Απόγευμα Σαββάτου και σε μια άκρως ενδιαφέρουσα συζήτηση με ένα αξιολογότατο παλιό μου εκ Λαμίας μαθητή και νυν ακριβό φίλο, μου ανέφερε την Εικασία Collatz. Σε ένα πυρετώδες βράδυ μέχρι τις πρώτες ακτίνες του ήλιου και παρόλη την επίδραση της βενζοδιαζεπίνης, στην αρχή με μολύβι και χαρτί και μετά με το Mathematica, προσπάθησα να δω τι μουσικές χρήσεις μπορούν να έχουν αυτοί οι αριθμοί. Στις σημειώσεις που ακολουθούν δίνω τη βασική ιδέα και μια στοιχειώδη μουσική αντιμετώπιση.
Η Εικασία Collatz
Πάρτε έναν οποιοδήποτε φυσικό αριθμό n μαγαλύτερο του μηδενός. Αν ο n είναι περιττός (μονός) πολλαπλασιάστε τον με το 3 και προσθέστε 1 για να σχηματίσετε το 3n+1. Αν είναι άρτιος (ζυγός) διαιρέστε τον με το 2 και σχηματίστε το n/2. Επαναλάβετε τη διαδικασία με τους αριθμούς που θα βρίσκετε κάθε φορά. Την σειρά των πράξεων ονόμασαν "Μισό ή Τρία και Ένα", "Half Or Triple Plus One", HOTPO εν συντομία. Ο μαθηματικός Lothar Collatz το 1937 έκανε την εικασία - και ονομάστηκε Εικασία Collatz / Collatz conjecture - ότι όποιο αριθμό και να πάρετε θα καταλήξετε στο 1. Αυτή η ιδιότητα των αριθμών συνήθως αναφέρετε ως oneness.
H Εικασία Collatz είναι γνωστή επίσης και ως Εικασία 3n+1, Εικασία Ulam (από τον μαθηματικό Stanislaw Ulam), Πρόβλημα Kakutani (από τον μαθηματικό Shizuo Kakutani), Εικασία Thwaites (Sir Bryan Thwaites), Αλγόριθμος Hasse (Helmut Hasse) ή Συρακούσιο Πρόβλημα. Οι αριθμοί που προκύπτουν από τα βήματα του αλγόριθμου ονομάστηκαν από τον Clifford A. Pickover (επισκεφθείτε τον σύνδεσμο είναι θησαυρός!) ακολουθία χαλαζόκοκκου / hailstone sequence ή αριθμοί χαλαζόκοκκου / hailstone numbers και από τον Douglas R. Hofstadter στο αριστουργηματικό βιβλίο του Gödel, Escher, Bach, θαυμαστοί αριθμοί / wondrous numbers.
Για να αναφέρεται ως Εικασία δεν έχει αποδειχθεί ακόμη. Ο Paul Erdős (ο Μέσι των μαθηματικών) είπε κάποτε ότι τα τα Μαθηματικά δεν είναι ακόμη ώριμα για τέτοια προβλήματα και προσέφερε έπαθλο ένα βασικό μισθό Στουρνάρα 500$ σ' αυτόν που θα το έλυνε. Σαν να μην έφτανε αυτό ο αριθμοθεωρίστας John Horton Conway απέδειξε το 1970 ότι μια φυσική γενίκευση του προβλήματος Collatz είναι αλγοριθμικά αναποφάσιστη, Αυτό απλά (?!) σημαίνει ότι δεν μπορούμε να φτιάξουμε έναν αλγόριθμο που να οδηγεί σε μια απάντηση ναι / όχι και σχετίζεται με το θεώρημα του Gödel. Απ' ότι βρήκα στο διαδίκτυο υπάρχει η εικασία ότι η Εικασία απεδείχθει από έναν μαθητή του Collatz...
Ας δούμε ένα παράδειγμα τώρα, παίρνουμε το 1, σε 3 βήματα θα καταλήξουμε πάλι στο 1:
1 (περιττός)
3.1 + 1 = 4 (άρτιος)
4 ÷ 2 = 2 (άρτιος)
2 ÷ 1 = 1
Αν πάρουμε το 6 σε 8 βήματα θα καταλήξουμε πάλι στο 1: 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
Ψάχνοντας στο Mathematica βρήκα έναν αλγόριθμο που σου δίνει τους θαυμαστούς αριθμούς και αυτό θα βοηθήσει στο μουσικό πρόβλημα που έχω κατά νου (θα χρειαστεί να κατεβάσετε το package "Collatz.m" δωρεάν.) Να οι αριθμοί Collatz από το 1 μέχρι το 10:
Table[Collatz[n], {n, 10}] // ColumnForm
{1},
{2, 1},
{3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1},
{4, 2, 1},
{5, 16, 8, 4, 2, 1},
{6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1},
{7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1},
{8, 4, 2, 1},
{9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1},
{{10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}
Στο διαδίκτυο υπάρχει κι ένας Collatz calculator εδώ.
Το Μουσικό Πρόβλημα
Υπάρχει άραγε ένας φυσικός αριθμός που να φτάνει στο 1 σε 11 βήματα (μαζί με τον αρχικό αριθμό 12) και κάθε αριθμός της ακολουθίας να έχει mod12 διαφορετικό; [To mod12 / ισοϋπόλοιποι αριθμοί με μέτρο / μόδιο 12, είναι απαραίτητο για να "φέρουμε" οποιοδήποτε αριθμό μέσα στο σύνολο {0, 1, 2, …,11} που είναι οι 12 χρωματικοί φθόγγοι, π.χ. 16(mod12) = Ε (μι)]. Αν υπάρχει τέτοιος και με C = 0 (στο μεσαίο ντο του πιάνου δίνουμε την τιμή 0, άρα το σι μια 7η ψηλότερα θα έχει τιμή 11) θα φτιάξουμε μια 12-φθογγη σειρά, η οποία φυσικά θα είναι καταλογραφημένη με αριθμό Forte αλλά θα είναι και σειρά Collatz!
Έψαξα μέχρι το 50 αλλά δεν βρήκα ακολουθία που να ακολουθεί το ζητούμενο. Πρέπει να λάβει κανείς υπόψη του για να μην απογοητευτεί ότι όσο μεγαλώνουν οι αριθμοί δεν αυξάνονται απαραίτητα και τα βήματα προς τον τελικό στόχο το 1, π.χ το 39 φτάνει στο 1 σε 35 βήματα, ενώ το 40 σε 8.
39, 118, 59, 178, 89, 268, 134, 67, 202, 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
Κλίμακες και Συγχορδίες Collatz
Ακόμη κι αν δεν υπάρχει ακολουθία Collatz που να μας δίνει μια 12-σειρά, μπορούμε να με τους αριθμούς που προκύπτουν από τα βήματα του αλγόριθμου να κατασκευάσουμε συγχορδίες ή κλίμακες, όχι βέβαια απαραίτητα 7-φθογγες. Έχει περάσει ο καιρός που ήμουν σκληροπυρηνικός με τους αριθμούς και την αντιστίχισή τος με τη μουσική, κάλλιστα όμως μαι τέτοια διαδικασία μπορεί να αποτελέσει το πλαίσιο /framework για μια πιο μουσική και εμπνευστική αντιμετώπιση.
Για παράδειγμα, αν πάρουμε το 8, έχουμε: 8, 4, 2, 1, μεταφράζουμε σε φθόγγους με C = 0 και καταλήγουμε στο τετράχορδο.: Ab, E, D, C#, το οποίο έχει Normal Form: {1,2,4,8}, Prime Form: {0,1,3,7} και Forte Number: 4-Z29, άρα το τετράχορδο 4-Z29 είναι ένα Collatz τετράχορδο και θα το ονομάσω C-8.
Με νότες:
Νεότερα
Ένας φίλος μού έστειλε τις εξής παρατηρήσεις:
1. Αντί των βημάτων της ακολουθίας μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε λόγους διαδοχικών βημάτων. Οι λόγοι αντιστοιχούν σε διαστήματα.
2. Δεν είναι ανάγκη να χρησιμοποιηθεί το συγκερασμένο σύστημα (12 ημιτόνια). Τα βήματα μπορούν να αντιστοιχηθούν σε cents.
3. Μέχρι τον αριθμό 608259 δεν ικανοποιείται το αίτημα του κύριου άρθρου.
Για τις σημειώσεις αυτές χρησιμοποιήσα το άρθρο της Wikipedia και το άρθρο του Wolfram MathWorld.
Πάρτε έναν οποιοδήποτε φυσικό αριθμό n μαγαλύτερο του μηδενός. Αν ο n είναι περιττός (μονός) πολλαπλασιάστε τον με το 3 και προσθέστε 1 για να σχηματίσετε το 3n+1. Αν είναι άρτιος (ζυγός) διαιρέστε τον με το 2 και σχηματίστε το n/2. Επαναλάβετε τη διαδικασία με τους αριθμούς που θα βρίσκετε κάθε φορά. Την σειρά των πράξεων ονόμασαν "Μισό ή Τρία και Ένα", "Half Or Triple Plus One", HOTPO εν συντομία. Ο μαθηματικός Lothar Collatz το 1937 έκανε την εικασία - και ονομάστηκε Εικασία Collatz / Collatz conjecture - ότι όποιο αριθμό και να πάρετε θα καταλήξετε στο 1. Αυτή η ιδιότητα των αριθμών συνήθως αναφέρετε ως oneness.
H Εικασία Collatz είναι γνωστή επίσης και ως Εικασία 3n+1, Εικασία Ulam (από τον μαθηματικό Stanislaw Ulam), Πρόβλημα Kakutani (από τον μαθηματικό Shizuo Kakutani), Εικασία Thwaites (Sir Bryan Thwaites), Αλγόριθμος Hasse (Helmut Hasse) ή Συρακούσιο Πρόβλημα. Οι αριθμοί που προκύπτουν από τα βήματα του αλγόριθμου ονομάστηκαν από τον Clifford A. Pickover (επισκεφθείτε τον σύνδεσμο είναι θησαυρός!) ακολουθία χαλαζόκοκκου / hailstone sequence ή αριθμοί χαλαζόκοκκου / hailstone numbers και από τον Douglas R. Hofstadter στο αριστουργηματικό βιβλίο του Gödel, Escher, Bach, θαυμαστοί αριθμοί / wondrous numbers.
Για να αναφέρεται ως Εικασία δεν έχει αποδειχθεί ακόμη. Ο Paul Erdős (ο Μέσι των μαθηματικών) είπε κάποτε ότι τα τα Μαθηματικά δεν είναι ακόμη ώριμα για τέτοια προβλήματα και προσέφερε έπαθλο ένα βασικό μισθό Στουρνάρα 500$ σ' αυτόν που θα το έλυνε. Σαν να μην έφτανε αυτό ο αριθμοθεωρίστας John Horton Conway απέδειξε το 1970 ότι μια φυσική γενίκευση του προβλήματος Collatz είναι αλγοριθμικά αναποφάσιστη, Αυτό απλά (?!) σημαίνει ότι δεν μπορούμε να φτιάξουμε έναν αλγόριθμο που να οδηγεί σε μια απάντηση ναι / όχι και σχετίζεται με το θεώρημα του Gödel. Απ' ότι βρήκα στο διαδίκτυο υπάρχει η εικασία ότι η Εικασία απεδείχθει από έναν μαθητή του Collatz...
Ας δούμε ένα παράδειγμα τώρα, παίρνουμε το 1, σε 3 βήματα θα καταλήξουμε πάλι στο 1:
1 (περιττός)
3.1 + 1 = 4 (άρτιος)
4 ÷ 2 = 2 (άρτιος)
2 ÷ 1 = 1
Αν πάρουμε το 6 σε 8 βήματα θα καταλήξουμε πάλι στο 1: 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
Ψάχνοντας στο Mathematica βρήκα έναν αλγόριθμο που σου δίνει τους θαυμαστούς αριθμούς και αυτό θα βοηθήσει στο μουσικό πρόβλημα που έχω κατά νου (θα χρειαστεί να κατεβάσετε το package "Collatz.m" δωρεάν.) Να οι αριθμοί Collatz από το 1 μέχρι το 10:
Table[Collatz[n], {n, 10}] // ColumnForm
{1},
{2, 1},
{3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1},
{4, 2, 1},
{5, 16, 8, 4, 2, 1},
{6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1},
{7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1},
{8, 4, 2, 1},
{9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1},
{{10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}
Στο διαδίκτυο υπάρχει κι ένας Collatz calculator εδώ.
Το Μουσικό Πρόβλημα
Υπάρχει άραγε ένας φυσικός αριθμός που να φτάνει στο 1 σε 11 βήματα (μαζί με τον αρχικό αριθμό 12) και κάθε αριθμός της ακολουθίας να έχει mod12 διαφορετικό; [To mod12 / ισοϋπόλοιποι αριθμοί με μέτρο / μόδιο 12, είναι απαραίτητο για να "φέρουμε" οποιοδήποτε αριθμό μέσα στο σύνολο {0, 1, 2, …,11} που είναι οι 12 χρωματικοί φθόγγοι, π.χ. 16(mod12) = Ε (μι)]. Αν υπάρχει τέτοιος και με C = 0 (στο μεσαίο ντο του πιάνου δίνουμε την τιμή 0, άρα το σι μια 7η ψηλότερα θα έχει τιμή 11) θα φτιάξουμε μια 12-φθογγη σειρά, η οποία φυσικά θα είναι καταλογραφημένη με αριθμό Forte αλλά θα είναι και σειρά Collatz!
Έψαξα μέχρι το 50 αλλά δεν βρήκα ακολουθία που να ακολουθεί το ζητούμενο. Πρέπει να λάβει κανείς υπόψη του για να μην απογοητευτεί ότι όσο μεγαλώνουν οι αριθμοί δεν αυξάνονται απαραίτητα και τα βήματα προς τον τελικό στόχο το 1, π.χ το 39 φτάνει στο 1 σε 35 βήματα, ενώ το 40 σε 8.
39, 118, 59, 178, 89, 268, 134, 67, 202, 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
Κλίμακες και Συγχορδίες Collatz
Ακόμη κι αν δεν υπάρχει ακολουθία Collatz που να μας δίνει μια 12-σειρά, μπορούμε να με τους αριθμούς που προκύπτουν από τα βήματα του αλγόριθμου να κατασκευάσουμε συγχορδίες ή κλίμακες, όχι βέβαια απαραίτητα 7-φθογγες. Έχει περάσει ο καιρός που ήμουν σκληροπυρηνικός με τους αριθμούς και την αντιστίχισή τος με τη μουσική, κάλλιστα όμως μαι τέτοια διαδικασία μπορεί να αποτελέσει το πλαίσιο /framework για μια πιο μουσική και εμπνευστική αντιμετώπιση.
Για παράδειγμα, αν πάρουμε το 8, έχουμε: 8, 4, 2, 1, μεταφράζουμε σε φθόγγους με C = 0 και καταλήγουμε στο τετράχορδο.: Ab, E, D, C#, το οποίο έχει Normal Form: {1,2,4,8}, Prime Form: {0,1,3,7} και Forte Number: 4-Z29, άρα το τετράχορδο 4-Z29 είναι ένα Collatz τετράχορδο και θα το ονομάσω C-8.
Με νότες:
Ένας φίλος μού έστειλε τις εξής παρατηρήσεις:
1. Αντί των βημάτων της ακολουθίας μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε λόγους διαδοχικών βημάτων. Οι λόγοι αντιστοιχούν σε διαστήματα.
2. Δεν είναι ανάγκη να χρησιμοποιηθεί το συγκερασμένο σύστημα (12 ημιτόνια). Τα βήματα μπορούν να αντιστοιχηθούν σε cents.
3. Μέχρι τον αριθμό 608259 δεν ικανοποιείται το αίτημα του κύριου άρθρου.
Για τις σημειώσεις αυτές χρησιμοποιήσα το άρθρο της Wikipedia και το άρθρο του Wolfram MathWorld.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου