Ο Μουσικός Αρνητικός Χώρος (update 2)

Το γλυπτό του Henry Moore (και εδώ) Reclining Figure που εικονίζεται ανωτέρω “περιβάλλει” και “περιβάλλεται” από κενό χώρο τον οποίο και “ιδιοποιείται”. Ο κενός αυτός χώρος καθίσταται αναπόσπαστο μέρος του έργου. Άλλο παράδειγμα: ο περιβάλλων χώρος ενός Ναού αναδεικνύει το αρχιτεκτόνημα και τελικά κτίσμα και περιβάλλοντα χώρο τον αντιλαμβανόμεθα ως όλον.
Η σιωπή πριν από μια εκτέλεση και η σιωπή πριν το χειροκρότημα (που “οφείλει” να υπάρχει) είναι ο κενός χώρος που περιβάλλει μια μουσική σύνθεση, ένα είδος κορνίζας εντός της οποίας τοποθετείται το έργο.
Με την βοήθεια των ανωτέρω παραδειγμάτων οδηγούμαστε στον ορισμό:
Ο χώρος ο οποίος “περιβάλλει”, άλλως ο χώρος ο οποίος “δημιουργείται”, από ένα εικαστικό ή αρχιτεκτονικό έργο τέχνης, ονομάζεται αρνητικός χώρος (negative space). Ομοίως ένα μουσικό έργο μπορεί να “περιβληθεί” ή να “δημιουργήσει” ένα μουσικό αρνητικό χώρο.
Μια σύνθεση (ας περιοριστούμε για ευκολία σε συνθέσεις από το 1600-1900, εύκολα μπορούμε να γενικεύσουμε), δεν “περιέχει” πάντα θεματικό υλικό, το θεματικό υλικό “περιβάλλεται” η / και “υποστηρίζεται” από αθεματικούς / αρνητικούς μουσικούς χώρους.

Οι μουσικοί αρνητικοί χώροι εμπίπτουν στις κατωτέρω κατηγορίες:
• η ΕΙΣΑΓΩΓΗ – ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ (Introduction): δημιουργία μουσικής ατμόσφαιρας / κλίματος πριν την κύρια σύνθεση.
• οι ΔΙΑΣΥΝΔΕΣΕΙΣ (Connections): δημιουργία διασυνδετικών σχέσεων μεταξύ των μακροδομικών μονάδων ενός έργου.
• ο ΕΠΙΛΟΓΟΣ – ΚΑΤΑΛΗΞΗ – ΤΕΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ (Coda – Final Section)

Πιο αναλυτικά για κάθε κατηγορία:

I. Εισαγωγικά Τμήματα (Beginnings)
ΑΠΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ (Simple Introduction)
Μουσικό αθεματικό τμήμα το οποίο προηγείται του θεματικού υλικού. Συνήθως είναι το συνοδευτικό τμήμα της σύνθεσης (accompaniment) το οποίο ξεκινά “νωρίτερα” προετοιμάζοντας τον ακροατή για το tempo και την γενικότερη διάθεση που επιζητά να δημιουργήσει η σύνθεση.
Παραδείγματα
- Schumann, Helft mir, ihr Scchestern (δίμετρη απλή εισαγωγή)
- Mozart, Symphony No.40, I. Allegro molto (οι τρεις πρώτοι χρόνοι του τετραμερούς πρώτου μέτρου, Vlas, Vlcs και Cbs).

ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ (Independent Introduction)
Μεγαλύτερης διάρκειας από την απλή εισαγωγή και αρμονικά περισσότερο επεξεργασμένη. Δεν αποκλείεται να περιέχει δικό της θεματικό υλικό. Συνήθως, αν μια ανεξάρτητη εισαγωγή προηγείται ενός έργου μεγάλης διάρκειας, γράφεται σε αργό tempo.
Παραδείγματα
- Mendelssohn, Songs Without Words, op.19.6, “Venetian Boat Song”
- Mozart, Symphony No.39, I. Adagio - Allegro
- Haydn, Symphony No.104, I. Adagio - Allegro
- Beethoven, Symphony No.1, I. Adagio molto - Allegro con brio
- Brahms, Symphony No.1, I. Un poco sostenuto - Allegro

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ (Introductory Section) [*]
Έργα μεγάλης κλίμακας και πολυτμηματικά έργα όπως οι καντάντες, τα ορατόρια, οι όπερες και μερικές σουίτες, ξεκινούν με πλήρη, ανεξάρτητα τμήματα με εισαγωγική λειτουργία. Τέτοια τμήματα συνήθως αναφέρονται ως: Sinfonias, Overtures, Entr’actes, Preludes κλπ.

II. ΔΙΑΣΥΝΔΕΣΕΙΣ (Connections)
Τα συνδετικά τμήματα διασυνδέουν δύο θεματικές ομάδες μιας σύνθεσης (την πρώτη με την δεύτερη θεματική ομάδα σε μια σονάτα για παράδειγμα), ή δύο τμήματα μιας τμηματικής σύνθεσης (το refrain με το couplet σε ένα rondo για παράδειγμα). Στην αγγλόφωνη βιβλιογραφία αναφέρονται συνήθως ως Περιοχές Μεταφοράς (Transition Regions). Οι Περιοχές Μεταφορές διακρίνονται συνήθως σε:
• μικρής διάρκειας
• μεγάλης διάρκειας
• μετατροπικές
• μη μετατροπικές.

Παράδειγμα
- Beethoven, Piano Sonata No.1 in f, op.2.1, I. Allegro
Μετατροπική Περιοχή Μεταφοράς (μμ. 9-19). Το τμήμα αυτό μετατρέπει από την I (φα) στην ΙΙΙ (Λαb) και συνδέει την πρώτη θεματική ομάδα της σονάτας [Θ.Ο.Ι] (έκθεση στην τονική) με την δεύτερη θεματική ομάδα [Θ.Ο.ΙΙ] (έκθεση στην σχετική). Κατασκευάζεται με μοτιβικό υλικό από την Θ.Ο.Ι και από μοτιβικό υλικό που θα χρησιμοποιηθεί στην Θ.Ο.ΙΙ, έτσι επιτυγχάνεται ή λογική και φυσική διασύνδεση των δύο θεματικών ομάδων. Παρατηρείστε ότι η Περιοχή Μεταφοράς εκκινεί από την ελάσσονα δεσπόζουσα (v), την στιγμή που η Θ.Ο.Ι είχε τελειώσει στην δεσπόζουσα (V). Ο Δάσκαλος τολμά και εκπλήσσει από τα μικράτα του (η σονάτα γράφτηκε το 1795)!
Εργασία:
1. Να εξάγετε τον αρμονικό σκελετό των μμ. 9-19.
2. Πως επιτυγχάνεται η “χαλαρή δομή” αυτού του τμήματος, δηλαδή πως δεν “επισκιάζει” το θεματικό υλικό των Θ.Ο.Ι και Θ.Ο.ΙΙ αυτό τμήμα; (αναζητήστε αλυσίδες, επαναλήψεις κλπ).

III. ΕΠΙΛΟΓΟΣ – ΚΑΤΑΛΗΞΗ – ΤΕΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ (Coda – Final Section)
Η Coda (“ουρά” στα ιταλικά) επικυρώνει και επαυξάνει το αίσθημα της κατάληξης ενός μουσικού έργου. Η πιο απλή μορφή Coda είναι η γνωστή μας από την αρμονία Πλάγια Πτώση (I – IV – I στην απλή της μορφή).
Πέρα από τη χρήση της Coda ως καταληκτικού μέρους μιας σύνθεσης, μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ως καταληκτικό μέρος ενός εσωτερικού τμήματος ενός έργου.
Όταν η Coda είναι μικρής διάρκειας ονομάζεται Codetta, όταν είναι εκτενής ονομάζεται Τελικό Τμήμα (Final Section), για παράδειγμα από το μέτρο 552 μέχρι το τέλος του πρώτου μέρους της 3ης Συμφωνίας του Beethoven (σύνολο 140 μέτρα).

Παράδειγμα
- Beethoven, Piano Sonata No.1 in f, op.2.1, I. Allegro
Coda (μμ. 41-48). Πρόκειται για μια συρραφή από codettas που οδηγούν στο τέλος την Έκθεση της σονάτας (στην σχετική της τονικής, ΙΙΙ). Παρατηρείστε πως αριστοτεχνικά αυτή η Coda δημιουργεί στον ακροατή την ψυχολογική κατάσταση ότι κάτι βαίνει προς το τέλος του (εδώ η Έκθεση). Άλλο ένα εκπληκτικό παράδειγμα είναι το καταληκτικό μέρος του πρώτου μέρους του τρίτου κοντσέρτου για πιάνο μετά την cadenza. Εξετάστε την κατασκευή και λειτουργία της συγχορδίας του μ.47.
Εργασία:
Αναζητείστε και αναλύστε την Περιοχή Μεταφοράς και την Coda στην Επανέκθεση της ίδιας σονάτας. Τι αρμονικές και μοτιβικές αλλαγές γίνονται και τι λειτουργικό σκοπό εξυπηρετούν;

Ένα ανεξάρτητο καταληκτικό μέρος ονομάζεται συνήθως Postlude. Συνήθως συνθέσεις που τελειώνουν με ένα Postlude αρχίζουν με ένα ανεξάρτητο εισαγωγικό μέρος που ονομάζεται Prelude.
Παραδείγματα
- R. Strauss, Till Eulenspiegel
- Brahms, Intermezzo, op.76.7

[*] Σχόλιο από Γ. Μπερεκέτη περί Εισαγωγής
Σχετικά με την ΕΙΣΑΓΩΓΗ ενός μουσικού έργου θα είχα να πω ότι αν αντικαθιστούσαμε τη λέξη "εισαγωγή" με τη λέξη "είσοδος" θα βρισκόμασταν φάτσα-κάρτα με τις γενεσιουργές συνθήκες που επέβαλαν τις μουσικές εισαγωγές.
Οι συνήθειες των ακροατών στις παλιές εποχές, μέχρι και τις αρχές του ρομαντισμού, δεν έμοιαζαν με τις σημερινές συνήθειές μας, όπου με σεβασμό μπαίνουμε στην αίθουσα και περιμένουμε να βγούν οι μουσικοί, ο μαέστρος και τέλος πάντων όσο μπορούμε δημιουργούμε τις σωστές συνθήκες αναμονής για να ξεκινήσει η ερμηνεία ενός έργου.
Οι ακροατές στην εποχή της Αναγέννησης ή του Μπαρόκ, ακόμα και στην εποχή του Κλασσικισμού, "ευγενούς" καταγωγής, πρίγκηπες, κόμητες βαρόνοι κλπ, θέλανε οι άνθρωποι την άνεσή τους. Οι μουσικοί και ο μαέστρος τους περίμεναν και οι "ευγενείς" κάναν την εντυπωσιακή τους είσοδο ενώ το έργο είχε αρχίσει. Οι συνθέτες "εφηύραν" την εισαγωγή για να δημιουργήσουν ηχητικό χρονοχώρο μέχρι που το ακροατήριό τους να "παλουκωθεί" και ν' ακούσει. Η Εισαγωγή-Είσοδος με περιορισμένο το θεματικό υλικό "προστάτευε" αυτό που θα ακολουθούσε, το θεματικό, που ήταν το κυρίως έργο.Ήταν σαν καμπανάκι έναρξης.

Στις εποχές που ακολούθησαν, όπου το καμπανάκι έναρξης βρήκε επιτέλους τη θέση του, και το ακροατήριο (ίσο ταξικά με τους μουσικούς) έμαθε να τους περιμένει υπομονετικά-τιμητικά, τότε οι μουσικές εισαγωγές απέκτησαν άλλο χαρακτήρα. Έπαιζαν τον ρόλο ενός ομαλού ακροαματικού προσανατολισμού, αυτό που λέμε "να σε εισάγουν στο κλίμα" του έργου. (Ο αργοπορημένος ευγενής σε αυτές τις εποχές δεν είναι άλλος από το πνεύμα μας που τυρβάζει περί πολλά και χρειάζεται τον χρόνο μιας ήπιας εισαγωγής για να προσαρμοστεί και να συγκεντρωθεί).

Σημείωση
Το ανωτέρω άρθρο προέρχεται από επεξεργασία των σημειώσεών μου για το μάθημα της Μορφολογίας στο Δημοτικό Ωδείο Πετρούπολής, οι οποίες εν πολλοίς βασίζονται στο Musical Form and Analysis των Glenn Spring και Jere Hutcheson, McGraw-Hill, 1995.

Μελωδία σε Φα (update 2)

Ο Anton Grigorjewitsch Rubinstein (1829-1894) είναι μια δεσπόζουσα μορφή στα μουσικά πράγματα του 19^ου αι. Παιδί θαύμα, διατήρησε το θαύμα και μεγάλος, πιανίστας και συνθέτης, ανταγωνιστής συνθετικά και πιανιστικά του Liszt, μαέστρος, ιδιόμορφος παιδαγωγός (δίδασκε περισσότερο με την προσωπικότητά του και το παράδειγμα παρά με κάποιο συγκεκριμένο παιδαγωγικό σύστημα), αυστηρός αλλά και σαρκαστικός στις κρίσεις του, ιδρυτής τέλος του Ωδείου της Αγ. Πετρούπολης (ο αδελφός του Nikolai αυτού της Μόσχας).

Ο Rubinstein μαζί με τον Mikhail Glinka θεωρούνται οι πρώτοι σημαντικοί Ρώσοι συνθέτες. Ο Rubinstein δεν ακολούθησε τα πιστεύω τις Ρώσικης Εθνικής Σχολής και αποστασιοποιήθηκε από την Ομάδα των Πέντε [1]. Κατά τη γνώμη μου εκεί οφείλεται το γεγονός ότι ως συνθέτης είναι σχεδόν ξεχασμένος σήμερα, η μουσική του χωρίς κάποιο ιδιαίτερο στίγμα, επισκιάστηκε από την σαφώς ανώτερη του Liszt και του Chopin. Στις μέρες μας στην προσπάθεια διεύρυνσης του ρεπερτορίου αλλά και της αγοράς, τα έργα του ξαναβρίσκουν μια θέση, αν όχι στη σκηνή τουλάχιστον στο CD, πιανίστες όπως ο Ponty, ο Hamelin και ο φίλος μου από την Λαμία με λαμπρή καριέρα στην Αμερική Γρηγόρης Ζαμπάρας ηχογραφούν τα έργα του μαζί με του άλλου μεγάλου λησμονημένου, του Alkan.

Συνέθεσε περί τις 20 όπερες, έξι συμφωνίες, πέντε κοντσέρτα για πιάνο (το τρέχον project του Ζαμπάρα είναι η ηχογράφηση και των πέντε κοντσέρτων), δύο κοντσέρτα για τσέλλο και ένα για βιολί, συμφωνικά ποιήματα, πολύ μουσική δωματίου και πλήθος έργων για σόλο πιάνο. Ένα από τα γνωστότερα και πλέον παιγμένα έργα του για πιάνο είναι η Μελωδία σε Φα, op.32, No.1 με την οποία θα ασχοληθούμε αρμονικά και μορφολογικά σήμερα.

Η Μελωδία έχει τη μορφή: Α₁ – Β – Μεταφορά Ι (Συνδετικό Μέρος) Α2 – Β – Μεταφορά ΙΙ - Α3 - Τελικό Τμήμα. Η μελωδία βρίσκεται στη μεσαία φωνή, όχι και τόσο σύνηθες για μια μελωδία και παίζεται εναλλάξ από το δεξί και το αριστερό χέρι του πιανίστα. Αυτή είναι και η σημαντικότερη δυσκολία του έργου (το κομμάτι αυτό έχει βρει μια θέση στο εκπαιδευτικό ρεπερτόριο, στην Ελλάδα δίνεται συνήθως στη Μέση Σχολή. Για ένα μαθητή αυτού του επιπέδου είναι πραγματικά δύσκολο εγχείρημα η ανάδειξη της μελωδίας σε αυτή τη θέση).

Το τμήμα Α₁ δομείται ως μία ομάδα τεσσάρων 8-μετρων φράσεων [a₁ – a_2.1 – a₁ – a_2.2] εκ των οποίων η πρώτη και η τρίτη είναι παράλληλες, στην περιοχή της Τονικής. Η διατονική μελωδία υποστηρίζεται από μια ήπια χρωματική συνοδεία.

Το Β βρίσκεται στην αντιθετική περιοχή της Δεσπόζουσας και δομείται από μια ομάδα τεσσάρων φράσεων [b₁ – b₁ – b_2.1 – b_2.2], με την πρώτη και δεύτερη παράλληλες, την τέταρτη ελαφρά παραλλαγμένη μορφή της τρίτης. Τα b_2.1 – b_2.2 μπορούν να ιδωθούν και ως ένα σύνολο από codettas.

Ένα πολύ ενδιαφέρον σημείο του κομματιού είναι αυτό που ονομάζω στην ανάλυση Μεταφορά Ι. Πρόκειται για μια εναρμόνιση της κατιούσας χρωματικής από C4 σε C3. Στην Μεταφορά ΙΙ έχουμε εναρμόνιση της ανιούσας χρωματικής από C4 σε C3. Λειτουργικά πρόκειται για την επέκταση (expansion) της συγχορδίας της και στις δυο περιπτώσεις. Στην παρτιτούρα έχω σημειώσει με λευκές κεφαλές τις θεμελίους των αναστροφών των συγχορδιών που εναρμονίζουν την χρωματική κλίμακα. Θα επανέλθω σε άλλες εναρμονίσεις της χρωματικής σε άλλη καταχώρηση.

Ένα άλλο ενδιαφέρον σημείο είναι η προέκταση της φράσης b₃ (phrase extension) στο Α₃.

Η στοιχειώδης ανάλυση της μελωδίας παρουσιάζεται στα jpeg που ακολουθούν. Έχω γράψει τη μελωδία σε ξεχωριστό πεντάγραμμο για περισσότερη σαφήνεια. Στο πρώτο video δίνω τη μελωδία σε MIDI εκτέλεση και απεικονίζω τα διάφορα μορφολογικά της τμήματα. Το δεύτερο video δεν πρέπει να το χάσετε! Ο μεγάλος, κατά πολλούς ο μεγαλύτερος πιανίστας του 20^ου αι., ο πολωνοεβραίος Josef Kazimierz Hofmann (1876-1957) ερμηνεύει τη μελωδία σε Φα.

• Η Παρτιτούρα με σημειωμένη μια στοιχειώδη ανάλυση του έργου •

σελίδα 1

σελίδα 2

σελίδα 3

σελίδα 4

σελίδα 5

• Videos •

Το πρώτο video έχει ήχο ΜIDI και συνδυάζεται με τη αναλυμένη παρτιτούρα που προηγήθηκε. Το δεύτερο είναι η εκτέλεση του Hofmann.

[1] O Rubinstein μέχρι το 1852 είχε γράψει μερικά έργα "ρώσικου χαρακτήρα", αλλά μέχρι το 1878 όπου συνέθεσε το Caprice Russe απέφυγε τη χρήση τέτοιου υλικού. Μετά το Caprice ακολούθησαν και άλλα "ρώσικα" έργα, μεταξύ αυτών η όπερα O Έμπορος Kalashnikov και η Πέμπτη Συμφωνία. Στο Caprice γίνεται χρήση τριών ρώσικων λαικών τραγουδιών καθώς και λαικών χορευτικών ρυθμών. Τα έργα αυτά, όπως και γενικότερα το σύνολο του έργου του, μετά τη στιγμιαία επιτυχία έπεσε στη λήθη.

Luxuria | Λαγνεία

Ένα Όνειρο

iPrelude II: In C minor

Η ιδέα της χρήσης ενός μόνο φθόγγου στη σύνθεση ενός μουσικού έργου, παράλληλα με τη χρήση μιας μόνο συγχορδίας, ή ακόμη και την απουσία φθόγγων, γεννήθηκε κάπου στα μέσα του 20ου αιώνα, σίγουρα ως απάντηση στη χρήση και των δώδεκα χρωματικών φθόγγων της μεθόδου του Schoenberg και της αυξανόμενης πολυπλοκότητας των έργων που οδήγησε στον Ολικό Σειραϊσμό και από εκεί στη Νέα Πολυπλοκότητα (Νέα Συμπλεκτικότητα κατά τη γνώμη μου η δόκιμη μετάφραση του όρου New Complexity, αλλά αυτό είναι άλλο θέμα).

Μερικά παραδείγματα:

• John Cage (1912-1992) / 4’33’’ (1952)
Για οποιοδήποτε όργανο ή συνδυασμό οργάνων. Ο/οι εκτελεστής/ες δεν παίζουν κανένα φθόγγο κατά τη διάρκεια του έργου, οι ακροατές οφείλουν (!) να επικεντρώσουν την προσοχή τους στους ήχους του περιβάλλοντος.

• Terry Riley (1935) / In C (1964)
Αλεατορικό κομμάτι για 35 (στην καλλίτερη περίπτωση) εκτελεστές. Ο τίτλος σημαίνει στην τονικότητα της Ντο μείζονος. Αποτελείται από 53 μικρές αριθμημένες φράσεις και δεν έχει συγκεκριμένη διάρκεια. Λόγω του αλεατορικού χειρισμού των φράσεων οι διάφορες εκτελέσεις διαφέρουν μεταξύ τους. Συνήθως αναφέρεται ως η πρώτη μινιμαλιστική σύνθεση (ως συνήθως υπάρχουν πολλές απόψεις, άλλος υποψήφιος για την πρωτιά είναι ο Klaus Huber).

• Gyoergy Ligeti (1923-2006) / Trois Bagatelles, for David Tudor (1961)

I. 0’27, λίγο μετά την αρχή ακούγεται ένα Db, ο μοναδικός φθόγγος του έργου
ΙΙ. 0’17, ησυχία
ΙΙΙ. 0’32, ησυχία

Οι Trois Bagatelles ανήκουν στον κύκλο των έργων “musikalischer Provokationen und Zeremonielle”, μαζί με την Σιωπηλή Διάλεξη για το μέλλον της μουσικής (σκάνδαλο στο Alpbach το 1961) και το Συμφωνικό Ποίημα για 100 μετρονόμους (σκάνδαλο στο Hilversum το 1962).

• Giacinto Scelsi (1905-1988) / Quattro pezzi su una nota sola (1959)
Έργο του τέλους της δεύτερης συνθετικής περιόδου (1952-1959) του Scelsi, για ορχήστρα δωματίου και ένα από τα πιο διάσημα έργα του. Το καθένα από τα τέσσερα αυτά κομμάτια επικεντρώνεται σε ένα μόνο φθόγγο (F, B, Ab, A), σκιάζοντάς τον μικροτονικά, δημιουργώντας αρμονικούς υπαινιγμούς και παραλλάσσοντας το ηχόχρωμα και τη δυναμική.

Τα προηγούμενα έργα που παρέθεσα μπορούν να ιδωθούν ως προκλήσεις, ως ανταπαντήσεις, ως δημιουργικό χιούμορ κλπ., χωρίς σε καμιά περίπτωση να μειώνεται η καλλιτεχνική τους αξία και ο ρόλος που έπαιξαν στην εξέλιξη της μουσικής του 20ου αι. Το έργο του Scelsi όμως είναι ένα αδιαμφισβήτητο αριστούργημα, από τη μια πρωτοποριακό και επαναστατικό από την άλλη βαθειά εσωτερικά οικείο με την έννοια ότι ο καθένας μπορεί να βρει σ’ αυτό ένα κομμάτι του υποσυνειδήτου του (όπως ακριβώς συμβαίνει και με τη μουσική του Χρήστου, με τον οποίο υπήρξαν και φίλοι).

Η δικιά μου μουσική άσκηση ιστολογίου (iPreludes σύντομα) χρησιμοποιεί αποκλειστικά τους τρεις φθόγγους της ντο ελάσσονος συγχορδίας (C, Eb, G). Όπως και στο Πάρκο Συγχορδιών που προηγήθηκε έτσι και εδώ πρέπει να λυθούν τα προβλήματα της ροής, της κορύφωσης και γενικότερα της δημιουργίας ενδιαφέροντος για ένα έργο που χρησιμοποιεί μια μόνο συγχορδία. Χρησιμοποίησα τις ίδιες τεχνικές όπως και στο Πάρκο Συγχορδιών, επιπρόσθετα ο «τονισμός» ενός εκ των τριών φθόγγων της ντο ελάσσονος μπορεί να δώσει τη ψευδαίσθηση μιας μετατροπίας (Eb, G) και μόνος φθόγγος G τονισμένος και με τη βοήθεια των αρμονικών την ψευδαίσθηση μιας δεσπόζουσας λίγο πριν την τελική πτώση.

Από τον Οξύρρυγχο στη μουσική της φιλοσοφίας μας

Αντιλαμβάνομαι ως σοβαρή και αδικαιολόγητη έλλειψη στη μουσική μου εκπαίδευση την άγνοια για την αρχαία ελληνική και βυζαντινή μουσική. Προσπάθησα να συμπληρώσω ατάκτως και χωρίς πρόγραμμα το κενό, με αποτελέσματα μη αξιοποιήσιμα συνθετικά και ορθά πιστεύω πράττοντας έμεινα μακριά από κάθε έθνικ πειρασμό.

Χωρίς βαθειά και πρακτική γνώση της αρχαίας και βυζαντινής μουσικής τα συνθετικά αποτελέσματα είναι από επιφανειακά έως κιτς (το τριημητόνιο από μόνο του δεν είναι ελληνική μουσική, αν και κάποιος άγγλος συνθέτης το πληρώθηκε σε χρήμα και δόξα και έκανε γνωστή τη δικιά του τραβεστί εκδοχή της βυζαντινής μουσικής). Διακρίνω τρεις συνθέτες (μια πρόχειρη και απολύτως ενδεικτική δειγματοληψία, σίγουρα αφήνω πολλούς άλλους εκτός) που στη μουσική τους ενσωμάτωσαν λειτουργικά στοιχεία της παράδοσης, οδηγούμενοι στο πολυπόθητο «νέο»: τον Μιχάλη Αδάμη, τον Θόδωρο Αντωνίου και τον Γιώργο Χατζημιχελάκη.

Αφορμή για τις ανωτέρω πρόχειρες σκέψεις μου μια σειρά καταχωρήσεων στο ιστολόγιο του Μπερεκέτη που θίγουν σε βάθος και με οξυδέρκεια ανάλογα θέματα:

Από τον Οξύρρυγχο στην έλλειψη συμφωνικής μουσικής παραδόσεως

Η μουσική της φιλοσοφίας μας, ή Περί μουσικού λογιοτατισμού

Θα ήθελα να σας προτείνω μια επίσκεψη στο ιστολόγιο του συνθέτη, μαέστρου και δασκάλου Θόδωρου Αντωνίου. Οι νέοι συνθέτες θα βρουν λύσεις σε θέματα τεχνικής και αισθητικής που τους απασχολούν και οι φίλοι της έλλογης μουσικής θα έχουν την ευκαιρία να διαβάσουν τα σχόλια του ίδιου του συνθέτη για το έργο του.

O Schoenberg για τη Καλλιτεχνική Έκφραση

Η προηγούμενη καταχώρησή μου έγινε αφορμή για συζήτηση, εντός και εκτός του διαδικτύου, για το έργο τέχνης και εν γένει για τη καλλιτεχνική έκφραση. Παραθέτω κατωτέρω την άποψη του Schoenberg επί του θέματος σε πρόχειρη μετάφρασή μου, συν τοις άλλοις συνιστά κατά τη γνώμη μου και έναν πληρέστατο ορισμό του εξπρεσιονισμού:

“Η Τέχνη είναι μια κραυγή κινδύνου αυτών που ζουν μέσα τους το πεπρωμένο της ανθρωπότητας, αυτών που δεν είναι ευχαριστημένοι μ’ αυτό αλλά μετρούν τους εαυτούς τους σε σχέση μ’ αυτό, αυτών που δεν υπηρετούν βλακωδώς τη μηχανή με την επιγραφή «αόρατες δυνάμεις» αλλά ρίχνονται στα γρανάζια της για να δουν πως δουλεύει. Είναι αυτοί που δεν αποστρέφουν το βλέμμα τους από τα συναισθήματα αλλά ανοίγουν διάπλατα τα μάτια τους για να επιτεθούν στο στόχο τους, αν και μερικές φορές τα κρατούν κλειστά για να αντιληφθούν αυτό που οι αισθήσεις δεν μπορούν να μεταφέρουν, για να δουν μέσα σ’ αυτό που φαίνεται να συμβαίνει στην επιφάνεια. Ο κόσμος μέσα τους γυρίζει, μόνο η ηχώ αυτής της κίνησης διαρρέει στο περιβάλλον – το έργο τέχνης.”

Από το Aphorismen στο Die Musik, Berlin, 9. Jahrgang, Vol.36 (1909-10): 159

iPrelude I: ChordPark

Αντιμετωπίζω την σύνθεση ως «λύση προβλήματος». Γι αυτόν το λόγο θεωρώ το How to Solve It του Polya το καλλίτερο εγχειρίδιο "σύνθεσης". Ο σπουδαστής της Τέχνης και τεχνικής της σύνθεσης καλείται να λύσει τα μουσικά προβλήματα που του θέτει ο δάσκαλός του, είτε είναι για παράδειγμα η εναρμόνιση μιας δοσμένης μελωδίας, η σύνθεση ενός αναγεννησιακού μοτέτου, η σύνθεση μιας φυγής σε δοσμένο θέμα, είτε τέλος η σύνθεση ενός οποιουδήποτε κομματιού “a la manière de”. Κρίνεται με βάση ένα σύστημα κανόνων, οι οποίοι είτε τίθενται αυθαίρετα – Αρμονία και Αντίστιξη Dubois, Prout κλπ – είτε αποτελούν απόσταξη ενός συγκεκριμένου ύφους και τεχνικής που χρησιμοποιήθηκε κάποια στιγμή στο παρελθόν – ύφος και τεχνική Palestrina, Bach, κλασικής περιόδου κλπ. Ο συνθέτης θέτει ο ίδιος το πρόβλημα και προσπαθεί να δώσει τη βέλτιστη λύση. Ο Mascagni, στην Cavalleria για παράδειγμα, θέτει το πρόβλημα της μουσικής περιγραφής (πρόχειρα λέγω «περιγραφής», μπορεί να πρόκειται κατά περίπτωση για φιλοσοφικό στοχασμό, εντύπωση, έκφραση συναισθημάτων κλπ) του ερωτικού πάθους, της συζυγικής πίστης και απιστίας και το λύνει εντός ενός συγκεκριμένου μουσικού συστήματος. Οι Monteverdi και Gesualdo έλυσαν ανάλογα προβλήματα μέσα σε άλλο σύστημα. Πολλές φορές κρίνοντας τη λύση ενός μουσικού προβλήματος, λανθασμένα κρίνουμε το σύστημα και όχι την ίδια τη λύση του προβλήματος, θα έλεγα ότι το ορθόν και η ομορφιά μιας λύσεως σκιάζεται από την προτίμησή μας για κάποιο άλλο σύστημα. Κάτι ανάλογο μπορεί να παρουσιαστεί και στον αδελφό κλάδο της μουσικής, τα μαθηματικά: το πρόβλημα ένα, η απόδειξη του Θεωρήματος των Πρώτων Aριθμών, κάποιος μπορεί να προτιμήσει την απόδειξη των Hadamard και Vallé Poussin (1896), ή την στοιχειώδη των Erdös (1949) και Selberg (1950). Σίγουρα δεν πρόκειται απλά για θέμα προτίμησης, υπάρχουν πολλοί άλλοι παράγοντες που πρέπει να συνεκτιμηθούν και στα μαθηματικά και στη μουσική. Δεν αποκλείεται βέβαια η λύση ενός μουσικού προβλήματος – και όχι μόνον - να απαιτεί την κατασκευή ενός νέου συστήματος, στον 20ο αιώνα μάλιστα αυτό ήταν το πλέον σύνηθες, το καθολικό σύστημα – common practice period – των δύο προηγούμενων αιώνων εγκαταλείφθηκε και κάθε μουσικό έργο παρουσιαζόταν μαζί με το δικό του σύστημα (για την ακρίβεια τα περισσότερα από αυτά τα συστήματα ήταν παραλλαγές της δωδεκάφθογγης μεθόδου σύνθεσης του Schoenberg, με εξαίρεση, λαμπρότητος καινοφανούς, συτά του Ξενάκη).

Το πρόβλημα που έθεσα στον εαυτό μου, προς χάριν του ιστολογίου μου, ήταν να συνθέσω ένα κομμάτι με βάση ένα κατάλογο κλασικών, jazz και 20ου αι. συγχορδιών που είχα συντάξει για τους μαθητές μου. Τα δεδομένα του προβλήματος είναι τα εξής:

Μια σειρά συγχορδιών με κοινή θεμέλιο δεν έχει κατεύθυνση (επίσης ροή, δεν κορυφώνεται, δεν δημιουργεί πτώσεις και μοιραία φράσεις). Να κατασκευαστεί λοιπόν ένα μουσικό έργο / άσκηση που να δικαιολογεί και το μουσικό του εγχειρήματος και το έργο / άσκηση με βάση ένα δεδομένο κατάλογο ασύνδετων συγχορδιών.

Η έλλειψη κατεύθυνσης στη σύγχρονη μουσική δεν είναι πια πρόβλημα, στην τονική ήταν και είναι θεμελιώδες. Πως όμως θα μπορούσε να δημιουργήσει κανείς την αίσθηση, ή τουλάχιστον την ψευδαίσθηση της κατεύθυνσης στον συγκεκριμένο κατάλογο συγχορδιών; Η λύση που προσπάθησα να δώσω εστιάζεται ανάμεσα σε άλλα, σε δύο κύρια σημεία: στο ρυθμό και στην ενορχήστρωση και βέβαια δεν είναι πρωτότυπη, το Bolero του Ravel – ένα από τα εξυπνότερα αν μη τι άλλο έργα του 20ου αι. – δίνει ανάλογη λύση σε ανάλογο πρόβλημα. Το επαναλαμβανόμενο ρυθμικό στοιχείο του ταμπούρλου και ο ισοκράτης Ντο συνιστούν ένα συνεκτικό πλέγμα πάνω στο οποίο δημιουργούν την κίνηση τα εναλλασσόμενα μοτίβα των οργάνων και η αλλαγή των ηχοχρωμάτων μέσω της ενορχήστρωσης.
Όπως τις ασκήσεις της γεωμετρίας της έλεγχε με αυστηρότητα ο απρόσιτος και κατά προτίμηση γηραιός και σεβάσμιος καθηγητής των μαθηματικών στο Γυμνάσιο, έτσι και εγώ περιμένω τον αυστηρό έλεγχο της λύσης μου στο πρόβλημα που σας εξέθεσα.

Να η πρώτη σελίδα του καταλόγου των συγχορδιών:


και η πρώτη σελίδα του κομματιού:

Τεχνική Σημείωση
1. Αν το buffering του video αργεί και έχετε την τελευταία έκδοση του Real Player η οποία διατίθεται δωρεάν στο διαδίκτυο (v.11 beta), μπορείται να κατεβάσετε το video στον υπολογιστή σας για απρόσκοπτη ροή.
2. Είναι πλέον γνωστό, ακόμη και στον Αριστομνήμονα ήρωα του Harmarn Papeerte, ότι με κλικ οι εικόνες μεγεθύνονται.

Πειραιάς

Μουσική από Μακριά, ή Μουσική Ελλήνων της Διασποράς

Η NASA σε συνεργασία με την European Space Agency και την Italian Space Agency απέστειλε στο Κρόνο το διαστημικό εξερευνητικό σκάφος Cassini-Huygens με σκοπό την εξερεύνηση αυτού και των δορυφόρων του.
Το μαγνητόμετρο του Cassini κοντά στον Εγκέλαδο (15% της διαμέτρου της δικής μας σελήνης) στις 17 Φεβρουαρίου και στις 9 Μαρτίου 2005 κατέγραψε την παρουσία κυμάτων ιόντων (electrostatic ion cyclotron waves). Τα ηλεκτροστατικά ιοντικά κυκλοτρονικά κύματα είναι διαταραχές του μαγνητικού πεδίου, οι οποίες όταν καταγράφονται και αναλύονται παρέχουν πληροφορίες σχετικά με το είδος των ιόντων που είναι παρόντα.
Στην ηχητική καταγραφή των ιοντικών κυμάτων, πέρα από το επιστημονικό ενδιαφέρον που παρουσιάζει, διακρίνει κανείς και μια – όχι αναπάντεχη - ξενάκεια χροιά. Ο Εγκέλαδος, όπως θα διαπιστώσετε από το αρχείο ήχου που παραθέτω, απεδείχθη συνάδελφος και λόγω του ελληνικού του ονόματός του ίσως θα έπρεπε να προταθεί για μέλος της ΕΕΜ (τα άστρα, σε πείσμα των πολλών πλέον, συνεχίζουν να είναι avantgarde).

Υ.Γ. Για την ακρίβεια το παραπάνω ηχητικό απόσπασμα δεν μου θυμίζει τόσο τα ηλεκτρονικά έργα του Ξενάκη, μόνο σαν ηχητικό κλίμα ίσως, παρά κάποια σημεία από την Locomotive Symphony, ή το Studies on Steam Engines του Ούγγρου συνθέτη Laszlo Sary. Ο Sary χρησιμοποιεί στη μουσική του βιομηχανικούς θορύβους, ήχους μηχανών, ήχους ατμοκίνητων συδηροδρόμων κλπ. Το ηχητικό υλικό των πραναφερθέντων έργων το αντλεί από ηχογραφήσεις ατμομηχανών που πραγματοποίησε η δισκογραφική εταιρεία Hungaroton (Hungaroton SLPX 19213). Αυτά τα δυο έργα του Sary, μαζί με τις πρωτότυπες ηχογραφήσεις της Hungaroton κυκλοφορούν σε CD της BMC (BMC CD 010, 1998 Budapest Music Center Records)

Εις ασθενούντα...

Σήμερα το πρωί, είχα μια ώρα καιρό πριν φύγω για δουλειά και στη συνηθισμένη βόλτα μου στα blogs των φίλων έπεσα πάνω στο κατωτέρω στιχούργημα του Μπερεκέτη και του συνεργάτη του Ν.Τ:

Εγώ κάθομαι και βήχω.
Και μες στην κίτρινη σπηλιά,
Kοιμούνται δυόμιση σκυλιά,
Kάνοντας ποδήλατο στο τοίχο.

Χαρτί και μολύβι το πρωί, το βράδι Finale και να ένας πιθανός τετράφωνος κανόνας στην ταυτοφωνία:


Με κλικ οι εικόνες μεγεθύνονται και το βίντεο που ακολουθεί είναι μια MIDI μακέτα του χορωδιακού:

Δείτε κι αυτό το βίντεο (Μπερεκέτης)
Κι αυτό (Κουκουζέλης)

Αλέξανδρος: Οι επαίσχυντοι δρόμοι των επιγόνων μου

Τι ντροπή! Ντροπή μας!

Η Ρυθμική Συνιστώσα της Μουσικής

Τα ρυθμικά σχήματα και τα μέτρα που χρησιμοποιούνται στη μουσική της περιόδου 1600-1900 είναι σχετικά απλά σε σύγκριση με αυτά της μουσικής του 20ου αι. Τον 20ο αι. η οργάνωση της ρυθμικής παραμέτρου της μουσικής αποκτά ίση σπουδαιότητα με την οργάνωση του τονικού ύψους.

Ακολουθεί μια έκθεση διαφόρων όρων και εννοιών που σχετίζονται με το ρυθμό υπό μορφή καταλόγου. Κάποιος που ενδιαφέρεται για λεπτομερέστερη περιγραφή των όρων και μουσικά παραδείγματα θα πρέπει να ανατρέξει στα εγχειρίδια που ασχολούνται με τη Θεωρία της Μουσικής και πιο συγκεκριμένα με τη μουσική του 20ου αι. Η ορολογία δεν είναι τυποποιημένη και από εγχειρίδιο σε εγχειρίδιο μπορεί κανείς να βρει τις ίδιες έννοιες να περιγράφονται διαφορετικά.

• Ρυθμός
Η οργάνωση της χρονικής παραμέτρου της μουσικής. Γενικά η έννοια του ρυθμού καλύπτει όλες τις παραμέτρους ενός μουσικού έργου ως οργανωμένης εν τω χρόνω κίνησης. Οι Cooper και Meyer [1] ορίζουν το ρυθμό ως τον τρόπο με τον οποίο ένας ή περισσότεροι ατόνιστοι χρόνοι ομαδοποιούνται σε σχέση με ένα τονισμένο χρόνο. [2]

• Σχηματική και Τυπική αντίληψη του Ρυθμού / Figural and Formal perception of rhythm
Η Jeanne Bamberger [3] διατύπωσε την άποψη ότι τα ρυθμικά σχήματα γίνονται αντιληπτά από τους ακροατές με δύο τρόπους:

1. ως ομάδες φθόγγων / clusters of notes
2. ως διακριτά σημεία κατά μήκος ενός μετρικού άξονα

Ο πρώτος τρόπος είναι χαρακτηριστικός των μικρών παιδιών και μερικών μη εκπαιδευμένων μουσικά ακροατών, ενώ ο δεύτερος των ενηλίκων και ιδιαίτερα των μουσικά εκπαιδευμένων.

• Παλμός / Pulse
Ισόχρονος κτύπος, σφυγμός, περιοδικά εμφανιζόμενος ήχος. Η πλέον πρωτογενής και βασική έννοια του μουσικού ρυθμού.

• Βασική Μετρική Μονάδα, “Χρόνος” / Beat
Ο βασικός παλμός ενός μουσικού έργου ή τμήματός του.

• Ρυθμική Αγωγή / Tempo
Ο ρυθμός εμφάνισης μιας μετρικής μονάδας (αριθμός μετρικών μονάδων στη μονάδα του χρόνου). Για παράδειγμα tempo τέταρτο = 60 σημαίνει 60 μετρικές μονάδες (εδώ τέταρτα) το λεπτό (minute), 1 τέταρτο θα διαρκεί 1/60 min = 1 sec.

• Μέτρο / Meter [4]
Μέτρο είναι ένα συμβατικό μέγεθος που επινόησε ο άνθρωπος για να συγκρίνει όμοια πράγματα, όπως αποστάσεις (μήκος / length: meter [m]), χρονικές διάρκειες (χρόνος / time: second [sec]), μάζες (μάζα / mass: kilogram [Kgr]) κλπ. Με τη χρήση του μέτρου δημιουργούμε τάξη μέσα από την αταξία κι έτσι βοηθούμε την αντίληψη, τη μνήμη, τη κατάταξη και τη δημιουργικότητα. [5]

Μέτρο στη μουσική ονομάζεται η οργάνωση των βασικών μετρικών μονάδων / beats σε ισόχρονες ομάδες - σχηματισμούς / patterns. Η οργάνωση των βασικών μετρικών μονάδων σε ζεύγη, τριάδες και τετράδες είναι η πλέον κοινή.

Σχηματικά μέτρο είναι η απόσταση μεταξύ δύο διαστολών. Μέσα σε ένα μέτρο περικλείονται φθόγγοι και παύσεις που το άθροισμα των αξιών τους είναι σταθερό και ίσο με τόσες μετρικές μονάδες (τη μετρική μονάδα δείχνει ο παρονομαστής του μουσικού κλάσματος) όσες δείχνει ο αριθμητής.

Το μέτρο είναι το πλαίσιο μέσα από το οποίο γίνεται αντιληπτή η χρονική οργάνωση ενός μουσικού έργου. Τονικότητα είναι το πλαίσιο μέσα από το οποίο γίνεται αντιληπτή η φθογγική οργάνωση ενός μουσικού έργου. Οι δύο έννοιες, του μέτρου και της τονικότητας, είναι άρρηκτα συνδεδεμένες, παρόλο που συνήθως τις αντιλαμβανόμεθα σαν ξεχωριστές. Ο τρόπος με τον οποίο αντιλαμβανόμαστε το μέτρο επηρεάζεται από τις τονικές λειτουργίες των φθόγγων και η αντίληψη μας για την τονικότητα επηρεάζεται από τη θέση που καταλαμβάνουν οι φθόγγοι στο μέτρο. [6]

• Διαστολή / Barline
Για να καταστεί η ανάγνωση της μουσικής πιο εύκολη τα μέτρα χωρίζονται με κάθετες γραμμές που εκτείνονται από την 1η μέχρι την 5η γραμμή του πενταγράμμου και ονομάζονται διαστολές.

Στη μουσική του 20ου αι. συχνά οι διαστολές παραλείπονται ή αντικαθίστανται από μικρές γραμμές (tics) ενδεικτικές του χωρισμού των μέτρων (βλπ. L. Berio, Sequenza I for flute solo). Στον Ligeti οι διαστολές τις περισσότερες φορές χρησιμοποιούνται υποβοηθητικά για των συγχρονισμό των διαφόρων οργάνων και δεν δείχνουν μετρικούς τονισμούς (βλπ για παράδειγμα G. Ligeti Kammerkonzert, εδώ πρόκειται για αμετρική μουσική, βλπ κατωτέρω).

Στο τέλος ενός μουσικού έργου ή μείζονος τμήματός του τοποθετείται διπλή διαστολή / final barline.

• Δίσημο μέτρο / Duple meter
Η ομαδοποίηση των βασικών μετρικών μονάδων σε ζεύγη.

• Τρίσημο μέτρο / Triple meter
Η ομαδοποίηση των βασικών μετρικών μονάδων σε τριάδες.

• Τετράσημο μέτρο / Quadruple meter
Η ομαδοποίηση των βασικών μετρικών μονάδων σε τετράδες.

• Μετρικός οπλισμός / Time (Meter) Signature
Το μουσικό κλάσμα που τίθεται δίπλα και δεξιά από το εκάστοτε μουσικό κλειδί και μετά τον οπλισμό ενός μουσικού έργου ή τμήματός του. Ο παρονομαστής του μουσικού κλάσματος δείχνει τη μετρική μονάδα και ο αριθμητής πόσες μετρικές μονάδες περιέχει το κάθε (πλήρες) μέτρο, π.χ 3/8 σημαίνει: μετρική μονάδα το όγδοο και κάθε μέτρο περιέχει 3 όγδοα.

Τα μέτρα χωρίζονται σε απλά / simple, σύνθετα / compound, composite τα οποία επιπλέον υποδιαιρούνται σε κανονικά σύνθετα και μη κανονικά σύνθετα και τέλος σε μικτά / mixed, combined.

Απλό ονομάζεται το μέτρο του οποίου ο αριθμητής του μουσικού κλάσματος ανήκει στο σύνολο {2,3} και κατ΄ άλλους συγγραφείς στο σύνολο {2,3,4} (δηλ. τα 4/4 μπορούν να θεωρηθούν είτε απλό είτε σύνθετο μέτρο).
Σύνθετο ονομάζεται το μέτρο του οποίου ο αριθμητής του μουσικού κλάσματος είναι πολλαπλάσιο του 2 ή 3.
Μη κανονικό σύνθετο ονομάζεται το σύνθετο μέτρο που χωρίζεται σε υποομάδες άνισης διάρκειας, π.χ 9/8=3/8 + 2/8 + 2/8 + 2/8.
Μικτό ονομάζεται το μέτρο του οποίου ο αριθμητής του μουσικού κλάσματος είναι άθροισμα του 2 και 3 ή των πολλαπλασίων αυτών, π.χ αριθμητής 5 = 3+2, 7=3+2+2. (δες και προσθετικό ρυθμό κατωτέρω).

(κάντε κλικ στην εικόνα για μεγέθυνση)

• Πολλαπλασιαστικά και υποπολλαπλασιαστικά μετρικά επίπεδα / multiple & division meter levels
Η μετρική μονάδα (beat) ενός μουσικού έργου ή τμήματός του συχνά οργανώνεται σε μετρικές ομάδες - επίπεδα πολλαπλάσιες ή υποπολλαπλάσιες της βασικής. Αυτά τα μετρικά επίπεδα μπορεί να είναι αντιληπτά από τον ακροατή ή μπορεί να προκύπτουν από την ανάλυση. [7]

• Αντιχρονισμός
Ονομάζεται το φαινόμενο κατά το οποίο στο ισχυρό μέρος ενός μέτρου ή στην ισχυρή του υποδιαίρεση υπάρχει παύση και στο ασθενές φθόγγος.

• Συγκοπή / Syncopation
Ονομάζεται το φαινόμενο κατά το οποίο το ασθενές μέρος ενός μέτρου ή η ασθενής υποδιαίρεση ενώνονται με σύνδεση διαρκείας με ισχυρό ή την ισχυρή υποδιαίρεση. Οι συγκοπές δημιουργούν “τονισμούς” σε μέρη του μέτρου που αλλιώς θα ήταν ατόνιστα και μερικές φορές “φαινομενικές” αλλαγές μέτρου (δες αλλαγές μέτρου κατωτέρω).

Σε πολυφωνικά συνθέματα όταν η συγκοπή δημιουργεί διάφωνο διάστημα με κάποιον άλλο φθόγγο του συνθέματος, ονομάζεται καθυστέρηση / suspension και σ’ αυτή τη περίπτωση θα πρέπει να προετοιμαστεί και να λυθεί σύμφωνα με ορισμένους κανόνες.

Η συγκοπή ως χρονικό φαινόμενο είναι το ανάλογο της διαφωνίας, φαινόμενο τονικό. Για να γίνει αντιληπτή και αποτελεσματική η πρώτη, χρειάζεται ένα σταθερό μετρικό πλαίσιο και η δεύτερη ένα τονικό κέντρο.

• Αλλαγές μέτρου / Changing meters, Mixed meter, Variable meter, Multimeter
Με τον όρο αυτό υποδηλώνουμε την αλλαγή του μετρικού οπλισμού κατά την διάρκεια ενός κομματιού. Η αλλαγή αυτή μπορεί ρητά να σημειωθεί από τον συνθέτη (με αλλαγή του μετρικού οπλισμού, π.χ από 3/4 σε 4/8) ή να υποδηλωθεί με συνεπή χρήση συγκοπών για παράδειγμα. Στην τονική μουσική αλλαγές μέτρου δεν είναι συχνές, στη μουσική όμως του 20ου αι. γίνεται ευρεία χρήση τους.

• Προσθετικός ρυθμός / Additive rhythm, Complex meter
Κάποια ρυθμική αξία (συνήθως το όγδοο) παραμένει σταθερή και οργανώνεται σε ανισομήκεις ομάδες αξιών, π.χ. βασική ρυθμική αξία το όγδοο και οργάνωσή του σε ομάδες των 2, 3 και 2 ογδόων, προκύπτει ο προσθετικός ρυθμός: 2+3+2/8. Ο συνθέτης επίσης θα μπορούσε να γράψει μετρικό οπλισμό 7/8 και να οργανώσει “σημειογραφικά” τα όγδοα σε ομάδες των: 2-3-2.Τα μέτρα που προκύπτουν με χρήση προσθετικού ρυθμού ονομάζονται μη κανονικά σύνθετα ή μικτά.

• Πολυμέτρο, Πολυμετρία / Polymeter
Η ταυτόχρονη χρήση σε διαφορετικές φωνές δύο ή περισσοτέρων μετρικών οπλισμών. Είναι τρόπον τινά το μετρικό ανάλογο της πολυτονικότητας.

Η πολυμετρία μπορεί να επιτευχθεί με τρεις τρόπους:
1. ίδιος μετρικός σε όλες τις φωνές αλλά τα μέτρα είναι μετατοπισμένα, οι διαστολές δεν συμπίπτουν σε κάθε φωνή.
2. διαφορετικός μετρικός οπλισμός σε κάθε φωνή αλλά οι διαστολές συμπίπτουν.
3. διαφορετικός μετρικός οπλισμός σε κάθε φωνή αλλά οι διαστολές δεν συμπίπτουν.

Συχνά η πολυμετρία υπονοείται παρά σημειώνεται ρητά, διότι η μη σύμπτωση των διαστολών (λόγω των διαφορετικών μετρικών οπλισμών) προκαλεί σύγχυση.

• Πολλαπλή ρυθμική αγωγή / Polytempo
Κάθε φωνή ενός πολυφωνικού συνθέματος έχει τη δική της ρυθμική αγωγή / tempo. Η έννοια αυτή είναι ανάλογη της πολυμετρίας αλλά δεν πρέπει να συγχέεται μ΄ αυτήν. Είναι δυνατόν να πετύχουμε πολλαπλή ρυθμική αγωγή σε ένα πολυφωνικό σύνθεμα με χρήση μιας μόνον ρυθμικής αγωγής με χρήση κατάλληλων ρυθμικών αξιών. [8]

• Μετρική μετατροπία / Metric, Beat or Tempo modulation
Η μεταφορά από μια μετρονομική ένδειξη / tempo (αρχική) σε μια άλλη (νέα) μέσω της εγκαθίδρυσης αναλογικών σχέσεων ανάμεσα στις δύο μετρονομικές ενδείξεις (αρχική και νέα). Ιστορικά ο Elliott Carter ήταν αυτός που χρησιμοποίησε πρώτος μετρικές μετατροπίες, αν και υπάρχουν και προγενέστερα παραδείγματα στον 20^ο αι., π.χ. Alban Berg, Wozzeck.

Αν τέταρτο = 60, ο παρακάτω πίνακας δίνει τα πολλαπλάσια και υποπολλαπλάσια του τετάρτου:

• Αμετρική μουσική / Ametric music
Μουσική στην οποία δεν γίνεται αντιληπτή κάποια μετρική οργάνωση. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί για παράδειγμα με χρήση πολύπλοκων ρυθμικών σχημάτων σε μια φωνή ή διαφορετικών σε πολλές φωνές ενός πολυφωνικού συνθέματος. Η αναλογική σημειογραφία οδηγεί σε ένα τέτοιο αποτέλεσμα αν και αρκετές φορές και από πρόθεση του συνθέτη πλήρως καταγραμμένα πολύπλοκα ρυθμικά σχήματα εισπράττονται από τον ακροατή ως αμετρική μουσική.

Ορισμένοι συγγραφείς έχουν χρησιμοποιήσει τον αδόκιμο όρο μη ρυθμική μουσική /arhythmic music. [9]

Όταν η μουσική είναι αμετρική αντιλαμβανόμεθα τις ρυθμικές αξίες τοπικά και όχι τοποθετημένες σε ένα καθολικό μετρικό πλαίσιο.

• Αναλογική σημειογραφία / Proportional notation, spatial notation of duration
Οι διάρκειες των φθόγγων δηλώνονται αναλογικά ή/και γραφικά, π.χ. αναλογικά: σε 3΄΄ να παιχθούν 7 φθόγγοι και γραφικά: με μια ευθεία γραμμή που δείχνει αναλογικά (δηλ. σε σχέση με το μήκος της ή με άλλες ευθείες γραμμές, ή σε σχέση με ένα πρότυπο μήκος) τη διάρκεια του φθόγγου.

Με τη χρήση της αναλογικής σημειογραφίας η μουσική κερδίζει σε αυθορμητισμό και γίνεται πιο εύκαμπτη, χάνει όμως σε ακρίβεια.

• Σειραΐκός ρυθμός / Serialized rhythm
Ρυθμός που προκύπτει από μια σειρά αξιών / rhythmic row, series.

• Ισορρυθμία / Isorhythm
Χρήση ενός ρυθμικού προτύπου το οποίο επαναλαμβάνεται κάθε φορά (σε κάθε επανάληψη) με διαφορετικούς φθόγγους, ή με τους ίδιους φθόγγους σε διαφορετική διάταξη.

Η ισορρυθμία απαντάται επίσης στη βιβλιογραφία και ως δομικός ρυθμός / constructive rhythm, ιδιαίτερα όταν σχετίζεται με την μουσική του Alban Berg. [10]

• Ostinato
Χρήση ενός ρυθμικού προτύπου το οποίο επαναλαμβάνεται με τους ίδιους φθόγγους και με την ίδια φθογγική διάταξη κάθε φορά.

Προσοχή στη διάκριση ανάμεσα σε ισορρυθμία και ostinato.

• Κλασματικός μετρικός οπλισμός / Fractional time signature
Μετρικοί οπλισμοί του τύπου ονομάζονται κλασματικοί. Αυτός ο μετρικός οπλισμός σημαίνει: μετρική μονάδα το μισό (παρονομαστής: 2) και κάθε μέτρο θα περιέχει 4 χρόνους ο καθένας από τους οποίους θα είναι το 1/3 της αξίας του μισού. [11]

Παραπομπές

1. H. S Powers, “Rhythm” στο The New Harvard Dictionary of Music.
2. G. Cooper and L. B Meyer, The Rhythmic Structure of Music, σ.6
3. Jeanne Bamberger, “Cognitive Structuring in the Apprehension and Description of Simple Rhythms” Archives de Psychologie 48 (1980): 171-199
4. Στην αγγλική βιβλιογραφία υπάρχει μια λεπτή διάκριση ανάμεσα στον όρο meter και measure, όροι που στην ελληνική μεταφράζονται από κοινού μουσικό μέτρο. Αντιγράφω από τον Kostka: “Beats tend to be grouped into patterns that are consistent through a passage; the pattern of beats is called the meter…The groups of beats are called measures”. S. Kostka & D. Payne, Tonal Harmony, σ.29.
5. δες και Γ. Διαμαντής, Η Κλασική Θεωρία της Μουσικής, σ.8
6. J. Kent Williams, Theories and Analyses of Twentieth-Century Music, σσ.98-99
7. Ibid, σσ.98,99
8. δες Elliott Carter, String Quartet Νο.1, (1951), mm.22-26
9. Stefan Kostka, Twentieth-Century Music, σ. 122
10. Jarman, The Music of Alban Berg, σ.147
11. δες Pierre Boulez, Le Marteau sans maître, (1955, μ.3)

Η Ερυθρά Συγχορδία της Δυνάμεως

Τα τρία θλιμμένα ρε

Δεν είναι μόνο στην Ελλάδα που νοιώθουμε βαθειά και επώδυνα ότι ζούμε σε μια πολιτισμική κρίση, με αρχή χαμένη κάπου στην απελευθέρωση και τέλος - η γνωστή άκρη του τούνελ - που δεν φαίνεται ούτε και με τον πιο ισχυρό προβολέα, άσε που αντί για προβολέα μας δίνουν κάτι φακούς με ισχνό φώς, ηχογραφήθηκαν λέει όλες οι συμφωνίες του εθνικού μας συνθέτη, φως να’ ναι κι ό,τι να’ ναι θα πείτε, πέρασε και περνά και η Ευρώπη τέτοιες κρίσεις, μόνο που τις δικιές της αν τις ζωγράφιζα θα ήταν κάτι σαν την γραφική παράσταση του ημιτόνου, θυμάστε ε, με τα ανεβάσματα και τα κατεβάσματά του, η δικιά μας είναι μια ευθεία με μεγάλη και αρνητική κλίση, τώρα πια το ίχνος της έχει χαθεί έξω από το χαρτί μιλλιμετρέ που τη σχεδιάζω, το’ χουν αυτό το χάρισμα οι ευθείες να μην σταματούν πουθενά, έτσι τις έφτιαξε ο αλεξανδρινός, η πρώτη εξαγγελία του νέου υπούργου κατά της πάταξης τέτοιων ατίθασων ευθειών που κατηφορίζουν απότομα ήταν μέτρα για τη βία στα γήπεδα, ο προηγούμενος υπούργος είχε μια πολύ ίσια ευθεία μέσα στο κεφάλι του, μ’ ένα τέτοιο δοκάρι σφηνωμένο μες το μυαλό σου το καλλίτερο που μπορείς να κάνεις είναι να κτυπάς το τύμπανο σε συγκέντρωση οπαδών σου, απαγωγικά φτάνουμε στην απελευθέρωση …

Σε μια τέτοια κρίση βρισκόταν και ο επιρρεπής στις κρίσεις Arthur Honegger, το 1947, όταν πήρε μια παραγγελία από το Ίδρυμα Koussevitzky (Koussevitzky Music Foundation) για να συνθέσει ένα έργο στη μνήμη της Ναταλίας, της γυναίκας του μεγάλου μαέστρου. Στο κρεβάτι με στηθάγχη, κατάθλιψη, και με τα βλέφαρα να αρνούνται να κλείσουν για να χωρίσουν τη μέρα από τη νύχτα, θεώρησε ότι δεν θα μπορούσε να φέρει σε πέρας το έργο. Διηγείται στον Bernard Gavoty που τον επισκέφθηκε στο σπίτι του το 1950: «Υποφέρω από αϋπνία. Για να εξορκίσω τις μαύρες σκέψεις μου, τις σημειώνω στο χαρτί … έτσι προέκυψαν κάποια σκίτσα … αφού τα ένωσα μεταξύ τους παρατήρησα ότι έφτιαχναν μια συμφωνία, την οποία και ενορχήστρωσα». [1]

Πώς να ονομάσεις τώρα τη πέμπτη σου συμφωνία «Πέμπτη»; Πέμπτη είναι μόνο μία και αυτήν την έγραψε κάποιος άλλος … Προσέθεσε λοιπόν το di tre re σαν υπότιτλο της δικής του πέμπτης, χωρίς καμιά αναφορά όπως δηλώνει ο ίδιος στους Τρεις Μάγους των Χριστουγέννων, ή σε οποιοδήποτε άλλο συναφή συνειρμό, αλλά για να τονίσει μια πολύ ενδιαφέρουσα δομική ιδέα: καθένα από τα τρία μέρη της συμφωνίας τελειώνει με τρία ρε, pizzicato στα κοντραμπάσα με συνοδεία τυμπάνου ad libitum (μόνο σ’ αυτά τα τρία σημεία παίζουν τα τύμπανα σε όλη την συμφωνία!).

Η Πέμπτη συμφωνία του Honegger συνθέθηκε και ενορχηστρώθηκε στο Παρίσι μεταξύ Αυγούστου και 3 Δεκεμβρίου του 1950, πάνω στα σχέδια που προαναφέραμε. Φέρει την αφιέρωση: «Για το Ίδρυμα Koussevitzky / Αφιερωμένη στη μνήμη της Natalia Koussevitzky». Αποτελείται από τρία μέρη:

I. Grave
II. Allegretto
III. Allegro marcato

Θα εστιάσω την προσοχή στην πολύ ενδιαφέρουσα αρχή του πρώτου μέρους της συμφωνίας. Η διτονικότητα και εν γένει η πολυτονικότητα, από τις αρχές του 20^ου αι., απετέλεσε ένα πολύ ισχυρό συνθετικό εργαλείο, από τη μια καταστρέφει (δημιουργικά!) τη λειτουργική τονικότητα από την άλλη διατηρεί όποια δομικά στοιχεία κρίνει ο συνθέτης απαραίτητο να διατηρηθούν απ’ αυτήν (με την ορθή επιλογή των τονικοτήτων που θα συνηχήσουν και την επεξεργασμένη κάθετη διευθέτηση των μελωδιών). Ο Honegger επιλέγει δυο συγχορδιακά επίπεδα, τα οποία διαφοροποιούνται περαιτέρω με διακριτά ρεζίστρα και εκκινούν από το ίδιο σημείο, τη συγχορδία της ρε ελάσσονος. Σχηματίζονται δύο σειρές τριφώνων συγχορδιών που κινούνται με αντίθετη κίνηση και το ταυτόχρονο άκουσμά τους δημιουργεί ιδιαίτερα πλούσιες και εντυπωσιακές πολυχορδίες. [2] Το πολυτονικό αυτό εύρημα ενισχύει κατά πολύ η ενορχήστρωση, στα πρώτα 24 μέτρα που ακολουθείται αυτή η πρακτική, δίνουν μια δυνατή μεν, αλλά κάπως σκοτεινή, δυσοίωνη εντύπωση.

Παραθέτω τις δύο πρώτες φράσεις σε μεταγραφή για πιάνο. [3] Τα δύο επίπεδα γράφονται στα δύο ξεχωριστά πεντάγραμμα:

(κάντε κλικ στις εικόνες για μεγέθυνση)

Το δεύτερο μέρος είναι συνδυασμός ενός Scherzo (Allegretto) και ενός Adagio. Πλουσιότατο αντιστικτικά (ο Honegger ήταν θαυμαστής του Bach από πολύ μικρός), [4] αποτελεί ένα εξαίρετο δείγμα αντίστιξης του 20^ου αι. Το πρωτεύον θέμα [5] του scherzo δίνεται στο ξεκίνημα στην αρχική μορφή (prime form) (P), ακολουθεί η ανάδρομη της αντίστροφης μορφή (retrograde inversion) (RI) και τέλος η αντίστροφη (inversion) I και η ανάδρομη (retrograde) R μορφή του. Με C=0, εμφανίζονται διαδοχικά οι μορφές: P₂, RI₆, I₂, R₁₀. Για τους γερμανομαθείς, ο Rosbaud το έχει αναλύσει διεξοδικά. [6]

«Δεν έχω ακόμη αρκετή απόσταση από την πέμπτη μου συμφωνία, την οποία άκουσα μια φορά μόνο σχετικά πρόσφατα από τον φίλο μου Charles Munch, για να την κρίνω αντικειμενικά. Έχω εντοπίσει ήδη μερικά λάθη, υπάρχει όμως ένα σημείο το οποίο είναι δικαιολογημένο, … δεν θα σου πω πιο είναι». Αυτά εν ολίγοις λέει ο Honegger στον Gavoty για την πέμπτη του συμφωνία. Το σημείο στο οποίο αναφέρεται είναι κατά πάσα πιθανότητα το απότομο τέλος της επεξεργασίας (development) πάνω σε ένα ξαφνικό ff. Η συμφωνία, αμέσως μετά οδηγείται στο τέλος της με ένα αυστηρό, μονότονο τρόπο σαν να εκμηδενίζεται. [7] Ξεκινά όμως με θηριώδη δύναμη, τα ξύλινα με κραυγές ημιτονίου, τόνου και τέταρτης αυξημένης, τα χάλκινα καρφώνουν επίμονα μεταλλικές συγχορδίες και στο μέτρο 18 ξετυλίγεται μια αγωνιώδης μελωδία στα φαγκότα και στα κόρνα με συνοδεία εγχόρδων, ακούστε την:

Οι 5 συμφωνίες του Honegger
• Symphony No.1 in C, H 75 (1930)
• Symphony No.2 in D, for strings and trumpet, H 153 (1941)
• Symphony No.3 (Symphonie Liturgique), H 186 (1946)
• Symphony No.4 in A (Deliciae Basiliensis), H 191 (1946)
• Symphony No.5 in D, Di Tre Re, H 202 (1950)

O Honegger στο Web
• Site Arthur Honegger
• Wikipedia, Arthur Honegger
• Classical Net, Arthur Honegger

Σημειώσεις
[1] Arthur Honneger, Je suis compositeur, Paris 1951
[2] Robert P. Morgan, Twentieth Century Music, W.W Norton & Company, Inc., 1991, σ.166-167
[3] Arthur Honegger, Symphony No.5, Edition Eulenburg, No.1519. Η πλήρης παρτιτούρα μελέτης του έργου.
[4] Κατά τη γνώμη μου ο συνδυασμός Bach-Schoenberg, άμεσα ή έμμεσα, καθόρισε και συνεχίζει να καθορίζει το μεγαλύτερο και σημαντικότερο μέρος της μουσικής του 20ου και του νηπιακού 21ου αι.
[5] Ορθότερος όρος από το refrain που χρησιμοποιείται στα περισσότερα εγχειρίδια μορφολογίας. Στη συγκεκριμένη περίπτωση που εξετάζουμε, ο όρος πρωτεύουσα θεματική ομάδα, θα ήταν ο πλέον ενδεδειγμένος.
[6] Hans Rosbaud, Zwei neue Orchesterwerke von Honegger: Monopartita und 5. Symphonie, Melos, vol.19
[7] Willi Schuh, Von Neuer Musik, Zurich/Freiburg 1955

Τυπική Λογική, ή Υπάρχει Θεός … 3

O Goedel πέρα από τις προσπάθειες του να καταλάβει το θεωρητικό σύμπαν των αριθμών και των συνόλων (προσπάθειες λίαν καρποφόρες) και το υπαρκτό σύμπαν με τους γαλαξίες του (προσπάθειες που αμφισβητήθηκαν και συνεχίζουν να αμφισβητούνται), ανάλωσε μεγάλο μέρος της δημιουργικότητας του σε φιλοσοφικά έως και θεολογικά θέματα. Ανέπτυξε μια δική του παραλλαγή του “οντολογικού επιχειρήματος ” των Άνσελμου, Descartes και Leibniz. Ειδικά στη δεύτερη διατύπωση του επιχειρήματος του Άνσελμου το βάρος της “απόδειξης” πέφτει στην αναγκαιότητα ύπαρξης του Θεού από την οποία προκύπτει τελικά η ύπαρξή του. Αυτό είναι και το δύσκολο τμήμα της “απόδειξης” όπως διαπίστωσε ο Leibniz και αργότερα ο Goedel.

Ο ίδιος, παρόλο που ισχυριζόταν ότι έβλεπε αυτήν την απόδειξη απλά ως μια τυπική άσκηση, δεν τη δημοσίευσε φοβούμενος τη γελοιοποίηση από τους σκεπτικιστές συναδέλφους του. Η “απόδειξη” που ακολουθεί προέρχεται από το βιβλίο του Hao Wang, Reflections on Kurt Goedel, MIT Press 1987 και έγινε γνωστή μετά το θάνατό του (ήταν γνωστό ενόσω ζούσε ότι είχε επεξεργαστεί μια αναθεωρημένη εκδοχή του οντολογικού επιχειρήματος με βάση την τυπική λογική αλλά κανείς δεν την είχε δει υλοποιημένη). Κανείς δεν πείστηκε βέβαια και εξακολουθεί να παραμένει κοινή πεποίθηση ότι μια απόδειξη της ύπαρξης του Θεού στα πλαίσια της Λογικής είναι αδύνατη.

Κατά τη γνώμη μου τούτη η απόδειξη, αλλά και όλες οι άλλες που παρέθεσα σε προηγούμενες καταχωρήσεις μου, στόχο έχουν να καταδείξουν ότι η πίστη στο Θεό δεν είναι μόνο θέμα του θρησκευτικού συνειδέναι, αλλά μπορεί να θεμελιωθεί, και η ύπαρξη Του να αποδειχθεί και με κανόνες του Ορθού Λόγου. Το κατά πόσον επιτυγχάνουν το σκοπό τους είναι ένα θέμα ανοικτό και σε κάθε περίπτωση κανείς δεν θρησκεύεται με βάση λογικά επιχειρήματα.

Παραθέτω ζευγαρωτά το αγγλικό κείμενο με τη δική μου ελληνική μετάφραση:

Axiom 1. (Dichotomy) A property is positive if and only if its negation is negative.
Αξίωμα 1. (Διχοτομία / αξίωμα διαχωρισμού) Μια ιδιότητα είναι θετική αν και μόνο αν η άρνησή της είναι αρνητική.

Axiom 2. (Closure) A property is positive if it necessarily contains a positive property.
Αξίωμα 2. (Κλειστότητα) Μια ιδιότητα είναι θετική αν αναγκαστικά περιέχει μια θετική ιδιότητα.

Theorem 1. A positive property is logically consistent (i.e., possibly it has some instance).
Θεώρημα 1. Μια θετική ιδιότητα είναι λογικά συνεπής (δηλ. είναι πιθανόν να εμφανιστεί κάποια φορά).

Definition. Something is Godlike if and only if it possesses all positive properties.
Ορισμός. Κάτι είναι Θεϊκό αν και μόνο αν κατέχει όλες τις θετικές ιδιότητες.

Axiom 3. Being Godlike is a positive property.
Αξίωμα 3. Το να είναι κάτι Θεϊκό είναι μια θετική ιδιότητα.

Axiom 4. Being a positive property is (logical, hence) necessary.
Αξίωμα 4. Το να έχει κάτι μια θετική ιδιότητα είναι (λογικό, και ως εκ τούτου) αναγκαίο.

Definition. A property P is the essence of x if x has P and P is necessarily minimal.
Ορισμός. Μια ιδιότητα P είναι η ουσία του x αν και μόνο αν το x έχει την P και η P είναι αναγκαία ελάχιστη.

Theorem 2. If x is Godlike, then being Godlike is the essence of x.
Θεώρημα 2. Αν το x είναι Θεϊκό, τότε το να είναι Θεϊκό είναι η ουσία του x.

Definition. NE(x): x necessarily exists if it has an essential property.
Ορισμός. NE(x): Το x υπάρχει αναγκαία αν έχει μια ουσιώδη ιδιότητα.

Axiom 5. Being NE is Godlike.
Αξίωμα 5. Το να ισχύει η NE είναι Θεϊκό.

Theorem 3. Necessarily there is some x such that x is Godlike.
Θεώρημα 3. Αναγκαία υπάρχει κάποιο x τέτοιο ώστε το x να είναι Θεϊκό.

Μικρή Ελληνική Βιβλιογραφία για τον Goedel

Nagel E. & Newman J.R, Το Θεώρημα του Goedel, Τροχαλία 1991
Yourgrau Palle, Ένας Κόσμος δίχως Χρόνο (Η Ξεχασμένη Κληρονομιά των Γκέντελ και Αϊνστάιν), Τραυλός 2005
Goldstein Rebecca, Αιχμάλωτος των Μαθηματικών (Ο Κουρτ Γκέντελ και το Θεώρημα της Μη Πληρότητας), Τραυλός 2006
Uspenski Β.Α., Για το θεώρημα μη-πληρότητας του Godel, Τροχαλία 1998

Η άτυπη τριλογία του Απόστολου Δοξιάδη έχει ως βασικό της θέμα τον Goedel και το θεώρημα της μη πληρότητας:
Δοξιάδης Απόστολος, Ο Θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ, Καστανιώτης 2000
Δοξιάδης Απόστολος, Από την Παράνοια στους Αλγόριθμους (Η Δέκατη Έβδομη Νύχτα και άλλες Διαδρομές), Ίκαρος 2006
Δοξιάδης Απόστολος & Παπαδημητρίου Χρίστος, Logicomix, υπό [εναγωνίως αναμενόμενη] έκδοση

Ιντερμέδιο

Αν δεν βλέπεις τους καθρέπτες μου, τότε ούτε κι εγώ μπορώ να σε δω.
(από προειδοποιητική πινακίδα προπορευόμενου φορτηγού οχήματος).