Η Αρχιμήδεια ιδιότητα (Archimedean property) των πραγματικών αριθμών δηλώνει ότι, για κάθε \(x,y>0\), υπάρχει φυσικός αριθμός \(n\geq 1\) τέτοιος ώστε:
Μια βασική συνέπεια της ιδιότητας είναι ότι υπάρχουν θετικοί αριθμοί της μορφής \(\frac{1}{n}\) οι οποίοι μπορούν να γίνουν αυθαίρετα μικροί. Ειδικότερα, για κάθε \(\epsilon>0\), υπάρχει φυσικός αριθμός \(n\geq 1\) τέτοιος ώστε:
Η ιδιότητα μπορεί να ερμηνευθεί πρακτικά ως εξής: έστω ότι διαθέτουμε ένα μικρό δοχείο χωρητικότητας \(x\) και ένα πολύ μεγαλύτερο βαρέλι χωρητικότητας \(y\). Αν αδειάζουμε επανειλημμένα το μικρό δοχείο μέσα στο βαρέλι, τότε, ύστερα από πεπερασμένο αριθμό επαναλήψεων, η συνολική ποσότητα του υγρού θα ξεπεράσει τη χωρητικότητα του βαρελιού.
Ορισμένες σημαντικές συνέπειες και εφαρμογές της Αρχιμήδειας ιδιότητας στην Ανάλυση είναι οι ακόλουθες:
- Πυκνότητα των ρητών αριθμών: Ανάμεσα σε οποιουσδήποτε δύο διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς υπάρχει τουλάχιστον ένας ρητός αριθμός. Αντίστοιχα, ανάμεσα σε δύο διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς υπάρχει και τουλάχιστον ένας άρρητος αριθμός.
- Ύπαρξη του ακέραιου μέρους: Για κάθε πραγματικό αριθμό \(x\), υπάρχει μοναδικός ακέραιος \(n\) τέτοιος ώστε \( n\leq x<n+1 \). Ο ακέραιος αυτός συμβολίζεται με \(\lfloor x\rfloor\) και ονομάζεται ακέραιο μέρος ή κάτω ακέραιο μέρος (floor) του \(x\).
Απλούστερα, η Αρχιμήδεια ιδιότητα εκφράζει το γεγονός ότι, επαναλαμβάνοντας αρκετές φορές ένα οποιοδήποτε θετικό μήκος, μπορούμε να ξεπεράσουμε οποιοδήποτε άλλο δεδομένο θετικό μήκος.
Ειδικότερα, για κάθε \(\alpha,\beta>0\), υπάρχει φυσικός αριθμός \(\mu\geq 1\) τέτοιος ώστε:
Στο παρακάτω σχήμα, το τμήμα μήκους \(\alpha\) τοποθετείται διαδοχικά πάνω στην ίδια ευθεία. Έπειτα από πεπερασμένο πλήθος \(\mu\) επαναλήψεων, το συνολικό μήκος \(\mu\alpha\) γίνεται μεγαλύτερο από το μήκος \(\beta\).
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου