MOZART: Piano Sonata in C, K.545 (URTEXT)

 

Ακόμη μια αντιγραφή της χιλιοεκδομένης και χιλιοαντιγραμμένης σονάτας facile του Mozart (URTEXT), την οποία μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

Δίνω όμως και το αρχείο XML της σονάτας, το οποίο μπορείτε να εισάγετε στο πρόγραμμα σημειογραφίας της επιλογής σας και να κάνετε την ανάλυση, να περάσετε τους δακτυλισμούς που προτιμάτε κ.τ.λ.

Σε τρία αρχεία:

01. 

02.

03.

Την παρτιτούρα ανέγραψα από εδώ: Internationale Stiftung Mozarteum, Online Publications (2006).

Μια σύντομη ανάλυση του πρώτου μέρους της σονάτας μπορείτε να διαβάσετε εδώ. 

Για το Rondo, εδώ.

WAGNER: Το θέμα Porazzi

 

Λέει ο μύθος, ότι τα 13 τελευταία μέτρα που έπαιξε ο Wagner στο πιάνο του, το απόγευμα της 12ης Φεβρουαρίου του 1883 και λίγο πριν πεθάνει, ήταν αυτά του “θέματος Porazzi” (Θέμα σε Λαb μείζονα, WWV 93). Σύμφωνα πάντως με το ημερολόγιο της γυναίκας του Cosima, κόρης του Listz, εκείνο το απόγευμα διάβασε λίγο από την “Undine” του Fouqué κι έπαιξε στο πιάνο το θρηνητικό θέμα των Rhinemaidens από τον “Χρυσό του Ρήνου”. Ίσως ο Wagner σκιτσάρισε το θέμα το 1858 στη Βενετία, ενώ δούλευε πάνω στην 2η Πράξη του Τριστάνου. Το αναθεώρησε κατά την παραμονή του στο Παλέρμο τον Μάρτιο του 1882. Η Cosima γράφει: “Έγραψε μια μελωδία κι έπειτα μου την έδειξε λέγοντας ότι επιτέλους την έγραψε όπως ήθελε”. Ίσως λοιπόν αυτό το θέμα να είναι το αναθεωρημένο σκίτσο της Βενετίας. Ονομάστηκε “θέμα του Porazzi”, διότι η κατοικία του στο Παλέρμο βρισκόταν στην πλατεία Porazzi. Μύθος ή αλήθεια πρόκειται για 13 εκφραστικότατα και πλουσιότατα αρμονικά μέτρα.

Την παρτιτούρα μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

BEETHOVEN: Two Preludes, op.39 (1789)

 Δύο πρελούδια του έφηβου Μπετόβεν, γραμμένα πιθανόν κατά τη διάρκεια της μαθητείας του κοντά στον Neefe. Εκδόθηκαν το 1803 από τον Hoffmeister στην Λειψία. Το χειρόγραφο έχει χαθεί, υπάρχει όμως ένα αντίγραφό του στο Βερολίνο (Artaria 128). Κάθε πρελούδιο διατρέχει και τις 12 μείζονες τονικότητες μέσα σε σχετικά λίγα μέτρα. Χωρίς να χάνουν την καλλιτεχνική τους αξία, τα δύο αυτά πρελούδια προσφέρονται για τη μελέτη των μετατροπιών.

Μην παρτιτούρα σε PDF μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

BEETHOVEN: Piano Sonatina in G major, Anh. 5 Nº 1

 Την σονατίνα μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

KUHLAU: Sonatina for piano, op.20 Nº 1

 

Την σονατίνα σε μορφή PDF μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

CHOPIN: 3 Nocturnes op. 9 (1831-32)

 

Τα τρία Νυχτερινά του Chopin op.9 μπορείτε να κατεβάσετε σε PDF από εδώ. 

Klavierstück (für Elise), WoO 59

Δύο "εκδόσεις" του für Elise:

• χωρίς επεξεργασία (URTEXT), εδώ,

• με επεξεργασία (λιγκατούρες, δυναμικές, κ.τ.λ.), εδώ.
 

JOSQUIN: Ave Verum a3

Για τους σπουδαστές της Τροπικής Αντίστιξης, ένα 3-φωνο μοτέτο του Josquin για ανάλυση.

Την παρτιτούρα σε PDF μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

Μικρές Ιστορίες 50: Για τον θάνατο του Μ. Αλεξάνδρου

Ο Μ. Αλέξανδρος πέθανε στη Βαβυλώνα το 323 π.Χ. σε ηλικία 32 ετών, μετά από μια (άγνωστη) ασθένεια που τον ταλαιπώρησε για δώδεκα ημέρες. Το σώμα του, μετά τον θάνατο του, παρέμεινε σε άριστη κατάσταση για έξι ολόκληρες ημέρες, χωρίς ίχνος αποσύνθεσης κι αυτό πίστεψαν ότι ήταν απόδειξη ότι ήταν θεός.

Πολλές θεωρίες διατυπώθηκαν στο μεταξύ και για την αιτία του θανάτου του (ασθένεια ή δολοφονία) και για το άφθαρτο της σωρού του. Μια απ’ αυτές υποθέτει ότι ο Μ. Αλέξανδρος έπασχε από αυτοάνοσο, το Σύνδρομο Guillain-Barré, το οποίο προκαλεί ολική παράλυση. Η αναπνοή του Μ. Αλεξάνδρου ήταν εξαιρετικά ασθενής για να γίνει αντιληπτή από τους γιατρούς του, αυτός όμως έζησε για άλλες έξι ημέρες, γι’ αυτό και δεν αποσυντέθηκε το σώμα του.  

Ένας Σωκρατικός Διάλογος για τα Μαθηματικά & Μαθηματικός Πλατωνισμός

 

Ο Ούγγρος μαθηματικός Alfréd Rényi (1921-1970) εξέδωσε το 1967 μεταφρασμένους στα αγγλικά, τρεις διαλόγους με θέμα τα μαθηματικά. Μετάφρασα στα ελληνικά τον πρώτο διάλογο (1962), ανάμεσα στον Σωκράτη και τον νεαρό φιλομαθή Ιπποκράτη (πρόσωπο δανεισμένο από τον “Πρωταγόρα” του Πλάτωνα), με θέμα τη φύση και τη χρησιμότητα των μαθηματικών. 

Μαζί κι ένα παλιότερο κείμενό μου, για τον μαθηματικό πλατωνισμό, που διασαφηνίζει και επεκτείνει τις ιδέες του διαλόγου του Rényi.

Μπορείτε να κατεβάσετε το PDF από εδώ.

SCHOENBERG = CANON for Thomas Mann (1945)

Μου ήταν ιδιαίτερα δύσκολη η σύνθεση αυτού του κανόνα, σχεδόν αδύνατη, επειδή ακριβώς ήθελα να εκφράσω την εκτίμηση μου στο πρόσωπο σου με έναν ιδιαίτερο τρόπο. Η ακρόαση του του είναι επίσης αδύνατη κι ελπίζω να μην θελήσεις να μπεις σ’ αυτήν την διαδικασία (γι’ αυτό και χρησιμοποίησα τα παλιά κλειδιά). Δεν του λείπει βέβαια κι ο (ειλικρινής) εγωισμός / με την ελπίδα να παραμείνουμε καλοί φίλοι για πολλά χρόνια ακόμη.

Εγκάρδια

Άρνολντ Σέμπεργκ

Τον κανόνα μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

KINGSLEY-dsyk = Popcorn (1969)

 

Μια μεταγραφή για πιάνο του Popcorn (1969) του Gershon Kingsley (1922-2019).

FALTERMAYER = Axel F

 Λίγο πριν ξεκινήσουν οι καμπιάτες μελετάω τα synth hits της δεκαετίας του ’80. Έφτιαξα ένα score για το AXEL F του Harold Faltermayer, από τον “Μπάτσο του Μπέβερλι Χίλς”. Στο διαδίκτυο μπορείτε να βρείτε πολλά άλλα score είτε ελεύθερα, είτε με πληρωμή. Μπορείτε να το κατεβάσετε είτε ως PDF είτε ως XML αν θέλετε να πειραματιστείτε.

Ευθείες

 

Lemma I, for Oboe & Electronics (2022)

 

Σταθμοί Αριθμών στα Βραχέα

 

Οι Σταθμοί Αριθμών είναι ραδιοφωνικοί σταθμοί άγνωστης προέλευσης, που εκπέμπουν στα βραχέα κύματα. Συνήθως μεταδίδουν ακολουθίες αριθμών, λέξεις, γράμματα, μελωδίες, σήματα Μορς, κι αυτό για ώρες. Μερικές φορές οι αριθμοί τραγουδιώνται ή απαγγέλονται από σέξυ γυναικείες φωνές. Πρωτοεμφανίστηκαν κατά τη διάρκεια του Α’ Παγκοσμίου Πολέμου, ο αριθμός των εκπομπών αυξήθηκε κατά τη διάρκεια του Ψυχρού Πολέμου και μετά το 1990 λιγόστεψαν, συνεχίζονται παρόλα αυτά ακόμη. Οι φωνές είναι ανθρώπινες, συνήθως γυναικείες, αλλά χρησιμοποιείται και voice synthesis από υπολογιστή.

Υπάρχει η άποψη ότι οι εκπομπές αυτές χρησιμοποιούνται για να σταλούν μηνύματα σε κατασκόπους, αλλά καμιά κυβέρνηση δεν έχει παραδεχτεί κάτι τέτοιο. Δεν αποκλείεται, τουλάχιστον μερικές από αυτές τις εκπομπές, να χρησιμοποιούνται και για παράνομες δραστηριότητες, π.χ. λαθρεμπόριο ναρκωτικών. Ο αποστολέας και ο παραλήπτης των μηνυμάτων είναι δύσκολο να ταυτοποιηθεί κι ο κώδικας δεν “σπάει”, μιας και το κλειδί του είναι άγνωστο και χρησιμοποιείται μία μόνο φορά. 

Το Conet Project δημοσίευσε αρχικά τέσσερα CDs με τέτοιες εκπομπές, μετά κι ένα πέμπτο.

Οι “μυστηριώδεις” αυτές εκπομπές έχουν κινήσει το ενδιαφέρον ακροατών (που δίνουν και ονόματα στους σταθμούς, π.χ. “ Lincolnshire Poacher’s”), αλλά και καλλιτεχνών. Αποσπάσματα από τέτοιες εκπομπές έχουν χρησιμοποιηθεί σε άλμπουμ συγκροτημάτων όπως στη μπάντα Wilko - Yankee Hotel Foxtrot (2001)  - στους Porcupine Tree, Stereolab, Pere Ubu, σε ταινίες - “The Numbers Station” (2013) - σε τηλεοπτικές σειρές (στο αγαπημένο “Fringe”) και στη λογοτεχνία.

ALBRECHTSBERGER: Fuga Do, Re, Mi, Fa, Sol, La

 

Μια φούγκα του Johann Georg Albrechtsberger (1736-1809) στο εξάχορδο Do - La, μεταφερμένο στη φα.

Την παρτιτούρα μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

Στο ISMLP μπορείτε να βρείτε σκαναρισμένη την πρωτότυπη παρτιτούρα.

Fuga sopra il Tema Do, Re, Mi, Fa, Sol, La

per il Clavicembalo o l’Organo

composta dal Sig. Albrechtsberger

(score edited by D. Sykias, 2022)

Dorico 3.5 / Logic Pro X / Pianoteq 7.5.4 (H. Ruckers, A=415, Werkmeister III)

Choralis (2022)

 

Ελάσσονες Κλίμακες

 

Απλή Θεωρία των Ελασσόνων Κλιμάκων (ορισμοί, κατασκευή, οπλισμοί κλπ.) για τους μαθητές Θεωρίας της Μουσικής.

Ελάσσονες Κλίμακες 1

Ελάσσονες Κλίμακες 2

Σημειώσεις Αρμονίας: Σχέσεις Τρίτης

 Το αρχείο μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

GRIEG: Επτά Φούγκες, EG 184

 

Ο Grieg συνέθεσε τις επτά φούγκες του, από τον Οκτώβριο του 1861 μέχρι τον Φεβρουάριο του 1862, κατά τη διάρκεια της μαθητείας του στο ωδείο της Λειψίας, με καθηγητή Αρμονίας και Αντίστιξης τον Friedrich Eduard Richter. Δεν εκδόθηκαν όσο ζούσε, αλλά και δεν κατέστρεψε το χειρόγραφο ή απαγόρευσε να παιχτούν όπως έκανε με άλλα έργα του. Διάβασα ότι οι εκδόσεις Peters τις εξέδωσαν, δεν τις βρήκα όμως στον κατάλογό τους. Στο διαδίκτυο υπάρχει μόνο η διπλή φούγκα, σε κακή παρτιτούρα. Τις αντέγραψα από το πρωτότυπο, από ένα βίντεο στο YouTube κι αν είναι έτσι τα πράγματα, αυτή είναι η πρώτη έκδοσή τους σε ηλεκτρονική μορφή. Του το χρωστούσα για το κοντσέρτο του. Ο Mikhail Pletnev τις ηχογράφησε πρώτος το 2000 στην Deutche Grammophon. Εξαιρετική εκτέλεση, μπορείτε να την ακούσετε εδώ.

Το αρχείο μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

Keyboard Anthology I: German Masters of 17th & 18th c.

 Ξεκίνησα τη συλλογή, αντιγραφή και επιμέλεια ενός συνόλου κομματιών του 17ου & 18ου αι., για χρήση των σπουδαστών του μαθήματος της ωδειακής αντίστιξης˙ εντούτοις, και όσα κομμάτια είναι σχετικά εύκολα, μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως συμπλήρωμα του “Πρώτου Bach”. Άλλα κομμάτια βέβαια, όπως η Chaconne του Couperin, είναι επιπέδου Ανωτέρας.  H συλλογή είναι οργανωμένη σε Γερμανούς, Γάλλους και Άγγλους συνθέτες. Το πρώτο τεύχος που αναρτώ περιέχει Γερμανούς συνθέτες, εκτός του Bach και του Handel. Μερικά από τα κομμάτια δακτυλοθέτησα και προτείνω επίσης μια εκδοχή των ornamenti.

Το πρώτο τεύχος μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

electric|piano|piece # 3: Children's Games

 

electric|piano|piece #3

Children's Games

December 14, 2021

Dorico 3.5.10 / Pianoteq 7, Vintage Tines MKI

electric|piano|piece #2: Goodnight

 

electric|piano|piece #2

Goodnight

November 6, 2021

Dorico 3.5.10 / Logic Pro X / Pianoteq 7

Squid Game

 Όσοι βλέπετε το Squid Game στο Netflix πιστεύω να συμφωνείτε ότι η μουσική των τίτλων, το “Way Back Then”, είναι ένα βασανιστικό carlorff-ικό σκουλίκι. Για να το βγάλω από τ’ αυτί μου το έγραψα στο Dorico. Η μουσική είναι του Jung Jae-il και η γραμματοσειρά του Darrell Flood (ελεύθερη στο διαδίκτυο).

Την άχρηστη παρτιτούρα (ποιος θα πληρώσει τρεις τρομπετίστες να παίξουν ένα μέτρο;) αν θέλετε κατεβάζετε από εδώ.

BEETHOVEN: Συμφωνία Ν°1, 1ο Μέρος

Για τη σπουδή της ενορχήστρωσης στο ωδειακό μάθημα της Φούγκας: το πρώτο μέρος της 1ης Συμφωνίας του Beethoven, παράλληλα με τη μεταγραφή της για πιάνο και στοιχειώδη μορφολογική ανάλυση. Δίνεται και το μέρος του πιάνου μόνο του, αν θελήσει κανείς να την ενορχηστρώσει για εξάσκηση.

Το αρχείο σε μορφή PDF μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

Θέματα Εξετάσεων Κατατακτήριων Β΄Έτους Ειδικού Αρμονίας

Το αρχείο σε μορφή PDF μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

Μια συλλογή θεμάτων για τις κατατακτήριες εξετάσεις του Ειδικού Αρμονίας διαφόρων συνθετών.

Μερικά από αυτά έχουν δοθεί κατά καιρούς σε διάφορα ωδεία.

Να λυθούν αποκλειστικά με χρήση των τριφώνων κυρίων και δευτερευουσών συγχορδιών, της δεσπόζουσας με 7, χωρίς αρμονικές αλυσίδες και ξένους φθόγγους (Ύλη Α'Υποχρεωτικού Αρμονίας).

Οι προχωρημένοι σπουδαστές του Ειδικού Αρμονίας μπορούν να τα χρησιμοποιήσουν για εξάσκηση στην απευθείας εναρμόνιση στο πιάνο (Keyboard Harmony).

 

Electric Piano Piece #1 (2021)

 

electric|piano|piece #1

August 15, 2021

Dorico 3.5.10 / Pianoteq 7, Vintage Tines MKI

Μνημονικός Κανόνας Διαστημάτων

Για να αναγνωρίσουμε το είδος ενός διαστήματος, θα πρέπει να βρούμε το αριθμητικό του μέγεθος (1η, 2η, 3η, κτλ.) καθώς και το είδος του (εε, ε, μ, Μ, Κ, Α, ΑΑ). Για να βρούμε το είδος ενός διαστήματος θα πρέπει να μετρήσουμε τον αριθμό των ημιτονίων που περιέχει˙ π.χ., 5Η = 4Α. Αυτός ο τρόπος απαιτεί να γνωρίζουμε πόσα ημιτόνια περιέχει κάθε διάστημα και επίσης είναι επίπονος και μπορεί να οδηγήσει σε λάθη απαρίθμησης. Με το παρακάτω απλό τρόπο μπορούμε κάθε διάστημα με ευκολία.

Το αρχείο μπορείτε να κατεβάσετε σε μορφή PDF από εδώ.

 

Κανόνας 2021.5

 

Κανόνας στην 8η με συνοδευτική φωνή σε ρε ελάσσονα

Κατασκευή Συγχορδιών 6ης Αυξημένης

Ένας μνημονικός κανόνας για την κατασκευή συγχορδιών 6ης αυξημένης.

Το αρχείο σε μορφή PDF κατεβάζετε από εδώ.

Άλλος ένας κύκλος

Κι άλλος ένας εδώ.
 

Saxlude, for alto sax (2021)

 

DIMEL 1 (2021)

 

COREA: Spain (1971)

 

To Spain του Chick Corea σε PDF.

Υλικό που επεξεργάστηκα από το διαδίκτυο.

Περιέχει χειρόγραφο του Corea  με το θέμα, απόσπασμα από το Aranjuez, που ήταν και πηγή έμπνευσης του κομματιού˙ το κυρίως κομμάτι, έτσι όπως το εξέδωσε ο Corea για πιάνο στις εκδόσεις Litha Music Company το 1972 στη συλλογή “Ten Piano Pieces” και τέλος, τον αυτοσχεδιασμό του, στο album "Light as a Feather" (1971), σε καταγραφή από κάποιον Felicien, δυστυχώς δεν έχω περισσότερα στοιχεία γι’ αυτόν.

Το αρχείο μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

Ο Schoenberg για τους μαθητές του...

Βρήκα σε μια ομάδα, εδώ στο FB, την ακόλουθη δήλωση του Schoenberg˙ την μεταφράζω ελεύθερα αποφεύγοντας να σχολιάσω, μόνο να θυμίσω, ότι ανάμεσα σε αυτούς που είχε αποθαρρύνει ήταν κι ο Cage, ο οποίος σίγουρα είχε το απαραίτητο πάθος…

“Θεωρώ ένα από τα μεγαλύτερα προσόντα μου ως δάσκαλος, την ικανότητά μου να αποθαρρύνω την πλειονότητα των μαθητών μου από το να γίνουν συνθέτες. Από τις εκατοντάδες των μαθητών μου, τελικά, έξι με οκτώ γίνονται συνθέτες. Θεωρώ, ότι αυτοί που χρειάζονται ενθάρρυνση πρέπει να αποθαρρύνονται, έτσι ώστε, μόνον αυτοί για τους οποίους η σύνθεση είναι μια εσωτερική ανάγκη, ένα πάθος, να συνεχίζουν, έστω κι αν έχουν αποθαρρυνθεί χιλιάδες φορές.” (Riggs, 2010, p.19)

*

Η ιστορία με τον Cage πάει κάπως έτσι:

S. Ή θα κάνεις αυτό που σου λέω, ή θα χτυπάς συνέχεια το κεφάλι σου στον τοίχο.

C. Προτιμάω να χτυπάω το κεφάλι μου στον τοίχο.

MOZART: Αllegro in D

To 2018 ένα άγνωστο μέχρι τότε Allegro σε Ρε μείζονα του Mozart αποκτήθηκε από το Salzburg Mozarteum Foundation, από ένα Γάλλο-Ολλανδό μηχανικό, που με τη σειρά του το έχει αποκτήσει τη δεκαετία του ’20 από το Παρίσι. Ειδικοί στη μουσική του Mozart διαβεβαίωσαν, ότι το κομμάτι είναι αυθεντικό, πιθανώς γράφτηκε το 1773, όταν ο Mozart ήταν στο Παρίσι και είναι πιανιστική μεταγραφή κάποιου ορχηστρικού έργου.

Το κομμάτι κατεβάζετε από εδώ.

and on the seventh day He rested... (1998)

 

Dimitri Sykias

and on the seventh day He rested... 

for Piccolo & Marimba

(1998 - rev. 2020)

Finale 98 / Sibelius 2020.8 / NotePerformer 3.3.2 / Logic Pro 10

Ασκήσεις Ανάλυσης Μελωδιών στο ύφος Μπαρόκ

 

Το αρχείο PDF μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

Ο σπουδαστής της Αντίστιξης, πριν ασχοληθεί με τη σύνθεση δύο ή περισσότερων φωνών, καλό θα είναι να μελετήσει την κατασκευή μελωδικών γραμμών σε ύφος μπαρόκ. Αυτές οι μελωδίες ανθολογήθηκαν γι’ αυτόν ακριβώς το σκοπό και προέρχονται αποκλειστικά από έργα του J.S. Bach.

Προτείνουμε τον παρακάτω τρόπο μελέτης:

1. Να παίξετε αρκετές φορές αυτές τις μελωδίες στο πιάνο, σε σημείο που να μπορείτε να τις ανακαλείτε από μνήμης.

2. Να βρείτε την έκταση της κάθε μελωδίας και να γράψετε τον σκελετό της. Ποιες βαθμίδες της κλίμακας χρησιμοποιούνται στο σκελετό της καθεμιάς μελωδίας;

(Σημ. Στην αρχή αφαιρέστε όλους τους ξένους (μη αρμονικούς) φθόγγους. Μετά εντοπίστε τους “βασικούς” φθόγγους που απαρτίζουν τον σκελετό της κάθε μελωδίας. Γι’ αυτήν την εργασία θα πρέπει να εναρμονίσετε τις μελωδίες ή να αναζητήσετε την εναρμόνιση στις πλήρεις παρτιτούρες των έργων. Οι πιο προχωρημένοι σπουδαστές μπορούν να αναλύσουν τις μελωδίες κατά Schenker.)

3. Να σημειώσετε τα μοτίβα που διακρίνετε σε κάθε μελωδία.

4. Βρείτε την κορυφή (climax) κάθε μελωδίας. Πως προσεγγίζεται; Πως εγκαταλείπεται; Υπάρχουν κορυφές που επαναλαμβάνονται, κι αν ναι, γιατί κατά τη γνώμη σας;

5. Εντοπίστε τα πτωτικά σημεία και χαρακτηρίστε τις πτώσεις (π.χ. τέλεια, μισή, κ.τ.λ.) Θα βοηθηθείτε από την πλήρη παρτιτούρα (full score) των έργων από τα οποία προέρχονται τα αποσπάσματα.

6. Χαρακτηρίστε το σχήμα (contour) κάθε μελωδίας (π.χ. αψίδα, ανεστραμμένη αψίδα, γραμμική ανιούσα, κ.τ.λ.) και σχεδιάστε το σε απλό ή μιλιμετρέ χαρτί. Συγκρίνετε μεταξύ τους τα σχήματα των δοσμένων μελωδιών.

7. Βρείτε τα έργα από τα οποία προέρχονται αυτές οι μελωδίες και ακούστε τα ολόκληρα. Αναλύστε αρμονικά τις δοσμένες μελωδίες από την πλήρη παρτιτούρα.

8. Για κάθε μια μελωδία που ακολουθεί συνθέστε μία ανάλογη δική σας. Προσοχή στο ύφος, πρέπει να είναι μπαρόκ.

9. Για τις παραπάνω εργασίες συμβουλευτείτε κλασικά εγχειρίδια αντίστιξης (π.χ. Kennan, Benjamin, Schubert, κ.τ.λ.)

Piano Sonatina 8 (2018)

 

Czerny Variations

Μια από τις παλαιότερες - ήδη από το Μεσαίωνα - και σημαντικότερες τεχνικές μουσικής σύνθεσης είναι αυτή των παραλλαγών. Γενικά, οποιαδήποτε τροποποιημένη / αλλοιωμένη / επεξεργασμένη επανάληψη μιας μουσικής ιδέας εντάσσεται σ’ αυτήν τη τεχνική. Η μουσική ιδέα μπορεί να είναι ένα βάσιμο, ένας αρμονικός σκελετός, ένα μοτίβο, μια φράση, ή ένα θέμα σε διμερή ή τριμερή μορφή. Η τεχνική της παραλλαγής μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε τμήμα ενός έργου ή ως ανεξάρτητη φόρμα όπως στην περίπτωση του “θέματος με παραλλαγές”.

Η τεχνική των παραλλαγών χρησιμοποιείται:

• στο basso ostinato (επίμονο βάσιμο)

• στην Passacaglia (πασακάλια)

• στην Chaconne (σακόν)

• σε διάφορες επεξεργασίες του Λουθηρανικού Χορικού

• στη φόρμα Θέμα & Παραλλαγές

Στο δεύτερο μέρος του "Anleitung zum Fantasieren auf dem Pianoforte", op. 200 ο Czerny δίνει ένα θέμα σε διμερή μορφή ΑΒ - το Β πρέπει να συνθέσει ο σπουδαστής - κι ένα σύνολο παραλλαγών του, όπου δίνεται μόνο η αρχή της καθεμιάς. Λάβετε υπόψη, ότι οι παραλλαγές αυτές προορίζονται για αυτοσχεδιασμό στο πιάνο, σύμφωνα με τη διαδεδομένη πρακτική της εποχής. Εντούτοις, κάλλιστα μπορούν να χρησιμοποιηθούν και ως εργασία στο χαρτί, όπου ο σπουδαστής-συνθέτης μπορεί να χρησιμοποιήσει πιο πολύπλοκες διαδικασίες σύνθεσης.

Συμπλήρωσα το Β της διμερούς μορφής του θέματος και σχεδόν όλες τις παραλλαγές, που την αρχή τους δίνει ο Czerny, πρόσθεσα και μερικές δικές μου.

Αντέγραψα το μέρος του op. 200 που αφορά στις παραλλαγές, το αρχείο μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

Οργανωμένος Καλλιτεχνικός Βίος κατά Satie

 

Ένας καλλιτέχνης πρέπει να διάγει βίο οργανωμένο. Ακολουθείστε τις αναπροσαρμοσμένες στην εποχή μας συμβουλές του Eric Satie, για ορατά αποτελέσματα σε δυο βδομάδες:

07.18: Έγερση, εκτός από τις Τρίτες, όπου η έγερση μετατίθεται στις 03.19.

07.18-07.10: Πρωινό. Αυτό σημαίνει ότι το πρωινό σας, θα βρίσκεται πάντα στο παρελθόν.

07.18-10.23: Χαμένος χρόνος.

10.23-11.47: Έμπνευση-δημιουργία Ι.

11.47-12.11: Ψυχολογική προετοιμασία για το γεύμα.

12.11-12.14: Γεύμα.

12.14-13.19: Χαμένος χρόνος.

13.19-14.53: Χαμένος χρόνος, απασχολούμενοι όμως στο κινητό σας, με τα μέσα κοινωνικής δικτύωσης.

14.53-15.12: Χαμένος χρόνος (καθαρός, χωρίς κινητό).

15.12-16.07: Έμπνευση-δημιουργία ΙΙ.

16.27-18.47: Διάφορες ενασχολήσεις, όπως, ξιφασκία, διαλογισμός, ακινησία (πνευματική-σωματική), κολύμβηση, σκάκι, κέντημα, πλέξιμο, αναβάθμιση των Windows, κ.τ.λ.

18.47-19.16: Ψυχολογική προετοιμασία για το δείπνο.

19.16-19.20: Δείπνο.

19.20-20.09: Χαμένος χρόνος (καθαρός).

20.09-20.59: Μελέτη συμφωνικής μουσικής, τραγουδάμε το μέρος της βιόλας δυνατά, καθαρά και φωνομετρικά.

20.59-10.37: Ψυχολογική προετοιμασία για βραδινή κατάκλιση.

10.37: Κατάκλιση.

Για καλύτερη πνευματική και σωματική απόδοση να τρέφεστε μόνον με λευκές τροφές: ασπράδι αυγού, ζάχαρη, τριμμένα κόκαλα, λίπος νεκρών ζώων, αλάτι, καρύδες, κοτόπουλο μαγειρεμένο σε θαλασσινό αφρό, μούχλα φρούτων, ρύζι, γογγύλια, άσπρο τυρί, σαλάτα βαμβακιού και ορισμένα είδη ψαριών χωρίς την πέτσα, το κεφάλι, το σώμα και την ουρά τους. Να βράζετε το κρασί σας και μετά να το πίνετε κρύο ανακατεμένο με χυμό φούξιας. Να έχετε μια ευχάριστη διάθεση όταν τρώτε, αλλά να μην μιλάτε κατά τη διάρκεια των γευμάτων, υπάρχει κίνδυνος πνιγμού.

Να αναπνέετε προσεκτικά, λίγο-λίγο τη φορά.

Να μην χορεύετε συχνά.

Όταν περπατάτε, να έχετε πάντα κουμπωμένο το πανωφόρι σας και να κοιτάτε σταθερά προς τα πίσω.

Να έχετε πάντα σοβαρή έκφραση στο πρόσωπό σας. Να γελάτε χωρίς τη θέλησή σας και να ζητάτε πάντα συγνώμη στο τέλος.

Να κοιμάστε βαθιά και με το ένα μάτι ανοικτό. Προτιμήστε κυκλικά κρεβάτια, με μια τρύπα στη μέση, όπου θα χώνετε το κεφάλι σας. Κάθε μία ώρα, ο σύντροφός σας, να σας παίρνει την θερμοκρασία και να σας δίνει μια άλλη.

Και μια τελευταία συμβουλή από φίλο ιατρό: να καπνίζετε, αν δεν καπνίσετε εσείς, θα καπνίσει κάποιος άλλος για σας.

Ελεύθερη Ατονική Μουσική

Το ebook μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

Από παλιά συνήθιζα, όταν διάβαζα ένα βιβλίο μουσικής, μαθηματικών, ακόμη και λογοτεχνίας, να κρατώ σημειώσεις. Στην αρχή χειρόγραφες, μετά στο Word, και τώρα πια στο LaTeX. Έτσι λοιπόν, το καλοκαίρι του '18, μετά από τριάντα περίπου χρόνια που το είχα διαβάσει για πρώτη φορά, πήρα να μελετήσω ξανά το εγχειρίδιο του Julian Falk, για την ελεύθερη ατονική μουσική. Ήθελα, για εκπαιδευτικούς κυρίως σκοπούς, να βρω έναν τρόπο να γεφυρώσω την απόσταση ανάμεσα στην τονική αντίστιξη και τη δωδεκάφθογγη τεχνική σύνθεσης, που διδάσκεται, συνήθως, στο πρώτο έτος του αντίστοιχου μαθήματος. Άρχισα πάλι να κρατώ λεπτομερείς σημειώσεις και να λύνω τις ασκήσεις, και μέχρι να τελειώσουν οι διακοπές του καλοκαιριού – με τις διάφορες προσθήκες και διορθώσεις, η εργασία κράτησε μέχρι το φετινό καλοκαίρι του '20 – οι σημειώσεις εξελίχθηκαν, αφενός, σε μια πλήρη μετάφραση του εγχειριδίου, αφετέρου, οι προσθήκες ήταν τόσες πολλές - μάλλον ένα νέο εγχειρίδιο, βασισμένο στη μέθοδο του Falk - χωρίς να χαθεί, πιστεύω, η ουσία του. Κατά τη στοιχειοθέτηση του κειμένου θεώρησα χρήσιμο να προτάξω ένα μικρό εισαγωγικό κεφάλαιο με τις απολύτως βασικές έννοιες της μουσικής του πρώτου μισού του 20oυ αι., καθώς επίσης ορισμούς, αξιώματα και τεχνικές, από την λεγόμενη Μουσική Θεωρία Συνόλων / Music Set Theory (MST) - μέρος μιας ευρύτερης εργασίας για την MST, που περιμένει κάποιο καλοκαίρι για να τελειώσει.

Ποιος συνθέτης έγραψε με βάση την τεχνική που προτείνει ο Falk; Κανείς, εκτός από τον ίδιο τον Falk, όπως επίσης, κανείς συνθέτης δεν έγραψε με βάση το εγχειρίδιο του Krenek για το δωδεκάφθογγο. Διαβάζουμε σε βιογραφίες συνθέτων, που υπηρέτησαν δωδεκάφθογγο και σειραϊσμό: “χρησιμοποίησε το δωδεκάφθογγο με ένα τελείως προσωπικό τρόπο…” Μα, μόνον έτσι μπορείς να χρησιμοποιήσεις αυτές τις τεχνικές, πέραν από κάποια βασικά “αξιώματα” και τεχνικές. Τέτοιου είδους πονήματα, όπως του Falk, θα πρέπει, κατά τη γνώμη μου, να θεωρηθούν ως “γυμναστικές ασκήσεις του νου”, με απώτερο στόχο τη γνωριμία με το νέο υλικό, την εκτίμηση των δυνατοτήτων, αλλά και των περιορισμών του και τη διαμόρφωση μιας οργανωμένης και πειθαρχημένης μουσικής σκέψης. Αν έχεις κατανοήσει και διαχειριστεί τους κανόνες που θέτει κάποιος άλλος (Δάσκαλος ή αξιόπιστος δάσκαλος), τότε πιο εύκολα, με συνέπεια και πληρότητα, θα δημιουργήσεις τους δικούς σου και κατ' επέκταση τη δική σου τεχνική και το προσωπικό  σου ύφος.

Το κείμενο συνοδεύεται από πληθώρα υποσημειώσεων και παραδειγμάτων, έτσι ώστε, κάθε ορισμός, έννοια και τεχνική, να παρουσιάζεται με τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Περιττό να το αναφέρω, ο σπουδαστής που θα αποφασίσει να ακολουθήσει αυτήν την πορεία και θέλει να έχει πρακτικό όφελος, θα πρέπει να ”λύσει” όλες τις προτεινόμενες ασκήσεις.

Κατέβαλα κάθε δυνατή προσπάθεια για να αποφύγω λάθη και παραλείψεις, δυστυχώς όμως αυτά, σαν τη σκοτεινή ύλη, δεν αλληλεπιδρούν πάντα μ' αυτόν που γράφει για να μπορέσει να τα διορθώσει…

Το κείμενο στοιχειοθετήθηκε με XeLaTeX και τα μουσικά παραδείγματα με το πρόγραμμα σημειογραφίας Avid Sibelius® Ultimate. Όσο επιτρέπουν οι γνώσεις μου σε κώδικα, προσπάθησα για μια καλαίσθητη παρουσίαση του κειμένου.

Ας μου επιτραπεί να αφιερώσω αυτήν μου την εργασία στη μνήμη του αγαπημένου δασκάλου μου Θόδωρου Αντωνίου˙ σίγουρα το κείμενο θα ήταν κατά πολύ καλύτερο, αν είχε προλάβει να το διαβάσει.

Δημήτρης Συκιᾶς

Σεπτέμβριος 2020

Να και μια μικρή άσκηση γραμμένη με αυτήν τη μέθοδο:

Περί Εξωγήινων

 Παίρνοντας αφορμή από μια ανάρτηση φίλου και τον ευρύτερο ορισμό της ζωής από τη NASA ως “lyfe” συγκεντρώνω όσα ξέρω για τους εξωγήινους: 

1. Στα 13,8 δις χρόνια ύπαρξης αυτού του κόσμου, δεν αποκλείεται η ζωή να εμφανίστηκε για πρώτη φορά στη Γη. Από κάπου δεν έπρεπε να αρχίσει;

2. Αναζητούμε “life” ή “lyfe” σύμφωνα με το νεότερο ορισμό της ζωής; Αν η εξωγήινη ζωή δεν έχει ως βάση τον άνθρακα, αλλά τη σιλικόνη ας πούμε, τότε, ίσως είναι δύσκολο να την αναγνωρίσουμε. Υπάρχει σχετικό επεισόδιο στο Star Treck και γενικά, για την επικοινωνία μας με εξωγήινους έχουν γράψει ευφάνταστα οι Asimov, Sagan, Lem και πολλοί άλλοι.

3. Στην περίπτωση που όντως υπάρχουν παράλληλοι κόσμοι, τότε, πιθανώς να είναι αδύνατη η επικοινωνία μεταξύ τους και κάθε κόσμος μπορεί να εμφανίζει μόνο μια φορά ζωή. Δείτε τις σειρές Fringe, Counterpart και Dark.

4. Παραλλαγή του (3): κόσμος πολλών διαστάσεων (όχι αυτές τις θεωρίας χορδών), που σφύζει από ζωή σε ανώτερες χωρικές διαστάσεις, αλλά εμείς δεν μπορούμε να επικοινωνήσουμε μαζί τους, παρά μόνον, ίσως, σε ειδικές περιπτώσεις (εδώ ανήκουν, αν υπάρχουν, και οι αρχάγγελοι, άγγελοι, δαιμόνια, φαντάσματα και γενικά όλος ο θίασος της Σολομωνικής).

5. Η περίπτωση του “ζωολογικού κήπου”: οι εξωγήινοι μας παρακολουθούν σαν περίεργα ζώα σε ζωολογικό κήπο, αλλά εμείς δεν έχουμε, καλύτερα δεν επιτρέπουν, καμιά επικοινωνία μαζί τους.

6. Κανένας πολιτισμός της κλίμακας Kardashev 2 ή 3 δεν θέλει να επικοινωνήσει με ένα πολιτισμό της τάξης του 0,72, που είμαστε εμείς.

7. Προηγμένοι πολιτισμοί μας θεωρούν “κατσαρίδες”. Ποιος θα ήθελε πάρε δώσε με κατσαρίδες;

8. Η Γη βρίθει από εξωγήινους: greys (γκρίζοι), Hopkinsville goblin, little green men (πράσινα ανθρωπάκια), Nordic aliens, cryptozoological animals (το τέρας του Λοχνές), reptilians και reptiloids (ερπετόμορφοι, ερπετοειδείς και αλλομορφικοί˙ σύμφωνα με τον συνομωσιολόγο David Vaughan Icke, τις προδιαγραφές πληρούν ανάμεσα σε άλλους: η βασίλισσα της Αγγλίας, η οικογένεια Bush και γενικά όσοι κατάγονται από τη φράγκικη δυναστεία των Μεροβίγγειων, η οποία έλκει την καταγωγή της από τον Χριστό! - σύμφωνα με τον Dan Brown), επίσης, όντα τα οποία είναι αποτελέσματα γενετικών πειραμάτων (πληροφορίες από την αγγλική Βικιπέδεια και το Quora).

9. Ισχύει ό,τι λέει η Αγία Γραφή! Η επιστήμη λέει άλλα και είναι σωστά μεν, αλλά ο Θεός μας παραπλανά για να δοκιμάσει την πίστη μας. Θεωρία των Ομφαλιστών (όχι των ομφαλοσκόπων / ησυχαστών του Γρηγόριου Παλαμά) και η θεωρία της Περασμένης Πέμπτης. Στην περίπτωση αυτή εγείρεται μεγάλο θεολογικό πρόβλημα, διότι ο θεός εμφανίζεται ως “ζαβολιάρης”.

10. Η ζωή αναπτύχθηκε εκτός της Γης. Θεωρία της Πανσπερμίας με τις πολλές παραλλαγές της, φιλοσοφικές και επιστημονικές (Αναξαγόρας, Berzelius, Kelvin, von Helmholz, Arrhrenius, ακόμη και Hawking). “Η ζωή μεταδίδεται από πλανήτη σε πλανήτη και από ηλιακό σύστημα σε ηλιακό σύστημα με τη βοήθεια των μετεωριτών."

11. Εμείς είμαστε οι εξωγήινοι. Τουλάχιστον ο Stockhausen ήταν, ήρθε από τον Σείριο για να μας μάθει μουσική και επέστρεψε σ’ αυτόν το 2007: "I was educated at Sirius and want to return to there, although I am still living in Kürten near Cologne." (2007)

12. Τέλος, η αγαπημένη μου θεωρία (simulation hypothesis): δεν είμαστε το βιολογικό επίπεδο μηδέν “0”, αλλά εικονικά / virtual κατασκευάσματα ενός ανώτερου πολιτισμού (μπορείτε να τον ταυτίσετε και με τον Θεό, εδώ έχει μεγάλο ενδιαφέρον η θεωρία περί της Γένεσης του Κόσμου των Γνωστικών και οι δημοφιλείς στην εποχή μου θεωρίες τού Δον Χουάν). Γενικά, όλος ο κόσμος που παρατηρούμε είναι εικονικός. Η σκέψη αυτή πάει πιο πίσω και από τους αρχαίους Έλληνες (Ανάξαρχος ο Αβδηρίτης (380 – 320 π.Χ.) και Μελέαγρος Μόνιμος ο Συρακούσιος (4ος αι. π.Χ.)). Έγινε της μόδας από τον Σουηδό φιλόσοφο Nick Bostrom.

GOUNOD - Marche Funèbre d'une Marionnette

Το “Πένθιμο Εμβατήριο μιας Μαριονέτας” (Marche Funèbre d'une Marionnette) είναι ένα μικρό έργο για σόλο πιάνο του Γάλλου συνθέτη Charles-François Gounod (1818-1893). Το ενορχήστρωσε το 1879. Το κομμάτι χρησιμοποιήθηκε στην ταινία “Sunrise” του 1927, όπου και το πρωτάκουσε ο Alfred Hitchcock και το έκανε διάσημο, όταν με τη σειρά του το χρησιμοποίησε ως μουσική τίτλων, στην επί μια δεκαετία τηλεοπτική του εκπομπή, “Alfred Hitchcock Presents”.

Αφορμή για τη σύνθεση του κομματιού ήταν η προσωπικότητα του μουσικοκριτικού, κριτικού τέχνης, συγγραφέα και εκδότη Henry Fothergill Chorley (1808-1872). Μεταξύ του 1871 και 72, ο Gounod εγκατεστημένος στο Λονδίνο, άρχισε να γράφει μια σατυρική σουίτα για πιάνο, όπου θα διακωμωδούσε τον Chorley. Σκοπός του ήταν να εκδώσει το έργο και να το αφιερώσει στον μουσικοκριτικό, πριν όμως ολοκληρωθεί, ο Chorley πέθανε. Τελικά ο Gounod ολοκλήρωσε μόνο το συγκεκριμένο κομμάτι κι εγκατέλειψε την ιδέα της πιανιστικής σουίτας. Το αφιέρωσε στην Madame Viguier, πιανίστα και σύζυγο του Alfred Viguier, εξάρχοντα βιολιστή στην Orchestre de la Société des Concerts du Conservatoire.

Την παρτιτούρα για πιάνο δακτυλοθετημένη μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ. Έφτιαξα ένα εξώφυλλο που να θυμίζει εκδόσεις εκείνης της εποχής.

la vérité par la lumière naturelle (2020)

Έγραψα αυτό το κομμάτι για δύο VST πιάνα (Pianoteq 6, C.Bechstein DG D282) χρησιμοποιώντας δύο “συμπληρωματικά” χορδίσματα, με την έννοια ότι ο μέσος όρος των τιμών κάθε ζεύγους ομώνυμων φθόγγων ισούται με την ισοσυγκερασμένη τιμή (π.χ. γοα το Ρε: 133,3c και 266,6c). Χρησιμοποίησα για την κατασκευή τους την ακολουθία Fibonacci και τα ονόμασα FIBO 1 & 2. Το φθογγικό υλικό προέκυψε από αλγοριθμική επεξεργασία (με το Opusmodus) της σειράς που χρησιμοποίησε ο A. Webern στις Παραλλαγές op.27 για πιάνο. Ο ρυθμός είναι ελεύθερος. Ο τίτλος προέρχεται από έναν ανολοκλήρωτο διάλογο του Καρτέσιου, που εκδόθηκε το 1701.

Piano Sets

Piano Set I (1985 / rev.2000)

   

* * *

 Piano Set II (1992-95)

Μικρές Ιστορίες 48: Rebel και Penderecki

Είναι κοινό μυστικό, ότι το 1736 ένας μηχανικός και ερασιτέχνης μαθηματικός, του οποίου το όνομα έσβησαν από την ιστορία οι μυστικές δυνάμεις που κυβερνούν τον κόσμο, εφευρίσκει μια χρονομηχανή. Ας τον λέμε Χ. Τυχαίνει να είναι φίλος με τον επαναστάτη συνθέτη Jean-Féry Rebel, ο οποίος, ρηξικέλευθο πνεύμα όπως ήταν, δέχεται να δοκιμάσει την εφεύρεση. Ο Χ ρυθμίζει τη χρονική συνιστώσα στις 24 Οκτωβρίου του 1970 και τις χωρικές να βγάζουν, διαβολεμένη τύχη, στο United Nations Headquarters της Νέας Υόρκης. Ο Jean-Féry εντυπωσιάζεται από τη Νέα Υόρκη του 20ου αι. Εντύπωση του κάνουν οι θόρυβοι της πόλης, τους οποίους προσπαθεί να καταγράψει με νότες στο μουσικό του αϊπάδιο˙ η κλίμακα με τα 57 “ημιτόνια” που είχε μόλις εφεύρει τον βοηθά σ’ αυτό. Η ματιά του πέφτει σε μια αφίσα, με τα λίγα αγγλικά που είχε μάθει από μια Αγγλίδα, νεανικό του έρωτα, καταλαβαίνει ότι πρόκειται για μια συναυλία, όπου θα παιχτεί ένα έργο με τίτλο “Κοσμογονία”, του συναδέλφου του Κ. Penderecki. Ακόμη γράφουν μουσική τον 20ο αι.; αναρωτιέται…

Το βράδυ στις 8, έχοντας ενεργοποιήσει την αορατοκάλυψη, έξτρα γκατζετάκι του Χ, μπαίνει στην αίθουσα. Εντυπωσιάζεται από την πολυπληθή ορχήστρα και χορωδία. Τα 24 βιολιά του βασιλιά είναι ένα τίποτα μπροστά της σκέφτηκε, κι ο ξερόλας κι αντιπαθητικός Lully καυχιέται γι’ αυτά.  Ξεκινά το έργο, ξεπερνά γρήγορα το αρχικό σοκ κι αρχίζει να καταγράφει μανιωδώς τις νότες στο αϊπάδιο. Αχ! και να’ χε τελειοποιήσει ο Χ τη ζωντανορυακοποίση (κάτι σαν το δικό μας live streaming) και να έστελνε τα δεδομένα στο σπίτι του μέσω των ακασικών πεδίων…

Με το που τελείωσε το έργο, πατά το κουμπί της χωροχρονικής επαναφοράς. Τον βρίσκουμε τώρα σπίτι του να καταγράφει και να επεξεργάζεται πυρετωδώς τις σημειώσεις του στο “Ιωνικόν”, το νέο πρόγραμμα μουσικής σημειογραφίας του Χ. Για να μην τον κατηγορήσουν οι επόμενες γενιές για κλοπή πνευματικής ιδιοκτησίας, ονομάζει το έργο του “Elemens” και το πρώτο μέρος “Χάος”.

Το 1737 παίχτηκαν τα “Elemens” του Rebel. Τη συναυλία παρακολούθησε στα κρυφά ο Πολωνός συνθέτης Penderecki, ο οποίος με το που γύρισε στην Κρακοβία άρχισε να επεξεργάζεται πυρετωδώς τις σημειώσεις που κράτησε από το έργο του Rebel. Για να μην τον κατηγορήσουν οι επόμενες γενιές για κλοπή πνευματικής ιδιοκτησίας, ονομάζει το έργο του “Κοσμογονία”.

Piano Notebook III (2011-2019)

Δώδεκα σημειώσεις για πιάνο (2011-2019)

Μαθηματικά για Μουσικούς: Αριθμοσύνολα Ι

Το αρχείο μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

Η σειρά σημειώσεων μαθηματικών για μουσικούς, γράφτηκε ή μάλλον γράφεται, για τους σπουδαστές της μουσικής και γενικότερα για τους μουσικούς, που είτε δεν έδωσαν την πρέπουσα σημασία όταν τα διδάχτηκαν είτε έχουν λησμονήσει όρους, έννοιες και τεχνικές των μαθηματικών. Σκοπό έχει να λειτουργήσει ως θεωρητικό ελάχιστο γι’ αυτούς που θέλουν να ασχοληθούν με τομείς της μουσικής, που εμπλέκονται τα μαθηματικά, όπως η μουσική θεωρία συνόλων (set theory), διάφορα είδη μουσικής ανάλυσης και η αλγοριθμική σύνθεση.

Έχει καταβληθεί κάθε προσπάθεια, όσο είναι βέβαια αυτό δυνατόν, να εξηγείται κάθε έννοια, χωρίς να υπάρχουν προαπαιτούμενες γνώσεις, εκτός από αυτές, που θα χαρακτηρίζαμε ως γυμνασιακές. Όταν συμπληρωθούν όλα τα τεύχη, μια τέτοια φιλοδοξία θα είναι πιο εφικτή. Σε καμιά περίπτωση πάντως αυτές οι σημειώσεις δεν μπορούν να αντικαταστήσουν εγχειρίδια γραμμένα από επαγγελματίες μαθηματικούς, κι αυτός είναι ένας απώτερος στόχους τους, να ανοίξουν δηλαδή το δρόμο για περαιτέρω μελέτη και εμβάθυνση.

Στο Τεύχος ΙV.1 γίνεται μια γενική συζήτηση για την έννοια του αριθμού, της αρίθμησης και εκτίθενται τα διάφορα αριθμοσύνολα, φτάνοντας μέχρι την έννοια του απείρου και τους υπερπεπερασμένους αριθμούς. Στο Τεύχος IV.2 γίνεται μια πιο λεπτομερής, ακριβής και πιο πρακτική έκθεση των αριθμοσυνόλων και των ιδιοτήτων τους.

Μικρές Ιστορίες 47: Το Ξενοδοχείο Η

Κάπου στην εικονική Θούλη φτάνει μια χειμωνιάτικη νύχτα, μεσάνυχτα, μ' ένα παλιό εικονικό σκαραβαίο, ο Κ.

Δεν ξέρουμε τίποτα άλλο γι' αυτόν κι ούτε πρόκειται να μάθουμε μέχρι το τέλος αυτής της ιστορίας. Δοκιμάζει τη τύχη του στα πρώτα δύο-τρία ξενοδοχεία που βρίσκονται στο κεντρικό δρόμο της Θούλης χωρίς τύχη, όλα είναι πλήρη.

Ένας ευγενικός ξενοδόχος, του συστήνει να πάει έξω από την πόλη, στο ξενοδοχείο Η, εκεί θα βρει σίγουρα δωμάτιο.

Μετά από ώρα κι αφού περιπλανήθηκε στους δαιδαλώδεις δρόμους των συνοικιών της Θούλης, ο Κ. βλέπει ένα δυσανάλογα μεγάλο Η από νέον να αναβοσβήνει στην είσοδο ενός περίεργου κτιρίου. Στη ρεσεψιόν ένας ηλικιωμένος κύριος μ' ένα ταμπελάκι που γράφει Ξ. στην αριστερή πλευρά του μάλλον φτηνού σακακιού του, τον χαιρετά:

Ξ. Καλώς ήρθατε. Πως θα μπορούσα να σας εξυπηρετήσω;

Κ. Θα ήθελα ένα δωμάτιο για απόψε σας παρακαλώ.

Ξ. Παρόλο που το ξενοδοχείο μας έχει άπειρα δωμάτια, κάτι που δεν νομίζω να βρείτε πουθενά αλλού στο γαλαξία μας, εντούτοις, είμαστε πλήρεις.

Κ. Κι εσείς; Από τα μεσάνυχτα ψάχνω δωμάτιο και κοντεύει να ξημερώσει.

Ξ. Μην σας απασχολεί, θα σας εξυπηρετήσω αμέσως.

Κ. Μα μόλις είπατε… Θα διώξετε κάποιον; Δεν θα το ήθελα.

Ξ. Όχι, όχι, είναι απλό, μιας και το ξενοδοχείο μας έχει άπειρα δωμάτια, απλά θα ζητήσω από τον πελάτη 1 του δωματίου 1 να μετακομίσει από το 1 στο 2, τον πελάτη του δωματίου 2 να μετακομίσει από το 2 στο 3 και – με παρακολουθείτε; – από τον πελάτη του δωματίου ν να μετακομίσει στο δωμάτιο ν+1.

Κ. Σας παρακολουθώ. Αρκετά έξυπνο, θα πρέπει όμως να ζητήσετε από τους πελάτες σας να μετακινηθούν όλοι ταυτόχρονα, αλλιώς, αν μετακινούνται ένας-ένας θα χρειαστούμε άπειρο χρόνο κι έχω δυο μέρες να κοιμηθώ.

Ξ. Εύστοχη η παρατήρησή σας, ακριβώς έτσι θα γίνει, υπάρχει ειδικός μηχανισμός αυτόματης μετακίνησης πελατών.

Κ. Μια στιγμή, επειδή μου κίνησε το ενδιαφέρον, εντάξει μ' αυτό, ας υποθέσουμε όμως, ότι τώρα που μιλάμε έρχονται 7 νέοι πελάτες, τι θα κάνετε;

Ξ. Ας το γενικεύσουμε και μετά θα απαντήσω και ειδικά στην ερώτησή σας. Υποθέτουμε λοιπόν, ότι καταφθάνουν ν πελάτες στο ξενοδοχείο μας, θα ζητήσω τότε από κάθε ήδη υπάρχοντα πελάτη, έστω του δωματίου νούμερο κ, να μετακινηθεί στο δωμάτιο ν+κ.

Κ. Κατάλαβα, απαντώ μόνος μου στην ερώτησή μου: αν έρθουν 7 νέοι πελάτες, θα ζητήσετε απ' αυτόν του δωματίου 1 να μετακινηθεί στο δωμάτιο 1+7, στο δωμάτιο 8 δηλαδή, κι απ' αυτόν που ήδη βρίσκεται στο 10 ας πούμε, να μετακινηθεί στο 10+7=17.

Ξ. Έξοχα! Αυτό ακριβώς θα κάνω.

Κ. Μου κινήσατε την περιέργεια ακόμη περισσότερο και θα σας ρωτήσω κάτι εξωπραγματικό.

Ξ. Στη Θούλη, μόνο εξωπραγματικά πράγματα συμβαίνουν αγαπητέ μου!

Κ. Ωραία λοιπόν! Ας υποθέσουμε ότι έξω από το ξενοδοχείο σας περιμένουν άπειροι το πλήθος πελάτες να βολέψετε, τι θα κάνετε; Θα τους διώξετε, γιατί σας τελείωσαν τα κόλπα με τα άπειρα δωμάτιά σας;

Ξ. Καταρχάς μου άρεσε η έκφραση "άπειροι το πλήθος", είναι ωραίο οι άνθρωποι να εκφράζονται με ακρίβεια, κάτι που λείπει στις μέρες μας. Όσο για τα κόλπα μας – δεν μου άρεσε πολύ σαν λέξη αυτή, αλλά τέλος πάντων – τα κόλπα μας λοιπόν, με τα άπειρα δωμάτια, είναι άπειρα ή… περίπου.

Κ. Και τι θα κάνετε λοιπόν;

Ξ. Θα ζητήσω από κάθε ένοικο του δωματίου κ να μετακινηθεί στο δωμάτιο 2κ, έτσι ώστε, όλοι οι ήδη υπάρχοντες πελάτες να εγκατασταθούν σε δωμάτια με άρτιο αριθμό. Μένουν άδεια, όπως καταλαβαίνετε τα περιττά δωμάτια, τα 1,3,5,… , εκεί θα φιλοξενηθούν οι άπειροι νέοι πελάτες μας.

Κ. Κατάλαβα.

Ξ. Φοβάμαι ότι ακόμη δεν έχετε συλλάβει πλήρως τις δυνατότητες του ξενοδοχείου μας.

Κ. Τι εννοείται;

Ξ. Θα σας θέσω εγώ ένα πρόβλημα, που αντιμετώπισα με επιτυχία, πριν από μερικούς άπειρους μήνες: φανταστείτε λοιπόν, ότι καταφθάνει στο ξενοδοχείο μας ένας άπειρος αριθμός λεωφορείων από τη γειτονική χώρα των Αριμασπών, όπου το καθένα έχει άπειρες θέσεις και είναι και πλήρες!

Κ. Το λύσατε;

Ξ. Είπα ότι το αντιμετώπισα με επιτυχία, άρα την απάντηση την έχετε ήδη.

Κ. Και τι κάνατε;

Ξ. Είστε σίγουρος ότι θέλετε να χάσετε τον ύπνο σας;

Κ. Ναι, με τρώει η περιέργεια.

Ξ. Λοιπόν, να θα γράψω σ' αυτό το χαρτί τη λίστα των ενεργειών μου:

• Αρίθμησα τα λεωφορεία 1,2,3,… και τις θέσεις κάθε λεωφορείου με 1,2,3,…
• Ζήτησα, όπως έκανα και προηγουμένως, από κάθε ήδη υπάρχοντα ένοικο με αριθμό δωματίου κ, να μετακινηθεί στο δωμάτιο 2κ , καλύφθηκαν έτσι όλα τα άρτια δωμάτια.
• Ζήτησα επίσης, από τον επιβάτη του λεωφορείου 1 με αριθμό θέσης 1, να εγκατασταθεί στο δωμάτιο 3, απ' αυτόν με αριθμό θέσης 2 να βολευτεί στο δωμάτιο 3²=9, να μην συνεχίσω…, όπως καταλαβαίνετε, ο επιβάτης του λεωφορείου 1 με αριθμό θέσης ν, εγκαταστάθηκε στο δωμάτιο 3^ν . Όλες οι δυνάμεις του 3 είναι περιττές και με τη διευθέτηση που έκανα πριν, όλα τα δωμάτια με περιττό αριθμός είναι άδεια.

Κ. Μέχρις εδώ καλά, έχετε όμως άπειρα άλλα λεωφορεία με άπειρους επιβάτες να εξυπηρετήσετε…

Ξ. Μην είστε βιαστικός, μέχρις εδώ το καταλάβατε;

Κ. Μάλιστα, συνεχίστε.

Ξ. Πάμε στο λεωφορείο 2 λοιπόν. Συνεχίζω τη λίστα ενεργειών μου:

• Ο επιβάτης του λεωφορείου 2 με αριθμό θέσης 1 εγκαθίσταται στο δωμάτιο 5, αυτός με αριθμό θέσης 2, στο δωμάτιο 5²=25 και γενικά, αυτός με αριθμό θέσης ν, στο δωμάτιο 5^ν.

Κ. …

Ξ. Δεν λέτε τίποτα;

Κ. Είπατε να μην διακόπτω. Σκέφτομαι…

Ξ. Τι σκέφτεστε;

Κ. Οι αριθμοί 3 και 5 που επιλέξατε είναι πρώτοι.

Ξ. Σωστά, για συνεχίστε…

Κ. Δώστε μου το χαρτί με τη λίστα, να:

• Ο επόμενος πρώτος είναι ο 7, θα τον χρησιμοποιήσουμε για το λεωφορείο 3 και ο επιβάτης με θέση ν, θα εγκατασταθεί στο δωμάτιο 7^ν.
• Γενικά και για να μην πολυλογούμε, εκείνο που κατάλαβα είναι, ότι επιβάτης του λεωφορείου μ με αριθμό θέσης ν, θα εγκατασταθεί στο δωμάτιο p^ν , όπου p είναι ο (μ+1)-στός πρώτος.

Ξ. Ενεός! Είστε πολύ έξυπνος.

Κ. Ευχαριστώ! υπερβολές. Εκείνο που δεν κατάλαβα, για να είμαι ειλικρινής, είναι το γιατί αυτή η μέθοδος “δουλεύει”. Ποιος μας εγγυάται ότι όλα αυτά τα δωμάτια είναι άδεια;

Ξ. Χμ… πριν πολλά χρόνια, στον υλικό κόσμο, υπήρχε ένας πλανήτης που τον έλεγαν Γη. Εκεί έζησε ένας πολύ έξυπνος άνθρωπος και πολύ μεθοδικός, που τον έλεγαν Ευκλείδη. Ο Ευκλείδης λοιπόν, απέδειξε ότι κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με ένα και μοναδικό τρόπο!

Κ. Ναι, καταλαβαίνω τώρα. Οι νέοι ένοικοι θα εγκατασταθούν σε ένα δωμάτιο x, που θα είναι δύναμη ενός πρώτου, κι αυτό το x θα είναι μοναδικό, όπως είπε ο Ευκλείδης. Για παράδειγμα, ο επιβάτης 7 του λεωφορείου 1, θα εγκατασταθεί στο δωμάτιο 3⁷=2187 . Δεν είναι δυνατόν επιβάτης του ίδιου ή άλλου λεωφορείου να εγκατασταθεί στο ίδιο δωμάτιο˙ να, ο επιβάτης 7 του λεωφορείου 2, θα εγκατασταθεί στο δωμάτιο 5⁷=78125 και προφανώς το 3⁷ δεν είναι ίσο με το 5⁷.

 Ξ. Μένω έκπληκτος με την οξυδέρκειά σας.

Η συζήτηση έχει συνεπάρει τους δυο άντρες.

Ο Ξ. προτείνει στον Κ. ένα ποτήρι ακριβό μαλτ κι αυτός το δέχεται ευχαρίστως. Τώρα η κούραση κι η αϋπνία του Κ. έχουν δώσει τη θέση τους σ' αυτήν τη λεπτή διανοητική ηδονή που νιώθει κανείς, όταν ασχολείται με τέτοια θέματα.

Εκεί που γεύονται σιωπηλοί το μαλτ με μικρές γουλιές, πλησιάζει μια γυναίκα ντυμένη στα μαύρα, γύρω στα τριάντα, αν κι αυτές τις μέρες είναι δύσκολο να προσδιορίσει ηλικία κανείς, με ξανθά μαλλιά και ω! τι παράξενο, με διάφανα μάτια!

Γ. Συγνώμη που διακόπτω…

Ξ. Παρακαλώ! Ευχαρίστησή μας!

Γ. Άκουσα άθελά μου τη συζήτησή σας κι έχω μια απορία.

Ξ. Στη διάθεσή σας, για όποια απορία έχετε, πεπερασμένη ή άπειρη.

Γ. Ευχαριστώ! Ας υποθέσουμε ότι στη Θούλη έρχονται άπειρα μεταγωγικά διαστημόπλοια και το καθένα μεταφέρει άπειρα λεωφορεία με άπειρους επιβάτες σε κάθε λεωφορείο. Θα μπορέσετε να τους εξυπηρετήσετε;

Ξ. Α! κι αυτό το πρόβλημα το έχω λύσει…

Κ. E, αφήστε μου λίγο χρόνο να σκεφτώ κι εγώ!

Ο Ξ. κατάλαβε ότι ο Κ. ήθελε να εντυπωσιάσει την Γ. και σώπασε διακριτικά.

Κ. Ωραία, για πείτε, δεν μπορώ να σκεφτώ κάτι.

Ξ. Θα ακολουθήσουμε την προηγούμενη πρακτική. Σε κάθε επιβάτη θα αντιστοιχήσουμε τρεις αριθμούς: έναν για το διαστημόπλοιο που τον μετέφερε, έναν για το λεωφορείο που επιβαίνει και έναν για τη θέση που κάθεται στο λεωφορείο. Ξεκινάμε μεταφέροντας όλους τους ήδη υπάρχοντες ενοίκους του ξενοδοχείου σε δωμάτια που φέρουν άρτιο αριθμό, όπως κάναμε και προηγουμένως δηλαδή.

Κ. Παρακαλώ, αφήστε με να συνεχίσω… το βρήκα!

Ξ. Ναι βέβαια, κανένα πρόβλημα.

Κ. Λοιπόν, που είχαμε μείνει… α, ναι. Θεωρείστε, ωραία μου κυρία, ότι ο επιβάτης που ήρθε με το διαστημόπλοιο κ, επέβαινε στο λεωφορείο μ και καθόταν στη θέση ν. Βρίσκουμε τον (μ+1)-στό πρώτο, τον ονομάζουμε p και τον υψώνουμε στη δύναμη που μας δείχνει ο αριθμός θέσης του επιβάτη, δηλαδή p^ν . Τώρα, παίρνουμε τον αριθμό του διαστημοπλοίου κ, βρίσκουμε τον (κ+1)-στό πρώτο, τον ονομάζουμε q και τον υψώνουμε στον αριθμό που βρήκαμε πριν. Γ. Δηλαδή ο ν επιβάτης του μ λεωφορείου που ήρθε με το κ διαστημόπλοιο, θα εγκατασταθεί στο δωμάτιο q^pν .

Ξ. Ο κύριος το εξέθεσε το επιχείρημα με σαφήνεια και ακρίβεια στη γενική του μορφή. Επιτρέψτε μου ένα αριθμητικό παράδειγμα, διότι μπορεί να μην είμαι και το πιο μετριόφρων ολόγραμμα στη Θούλη, αλλά από τη φύση μου είμαι γρήγορος στις πράξεις: αν ο επιβάτης με αριθμό θέσης 3 έφτασε με το διαστημόπλοιο 2 και το λεωφορείο 4, θα εγκατασταθεί στο δωμάτιο 5¹¹³ . Ξέρετε τι νούμερο έχει αυτό το δωμάτιο;

Γ. Επειδή κι εγώ τα πάω καλά με τους αριθμούς, για περιμένετε λιγάκι… λοιπόν, θα εγκατασταθεί στον αριθμό δωματίου:

2133417097383300885828922149388295869002691681447630473377065869045726 3777039563551460457961823131831723126626368062335526244502659302257298 8249741034525826204478941248881599704447567317342020769690774856744018 4380255965021845313052035575268682024106273260281112335991524283602073 4637928973924123599318742331849666769670940204962762324067886767586664 2275079668414209076926647520518428349430205084787158430531857881151071 2032039285787324104334818932872723389624639118815021819448191139994100 0838178538428713005707712823105876802741249521253894186038932392011289 9209637323380566365531664614975048029328931870230876872041677274158231 3491044372794221496842850947810669298268231887200065686015007197982913 7011970606035496361468529625438307654814790729779729540504425506222432 3860081838202481712691472223220429859783328546270031462938397755954388 7202857905475321080841239960790045479357636656653381124204571506197680 719196796417236328125

Οι Ξ. και Κ. στάθηκαν να κοιτούν έκπληκτοι την Γ.

Ξαφνικά ο Ξ. πετάγεται από τη θέση του και λέει σιγανά:

Ξ. Ο κύριος Η. ο ιδιοκτήτης του ξενοδοχείου.

Η. Είναι πολύ ενδιαφέρον που ασχολείστε με τέτοια θέματα, για άλλους δεν έχουν καμιά αξία. Ο αγαπητός και λαλίστατος Ξ. παρουσίασε όλες τις λύσεις αυτών των περίεργων προβλημάτων ως δικές του, η ιστορική αλήθεια όμως είναι άλλη. Για χρόνια απασχολούσαν τους ξενοδόχους κάτω στη Γη τέτοιου είδους προβλήματα, μάλιστα ένας διάσημος ξενοδόχος του παρελθόντος έλεγε ότι τέτοιου είδους ιδέες αξίζουν να συζητιόνται μόνο στα καφενεία, γιατί δεν έχουν καμιά πρακτική αξία, ώσπου ένας άλλος συνάδελφος, ο αξέχαστος κύριος C., μας έμαθε τον τρόπο να εξυπηρετούμε απειροπελάτες. Μπορούμε να εξυπηρετήσουμε πεπερασμένο αριθμό άπειρων διαστημοπλοίων που μεταφέρουν άπειρο αριθμό λεωφορείων με άπειρο αριθμό επιβατών, ακόμη και πεπερασμένο αριθμό άπειρων διαστημοπλοίων που μεταφέρουν άπειρα διαστημόπλοια που μεταφέρουν… Εκείνο που δεν μπορούμε να κάνουμε είναι να εξυπηρετήσουμε πελάτες άπειρων άπειρων διαστημοπλοίων…

Γ. Και πως είμαστε σίγουροι, ότι ο επιβάτης του κ₁ διαστημοπλοίου, του λ₁ λεωφορείου, που κάθεται στη θέση ν₁ δεν θα μοιραστεί το ίδιο δωμάτιο με τον επιβάτη του του κ₂ διαστημοπλοίου, του λ₂ λεωφορείου, που κάθεται στη θέση ν₂;

Η. Το εξήγησε πριν ο κύριος Ξ. κι ο Ευκλείδης το επιβεβαιώνει. Θα το αποδείξουμε με την παλιά, καλή μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Αν οι δύο διαφορετικοί επιβάτες μοιραστούν το ίδιο δωμάτιο, τότε θα ισχύει… για δώστε μου το χαρτί που γράφατε πριν κύριε Ξ.… λοιπόν, δείτε, θα ισχύει: q₁^p₁ν₁=q₂^p₂ν₂, όπου p₁ o (λ₁+1)-οστός πρώτος και q₁ o (κ₁+1)-οστός πρώτος. Από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής, θα έχουμε: q₁=q₂→ p₁^ν₁→ p₂^ν₂→ ν₁=ν₂, ν₁=ν₂ όμως σημαίνει ότι πρόκειται για τον ίδιο επιβάτη, πράγμα άτοπο, διότι υποθέσαμε ότι οι επιβάτες είναι διαφορετικοί. Όπως καταλαβαίνετε…

O Κ. τον διέκοψε αγενέστατα και είπε στην Γ.

Κ. Μήπως θα θέλατε… κι αυτή απάντησε ναι.
_________________________________________________

Το λεγόμενο ξενοδοχείο του Hilbert είναι η ιστορία ενός φανταστικού ξενοδοχείου με άπειρα δωμάτια, που σκοπό έχει να δείξει τις παράξενες ιδιότητες του απείρου. Από το 1970 και μετά έχει χρησιμοποιηθεί σε πολλά επιχειρήματα που αφορούν εκτός από τα μαθηματικά, τη φιλοσοφία και τη θεολογία. Δεν είναι απόλυτα σίγουρο αν ο ίδιος ο Hilbert πρότεινε αυτό το νοητικό πείραμα, σε μια διάλεξή του τον Ιανουάριο του 1924, ή όχι, μπορεί απλά να πρόκειται για μια ιστορία που ανήκει στο μαθηματικό φολκλόρ. Η ιστορία αυτή έγινε ευρέως γνωστή το 1947, όταν  George Gamow την περιέλαβε σε ένα βιβλίο του και μερικοί πιστεύουν ότι τελικά είναι δικής του επινόησης.

Τεχνική Ηoquetus

(Προτείνω να διαβάζετε το κείμενο παράλληλα με το βίντεο και να ακούτε πρώτα κάθε παράδειγμα.)

“Ηoquetus / Hoquet / Hocket” σημαίνει “λόξιγκας” και η συνθετική αυτή τεχνική πάει πίσω στο Μεσαίωνα. Άκουσα για πρώτη φορά για τη σύγχρονη εφαρμογή της, πριν πολλά χρόνια σε ένα σεμινάριο με τον Πολωνό συνθέτη Paweł Szymański. Ο ίδιος τη χρησιμοποιούσε σε πολλά έργα του αυτής της περιόδου (π.χ. στην Partita, Σπουδή για Πιάνο). Αξίζει να ακούσετε και το "Hoketus" του Louis Andriessen και να δείτε το σχετικό βίντεο για το πως το κατασκεύασε.

Θα εκθέσουμε την τεχνική αυτή με μερικά απλά παραδείγματα, που θα μας δείξουν την αρχή λειτουργίας της.

Ορίζουμε πρώτα δύο διαστήματα που θα μας φανούν χρήσιμα σ’ αυτήν την εργασία:

α) Διάστημα Οριζόντιας Μετατόπισης: μετρά σε μετρικές μονάδες το πόσο απέχουν οριζόντια δύο γειτονικές φωνές.

β) Διάστημα Κάθετης Μετατόπισης: μετρά σε μετρικές μονάδες το πόσο απέχουν κάθετα δύο γειτονικές φωνές.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1

Ακολουθούμε τα εξής βήματα:

1. Φωνή Α: μετρικός οπλισμός 4/4, μετρική μονάδα το τέταρτο (από δω και στο εξής “q”). Στο παράδειγμά μας χρησιμοποιούμε τους φθόγγους του κατιόντος αιολικού τρόπου, τους οποίους διατάσσουμε με αξίες q, έτσι ώστε να απέχουν μεταξύ τους 6 μετρικές μονάδες (6 q). Ο φθόγγος μαζί με τις παύσεις θα καταλαμβάνει 7 μετρικές μονάδες (7q). Το σύνολο των 7q, ονομάζουμε “περίοδο”. Η  περίοδός μας είναι 7q, 2 μέτρα είναι 8q, ένας πλήρης κύκλος θα συμπληρωθεί σε 56 q (ΕΚΠ [7,8]=56). 56q είναι 56:4=14 μέτρα (μ).

2. Η δεύτερη περίοδος της φωνής Α θα ξεκινήσει στον 4ο χρόνο του μ. 2. Στον 1ο χρόνο του μ.3 ξεκινά η φωνή Β κι ακολουθούμε την ίδια διαδικασία (“Διάστημα οριζόντιας μετατόπισης” 8q. Πειράζοντας αυτό το διάστημα παίρνουμε διαφορετικά αποτελέσματα). Οι φωνές Α & Β διατηρούν το “διάστημα κάθετης μετατόπισης” 1q σε όλη τη διαδρομή τους και δεν θα συναντηθούν ποτέ. Το ίδιο ισχύει για όλες τις φωνές του Παρ. 1.

3. Με τον ίδιο τρόπο συνεχίσουμε με τις υπόλοιπες φωνές μέχρις ότου να εκτεθούν και οι 7 (A - G). Έχουμε καλύψει τώρα όλο το φθογγικό μας υλικό με το που κλείνει ο κύκλος της φωνής Α (ως αποτέλεσμα ο ανιών αιολικός). Από το μ. 15 και μετά αρχίζει η αντίστροφη διαδικασία “αποδόμησης” του υλικού.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2

Το Παρ. 1 δεν μας έδωσε κάτι ενδιαφέρον, αν όμως “πειράξουμε” το διάστημα οριζόντιας μετατόπισης (17q, ποτέ δεν χάνει κανείς αν ποντάρει στους πρώτους αριθμούς) τα πράγματα αλλάζουν προς το καλύτερο. Όλες οι άλλες παράμετροι διατηρήθηκαν ίδιες για να είναι πιο εύκολη η σύγκριση με το Παρ.1.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3

Στο Παρ. 3 του βίντεο από-συνθέτουμε και επανα-συνθέτουμε το πρώτο 4-μετρο του μέρους του φλάουτου από την Badinerie της 2ης ορχηστρικής σουίτας του Bach. Ακολουθούμε την ίδια διαδικασία όπως και στο Παρ. 1, εκείνο όμως που αλλάζει είναι το φθογγικό υλικό.

Η τεχνική αυτή, πειραματιζόμενοι με διάφορους μετρικούς οπλισμούς, μετρικές μονάδες, διαστήματα κάθετης μετατόπισης και φθογγικό υλικό (ακόμη και συγχορδίες), μπορεί να μας δώσει πολύ ενδιαφέροντα αποτελέσματα (το σπάσιμο της συμμετρίας δίνει πάντα κάτι το ενδιαφέρον!). Οι υπολογισμοί μπορούν να γίνουν στο χαρτί, σε ένα πρόγραμμα μουσικής σημειογραφίας (Finale, Sibelius, Dorico) κι ακόμη πιο εύκολα αν χρησιμοποιήσουμε κάποιο DAW. Στο Logic Pro X, π.χ., η Event List κάνει πολύ καλή δουλειά. Τα πιο ενδιαφέροντα αποτελέσματα μπορεί να πάρει κανείς βέβαια, αν δουλέψει αλγοριθμικά. H τεχνική hoquetus μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε ολόκληρο το κομμάτι, σε μέρος του ή ακόμη και να συνυπάρξει με άλλες τεχνικές.

Δείτε στο βίντεο που ακολουθεί πως χρησιμοποίησα αυτήν την τεχνική  σε ένα κομμάτι μου (στα ξύλινα πνευστά, τα άλλα όργανα είναι γραμμένα με άλλες τεχνικές). Όλοι οι υπολογισμοί εδώ έγιναν με το χέρι.

π+e invention

Στο διαδίκτυο μπορεί να βρει κανείς διάφορα βίντεο με τη “μουσική” του π. Κάθε τέτοια προσπάθεια ξεκινά από ένα σύνολο “αρχών” που θέτει ο συνθέτης, συνήθως χρησιμοποιείται η λεγόμενη set theory. Ακολούθησα ένα διαφορετικό δρόμο προσπαθώντας να αντλήσω όσο το δυνατόν περισσότερες μουσικές πληροφορίες από τους ίδιους τους αριθμούς.

Χρησιμοποίησα, λοιπόν, τους δυο διάσημους άρρητους και υπερβατικούς αριθμούς, την Αρχιμήδεια σταθερά π και τη βάση των Νεπέρειων λογαρίθμων e (επίκαιρη στις μέρες μας, λόγω της εκθετικής συνάρτησης) για ένα μικρό αλγοριθμικό, ολικά σειραϊκό κομμάτι για βιολί και τσέλο. Με απλά λόγια (λάβετε υπόψη ότι η διαδικασία είναι αρκετά επίπονη), όλες οι μουσικές παράμετροι προαποφασίζονται με βάση το π και το e (τονικό ύψος, ρυθμός, δυναμική, ηχόχρωμα κτλ), φτιάχνεται ένας αλγόριθμος (μια “συνταγή” για το πως θα χρησιμοποιηθούν αυτές οι παράμετροι) μεταφράζεται αυτή η “συνταγή” σε κάτι που να μπορεί να καταλάβει ο υπολογιστής, εδώ σε γλώσσα LISP, και μετά περιμένεις τα αποτελέσματα.

Να, σχηματικά πως δούλεψα:

1. Ξεκίνησα με τα 200 πρώτα ψηφία του ακέραιου μέρους και του δεκαδικού αναπτύγματος των π και e.

2. Τα χώρισα σε τριάδες, κάθε τριάδα θεώρησα ότι αντιπροσωπεύει Herz με προσέγγιση τετάρτου του τόνου κι έτσι πήρα τα τονικά ύψη (συνάρτηση: hertz-to-pitch).

3. Το βιολί χρησιμοποιεί το π, το τσέλο το e. Προσάρμοσα κατάλληλα τις τιμές Herz στις εκτάσεις των συγκεκριμένων οργάνων.

4. Μετέτρεψα τα τονικά ύψη του βήματος (1) σε δυναμικές (pitch-to-velocity) κι έτσι πήρα τις δυναμικές κάθε οργάνου.

5. Οι ρυθμικές αξίες 16ων και 8ων αντιστοιχούν σε pizzicato, οι υπόλοιπες αξίες σε arco.

6. Το tempo είναι ελεύθερο.

Αυτή η μουσική έχει συναισθήματα, απλά δεν τα χρησιμοποιεί :)