Μικρές Ιστορίες 47: Το Ξενοδοχείο Η

Κάπου στην εικονική Θούλη φτάνει μια χειμωνιάτικη νύχτα, μεσάνυχτα, μ' ένα παλιό εικονικό σκαραβαίο, ο Κ.

Δεν ξέρουμε τίποτα άλλο γι' αυτόν κι ούτε πρόκειται να μάθουμε μέχρι το τέλος αυτής της ιστορίας. Δοκιμάζει τη τύχη του στα πρώτα δύο-τρία ξενοδοχεία που βρίσκονται στο κεντρικό δρόμο της Θούλης χωρίς τύχη, όλα είναι πλήρη.

Ένας ευγενικός ξενοδόχος, του συστήνει να πάει έξω από την πόλη, στο ξενοδοχείο Η, εκεί θα βρει σίγουρα δωμάτιο.

Μετά από ώρα κι αφού περιπλανήθηκε στους δαιδαλώδεις δρόμους των συνοικιών της Θούλης, ο Κ. βλέπει ένα δυσανάλογα μεγάλο Η από νέον να αναβοσβήνει στην είσοδο ενός περίεργου κτιρίου. Στη ρεσεψιόν ένας ηλικιωμένος κύριος μ' ένα ταμπελάκι που γράφει Ξ. στην αριστερή πλευρά του μάλλον φτηνού σακακιού του, τον χαιρετά:

Ξ. Καλώς ήρθατε. Πως θα μπορούσα να σας εξυπηρετήσω;

Κ. Θα ήθελα ένα δωμάτιο για απόψε σας παρακαλώ.

Ξ. Παρόλο που το ξενοδοχείο μας έχει άπειρα δωμάτια, κάτι που δεν νομίζω να βρείτε πουθενά αλλού στο γαλαξία μας, εντούτοις, είμαστε πλήρεις.

Κ. Κι εσείς; Από τα μεσάνυχτα ψάχνω δωμάτιο και κοντεύει να ξημερώσει.

Ξ. Μην σας απασχολεί, θα σας εξυπηρετήσω αμέσως.

Κ. Μα μόλις είπατε… Θα διώξετε κάποιον; Δεν θα το ήθελα.

Ξ. Όχι, όχι, είναι απλό, μιας και το ξενοδοχείο μας έχει άπειρα δωμάτια, απλά θα ζητήσω από τον πελάτη 1 του δωματίου 1 να μετακομίσει από το 1 στο 2, τον πελάτη του δωματίου 2 να μετακομίσει από το 2 στο 3 και – με παρακολουθείτε; – από τον πελάτη του δωματίου ν να μετακομίσει στο δωμάτιο ν+1.

Κ. Σας παρακολουθώ. Αρκετά έξυπνο, θα πρέπει όμως να ζητήσετε από τους πελάτες σας να μετακινηθούν όλοι ταυτόχρονα, αλλιώς, αν μετακινούνται ένας-ένας θα χρειαστούμε άπειρο χρόνο κι έχω δυο μέρες να κοιμηθώ.

Ξ. Εύστοχη η παρατήρησή σας, ακριβώς έτσι θα γίνει, υπάρχει ειδικός μηχανισμός αυτόματης μετακίνησης πελατών.

Κ. Μια στιγμή, επειδή μου κίνησε το ενδιαφέρον, εντάξει μ' αυτό, ας υποθέσουμε όμως, ότι τώρα που μιλάμε έρχονται 7 νέοι πελάτες, τι θα κάνετε;

Ξ. Ας το γενικεύσουμε και μετά θα απαντήσω και ειδικά στην ερώτησή σας. Υποθέτουμε λοιπόν, ότι καταφθάνουν ν πελάτες στο ξενοδοχείο μας, θα ζητήσω τότε από κάθε ήδη υπάρχοντα πελάτη, έστω του δωματίου νούμερο κ, να μετακινηθεί στο δωμάτιο ν+κ.

Κ. Κατάλαβα, απαντώ μόνος μου στην ερώτησή μου: αν έρθουν 7 νέοι πελάτες, θα ζητήσετε απ' αυτόν του δωματίου 1 να μετακινηθεί στο δωμάτιο 1+7, στο δωμάτιο 8 δηλαδή, κι απ' αυτόν που ήδη βρίσκεται στο 10 ας πούμε, να μετακινηθεί στο 10+7=17.

Ξ. Έξοχα! Αυτό ακριβώς θα κάνω.

Κ. Μου κινήσατε την περιέργεια ακόμη περισσότερο και θα σας ρωτήσω κάτι εξωπραγματικό.

Ξ. Στη Θούλη, μόνο εξωπραγματικά πράγματα συμβαίνουν αγαπητέ μου!

Κ. Ωραία λοιπόν! Ας υποθέσουμε ότι έξω από το ξενοδοχείο σας περιμένουν άπειροι το πλήθος πελάτες να βολέψετε, τι θα κάνετε; Θα τους διώξετε, γιατί σας τελείωσαν τα κόλπα με τα άπειρα δωμάτιά σας;

Ξ. Καταρχάς μου άρεσε η έκφραση "άπειροι το πλήθος", είναι ωραίο οι άνθρωποι να εκφράζονται με ακρίβεια, κάτι που λείπει στις μέρες μας. Όσο για τα κόλπα μας – δεν μου άρεσε πολύ σαν λέξη αυτή, αλλά τέλος πάντων – τα κόλπα μας λοιπόν, με τα άπειρα δωμάτια, είναι άπειρα ή… περίπου.

Κ. Και τι θα κάνετε λοιπόν;

Ξ. Θα ζητήσω από κάθε ένοικο του δωματίου κ να μετακινηθεί στο δωμάτιο 2κ, έτσι ώστε, όλοι οι ήδη υπάρχοντες πελάτες να εγκατασταθούν σε δωμάτια με άρτιο αριθμό. Μένουν άδεια, όπως καταλαβαίνετε τα περιττά δωμάτια, τα 1,3,5,… , εκεί θα φιλοξενηθούν οι άπειροι νέοι πελάτες μας.

Κ. Κατάλαβα.

Ξ. Φοβάμαι ότι ακόμη δεν έχετε συλλάβει πλήρως τις δυνατότητες του ξενοδοχείου μας.

Κ. Τι εννοείται;

Ξ. Θα σας θέσω εγώ ένα πρόβλημα, που αντιμετώπισα με επιτυχία, πριν από μερικούς άπειρους μήνες: φανταστείτε λοιπόν, ότι καταφθάνει στο ξενοδοχείο μας ένας άπειρος αριθμός λεωφορείων από τη γειτονική χώρα των Αριμασπών, όπου το καθένα έχει άπειρες θέσεις και είναι και πλήρες!

Κ. Το λύσατε;

Ξ. Είπα ότι το αντιμετώπισα με επιτυχία, άρα την απάντηση την έχετε ήδη.

Κ. Και τι κάνατε;

Ξ. Είστε σίγουρος ότι θέλετε να χάσετε τον ύπνο σας;

Κ. Ναι, με τρώει η περιέργεια.

Ξ. Λοιπόν, να θα γράψω σ' αυτό το χαρτί τη λίστα των ενεργειών μου:

• Αρίθμησα τα λεωφορεία 1,2,3,… και τις θέσεις κάθε λεωφορείου με 1,2,3,…
• Ζήτησα, όπως έκανα και προηγουμένως, από κάθε ήδη υπάρχοντα ένοικο με αριθμό δωματίου κ, να μετακινηθεί στο δωμάτιο 2κ , καλύφθηκαν έτσι όλα τα άρτια δωμάτια.
• Ζήτησα επίσης, από τον επιβάτη του λεωφορείου 1 με αριθμό θέσης 1, να εγκατασταθεί στο δωμάτιο 3, απ' αυτόν με αριθμό θέσης 2 να βολευτεί στο δωμάτιο 3²=9, να μην συνεχίσω…, όπως καταλαβαίνετε, ο επιβάτης του λεωφορείου 1 με αριθμό θέσης ν, εγκαταστάθηκε στο δωμάτιο 3^ν . Όλες οι δυνάμεις του 3 είναι περιττές και με τη διευθέτηση που έκανα πριν, όλα τα δωμάτια με περιττό αριθμός είναι άδεια.

Κ. Μέχρις εδώ καλά, έχετε όμως άπειρα άλλα λεωφορεία με άπειρους επιβάτες να εξυπηρετήσετε…

Ξ. Μην είστε βιαστικός, μέχρις εδώ το καταλάβατε;

Κ. Μάλιστα, συνεχίστε.

Ξ. Πάμε στο λεωφορείο 2 λοιπόν. Συνεχίζω τη λίστα ενεργειών μου:

• Ο επιβάτης του λεωφορείου 2 με αριθμό θέσης 1 εγκαθίσταται στο δωμάτιο 5, αυτός με αριθμό θέσης 2, στο δωμάτιο 5²=25 και γενικά, αυτός με αριθμό θέσης ν, στο δωμάτιο 5^ν.

Κ. …

Ξ. Δεν λέτε τίποτα;

Κ. Είπατε να μην διακόπτω. Σκέφτομαι…

Ξ. Τι σκέφτεστε;

Κ. Οι αριθμοί 3 και 5 που επιλέξατε είναι πρώτοι.

Ξ. Σωστά, για συνεχίστε…

Κ. Δώστε μου το χαρτί με τη λίστα, να:

• Ο επόμενος πρώτος είναι ο 7, θα τον χρησιμοποιήσουμε για το λεωφορείο 3 και ο επιβάτης με θέση ν, θα εγκατασταθεί στο δωμάτιο 7^ν.
• Γενικά και για να μην πολυλογούμε, εκείνο που κατάλαβα είναι, ότι επιβάτης του λεωφορείου μ με αριθμό θέσης ν, θα εγκατασταθεί στο δωμάτιο p^ν , όπου p είναι ο (μ+1)-στός πρώτος.

Ξ. Ενεός! Είστε πολύ έξυπνος.

Κ. Ευχαριστώ! υπερβολές. Εκείνο που δεν κατάλαβα, για να είμαι ειλικρινής, είναι το γιατί αυτή η μέθοδος “δουλεύει”. Ποιος μας εγγυάται ότι όλα αυτά τα δωμάτια είναι άδεια;

Ξ. Χμ… πριν πολλά χρόνια, στον υλικό κόσμο, υπήρχε ένας πλανήτης που τον έλεγαν Γη. Εκεί έζησε ένας πολύ έξυπνος άνθρωπος και πολύ μεθοδικός, που τον έλεγαν Ευκλείδη. Ο Ευκλείδης λοιπόν, απέδειξε ότι κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με ένα και μοναδικό τρόπο!

Κ. Ναι, καταλαβαίνω τώρα. Οι νέοι ένοικοι θα εγκατασταθούν σε ένα δωμάτιο x, που θα είναι δύναμη ενός πρώτου, κι αυτό το x θα είναι μοναδικό, όπως είπε ο Ευκλείδης. Για παράδειγμα, ο επιβάτης 7 του λεωφορείου 1, θα εγκατασταθεί στο δωμάτιο 3⁷=2187 . Δεν είναι δυνατόν επιβάτης του ίδιου ή άλλου λεωφορείου να εγκατασταθεί στο ίδιο δωμάτιο˙ να, ο επιβάτης 7 του λεωφορείου 2, θα εγκατασταθεί στο δωμάτιο 5⁷=78125 και προφανώς το 3⁷ δεν είναι ίσο με το 5⁷.

 Ξ. Μένω έκπληκτος με την οξυδέρκειά σας.

Η συζήτηση έχει συνεπάρει τους δυο άντρες.

Ο Ξ. προτείνει στον Κ. ένα ποτήρι ακριβό μαλτ κι αυτός το δέχεται ευχαρίστως. Τώρα η κούραση κι η αϋπνία του Κ. έχουν δώσει τη θέση τους σ' αυτήν τη λεπτή διανοητική ηδονή που νιώθει κανείς, όταν ασχολείται με τέτοια θέματα.

Εκεί που γεύονται σιωπηλοί το μαλτ με μικρές γουλιές, πλησιάζει μια γυναίκα ντυμένη στα μαύρα, γύρω στα τριάντα, αν κι αυτές τις μέρες είναι δύσκολο να προσδιορίσει ηλικία κανείς, με ξανθά μαλλιά και ω! τι παράξενο, με διάφανα μάτια!

Γ. Συγνώμη που διακόπτω…

Ξ. Παρακαλώ! Ευχαρίστησή μας!

Γ. Άκουσα άθελά μου τη συζήτησή σας κι έχω μια απορία.

Ξ. Στη διάθεσή σας, για όποια απορία έχετε, πεπερασμένη ή άπειρη.

Γ. Ευχαριστώ! Ας υποθέσουμε ότι στη Θούλη έρχονται άπειρα μεταγωγικά διαστημόπλοια και το καθένα μεταφέρει άπειρα λεωφορεία με άπειρους επιβάτες σε κάθε λεωφορείο. Θα μπορέσετε να τους εξυπηρετήσετε;

Ξ. Α! κι αυτό το πρόβλημα το έχω λύσει…

Κ. E, αφήστε μου λίγο χρόνο να σκεφτώ κι εγώ!

Ο Ξ. κατάλαβε ότι ο Κ. ήθελε να εντυπωσιάσει την Γ. και σώπασε διακριτικά.

Κ. Ωραία, για πείτε, δεν μπορώ να σκεφτώ κάτι.

Ξ. Θα ακολουθήσουμε την προηγούμενη πρακτική. Σε κάθε επιβάτη θα αντιστοιχήσουμε τρεις αριθμούς: έναν για το διαστημόπλοιο που τον μετέφερε, έναν για το λεωφορείο που επιβαίνει και έναν για τη θέση που κάθεται στο λεωφορείο. Ξεκινάμε μεταφέροντας όλους τους ήδη υπάρχοντες ενοίκους του ξενοδοχείου σε δωμάτια που φέρουν άρτιο αριθμό, όπως κάναμε και προηγουμένως δηλαδή.

Κ. Παρακαλώ, αφήστε με να συνεχίσω… το βρήκα!

Ξ. Ναι βέβαια, κανένα πρόβλημα.

Κ. Λοιπόν, που είχαμε μείνει… α, ναι. Θεωρείστε, ωραία μου κυρία, ότι ο επιβάτης που ήρθε με το διαστημόπλοιο κ, επέβαινε στο λεωφορείο μ και καθόταν στη θέση ν. Βρίσκουμε τον (μ+1)-στό πρώτο, τον ονομάζουμε p και τον υψώνουμε στη δύναμη που μας δείχνει ο αριθμός θέσης του επιβάτη, δηλαδή p^ν . Τώρα, παίρνουμε τον αριθμό του διαστημοπλοίου κ, βρίσκουμε τον (κ+1)-στό πρώτο, τον ονομάζουμε q και τον υψώνουμε στον αριθμό που βρήκαμε πριν. Γ. Δηλαδή ο ν επιβάτης του μ λεωφορείου που ήρθε με το κ διαστημόπλοιο, θα εγκατασταθεί στο δωμάτιο q^pν .

Ξ. Ο κύριος το εξέθεσε το επιχείρημα με σαφήνεια και ακρίβεια στη γενική του μορφή. Επιτρέψτε μου ένα αριθμητικό παράδειγμα, διότι μπορεί να μην είμαι και το πιο μετριόφρων ολόγραμμα στη Θούλη, αλλά από τη φύση μου είμαι γρήγορος στις πράξεις: αν ο επιβάτης με αριθμό θέσης 3 έφτασε με το διαστημόπλοιο 2 και το λεωφορείο 4, θα εγκατασταθεί στο δωμάτιο 5¹¹³ . Ξέρετε τι νούμερο έχει αυτό το δωμάτιο;

Γ. Επειδή κι εγώ τα πάω καλά με τους αριθμούς, για περιμένετε λιγάκι… λοιπόν, θα εγκατασταθεί στον αριθμό δωματίου:

2133417097383300885828922149388295869002691681447630473377065869045726 3777039563551460457961823131831723126626368062335526244502659302257298 8249741034525826204478941248881599704447567317342020769690774856744018 4380255965021845313052035575268682024106273260281112335991524283602073 4637928973924123599318742331849666769670940204962762324067886767586664 2275079668414209076926647520518428349430205084787158430531857881151071 2032039285787324104334818932872723389624639118815021819448191139994100 0838178538428713005707712823105876802741249521253894186038932392011289 9209637323380566365531664614975048029328931870230876872041677274158231 3491044372794221496842850947810669298268231887200065686015007197982913 7011970606035496361468529625438307654814790729779729540504425506222432 3860081838202481712691472223220429859783328546270031462938397755954388 7202857905475321080841239960790045479357636656653381124204571506197680 719196796417236328125

Οι Ξ. και Κ. στάθηκαν να κοιτούν έκπληκτοι την Γ.

Ξαφνικά ο Ξ. πετάγεται από τη θέση του και λέει σιγανά:

Ξ. Ο κύριος Η. ο ιδιοκτήτης του ξενοδοχείου.

Η. Είναι πολύ ενδιαφέρον που ασχολείστε με τέτοια θέματα, για άλλους δεν έχουν καμιά αξία. Ο αγαπητός και λαλίστατος Ξ. παρουσίασε όλες τις λύσεις αυτών των περίεργων προβλημάτων ως δικές του, η ιστορική αλήθεια όμως είναι άλλη. Για χρόνια απασχολούσαν τους ξενοδόχους κάτω στη Γη τέτοιου είδους προβλήματα, μάλιστα ένας διάσημος ξενοδόχος του παρελθόντος έλεγε ότι τέτοιου είδους ιδέες αξίζουν να συζητιόνται μόνο στα καφενεία, γιατί δεν έχουν καμιά πρακτική αξία, ώσπου ένας άλλος συνάδελφος, ο αξέχαστος κύριος C., μας έμαθε τον τρόπο να εξυπηρετούμε απειροπελάτες. Μπορούμε να εξυπηρετήσουμε πεπερασμένο αριθμό άπειρων διαστημοπλοίων που μεταφέρουν άπειρο αριθμό λεωφορείων με άπειρο αριθμό επιβατών, ακόμη και πεπερασμένο αριθμό άπειρων διαστημοπλοίων που μεταφέρουν άπειρα διαστημόπλοια που μεταφέρουν… Εκείνο που δεν μπορούμε να κάνουμε είναι να εξυπηρετήσουμε πελάτες άπειρων άπειρων διαστημοπλοίων…

Γ. Και πως είμαστε σίγουροι, ότι ο επιβάτης του κ₁ διαστημοπλοίου, του λ₁ λεωφορείου, που κάθεται στη θέση ν₁ δεν θα μοιραστεί το ίδιο δωμάτιο με τον επιβάτη του του κ₂ διαστημοπλοίου, του λ₂ λεωφορείου, που κάθεται στη θέση ν₂;

Η. Το εξήγησε πριν ο κύριος Ξ. κι ο Ευκλείδης το επιβεβαιώνει. Θα το αποδείξουμε με την παλιά, καλή μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Αν οι δύο διαφορετικοί επιβάτες μοιραστούν το ίδιο δωμάτιο, τότε θα ισχύει… για δώστε μου το χαρτί που γράφατε πριν κύριε Ξ.… λοιπόν, δείτε, θα ισχύει: q₁^p₁ν₁=q₂^p₂ν₂, όπου p₁ o (λ₁+1)-οστός πρώτος και q₁ o (κ₁+1)-οστός πρώτος. Από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής, θα έχουμε: q₁=q₂→ p₁^ν₁→ p₂^ν₂→ ν₁=ν₂, ν₁=ν₂ όμως σημαίνει ότι πρόκειται για τον ίδιο επιβάτη, πράγμα άτοπο, διότι υποθέσαμε ότι οι επιβάτες είναι διαφορετικοί. Όπως καταλαβαίνετε…

O Κ. τον διέκοψε αγενέστατα και είπε στην Γ.

Κ. Μήπως θα θέλατε… κι αυτή απάντησε ναι.
_________________________________________________

Το λεγόμενο ξενοδοχείο του Hilbert είναι η ιστορία ενός φανταστικού ξενοδοχείου με άπειρα δωμάτια, που σκοπό έχει να δείξει τις παράξενες ιδιότητες του απείρου. Από το 1970 και μετά έχει χρησιμοποιηθεί σε πολλά επιχειρήματα που αφορούν εκτός από τα μαθηματικά, τη φιλοσοφία και τη θεολογία. Δεν είναι απόλυτα σίγουρο αν ο ίδιος ο Hilbert πρότεινε αυτό το νοητικό πείραμα, σε μια διάλεξή του τον Ιανουάριο του 1924, ή όχι, μπορεί απλά να πρόκειται για μια ιστορία που ανήκει στο μαθηματικό φολκλόρ. Η ιστορία αυτή έγινε ευρέως γνωστή το 1947, όταν  George Gamow την περιέλαβε σε ένα βιβλίο του και μερικοί πιστεύουν ότι τελικά είναι δικής του επινόησης.