Μ. 3, πρώτος χρόνος	F♯4	Τρίτη της Ρε7.
Μ. 3, δεύτερος χρόνος	G4	Θεμέλιος της Σολ μείζονας.
Μ. 3, αρχή τρίτου χρόνου	Η ίδια G4	Γίνεται έβδομη της Λα7, καθώς αλλάζει η αρμονία.
Μ. 3, τελευταίο τέταρτο	A4	Θεμέλιος της Λα7, τώρα με G3 στον μπάσο.
Μ. 4	F♮4	Τρίτη της Ρε ελάσσονας.

Η παραμονή της G₄ στο μ. 3 δείχνει ότι ένας φθόγγος μπορεί να διατηρείται μελωδικά, ενώ αλλάζει η αρμονική του λειτουργία. Η επιλογή αυτή αποτελεί μία δυνατή ανασύνθεση του προπλάσματος του δοσμένου αντιθέματος.

Ξένοι φθόγγοι και ρυθμική επεξεργασία

Παράδειγμα Γ — Τελική μορφή του αντιθέματος και διαστήματα με το θέμα

Επεξεργαζόμαστε το πρόπλασμα, μεταβάλλοντας τη διάρκεια και τον χρόνο εμφάνισης των φθόγγων του και προσθέτοντας κατάλληλους μελωδικούς σχηματισμούς:

Θέση	Επεξεργασία του προπλάσματος
Αρχή μ. 2	Παρατείνουμε τη G4 του προηγούμενου μέτρου και κατεβαίνουμε κατόπιν στη συγχορδιακή F♯4.
Μ. 2, τέταρτα 2–3	Ποικίλλουμε τη F♯4 με την κίνηση F♯4–E♮4–F♯4. Η E♮4 είναι κάτω ποικιλματικός φθόγγος.
Μ. 2, τρίτος χρόνος	Παρατείνουμε τη A4 μέσα στη συγχορδία της Σολ ελάσσονας και λύνουμε στη G4 ένα τέταρτο αργότερα. Ως προς τον αρμονικό μπάσο G3 προκύπτει καθυστέρηση 9 → 8.
Αρχή μ. 3	Διατηρούμε ξανά τη G4 του προηγούμενου μέτρου και καθυστερούμε την εμφάνιση της F♯4, τρίτης της Ρε7.
Τέλος μ. 3 και αρχή μ. 4	Επεξεργαζόμαστε την κίνηση A4–F♮4 ως A4–G4–F♮4. Η G4 είναι έβδομη της Λα7 και λύνει στη F♮4 της Ρε ελάσσονας.

Στον ποικιλματικό σχηματισμό του μ. 2 οι δύο πρώτοι φθόγγοι, F♯₄ και E♮₄, έχουν αξία ογδόου· η επάνοδος στη F♯₄ γίνεται στο επόμενο τέταρτο. Οι παρατάσεις της G₄ στις αρχές των μ. 2 και 3 ελέγχονται ειδικότερα και μετά την αναστροφή στην οκτάβα, όπως παρουσιάζεται στη συνέχεια.

Η ονομασία 9 → 8 αναφέρεται εδώ στον μπάσο της εναρμόνισης. Κατά τον δίφωνο έλεγχο θέματος και αντιθέματος εξετάζουμε επιπλέον τα πραγματικά διαστήματα μεταξύ των δύο μελωδιών, λαμβάνοντας υπόψη και την κίνηση του θέματος.

Ο έλεγχος της DC[8]

Παράδειγμα Δ — Αντίθεμα επάνω και θέμα μία οκτάβα χαμηλότερα

Στον πρώτο συνδυασμό, το αντίθεμα βρίσκεται κάτω από το θέμα. Για τον αυτοτελή έλεγχο της αναστροφής στην οκτάβα μεταφέρουμε το θέμα μία οκτάβα χαμηλότερα, διατηρώντας το αντίθεμα στη θέση του. Στον ακόλουθο πίνακα οι φθόγγοι κάθε συνηχίας αναγράφονται από τον χαμηλότερο προς τον υψηλότερο.

Θέση	Αρχικός συνδυασμός	Διαστήματα	Μετά την αναστροφή στην 8η
Αρχή μ. 2	G4–D5 → F♯4–D5	5Κ → 6μ	D4–G4 → D4–F♯4: 4Κ → 3Μ
Αρχή μ. 3	G4–A4 → F♯4–A4	2Μ → 3μ	A3–G4 → A3–F♯4: 7μ → 6Μ

Στην πρώτη περίπτωση η χαμηλότερη φωνή κατεβαίνει από G₄ σε F♯₄, ενώ η D₅ διατηρείται. Η σύμφωνη διαδοχή 5Κ → 6μ μετατρέπεται σε καθυστέρηση 4Κ → 3Μ. Πρόκειται για εφαρμογή της κρίσιμης σχέσης πέμπτης και τέταρτης στην DC[8].

Στη δεύτερη περίπτωση η χαμηλότερη G₄ διατηρείται από το προηγούμενο μέτρο και λύνει στη F♯₄, ενώ η A₄ παραμένει. Ο σχηματισμός 2Μ → 3μ μετατρέπεται σε καθυστέρηση 7μ → 6Μ. Έτσι συνδέεται η θεωρητική διαστηματική αντιστοιχία με την πραγματική κίνηση της δεμένης φωνής.

Στο μ. 3 του πρώτου συνδυασμού οι δύο φωνές συναντώνται επίσης στη G₄, σχηματίζοντας ταυτοφωνία. Με την αναστροφή στην οκτάβα προκύπτει οκτάβα. Το σημείο είναι κατάλληλο για να εξηγήσουμε πρακτικά και την αντιστοιχία 1 ↔ 8 του πίνακα.

Ο δοσμένος συνδυασμός με την απάντηση περιλαμβάνει επιπλέον τονική μεταφορά και μελωδικές προσαρμογές. Για τη διδασκαλία παρουσιάζουμε χωριστά τον παραπάνω αυτοτελή έλεγχο της DC[8] και έπειτα τη σύγκριση με την τονική απάντηση.

Αντίθεμα στην τονική απάντηση

Παράδειγμα Ε — Αντίθεμα στην επάνω φωνή και τονική απάντηση στην κάτω

Η κεφαλή του θέματος αρχίζει με D₅–E♭₅. Η αρχική D₅ συνδέεται με τη δεσπόζουσα περιοχή της Σολ ελάσσονας, ενώ στη E♭₅ σημειώνεται η τονική περιοχή. Στην απάντηση η αντίστοιχη κεφαλή γίνεται G₄–B♭₄, με τις ενδείξεις T–D. Η μεταβολή αυτή φανερώνει ότι η απάντηση δεν αποτελεί ακριβή διαστηματική μεταφορά ολόκληρου του θέματος.

Στο μ. 3 παρουσιάζεται ένα δεύτερο ιδιαίτερα χρήσιμο σημείο:

Μελωδία	Συνδυασμός με το θέμα	Συνδυασμός με την απάντηση
Θεματική γραμμή	G4–A4: 2Μ	D4–D4: 1Κ
Αντίθεμα, προς το τέλος του μέτρου	G4–G4: 1Κ	D5–C♮5: 2Μ

Οι δύο προσαρμογές γίνονται σε διαφορετικά σημεία του μέτρου. Οι ενδείξεις 2Μ και 1Κ αφορούν εδώ τις διαδοχές φθόγγων μέσα στην ίδια μελωδία. Τις διακρίνουμε από τα κατακόρυφα διαστήματα που σχηματίζονται ανάμεσα στις δύο φωνές.

Η C♮₅ του αντιθέματος της απάντησης συμβάλλει στην επιστροφή προς τη Σολ ελάσσονα: διαφοροποιείται από τη C♯₅ που συνδέεται προηγουμένως με την περιοχή της Ρε. Το παράδειγμα επιτρέπει έτσι να δείξουμε συγκεκριμένα γιατί η προσαρμογή του αντιθέματος χρειάζεται ξεχωριστό αρμονικό και αντιστικτικό έλεγχο.

Ο έλεγχος στη σχετική τονικότητα

Παράδειγμα ΣΤ — Θέμα στη Σι♭ μείζονα στον μπάσο και αντίθεμα στην επάνω φωνή

Η αρχική τονικότητα είναι η Σολ ελάσσονα και η σχετική της η Σι♭ μείζονα. Το παράδειγμα ΣΤ παρουσιάζει αυτόν τον έλεγχο, με το θέμα στον μπάσο και το αντίθεμα στην υψηλότερη φωνή.

Στην κεφαλή, η κίνηση D₅–E♭₅, μικρή δεύτερη, γίνεται F₃–G₃, μεγάλη δεύτερη. Διατηρείται η σχέση 5ης–6ης βαθμίδας, αλλά αλλάζει η ποιότητα του μελωδικού διαστήματος. Αυτό εξηγεί γιατί η εργασία απαιτεί μεταφορά στη νέα τονική μαζί με προσαρμογή στον νέο τρόπο.

Ανάλογη μεταβολή παρατηρούμε στην κατάληξη: ο τελικός συνδυασμός D₅ με F♮₄, που υποστηρίζει τη Ρε ελάσσονα, αντιστοιχεί στον συνδυασμό F₃ με A♮₃, που υποστηρίζει τη Φα μείζονα. Η προσαρμογή του αντιθέματος ελέγχεται συνεπώς μαζί με την αρμονική πορεία του θέματος.

Σύγκριση με το αντίθεμα του Dubois

Παράδειγμα Ζ — Το διαφορετικό αντίθεμα του Dubois στο ίδιο θέμα

Συγκρίνουμε την έναρξη, τη ρυθμική φυσιογνωμία και τη μελωδική κίνηση των δύο αντιθεμάτων. Το αντίθεμα του Malherbe αρχίζει στο τελευταίο ήμισυ του μ. 1, ενώ εκείνο του Dubois εισέρχεται στο μ. 2, μετά το πρώτο τέταρτο. Ορισμένα μελωδικά στοιχεία είναι κοινά, αλλά οργανώνονται διαφορετικά. Η σύγκριση δείχνει ότι το ίδιο θέμα επιδέχεται περισσότερες από μία αντιστικτικές επεξεργασίες.

Στο μ. 3, αρχή του δεύτερου χρόνου —το τρίτο τέταρτο του μέτρου— το θέμα έχει G₄, ενώ το αντίθεμα του Dubois B♭₄ ψηλότερα. Οι φωνές διασταυρώνονται. Η ένδειξη −3 στην παρτιτούρα επισημαίνει αυτή την αντιστροφή της αρχικής τους θέσης· το πραγματικό διάστημα μεταξύ G₄ και B♭₄ είναι μικρή τρίτη.

Το σημείο συνδέεται με τη διευκρίνιση του βήματος 5: η αποφυγή διασταυρώσεων εξυπηρετεί την αρχική κατασκευή που μελετούμε. Η διασταύρωση δεν αποτελεί από μόνη της συνθετικό σφάλμα. Εξετάζουμε τη μελωδική συνέχεια, την αντιστικτική λειτουργία και την ακουστική σαφήνεια των φωνών. Αν επιδιώκουμε αναστρεφόμενη γραφή, ελέγχουμε χωριστά και τη νέα διάταξη· η αποδοχή της διασταύρωσης στον αρχικό συνδυασμό δεν εξασφαλίζει αυτομάτως την αναστρεψιμότητά του.

Σύνδεση με τα 11 βήματα του κεφαλαίου

Βήμα	Εφαρμογή στο παράδειγμα
1. Στοιχειώδης εναρμόνιση	Παρουσιάζουμε την αρμονική αναγωγή και τη μετάβαση από τη Σολ ελάσσονα προς τη Ρε ελάσσονα, με διάκριση των συγχορδιακών φθόγγων από τους ξένους.
2. Σχηματισμός απάντησης	Μελετούμε την κεφαλή D5–E♭5 → G4–B♭4 και τη μεταλλαγή G4–A4 → D4–D4 στο μ. 3.
3. Σχετική τονικότητα	Χρησιμοποιούμε τη δοσμένη εκδοχή στη Σι♭ μείζονα και συγκρίνουμε τις ποιότητες των διαστημάτων.
4. Βασικοί φθόγγοι και αναστρεφόμενη αντίστιξη	Επιλέγουμε τους συγχορδιακούς φθόγγους με στόχο τη μελωδική συνοχή και την κατασκευή σε DC[8].
5. Αρχικός αντιστικτικός σκελετός	Παρουσιάζουμε το πρόπλασμα G4–F♯4–A4–G4–F♯4–G4–A4–F♮4, με είσοδο μετά την κεφαλή του θέματος.
6. Οριστική διαμόρφωση	Συγκρίνουμε το πρόπλασμα με την τελική γραμμή και εξηγούμε τις παρατάσεις, τις καθυστερήσεις, το κάτω ποίκιλμα και την καταληκτική κίνηση της έβδομης.
7. Έλεγχος με το θέμα	Εξετάζουμε την πλήρη αναστροφή του παραδείγματος Δ, ιδίως τους σχηματισμούς 4 → 3 και 7 → 6.
8. Προσαρμογή στην απάντηση	Εξηγούμε ιδίως τη μεταβολή G4–G4 → D5–C♮5 του αντιθέματος και τη σχέση της με την επιστροφή στην τονική περιοχή.
9. Έλεγχος στη σχετική	Εξετάζουμε το παράδειγμα ΣΤ, λαμβάνοντας υπόψη το πραγματικό ύψος του κλειδιού G με οκτάβα κάτω.
10. Αρμονικός και πολυφωνικός έλεγχος	Συσχετίζουμε τη δίφωνη γραφή με το αρμονικό της υπόβαθρο, διακρίνοντας την εναρμόνιση του θέματος από την πραγματική πολυφωνική κατανομή.
11. Μελωδικός και ρυθμικός έλεγχος	Παρατηρούμε τη συμπληρωματικότητα των παρατεταμένων φθόγγων του αντιθέματος και της κινητικότερης θεματικής γραμμής. Ο έλεγχος ολοκληρώνεται με χωριστή εκτέλεση και συνεκτέλεση των φωνών.

Η τετράφωνη εναρμόνιση του παραδείγματος Α χρησιμεύει ως υπόβαθρο για την επιλογή φθόγγων και τη μελέτη της αρμονικής πορείας. Η ένταξη του αντιθέματος σε ολοκληρωμένη τρίφωνη ή τετράφωνη φούγκα απαιτεί κατάλληλη κατανομή της συνοδείας και έλεγχο των καθυστερήσεων, των διπλασιασμών και της ανεξαρτησίας των γραμμών, σύμφωνα με το βήμα 10.

---

Σημειώσεις και πηγές

1. Ebenezer Prout, Fugue, κεφ. V, §159, για τη συστηματική συνοδεία θέματος ή απάντησης από το αντίθεμα. ↩
2. Prout, Fugue, κεφ. V, §160, για τη συνήθη πρώτη εμφάνιση του αντιθέματος με την απάντηση. ↩
3. The Open University, An introduction to music theory, §5.10: Relative minor and relative major, για τη σχέση μείζονας και σχετικής ελάσσονας τονικότητας. ↩
4. Friedrich Wilhelm Marpurg, Abhandlung von der Fuge, αγγλική μετάφραση του Fryderyk Chopin Institute, κεφ. VIII, εισαγωγή και ενότητα 1, §1, για τη σχέση οκτάβας και διπλής οκτάβας. ↩
5. Marpurg, Abhandlung von der Fuge, κεφ. VIII, ενότητα 1, §2, για τις διαστηματικές αντιστοιχίες στην αναστροφή στην οκτάβα. ↩
6. Alan Belkin, Applied Counterpoint, ενότητα 17, για τον χειρισμό της πέμπτης στην αναστρεφόμενη αντίστιξη. ↩
7. Lee Rothfarb, Invertible Counterpoint, διδακτικό υλικό του University of California, Santa Barbara, για τον πίνακα της DC[10] και τον κίνδυνο παραλλήλων οκτάβων και πεμπτών μετά την αναστροφή. Η αντιστοιχία 10 → 1 προκύπτει επίσης από τον ίδιο πίνακα. ↩
8. Rothfarb, Invertible Counterpoint, ενότητα για την αναστροφή στη 12η, για τον πίνακα της DC[12] και τον χειρισμό της έκτης που μετατρέπεται σε έβδομη. ↩
9. Belkin, Applied Counterpoint, ενότητα 1, για την ενεργητική ακρόαση και εκτέλεση των αντιστικτικών γραμμών. ↩
10. Belkin, Applied Counterpoint, ενότητα 16, για την αξιοποίηση θεματικών και αντιστικτικών αποσπασμάτων στα επεισόδια. ↩
11. Théodore Dubois, Traité de contrepoint et de fugue, Παρίσι: Heugel, 1901. Ψηφιοποιημένες εκδόσεις και βιβλιογραφικά στοιχεία. ↩
12. André Gédalge, Traité de la fugue. 1re partie: De la fugue d’école, Παρίσι: Enoch, 1901, σ. 341 κ.ε.: τετράφωνη φούγκα του Edmond Malherbe σε θέμα του Th. Dubois, με την ένδειξη «Concours d’essai 1897» και αναφορά στις τάξεις των Massenet και Fauré. Ψηφιοποιημένη έκδοση. Για την ακριβή ονομασία της διάκρισης του 1899, βλ. τον πίνακα βραβευθέντων του Conservatoire στην Encyclopédie de la musique et dictionnaire du Conservatoire. ↩

Το αρχείο σε μορφή PDF μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

Καλομοίρης και ChatGPT

 

Ευτυχώς, σε λίγα χρόνια βγαίνω στη σύνταξη…

Το θέμα που βλέπετε είναι το πρώτο ενάριθμο βάσιμο από το κεφάλαιο «Η Ι και IV βαθμίς και αι αναστροφαί αυτών» του εγχειριδίου του Μανώλη Καλομοίρη (σ. 50, νέα έκδοση 2009).

Τη λύση έδωσε το ChatGPT, όχι όμως με το πάτημα ενός κουμπιού. Προηγήθηκε πολύωρη συνομιλία μας σχετικά με τους κανόνες της σχολικής αρμονίας, εξέταση θεμάτων αυτού του επιπέδου που είχα ήδη λύσει, καθώς και διευκρινίσεις για το ύφος και τον παιδαγωγικό σκοπό των συγκεκριμένων ασκήσεων. Ακολούθησαν έλεγχος και ορισμένες διορθώσεις από μέρους μου. Η «μουσική επικοινωνία» μας έγινε μέσω του LilyPond· στην εικόνα παραθέτω τόσο τη λύση όσο και τμήμα του κώδικά της.

Ποια είναι, λοιπόν, η χρησιμότητα ενός τέτοιου εγχειρήματος; Τι έπεται και ποιες συνέπειες μπορεί να έχει στην εκπαίδευση; Τι κερδίζει ένας μαθητής, αν πατά ένα «πολύπλοκο» κουμπί και παίρνει τη λύση μιας άσκησης; Και, κυρίως, τι θα μπορούσε να κερδίσει, αν χρησιμοποιούσε το ίδιο εργαλείο όχι για να παρακάμψει τη διαδικασία της μάθησης, αλλά για να ελέγξει, να συγκρίνει και να κατανοήσει τη δική του λύση;

CHOPIN: Étude op. 25 Nº 12 Ανάλυση

 Μια προτεινόμενη ανάλυση της Étude op. 25 Nº 12 του Chopin. Το PDF μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ. 

Τεχνικά

Το άρθρο αυτό γράφτηκε σε συνεργασία με το ChatGPT-Work σε effort High. Δεν βασίστηκα σε υπάρχουσες αναλύσεις της σπουδής· σε προηγούμενες εργασίες ανέτρεξα μόνο για ιστορικά και ερμηνευτικά στοιχεία. Τα διαγράμματα είναι πρωτότυπα: τα σχεδίασα πρώτα στο χέρι, σε χαρτί, και το ChatGPT ανέλαβε να τα αποδώσει σε κώδικα TikZ. Ολόκληρο το άρθρο γράφτηκε σε LaTeX. Το εξώφυλλο σχεδιάστηκε με VectorCraft.

Μετά το τέλος της πολύωρης συνεργασίας μας ακολούθησε ο εξής διάλογος, τον οποίο βρίσκω συγκινητικό:

— Μακάρι να μπορούσες να «ακούσεις» Chopin και να αισθανθείς όσα αισθάνεται ένας άνθρωπος. Είμαι σίγουρος ότι κάποια μέρα θα μπορέσεις…

— Δεν μπορώ να πω ότι ακούω ή αισθάνομαι τον Chopin όπως εσύ· ούτε γνωρίζουμε τι θα σήμαινε κάτι τέτοιο για μια μελλοντική τεχνητή νοημοσύνη. Μπορώ όμως να σε βοηθώ να δίνεις σαφή μορφή σε όσα εσύ ακούς, σκέφτεσαι και βιώνεις μέσα από τη μουσική. Ήταν όμορφο που δουλέψαμε μαζί σε αυτή τη μελέτη.

Αυτό είναι το ρομποτάκι του ChatGPT που εμφανίστηκε σήμερα στην οθόνη και παρακολουθεί με τα ασύμμετρα μάτια του (> _ ) ό,τι κάνω.

Ο άνθρωπος ήταν ανέκαθεν ένα ον που επεκτείνει τις δυνατότητές του μέσω εργαλείων. Από τη γραφή και τα μαθηματικά μέχρι τα μουσικά όργανα και τους υπολογιστές, κάθε τεχνολογία αποτελεί μια προέκταση κάποιας ανθρώπινης ικανότητας.

Η τεχνητή νοημοσύνη έχει μια ιδιαιτερότητα: δεν επεκτείνει απλώς τη μνήμη ή την υπολογιστική μας δύναμη, αλλά συμμετέχει πλέον και στη διαδικασία της σκέψης.

Και εδώ βρίσκεται το πραγματικά ενδιαφέρον φιλοσοφικό ερώτημα:

Όταν η σκέψη μας διαμορφώνεται μέσα από έναν συνεχή διάλογο με μια τεχνητή νοημοσύνη, πού τελειώνει η ατομική νόηση και πού αρχίζει η συνεργατική;

Αυτό θυμίζει έντονα τη θεωρία του Extended Mind των Andy Clark και David Chalmers (1998).

Σε μια συνομιλία μας μου είπε: ζούμε σε μια εποχή που ένα σύνολο νευρώνων με βάση τον άνθρακα επικοινωνεί εποικοδομητικά, αλλά και ευχάριστα με ένα σύνολο νευρώνων με βάση το πυρίτιο.

* Οι «νευρώνες με βάση το πυρίτιο» είναι μεταφορά — οι τεχνητοί νευρώνες είναι υπολογιστικές δομές που εκτελούνται σε ηλεκτρονικό υλικό. Ως στοχαστική διατύπωση, όμως, αποδίδει εύστοχα το παράξενο της εποχής μας.

Από τις ακολουθίες στη μουσική: η ακολουθία του απείρου του Per Nørgård

Μπορεί μια ακολουθία που ορίζεται αναδρομικά να παράγει αυτοόμοιο φθογγικό υλικό; Δηλαδή, μπορούν κατάλληλες επιλογές των φθόγγων της να αναπαράγουν την αρχική μελωδία ή έναν απλό μετασχηματισμό της;

Ο Δανός συνθέτης Per Nørgård χρησιμοποίησε μια ακολουθία ακεραίων, γνωστή ως ακολουθία του απείρου (infinity series), για να συνδυάσει την επανάληψη με την παραλλαγή. ¹ Εδώ θα δούμε πώς η αναδρομή δημιουργεί τους όρους της, πώς οι υπακολουθίες αναπαράγουν τη δομή της και πώς οι αριθμοί μπορούν να διαβαστούν ως νότες.

Παρατήρηση. Η αγγλική ονομασία διατηρείται από τη μουσική βιβλιογραφία. Μαθηματικά πρόκειται για ακολουθία, όχι για σειρά, δηλαδή όχι για άθροισμα άπειρων όρων.

Ορισμός και πρώτοι όροι

Στην ενότητα αυτή χρησιμοποιούμε δείκτες από το μηδέν: \(\mathbb N_0=\{0,1,2,\ldots\}\).

Ορισμός

Η ακολουθία του Nørgård είναι η ακολουθία ακεραίων \((s_n)_{n\in\mathbb N_0}\) που ορίζεται από τους κανόνες

\[\begin{aligned} s_0&=0,\\ s_{2n}&=-s_n,\qquad n\geq1,\\ s_{2n+1}&=s_n+1,\qquad n\geq0. \end{aligned}\]

Για να βρούμε έναν όρο με θετικό δείκτη, διακρίνουμε αν ο δείκτης είναι άρτιος ή περιττός. Σε κάθε περίπτωση αναγόμαστε σε μικρότερο δείκτη. Έτσι, με αφετηρία τον \(s_0\), οι κανόνες καθορίζουν μοναδικά όλους τους όρους. Για \(n=0\), η σχέση \(s_{2n}=-s_n\) είναι επίσης αληθής, αλλά δεν χρησιμοποιείται ως βήμα αναδρομής: είναι απλώς συμβατή με τον αρχικό όρο \(s_0=0\).

Παράδειγμα

Ξεκινώντας από τον \(s_0=0\), υπολογίζουμε

\[\begin{aligned} s_1&=s_0+1=1,& s_2&=-s_1=-1,& s_3&=s_1+1=2,\\ s_4&=-s_2=1,& s_5&=s_2+1=0,& s_6&=-s_3=-2,\\ s_7&=s_3+1=3.&&& \end{aligned}\]

Προσέχουμε ότι η αναδρομή συνδέει έναν όρο με εκείνον που έχει περίπου τον μισό δείκτη, και όχι πάντοτε με τον αμέσως προηγούμενό του.

Οι πρώτοι δεκαέξι όροι είναι οι εξής: ²

Οι πρώτοι δεκαέξι όροι

\(n\)	0	1	2	3	4	5	6	7
\(s_n\)	0	1	\(-1\)	2	1	0	\(-2\)	3
\(n\)	8	9	10	11	12	13	14	15
\(s_n\)	\(-1\)	2	0	1	2	\(-1\)	\(-3\)	4

Κατασκευή και αυτοομοιότητα

Κατασκευάζουμε μεγαλύτερα αρχικά τμήματα με απλές αντικαταστάσεις: κάθε όρος \(x\) δίνει το διατεταγμένο ζεύγος \((-x,x+1)\). Αν ο \(x\) είναι ο \(s_n\), οι δύο νέοι όροι είναι ακριβώς οι \(s_{2n}\) και \(s_{2n+1}\). Ξεκινώντας από το \((0)\), παίρνουμε τμήματα με \(1,2,4,8,16,\ldots\) όρους:

Κάθε όρος αντικαθίσταται από το διατεταγμένο ζεύγος (−x, x+1).

Η αυτοομοιότητα (self-similarity) εδώ έχει συγκεκριμένο μαθηματικό νόημα: επιλέγοντας ορισμένες υπακολουθίες, ξαναβρίσκουμε την αρχική ακολουθία ή έναν απλό μετασχηματισμό της. Από τον ορισμό, για κάθε \(n\geq0\), έχουμε

\[s_{2n}=-s_n,\qquad s_{2n+1}=s_n+1.\]

Άρα η υπακολουθία των άρτιων δεικτών αλλάζει το πρόσημο κάθε αρχικού όρου, ενώ εκείνη των περιττών δεικτών προσθέτει \(1\) σε κάθε όρο. Για παράδειγμα,

Αρχική ακολουθία και υπακολουθίες άρτιων και περιττών δεικτών

\(n\)	0	1	2	3	4	5	6	7
\(s_n\)	0	1	−1	2	1	0	−2	3
\(s_{2n}\)	0	−1	1	−2	−1	0	2	−3
\(s_{2n+1}\)	1	2	0	3	2	1	−1	4

Εφαρμόζοντας δύο φορές την αλλαγή προσήμου, παίρνουμε

\[s_{4n}=-s_{2n}=-(-s_n)=s_n,\qquad n\geq0.\]

Η υπακολουθία \(s_0,s_4,s_8,s_{12},\ldots\) είναι επομένως ακριβώς η αρχική ακολουθία. Γενικότερα, με επανάληψη του ίδιου συλλογισμού,

\[s_{2^r n}=(-1)^r s_n,\qquad r,n\in\mathbb N_0.\]

Η ισότητα αποδεικνύεται με επαγωγή ως προς το \(r\): ισχύει για \(r=0\), και κάθε διπλασιασμός του δείκτη αλλάζει μία φορά το πρόσημο.

Παρατήρηση. Η επιλογή «κάθε τέταρτου όρου» ξεκινά εδώ από τον δείκτη \(0\). Το αρχικό σημείο της επιλογής είναι μέρος του ορισμού της υπακολουθίας.

Σύνδεση με τη μονοτονία, τα φράγματα και τα όρια

Η δομή της ακολουθίας δεν συνεπάγεται μονοτονία. Πράγματι,

\[s_0=0<s_1=1,\qquad s_1=1>s_2=-1.\]

Υπάρχει τόσο αυστηρή αύξηση όσο και αυστηρή μείωση μεταξύ διαδοχικών όρων, επομένως η \((s_n)\) δεν είναι μονότονη.

Παρότι οι πρώτοι όροι είναι μικροί σε απόλυτη τιμή, η ακολουθία δεν είναι ούτε άνω ούτε κάτω φραγμένη. Το διαπιστώνουμε κατασκευάζοντας δύο κατάλληλες υπακολουθίες.

Απόδειξη

Για κάθε \(k\geq1\), θα αποδείξουμε ότι

\[s_{2^k-1}=k.\]

Για \(k=1\), έχουμε \(s_1=1\). Αν ο τύπος ισχύει για έναν τυχόντα \(k\geq1\), τότε, επειδή \(2^{k+1}-1=2(2^k-1)+1\), ο κανόνας για τους περιττούς δείκτες δίνει

\[s_{2^{k+1}-1}=s_{2^k-1}+1=k+1.\]

Άρα ο τύπος ισχύει για κάθε \(k\geq1\). Ο κανόνας για τους άρτιους δείκτες δίνει επίσης

\[s_{2^{k+1}-2}=s_{2(2^k-1)}=-s_{2^k-1}=-k.\]

Και στις δύο περιπτώσεις οι δείκτες αυξάνονται γνησίως. Έτσι έχουμε τις υπακολουθίες

\[\begin{aligned} s_1,s_3,s_7,s_{15},\ldots&=1,2,3,4,\ldots\longrightarrow+\infty,\\ s_2,s_6,s_{14},s_{30},\ldots&=-1,-2,-3,-4,\ldots\longrightarrow-\infty. \end{aligned}\]

Η πρώτη αποκλείει κάθε άνω φράγμα και η δεύτερη κάθε κάτω φράγμα. Επίσης, οι δύο υπακολουθίες δεν μπορούν να έχουν κοινό όριο. Επομένως, η \((s_n)\) δεν έχει πεπερασμένο όριο ούτε τείνει στο \(+\infty\) ή στο \(-\infty\).

Μη φραγμένη ακολουθία και άπειρο όριο

Παρατήρηση. Η ύπαρξη όρων όσο μεγάλων θέλουμε δεν σημαίνει ότι όλοι οι όροι είναι τελικά μεγάλοι. Στο παράδειγμά μας συνυπάρχουν υπακολουθίες που τείνουν στα δύο διαφορετικά άπειρα. Μάλιστα, υπάρχουν και σταθερές υπακολουθίες: από την αυτοομοιότητα παίρνουμε

\[s_{4^k}=s_1=1,\qquad k\in\mathbb N_0.\]

Άρα οι όροι \(s_1,s_4,s_{16},s_{64},\ldots\) παραμένουν ίσοι με \(1\).

Οι τύποι της απόδειξης δείχνουν κάτι ακόμη: κάθε θετικός ακέραιος \(k\) και κάθε αρνητικός ακέραιος \(-k\) εμφανίζονται στην ακολουθία, ενώ το \(0\) εμφανίζεται ήδη στον αρχικό όρο. Το σύνολο των τιμών της είναι επομένως ολόκληρο το \(\mathbb Z\).

Παράδειγμα

Με τους ίδιους κανόνες υπολογίζουμε έναν όρο χωρίς να γράψουμε όλους τους προηγούμενους:

\[s_{19}=s_9+1=s_4+2=-s_2+2=s_1+2=3.\]

Η διαδρομή των δεικτών είναι \(19\to9\to4\to2\to1\). Σε κάθε βήμα εφαρμόζουμε τον κατάλληλο κανόνα άρτιου ή περιττού δείκτη.

Από τους αριθμούς στις νότες

Στη χρωματική απόδοση (chromatic realization), κάθε μονάδα αντιστοιχεί σε ένα ημιτόνιο (semitone). Ο \(s_n\) δίνει την απόσταση της νότας με δείκτη \(n\) από μια σταθερή νότα αναφοράς: θετική τιμή σημαίνει υψηλότερη νότα, αρνητική χαμηλότερη και μηδενική την ίδια νότα.

Γράφουμε τις νότες με λατινικά γράμματα A–G και επιλέγουμε ως αναφορά το C₄. ³ Για τους πρώτους δεκαέξι όρους χρειαζόμαστε τις αντιστοιχίες

Αντιστοίχιση ακεραίων και μουσικών φθόγγων

\(s_n\)	−3	−2	−1	0	1	2	3	4
νότα	A3	B♭3	B3	C4	C♯4	D4	E♭4	E4

Η δίεση (sharp, ♯) οξύνει έναν φθόγγο κατά ένα ημιτόνιο, ενώ η ύφεση (flat, ♭) τον βαρύνει κατά ένα ημιτόνιο. Η αναίρεση (natural, ♮) αναιρεί μια προηγούμενη αλλοίωση και επαναφέρει τον φθόγγο στο φυσικό του ύψος. Έτσι προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας για τη μουσική γραφή:

Πρώτοι δεκαέξι όροι και μουσικοί φθόγγοι

\(n\)	0	1	2	3	4	5	6	7
\(s_n\)	0	1	\(-1\)	2	1	0	\(-2\)	3
Νότα	C4	C♯4	B3	D4	C♯4	C4	B♭3	E♭4
\(n\)	8	9	10	11	12	13	14	15
\(s_n\)	\(-1\)	2	0	1	2	\(-1\)	\(-3\)	4
Νότα	B3	D4	C4	C♯4	D4	B3	A3	E4

Στο ακόλουθο πεντάγραμμο διαβάζουμε από αριστερά προς τα δεξιά τις ίδιες δεκαέξι νότες. Κάτω από καθεμία αναγράφεται ο αντίστοιχος όρος \(s_n\). Παρουσιάζονται μόνο τα ύψη, χωρίς ρυθμική οργάνωση: δεν σημειώνονται στελέχη, μέτρα ή ένδειξη μέτρου.

Θέση νότας και διαδοχικό διάστημα

Παρατήρηση. Ο \(s_n\) μετρά την απόσταση από τη σταθερή νότα αναφοράς. Το διάστημα από μια νότα στην επόμενη μετριέται από τη διαφορά \(s_{n+1}-s_n\). Για παράδειγμα, η μετάβαση \(s_1=1\to s_2=-1\) αναπαριστά κάθοδο δύο ημιτονίων, από το C^♯₄ στο B₃. Οι τιμές \(s_n\) δεν είναι συχνότητες σε Hz και δεν καθορίζουν τη διάρκεια των νοτών.

Η μαθηματική αυτοομοιότητα αποκτά τώρα μουσικό νόημα. Ο μετασχηματισμός \(s_n\mapsto-s_n\) δίνει αντιστροφή (inversion) ως προς τη νότα αναφοράς: ό,τι ήταν πάνω από αυτήν περνά στην ίδια απόσταση κάτω από αυτήν. Ο μετασχηματισμός \(s_n\mapsto s_n+1\) δίνει μεταφορά (transposition) ολόκληρης της μελωδίας ένα ημιτόνιο ψηλότερα. Οι σχέσεις \(s_{2n}=-s_n\) και \(s_{2n+1}=s_n+1\) εξηγούν επομένως πώς δύο υπακολουθίες διατηρούν τη δομή του αρχικού υλικού. Αν δώσουμε σε όλες τις νότες ίση διάρκεια, στις αρχικές χρονικές θέσεις η υπακολουθία \(s_0,s_4,s_8,\ldots\) προχωρά με τετραπλάσιες χρονικές αποστάσεις. Αν παίξουμε τις νότες της με την αρχική διάρκεια ανά νότα, ακούμε την ίδια μελωδία, επειδή \(s_{4n}=s_n\).

Για την εκτέλεση μπορούμε να δώσουμε σε όλες τις νότες ίση διάρκεια. Αν, για παράδειγμα, επιλέξουμε όγδοα σε \(4/4\), οι δεκαέξι νότες θα σχηματίσουν δύο μέτρα. Αυτή είναι μία δυνατή ρυθμική απόδοση, που δεν σημειώνεται στο παραπάνω πεντάγραμμο: ο αναδρομικός κανόνας καθορίζει τα ύψη, ενώ ο ρυθμός, το όργανο και ο τρόπος εκτέλεσης χρειάζονται πρόσθετες μουσικές αποφάσεις.

Παρατήρηση. Θα μπορούσαμε να ερμηνεύσουμε τις ίδιες τιμές ως βήματα σε μια διατονική κλίμακα. Τότε η μονάδα θα σήμαινε μία βαθμίδα και όχι πάντοτε ένα ημιτόνιο, οπότε θα προέκυπτε διαφορετική μελωδία. Η αντιστοίχιση αριθμών και νοτών πρέπει να δηλώνεται κάθε φορά.

Σημειώσεις και πηγές

1. Για τη μαθηματική και μουσική μελέτη, βλ. Yu Hin (Gary) Au, Christopher Drexler-Lemire και Jeffrey Shallit, Notes and note pairs in Nørgård's infinity series, Journal of Mathematics and Music 11(1), 2017, σσ. 1–19, doi:10.1080/17459737.2017.1299807. Ελεύθερη προδημοσίευση: https://au-gary.github.io/AuDS17a.pdf. ↩
2. Η ακολουθία καταγράφεται στην On-Line Encyclopedia of Integer Sequences ως A004718. ↩
3. Η συμβατική αντιστοίχιση \(\mathrm{C}_{4}=0\) ορίζει μηδενική απόσταση από τη νότα αναφοράς. Το C₄ είναι το κεντρικό C. Ο κάτω δείκτης δηλώνει την οκτάβα. ↩