Μικρές Ιστορίες 10: Διαστάσεις

Ο διάλογος αναφέρεται από τον Ian Stewart στο 14ο κεφάλαιο Into Hyperspace του Concepts of Modern Mathematics. Η Μεταφυσική, η Επιστημονική Φαντασία και η τηλεοπτική μπουρδολογία έχουν προσδώσει στις διαστάσεις υπερφυσικές ιδιότητες, στα μαθηματικά όμως πρόκειται για κάτι απλό: διάσταση ενός χώρου ονομάζουμε τον αριθμό των συντεταγμένων που απαιτούνται για να καθοριστεί ένα σημείο σε αυτό το χώρο, στη γραμμή για παράδειγμα χρειαζόμαστε 1 αριθμό, στο επίπεδο 2, στον 3-διάστατο χώρο που ζούμε και υποφέρουμε 3 και γενικεύοντας στον ν-διάστατο ν, με ν = 1,2,3, ... Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι ο ορισμός του σημείου από τον Ευκλείδη “σημείον έστιν ου μέρος ουθέν” παραπέμπει σε έναν 0-διάστατο χώρο.

Μπορούμε να γράψουμε:

• 1-διάστατος χώρος = R = το σύνολο των πραγματικών αριθμών x
• 2-διάστατος χώρος = R² = το σύνολο των ζευγών πραγματικών αριθμών (x,y)
• 3-διάστατος χώρος = R³ = το σύνολο των τριάδων πραγματικών αριθμών (x,y,z)

και γενικά:

• ν-διάστατος χώρος = R^ν = το σύνολο των ν-άδων πραγματικών αριθμών (x₁, x₂, x₃, ..., x_ν).

Για να οριστεί πλήρως ένας χώρος χρειάζεται και μια μετρική, ένας τρόπος να μετράμε αποστάσεις μέσα σ' αυτόν. Η έννοια της απόστασης θα πρέπει να πληρεί τις παρακάτω προϋποθέσεις:

1. Η απόσταση μεταξύ δυο σημείων πρέπει να είναι θετική,
2. Η απόσταση μεταξύ δυο σημείων πρέπει να είναι η ίδια προς οποιαδήποτε κατεύθυνση, και τέλος,
3. Η απόσταση από το σημείο Α στο Β δεν πρέπει να είναι μεγαλύτερη από την απόσταση από το Α στο Γ συν την απόσταση από το Γ στο Β.

Το (3) με απλά λόγια μας λέει ότι μια πλευρά ενός τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δυο άλλων και μας δίνει μια ιδέα του γεγονότος ότι σε έναν επίπεδο χώρο το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δυο σημεία είναι η μικρότερη δυνατή απόσταση.

Μια πολύ σημαντική παρατήρηση εδώ, αλλιώς τα πράγματα θα γίνουν άνω-κάτω στο μυαλό μας: η έννοια μιας γεωμετρίας δεν μπορεί να ταυτιστεί με την έννοια του χώρου και του αριθμού των διαστάσεων του. Η γεωμετρία περιγράφει μια σειρά ιδιοτήτων του χώρου ανεξαρτήτως του αριθμού των διαστάσεων του. Για να ονομαστεί ένας ν-διάστατος χώρος Ευκλείδειος θα πρέπει να υπακούει στα Αξιώματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας.

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα εύκολα προκύπτει ότι στον 2-διάστατο Ευκλείδειο χώρο η απόσταση από το σημείο (x₁, x₂) στο (y₁, y₂) δίνεται από τον τύπο:

d² = (x₁ - y₁)² + (x₂ - y₂)²

Εύκολα γενικεύεται ο τύπος για ν διαστάσεις.

•

Ο Ian Stewart στο What Does a Martian Look Like? λέει: “η Επιστήμη είναι η καλύτερη άμυνα μας ενάντια σε αυτό που θέλουμε να πιστεύουμε”. Η συμπληρωματική αυτής της πρότασης θα μπορούσε να είναι: “η Τέχνη είναι η καλύτερη διέξοδος για να ζήσουμε αυτό που θέλουμε να πιστεύουμε”.

Ο Κουρδιστός Ύπνος

Μόλις είχα διαβεί το Νορβηγικό Δάσος, προ καιρού είχα ξεκουρδίσει το Κουρδιστό Πουλί. Έψαχνα στο διαδίκτυο πληροφορίες για τον Μουρακάμι και περνώντας τυχαία από το ιστολόγιο του ΚΙΜΠΙ έπεσα πάνω σ' ένα απόσπασμα από τον Ελέφαντα που Εξαφανίζεται. Μιλάει για τον ύπνο, ή μάλλον για την προσπάθεια να κερδίσεις το 1/3 της ζωής που σου κλέβει:

“Τώρα έπαψε να με φοβίζει το γεγονός ότι δεν μπορούσα να κοιμηθώ. Γιατί να φοβάται κανείς; Σκέψου τα πλεονεκτήματα! Τώρα, πλέον, οι ώρες από τις δέκα το βράδυ μέχρι τις 6 το πρωί ανήκαν μόνο σε μένα. Μέχρι τώρα, ο ύπνος έπαιρνε το ένα τρίτο της κάθε ημέρας. Τέρμα, όμως. Τέρμα. Τώρα η μέρα ήταν δική μου, μόνο δική μου, κανενός άλλου, όλη δική μου. Θα μπορούσα να χρησιμοποιήσω τον χρόνο όπως ήθελα. Κανείς δεν θα μ’ εμπόδιζε. Κανείς δεν θα είχε απαιτήσεις από μένα. Ναι. Αυτό ήταν. Είχα επεκτείνει τη ζωή μου. Την αύξησα κατά ένα τρίτο. Θα μου πεις μάλλον ότι αυτό είναι μια βιολογική ανωμαλία. Ίσως να έχεις δίκιο. Κι ίσως χρειαστεί κάποια μέρα στο μέλλον να ξεπληρώσω το χρέος που μαζεύω διαπράττοντας τούτη τη βιολογική ανωμαλία. Ίσως προσπαθήσει η ζωή να πάρει πίσω τούτη την επέκταση – τούτη την «προκαταβολή» που μου πληρώνει τώρα. Αυτή η υπόθεση φαίνεται αβάσιμη, αλλά απ’ την άλλη πλευρά κανείς δεν μπορεί να την ανατρέψει, και κατά κάποιο τρόπο αισθάνομαι ότι έχω δίκιο. Πράγμα που σημαίνει πως στο τέλος ο ισολογισμός με τον δανεικό χρόνο θα ισοσκελιστεί.”

Στις 48 άυπνες ώρες βλέπεις τα πράγματα καθαρά, στις 72 δεν υπάρχει πια καμιά αμφιβολία...

Μικρές Ιστορίες 9: Jean Sibelius

Γεννήθηκε στις 8 Δεκεμβρίου του 1865. Christian Gustaf Sibelius ο πατέρας και Maria Charlotta Sibelius η μητέρα. Όταν ήταν μικρός τον φώναζαν Janne, φοιτητής υιοθέτησε το Jean. Ξεκίνησε να σπουδάσει νομικά αλλά τα παράτησε προς χάριν της μουσικής. Από το 1885 μέχρι το 1889 σπουδάζει στη Μουσική Σχολή του Ελσίνκι, σήμερα Ακαδημία Ελσίνκι προς τιμήν του. Σημαντικότερος δάσκαλος του ο Martin Wegelius. Συνέχισε τις σπουδές του στο Βερολίνο (1889-90) και στη Βιέννη (1890-91).

Στις 10 Ιουνίου του 1892 παντρεύεται για 64 χρόνια (!) την Aino Järnefelt. Το 1903 είναι έτοιμο το σπίτι τους κοντά στη λίμνη Tuusula, το οποίο ονομάζουν Ainola (από το όνομα της γυναίκας του). Εκεί έζησαν μαζί με τις έξι τους κόρες (Εύα, Ρουθ, Κρίστι, Κατερίνα, Μαργαρίτα και Χάιντυ) την υπόλοιπη ζωή τους. Το 1974 η Υπουργείο Πολιτισμού της Φιλανδίας και η Εταιρία Sibelius έκαναν την Ainola μουσείο (η ελληνική κυβέρνηση σε ανάλογη περίπτωση θα το είχε ανταλλάξει με κάποια μονή!).

Να η βίλα Ainola:

και η γλυκύτατη Aino στα 17 της χρόνια:

Το 1891 έβαλε αγγελία σε μια εφημερίδα “Δάσκαλος παραδίδει ιδιαίτερα μαθήματα βιολιού και θεωρίας μουσικής”.

Το φθινόπωρο του 1892 ο Jean και η Aino μετακόμισαν στο Ελσίνκι. Ο Jean προσελήφθη στο εκεί Μουσικό Ινστιτούτο και στην Ορχηστρική Σχολή Kajanus σαν δάσκαλος βιολιού και θεωρητικών της μουσικής. Δίδασκε περίπου 30 ώρες την εβδομάδα. Σαν δάσκαλος θεωρητικών δεν έδινε πολύ σημασία στους κανόνες, κοιτούσε περισσότερο την μελωδική γραμμή και τις αρμονικές διαδοχές. Μερικές φορές αστειευόταν με τις ονομασίες των οργάνων: “το φλάουτο ψεύδεται, έλεγε, κι όσο πιο ψηλά πηγαίνει ψεύδεται περισσότερο” [Flöitaa = ψεύδομαι]. Μια συμβουλή του για τη σύνθεση: “Να είσαι απλός. Όσο πιο απλός τόσο το καλύτερο. Δες τη μουσική του Palestrina, τόσο διάφανη και καθαρή! Κι εγώ στις συνθέσεις μου πασχίζω για τη μέγιστη απλότητα”. Ο Bengt von Törne θυμάται τα λόγια του όταν πήγε πρώτη φορά για μάθημα: “Καταλαβαίνεις ότι δεν διδάσκω με την συνηθισμένη έννοια και τα μαθήματα μου δεν είναι τυπικά. Δεν ξέρω αν είμαι καλός δάσκαλος ή όχι, νομίζω ότι όσο καλύτερος συνθέτης είναι κάποιος τόσο χειρότερος δάσκαλος είναι. Σε κάθε περίπτωση θα σου δώσω μερικές συμβουλές τις οποίες δεν πρόκειται να βρεις σε κάποιο εγχειρίδιο ενορχήστρωσης και θα σου αποκαλύψω μερικά μυστικά μέσα από την πολύχρονη πείρα μου”. Μετά το 1916 σταμάτησε να διδάσκει. Δεν δημιούργησε σχολή όπως ο Schoenberg κι ούτε τον ενδιέφερε.

Προτιμούσε το βιολί από το πιάνο. “Το πιάνο δεν τραγουδάει” έλεγε. Έπαιζε καλά πάντως. Το χρησιμοποιούσε βοηθητικά όταν συνέθετε. Συνήθιζε να διασκεδάζει τα απογεύματα τους φίλους του με τους αυτοσχεδιασμούς του κι ένα ποτήρι κρασί Βουργουνδίας που είχε συνήθως κοντά του τον βοηθούσε να ξεπεράσει τα όποια τεχνικά του προβλήματα. Πολλές φορές στη μέση μιας συζήτησης για να ενισχύσει την άποψη του πήγαινε στο πιάνο κι έπαιζε μερικές νότες: “Να, αυτό θέλω να πω!” Οι λέξεις για τον Jean δεν ήταν αρκετές, έπρεπε να συμπληρώνονται κι από μουσική.

Ένα φύλλο από το σημειωματάριο του. Είναι σημειωμένα από την Aino τα έξοδα του Ιουνίου 1892, μήνα του μέλιτος για το ζεύγος.

Στα πεντάγραμμα του εκτός από νότες σημείωνε κι ένα σωρό από άλλα πράγματα μέχρι και το τι θα ήθελε να φάει για βράδυ!

Στα διαβατήρια του το ύψος του σημειώνεται 176-177 cm. Ήταν πάντως ψηλότερος. Το διαβατήριο του 1924, όταν ταξίδεψε στη Στοκχόλμη για να διευθύνει την 7η συμφωνία του, σημειώνει ύψος 182 cm.

Του άρεσαν πολύ τα ταξίδια. Επισκέφτηκε μια φορά τις ΗΠΑ, 30 φορές το Βερολίνο και 41 φορές έκανε ταξίδια στην υπόλοιπη Ευρώπη. Έγραψε την 2η Συμφωνία του στο Ράπαλο, την 3η στο Παρίσι και το Συμφωνικό Ποίημα Tapiola στη Ρώμη. Δεν μπήκε ποτέ σε αεροπλάνο.

Του άρεσε ο καπνός και το πιοτό. Το 1891 έκανε μια σοβαρή εγχείρηση στο λάρυγγα, υποψία καρκίνου. Συνέχισε πάντως να καπνίζει. Η μυρωδιά του καπνού του θύμιζε τον πατέρα του που είχε πεθάνει το 1868. Το χρυσαφί χρώμα ενός ρωμαικού Frascati του έφερνε στο μυαλό μια ωδή του Οράτιου και μια σάλτσα από κόκκινο κρασί το χαρούμενο κόκκινο της Ντο ματζόρε. Πιθανώς να ήταν συναισθητικός, μουσικές αρμονίες, χρώματα, αρώματα και γεύσεις διέγειραν έντονα τις αισθήσεις του. Να μια χειρόγραφη συνταγή του της 9/4/1943 για πάντς:

Δεν τον ενδιέφερε η πολιτική. Νεότερες έρευνες αποκάλυψαν κάποια σχέση του με τους Ναζί η οποία μάλλον περιοριζόταν στο θαυμασμό του για τις οικονομικές διευκολύνσεις που υποτίθεται ότι παρείχαν στους καλλιτέχνες.

Στην αρχή – όπως άλλωστε και οι περισσότεροι συνθέτες της εποχής του – είχε ενθουσιαστεί με τη μουσική του Wagner. Μελέτησε εξαντλητικά τα έργα του και ξεκίνησε και τη δικιά του όπερα. Αργότερα τον εγκατέλειψε και στράφηκε προς τους Busoni, Bruckner (ιδιωματική χρήση των χαλκίνων, ισοκράτες, επαναλαμβανόμενα τμήματα) και Tchaikowsky (1η Συμφωνία και Κοντσέρτο για Βιολί). Η πρωτοτυπία της συνθετικής τεχνικής του συνοψίζεται στην επιλογή των μουσικών του θεμάτων, στην τεχνική της θεματικής επεξεργασίας και στο χειρισμό της μουσικής μορφής. Θα μπορούσαμε να συνοψίσουμε την ώριμη συνθετική τεχνική του ως εξής:

• Στη μορφή της σονάτας δεν χρησιμοποιεί τα παραδοσιακά αντιτιθέμενα θέματα (Α και Β Θέμα της Έκθεσης). Γενικά στον Sibelius δεν έχει νόημα να μιλάμε για Έκθεση, Επεξεργασία και Επανέκθεση.
• Μουσικά κύτταρα με διαρκή επεξεργασία εξελίσσονται σε ολοκληρωμένες ιδέες.
• Η μελωδίες του δεν έχουν την μορφή περιόδου, κατασκευάζονται από μικρά μοτίβα που στην αρχή ηχούν μόνα τους και σταδιακά ενοποιούνται σε μεγαλύτερη μορφή (3ο μέρος Τέταρτης Συμφωνίας).
• Μοτίβα από μια μελωδία μεταφέρονται σε άλλη.
• Ολοκληρωμένες μελωδίες αποσυντίθενται σε μοτίβα και αυτά επανασυντίθενται σε νέες μελωδίες (1ο μέρος Τρίτης Συμφωνίας).
• Ένα-δυο βασικά μοτίβα μπορούν να εμφανίζονται σε ένα ολόκληρο μέρος ή και σε μια ολόκληρη συμφωνία (στην Τέταρτη Συμφωνία το τρίτονο C-F# δεσπόζει σε ολόκληρο το έργο).

Κατά τη διάρκεια του 20ου αι. μια ήταν στη μόδα και μια εκτός. Μέσα στη φούρια της μουσικής επανάστασης της Δεύτερης Σχολής της Βιέννης, αυτός επέμενε να γράφει τονικά. Ο Adorno, ο Thompson και ο Leibowitz ήταν εχθρικοί προς τη μουσική του. Ο Leibowitz το 1955 έφτασε να πει ότι ο Sibelius ήταν ο χειρότερος συνθέτης του κόσμου! (κατά τη Μαργαρίτα Θεοδωράκη πάντως ο πατέρας της είναι ο καλύτερος). Ο Sibelius απαντούσε: “Μην δίνεται σημασία στους κριτικούς. Κανένα άγαλμα δεν στήθηκε ποτέ για κριτικό”. Ο Morton Feldman σε μια διάλεξη που έδωσε το 1984 στο Darmstadt είπε: “αυτοί που θεωρούνται επαναστάτες μπορεί να είναι στην πραγματικότητα συντηρητικοί και αυτοί που θεωρούνται συντηρητικοί μπορεί να είναι οι πραγματικοί επαναστάτες”. Σιγοτραγούδησε την Πέμπτη συμφωνία του Sibelius.

Έζησε γεμάτα 91 χρόνια, από τα 61 του όμως σταμάτησε να γράφει. Η αριστουργηματική 7η Συμφωνία του (1924) και το συμφωνικό ποίημα Tapiola (1926) είναι τα τελευταία σημαντικά έργα που μας άφησε. Τις επτά συμφωνίες του τις έγραψε στο διάστημα 1899-1924.

Τα ενενηκοστά γενέθλια του γιορτάστηκαν με επισημότητα. Η Ορχήστρα Φιλαρμόνια με τον Ormandy και η Βασιλική Φιλαρμονική Ορχήστρα με τον Beecham έδωσαν συναυλίες με τη μουσική του στη Φιλανδία. Οι ορχήστρες με τους μαέστρους τους επισκέφτηκαν τον συνθέτη σπίτι του. Ο Ormandy θυμάται: “Εγώ κι η γυναίκα μου πίναμε τσάι μαζί του, σε λίγο έφτασε και η ορχήστρα με δυο λεωφορεία. Ήταν πολύ ευαίσθητος, πιθανώς ο πιο ευαίσθητος και ντροπαλός άνθρωπος που είχα συναντήσει ποτέ στη ζωή μου. Δείλιαζε να συναντήσει 110 μουσικούς οι οποίοι τον περίμεναν κάτω από τη κρύα βροχή έξω. Τελικά έπιασα τον ταύρο από τα κέρατα και του είπα”:

- Κύριε Sibelius, ξέρετε ότι ολόκληρη η Ορχήστρα Φιλαρμόνια, η ορχήστρα που έπαιξε τη μουσική σας όταν κανείς άλλος δεν το έκανε, σας περιμένει έξω ελπίζοντας να σας συναντήσει;

- Μα δεν μιλάω καλά αγγλικά, διαμαρτυρήθηκε, δεν θα με καταλάβουν.

- Μιλήστε γερμανικά, θα σας καταλάβουν. Απλά κοιτάξτε τους, μην πείτε τίποτα.

Φόρεσε το χοντρό χειμωνιάτικο παλτό του και το καπέλο του και βγήκε έξω.

- Κύριοι, είπα, ο κύριος Sibelius δεν χρειάζεται συστάσεις.

Τον χειροκρότησαν και φώναζαν μπράβο.

- Κύριοι, συνέχισα, ο κύριος Sibelius δεν αισθάνεται πολύ καλά, αλλά ήθελε να σας δει και να σας πει μερικά λόγια.

Τους απευθύνθηκε με έναν όμορφο και απλό τρόπο, ευχαριστώντας τους που παίζουν τη μουσική του.

- Μπαμπά, έλα μέσα θα κρυώσεις, η κόρη του Εύα τον τράβηξε από το μανίκι.

Σ' ένα παγκάκι στη Δραπετσώνα

Αριθμοί 4: 8, Ο Αριθμός του Θανάτου

Γράφουμε την προπαίδεια του 8, προσθέτουμε τα ψηφία του γινομένου μέχρι να μείνει ένα μόνο ψηφίο. Οι αριθμοί της τρίτης στήλης του παρακάτω πίνακα πεθαίνουν στο “1”.

Αρχαίοι πολιτισμοί απέδιδαν σ' αυτήν την ιδιότητα της προπαίδειας του 8 μια θανατερή σημασία. Αν συνεχίσουμε τους πολλαπλασιασμούς (10 x 8, 11 x 8, ...) και αφήσουμε τη φαντασία ελεύθερη, αντεπιστημονική και θερινή, βλέπουμε ότι η τελευταία στήλη ξεκινά πάλι από το 8 και φθίνει στο 1. Ο κύκλος της ζωής; Μετενσάρκωση; Ο φοίνικας που αναγεννιέται;

Ας κάνουμε τώρα μια μικρή λίστα για το 8:

Μαθηματικά

• Το 8 είναι ο μόνος αρτιόμορφος ζυγός αριθμός μέσα στη δεκάδα (8 = 4 + 4 = (2 + 2) + (2 + 2).
• Ο πρώτος ενεργητικός κύβος (2³).
• Ο 6ος αριθμός Fibonacci και ο μόνος αριθμός Fibonacci που είναι κύβος, εκτός βέβαια από το 1.
• 8 είναι ο αριθμός των μερών που διαιρείται ο τρισδιάστατος χώρος από τρία επίπεδα που κάθετα ανά δύο (ογδοημόρια).
• Είναι δυνατόν να τοποθετηθούν 8 βασίλισσες σε μια σκακιέρα με 12 διαφορετικούς τρόπους, έτσι ώστε καμιά να μην απειλεί την άλλη.
• Ένας αριθμός διαιρείται με το 8 αν τα τρία τελευταία ψηφία του διαιρούνται με το 8 (12256 / 8 = 1532, 256 / 8 = 32).
• Η ακολουθία των οκταγωνικών αριθμών – 1, 8, 21, 40, 65, 96... - δίνεται από τον τύπο n(3n-2), n > 0. Το 8 είναι ο δεύτερος οκταγωνικός αριθμός.
• Το 8 είναι η βάση του οκταδικού συστήματος αρίθμησης (octonary, octenary, octal, oct). Χρησιμοποιεί τα ψηφία 0-7. Ο Δανός φιλόσοφος Emmanuel Swedenborg σε μια εργασία του υπερθεμάτισε υπέρ της χρήσης του οκταδικού συστήματος. Το 100 για παράδειγμα με βάση το 10, γίνεται 144 με βάση το 8 και 1,100,100 στο δυαδικό (με βάση το 2). Βλέπουμε ότι στο δυαδικό οι αριθμοί εκφράζονται με πιο λίγα ψηφία απ' ότι στο δυαδικό και είναι πιο εύκολο να τους θυμόμαστε. Χρησιμοποιήθηκε στους υπολογιστές, αλλά όταν τη δεκαετία του 60 η IBM 360 series άρχισε να κάνει χρήση του δεκαεξαδικού έπεσε σε αχρηστία.
• Τα οκτόνια είναι υπερμιγαδικοί αριθμοί οι οποίοι μπορούν να γραφούν ως γραμμικός συνδυασμός 8 μοναδιαίων στοιχείων.
• Αν στρέψουμε το σύμβολο του 8 κατά 90 μοίρες δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα παίρνουμε το σύμβολο του απείρου. Το σύμβολο του απείρου εισήχθη από τον Άγγλο μαθηματικό John Wallis (1616-1703) το 1655 στο έργο του Arithmetica Infinitorum. Δεν έγινε ευρέως αποδεκτό μέχρι που εκδόθηκε μετά θάνατον (1713) το Ars Conjectandi του Jakob Bernoulli (1654-1705).

Αριθμολογία

• Το 8 είναι ο αριθμός της προσωπικής δύναμης και του υλισμού, ο αριθμός του αφεντικού.
• Σχετίζεται με την εξουσία, τα επιτεύγματα, το χρήμα, τη λύση προβλημάτων, τη δύναμη, την επέκταση, τις επιχειρήσεις και την κυριαρχία.
• Η κοσμική δόνηση του 8 εμπεριέχει μια ενέργεια που κατευθύνει, διευθετεί, κρίνει, σχεδιάζει, επιβλέπει, ηγείται, ωθεί και έχει έντονη δράση.
• Αντίστοιχο ζώδιο ο Αιγόκερως.
• Αντίστοιχο χαρτί Ταρό η Δύναμη.
• Αντίστοιχα χρώματα το τριανταφυλλί και το ροζ.
• Αντίστοιχοι πολύτιμοι λίθοι το διαμάντι και ο ροζ χαλαζίας.
• Αντίστοιχα άνθη, η αλθαία για τη φιλοδοξία (δενδρομολόχα ή νερομολόχα, επίσης και άσχετο με τα παρόντα σύζυγος του βασιλιά της Καλυδώνας Οινέως και αστεροειδής που ανακαλύφθηκε το 1872) και η καμέλια για την κυριαρχία και την υπεροχή.

Αριθμοσοφία

• Οι Έλληνες τον θεωρούσαν πανίσχυρο αριθμό. Είχαν την παροιμία “όλα τα πράγματα είναι οκτώ”.
• Το οκτάεδρο είναι το τρίτο πλατωνικό στερεό. Συμβολίζει τον αέρα.
• Στην έκδοση της Αριθμητικής του Νικόμαχου του Γερασηνού, ο Καμέριος αποκαλεί το 8 αριθμό της Παγκόσμιας Αρμονίας (βλπ. οκτάβα).
• Το 8 ονομαζόταν και Μητέρα, Ρέα, Κυβέλη και Δινδυμήνη γιατί είναι ο πρώτος κύβος (2³) και ο κύβος παρίστανε τη Γη.
• Τα οκτώ πρόσωπα που σώθηκαν από τον κατακλυσμό του Ξίσουθρου είναι συνώνυμα με πολλές οκτάδες θεών, όπως οι οκτώ Κάβειροι της Σαμοθράκης.
• 8 είναι ο αριθμός των δορυφόρων του Κρόνου.
• Υπάρχουν οκτώ αρετές της Χριστιανικής θρησκείας (Ματθ. Ε')
• Ο Μακρόβιος λέει ότι το 8 είναι ο αριθμός της Δικαιοσύνης γιατί είναι αρτιόμορφος ζυγός.
• Ο αριθμός 8 ήταν αφιερωμένος στον Διόνυσο που σύμφωνα με την παράδοση ήταν γεννημένος τον όγδοο μήνα. Η Νάξος ήταν επίσης αφιερωμένη σ' αυτόν και δόθηκε το χάρισμα στις γυναίκες αυτού του νησιού να μην πεθαίνουν τα παιδιά τους όταν γεννιούνται τον όγδοο μήνα (τα εφταμηνίτικα συνήθως επιζούν).
• O John Heydon, νεοπλατωνικός μυστικιστής φιλόσοφος και ροδόσταυρος, αναφέρει ότι οκτώ Συμβάντα καταδικάζουν τον αμαρτωλό και υπάρχουν οκτώ Ανταμοιβές για τους ενάρετους.
• Οι Ιουδαίοι συνήθιζαν να κάνουν περιτομή στα αγόρια την όγδοη μέρα μετά τη γέννηση τους.
• Οκτώ προφήτες κατάγονταν από την Ραβ την πόρνη, οι: Νηρίας, Σεραΐας, Μαασίας, Ιερεμίας, Χελκίας, Αναμαήλ, Σαλλούμ και Όλδα, εγγονή της Ραβ.
• Οι τελευταίοι οκτώ στίχοι του Δευτερονομίου είναι γραμμένοι από τον Ιησού του Ναυή.
• Υπήρχαν οκτώ τάξεις των Φαρισαίων, τα δυο Ταλμούδ πάντως (Ιερουσαλήμ και Βαβυλώνας) αναφέρουν μόνο επτά.
• Όταν, σύμφωνα με τους Εβραίους, έρθει ο Μεσσίας, η άφιξη του θα συνοδεύεται από οκτάχορδες άρπες (Εραχίν ΙΓ' 2).

Τέλος, όπως φαίνεται από τα ανωτέρω, ο αριθμός 8 δεν έχει καμιά σχέση με τον 51.

Πηγές

PICKOVER Clifford A., A Passion for Mathematics, John Wiley & Sons 2005

WELLS David, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, Penguin Books 1997

WESCOTT William Wynn, Αριθμοσοφία, Πύρινος Κόσμος 1983

LAGERQUIST Kay & LENARD Lisa, Αριθμολογία, Διόπτρα 2006

Σίγουρα θα αστειεύεστε κ. Feynman [*]

“Δεν πιστεύω ότι μπορώ να ζήσω χωρίς τη διδασκαλία. Ο λόγος είναι ότι όταν έχω στερέψει από ιδέες και δεν με βγάζει πουθενά μπορώ να πω στον εαυτό μου, “τουλάχιστον ζω, τουλάχιστον κάνω κάτι, προσφέρω σε κάποιους”, - είναι απλά ψυχολογικό.”

Richard Feynman (1995) 

Το πρωτότυπο κείμενο:

“I don’t believe I can really do without teaching. The reason is, I have to have something so that when I don’t have any ideas and I’m not getting anywhere I can say to myself, “At least I’m living; at least I’m doing something; I am making some contribution” — it’s just psychological.”

Οι φωτογραφίες προέρχονται από από τις δυο αφίσες Think Different Feynman της Apple Computers, Inc. (Η καμπάνια Think different ξεκίνησε το 1997 και ήταν ιδέα του διαφημιστικού γραφείου του Λος Άντζελες TBWA\Chiat\Day). Σήμερα, όπως και οι άλλες αφίσες της σειράς (Callas, Edison, Einstein, Graham, Picasso, Gandhi, κ.α) είναι εκτός κυκλοφορίας και κοστίζουν πανάκριβα. Ρίξτε μια ματιά εδώ για τις υπόλοιπες αφίσες.

*

Ενδιαφέρουσα και η άποψη του χημικού Pratt:

“Μπορούμε να μιλάμε για βραβεία και για αυξήσεις μισθών, η πραγματική ανταμοιβή της διδασκαλίας όμως είναι η ίδια η διδασκαλία. Όταν διδάσκεις αποτελεσματικά η προσωπική ευχαρίστηση που αποκομίζεις είναι εκπληκτική.”

Το πρωτότυπο κείμενο:

"We can talk all we want about awards and salary raises, but the real reward of teaching is teaching. The personal satisfaction you get when you do it effectively is just phenomenal."

David W. Pratt

*

Και μια κινέζικη παροιμία:

“Πες μου και θα το ξεχάσω, δείξε μου και θα το θυμηθώ, κάνε με να συμμετέχω και θα το καταλάβω.”

*

• [*] Surely You're Joking, Mr. Feynman!: Adventures of a Curious Character, with contributions by Ralph Leighton, W. W. Norton & Co, 1985, ISBN 0-393-01921-7.

και στα Ελληνικά:

• Σίγουρα θα αστειεύεστε κύριε Φάινμαν - Οι περιπέτειες ενός σπάνιου χαρακτήρα, μετάφραση: Βαγγέλης Βιτωράτος, πρόλογος: Γιώργος Γραμματικάκης, Κάτοπτρο 2007

Με τη Γλώσσα Έξω

Μικρές Ιστορίες 8: Βλάττα

• Ανήκουν στην οικογένεια των βλαττιδών του γένους των ορθόπτερων δρομικών. Βλάττα στην δωρική διάλεκτο, βλάττη στην ιωνική και αττική, blatta στα λατινικά.
• Βλάττα ονόμαζαν την Αφροδίτη οι Φοίνικες.
• Στους Βυζαντινούς βλάττη ήταν μια πορφυρή βαφή με την οποία έβαφαν εσθήτες που ονόμαζαν βλαττίας.
• Η ζωή της έχει τρία στάδια: Αυγό, Νύμφη και Ενήλικας.
• Έχουν 6 τριχωτά πόδια και τουλάχιστον 18 γόνατα.
• Οι τριχούλες στα ποδαράκια τους χρησιμεύουν ως όργανα αφής.
• Μπορούν να ζήσουν χωρίς φαΐ για ένα μήνα.
• Ο μασητικός μηχανισμός τους λειτουργεί οριζόντια σε αντίθεση με τον κάθετο δικό μας.
• Μπορούν να ζήσουν χωρίς νερό για μια βδομάδα.
• Αναπνέουν από τα πλευρά τους με ένα σύστημα σωλήνων (τραχεία).
• Μπορούν να κολυμπήσουν.
• Μπορούν να κρατήσουν την αναπνοή της για 40 λεπτά αν είναι απαραίτητο.
• Μπορούν να ζήσουν ακόμη και στους Πόλους. Επιζούν μετακινούμενες μαζί με τους ανθρώπους.
• Αν της κόψεις το κεφάλι (γιατί να το κάνεις;) θα συνεχίσει να ζει για μια βδομάδα. περίπου. Θα πεθάνει από αφυδάτωση επειδή δεν θα έχει στόμα για να πιει νερό.
• Το νευρικό της σύστημα αποτελείται από τον εγκέφαλο (εντάξει δεν μιλάμε και για τον εγκέφαλο του Αϊνστάιν, κάτι σε εγκέφαλο αντιδήμαρχου πολιτισμού είναι πιο κοντά) και μια μακριά αλυσίδα των γαγγλίων του θώρακα και της κοιλιάς.
• Το αίμα της κατσαρίδας είναι άσπρο (των εξωγήινων πράσινο και των γαύρων του Πειραιά κόκκινο).
• Αναπτύσσουν ταχύτητα μέχρι και 3 Km/h.
• Οι νεαρές κατσαρίδες χωρούν σε άνοιγμα 0.5 χιλιοστών, οι ώριμες αρσενικές σε 1.6 και οι έγκυες σε άνοιγμα 4.5 χιλιοστών.
• Το 75% της μέρας τους το περνούν αραχτές (το ξέρει ο Olli Rehn κι ο Λομβέρδος;).
• Πως θα καταλάβετε αν μια κατσαρίδα τεμπελιάζει; Oι κεραίες της είναι όρθιες και σχηματίζουν γωνία 60 μοιρών.
• Η θηλυκή νοιώθει τη χαρά της ερωτικής συνεύρεσης άπαξ και καθίσταται έγκυος για το υπόλοιπο της ζωής της (όχι όλα τα είδη).
• Γεννούν τα αυγά τους μέσα στο σώμα τους σε ένα σκληρό ογκώδες περίβλημα με δυο διαμερίσματα καθένα από τα οποία περιλαμβάνει οκτώ ωοφόρους θαλαμίσκους. 
• Μερικά είδη είναι ζωοτόκα.
• Τα κατσαριδάκια ζουν με τη μαμά τους για μια δυο μέρες. Μετά η μαμά πεθαίνει.
• Η καρδιά της είναι ένας απλός σωλήνας με βαλβίδες. Μπορεί να σταματήσει να δουλεύει κι η κατσαρίδα να μην πάθει τίποτα.
• Τα νεφρά της είναι σαν ένα μάτσο μικρά σκουληκάκια.
• Οι κεραίες της έχουν την ακρίβεια εντοπισμού GPS της NASA.
• Τα μάτια της είναι ένα σύστημα 4000 φακών που της επιτρέπουν να βλέπει προς κάθε κατεύθυνση.
• Όπως κάθε έντομο “φοράει” τον σκελετό της κι όχι το δέρμα της.
• Αλλάζουν το εξωτερικό τους αρκετές φορές στη διάρκεια της ζωής τους (αποδερμάτωση). Αν δείτε λευκή κατσαρίδα δεν είναι αλμπίνο. Μόλις έχει υποστεί αποδερμάτωση. Έχω δει μια φορά στη ζωή μου και δεν θα την ξεχάσω ποτέ.
• Αν δεν προλάβει να μασήσει επαρκώς το φαΐ της διαθέτει και μια άλλη οδοντοστοιχία στο πεπτικό της σύστημα.
• Εξουδετερώνει τα επικίνδυνα χημικά που καταπίνει κι έτσι δεν της προξενούν κακό.
• Σε ένα πυρηνικό πόλεμο θα άντεχαν 6-15 φορές περισσότερο από τον άνθρωπο στην ακτινοβολία. Πιο ανθεκτικές απ' αυτές είναι οι μύγες των φρούτων.
• Οι κατσαρίδες στη μαγειρική: Σάλτσες, καρυκεύματα και ορεκτικά.
• Οι κατσαρίδες στην ιατρική: τσάι από καβουρντισμένες κατσαρίδες για κάποιες ασθένειες. Αποξηραμένες κατσαρίδες από την Ανατολή (Blatta orientalis) σε μορφή σκόνης ως διουρητικό. Τηγανισμένες σε λάδι με σκόρδο κατά της δυσπεψίας.
• Υπάρχουν 4000-5000 είδη κατσαρίδων.
• Μερικές κατσαρίδες είναι τόσο μικρές που ζουν (φιλοξενούνται;) σε φωλιές μυρμηγκιών.
• Μερικές κατσαρίδες μπορούν να πετάξουν και έχουν όμορφα διάφανα φτερά.
• Οι πρώτες κατσαρίδες είδαν το πρώτο τους σκοτάδι πριν 200 εκατομμύρια χρόνια περίπου (κατά τη διάρκεια της Λιθανθρακοφόρου Περιόδου).
• Η μεγαλύτερη κατσαρίδα ζει στη Β. Αμερική και έχει μήκος 15 εκ. και άνοιγμα φτερών 30 εκ.
• Τα περισσότερα είδη κατσαρίδων ζουν στους τροπικούς.
• Οι μεγαλύτερες Ελληνικές κατσαρίδες ζουν στο Ελληνικό Κοινοβούλιο.

*

Αν με ρωτούσαν τι είναι μουσική σύνθεση, θα έδειχνα την πρώτη Ιnvention του Bach, αν με ρωτούσαν τι είναι ζωή, μια κατσαρίδα.

Στοιχειώδη Σωματίδια

Μπορεί ο Θεός να κόψει μια κλωστή με μήκος το μήκος Πλανκ [1] στα δύο; Στο καταφανώς αντιεπιστημονικό και ελαφρώς βλάσφημο αυτό ερώτημα θα προσπαθήσουμε να δώσουμε τρεις απαντήσεις τις οποίες αυθαίρετα θα ονομάσουμε Δημοκρίτεια, Επικούρεια και Πλατωνική.

Δημοκρίτεια: Θεός δεν υπάρχει κι ο άνθρωπος είναι ακόμη πολύ μακριά από το μήκος Πλάνκ.

Επικούρεια: Οι Θεοί είναι αδώρητοι και αμέτοχοι [2]. Ακόμη κι αν μπορούσαν να κόψουν την κλωστή δεν θα μοιράζονταν τον τρόπο μαζί σου. Αναρωτήσου αν το ερώτημα σε οδηγεί στο ηδέως ζειν, αν σου δημιουργεί φόβο και ανεκπλήρωτη επιθυμία εγκατάλειψε το.

Πλατωνική: Αν η Ανάγκη [3] το επιτρέπει ο Νους θα βρει τον τρόπο να κόψει την μικρή κλωστή στα δυο.

_____________________________

[1] Μήκος Planck (Planck Length), γνωστό και σαν Τείχος Planck (Planck Wall): Είναι μια θεμελιώδης μονάδα μήκους και ισούται με 1.616252(81) x 10^-35 m. Ορίζεται από τρεις θεμελιώδεις φυσικές σταθερές: την ταχύτητα του φωτός στο κενό, την σταθερά του Planck και την βαρυτική σταθερά. Θεωρείται ως η μικρότερη απόσταση, το μικρότερο μέγεθος για το οποίο μπορούμε να γνωρίζουμε κάτι.

[2] Πάντων αγαθών αδώρητοί τε και αμέτοχοι.

[3] Ουν η τούδε του κόσμου γένεσις εξ ανάγκης τε και νου συστάσεως εγεννήθη / Γιατί η γέννηση αυτού του κόσμου προήλθε από την συνδυασμένη δράση της Ανάγκης και του Νου. (Πλάτων, Τίμαιος, 48a)

*

Διάβαζα τις προάλλες για τον υπέροχο κόσμο των στοιχειωδών σωματιδίων, κράτησα μερικές σημειώσεις, βρήκα σε μια κούτα ένα “α λα Γκλας” κομματάκι για πιάνο από το 1990, φάνταρος στο Νεοχώριον Ορεστιάδος το είχα γράψει, πέρασα μερικές από τις σημειώσεις στο Illustrator, αντέγραψα το κομμάτι στο Sibelius, διάβασα ένα δύσκολο κεφάλαιο από το Apple Pro Training Series για τα φίλτρα του Final Cut, ανέστειλα τον περιττό ύπνο για δυο μερόνυχτα (θα τα αναπληρώσω στον “αιώνιο”!) κι έφτιαξα αυτό το βιντεάκι. Οι σημειώσεις είναι ελλιπέστατες, δεν καλύπτουν όλο το φάσμα των στοιχειωδών σωματιδίων και σταματούν στα quarks. Δείτε τες σαν ένα Επιστημονικοφανές Άρλεκιν! 

Αν η Θεωρία των Χορδών αποδειχθεί σωστή, τότε στην καρδιά κάθε στοιχειώδους σωματιδίου – το οποίο θα πάψει να λέγεται στοιχειώδες, αφού θα αποτελείται από κάτι πιο στοιχειώδες, θέμα ορισμού αλλά και ουσίας -  θα πάλλεται μια χορδή, οι διαφορές ανάμεσα στα σωματίδια θα οφείλονται στους διαφορετικούς αρμονικούς που θα παράγει η κάθε (ταυτόσημη) χορδή (φανταστείτε την τέταρτη χορδή του τσέλλου, τη Ντο. Πιέζοντας με το δάκτυλο μας σε διάφορα σημεία παίρνουμε διάφορες νότες / στοιχειώδη σωματίδια).

Piccolo Concerto Grosso

K110

Μικρές Ιστορίες 7: Τρεις Κηδείες κι ένα Θεώρημα

Στις 17 Νοεμβρίου του 1917 κατά τη διάρκεια μιας αναρρωτικής άδειας από το μέτωπο – είχε τραυματιστεί πέφτοντας από ένα παρατηρητήριο - και μετά το πέρας ενός οικογενειακού γεύματος, ο γαλλοεβραίος υπολοχαγός του πυροβολικού Αντρέας Μπλοχ δολοφονεί τον αδελφό του Γιώργο, τον θείο του και τη θεία του! Τον κλείσανε για την υπόλοιπη ζωή του στο άσυλο Τσάρεντον στον Άγιο Μαυρίκιο. Στην ηρεμία του ασύλου εκπονεί σπουδαίες μαθηματικές εργασίες σε μια ευρεία γκάμα θεμάτων: θεωρία συναρτήσεων, γεωμετρία, θεωρία αριθμών, κινηματική... με πιο γνωστό το θεώρημα που φέρει το όνομα του για τους ολομορφικούς δίσκους της μιγαδικής θεωρίας συναρτήσεων. Έγκλειστος αλληλογραφεί με σπουδαίους μαθηματικούς, τον Polya, τον Hadamard, τον Valiron κ.α, πολλοί δε απ' αυτούς δεν γνωρίζουν ότι αλληλογραφούν με ένα τρόφιμο ασύλου. Όλα τα γράμματα που έστελνε είχαν ημερομηνία 1 Απριλίου. Ο γιατρός του στο άσυλο Henri Baruk αναφέρει ότι του εξομολογήθηκε μια μέρα: “έκανα μια ευγενική πράξη, εξάλειψα εκείνα τα μέλη της οικογένειας μου που ήταν διανοητικά άρρωστα.”

Για να είμαστε δίκαιοι, ο Valiron, καθηγητής στα μαθηματικά του Αντρέα και του αδικοχαμένου Γιώργου, πίστευε ότι ο Γιώργος είχε μεγαλύτερο ταλέντο από τον θύτη αδελφό του. Ο Γιώργος μπήκε στην Πολυτεχνική Σχολή του Παρισιού, ο Αντρέας έπρεπε να δώσει επιπλέον προφορικές εξετάσεις και τελικά τα κατάφερε κι αυτός. Σπούδασαν για ένα μόνο χρόνο πριν ξεσπάσει ο Α' Παγκόσμιος Πόλεμος και καταταγούν στο στρατό.

Πέθανε από λευχαιμία στις 11 Οκτωβρίου του 1948. Λίγο πριν πεθάνει η Γαλλική Ακαδημία Επιστημών του απένειμε το Βραβείο Becquerel.

Συνονόματος του ο ξεχασμένος Γάλλος συνθέτης, μαθητής του Massenet, André Bloch (1873-1960), και μην τον μπερδέψετε με τον πιο γνωστό Ελβετό συνθέτη Ernest Bloch (1880-1959) απλά τους συνδέει μια λεπτομέρεια: ο Ernest συνέθεσε τη Συμφωνία Νο.2 “Ισραήλ” (1912-1916) και ο André την Σουίτα της Παλαιστίνης (1948).

♦

Τελείως άσχετο με το παρόν άρθρο αλλά αναμφισβήτητα πολύ ωραία φωτογραφία: η Ορχήστρα του Δημοτικού Ωδείου της Τουλούζης υπό την διεύθυνση του Bernard Crocé-Spinelli (1871-1932).

To Ωραίο και το Χρήσιμο

The ideal situation occurs 

when the things that we regard as beautiful 

are also regarded by other people as useful.

Donald Knuth

*

O Knuth συγγράφει – το έργο είναι σε εξέλιξη – το TAOCP (The Art of Computer Programming) φιλοδοξώντας – είναι βαθιά μουσικόφιλος – να αποτελέσει για τη θεωρία των υπολογιστών ό,τι το WTC του Bach αποτελεί για τη μουσική. Θεωρείται ο πατέρας της Αλγοριθμικής Ανάλυσης και ο δημιουργός του TEX. Παίζει εκκλησιαστικό όργανο (ένα Abbott & Sieker με 812 σωλήνες) σχεδόν σε επαγγελματικό επίπεδο.

Αν είστε ένας από τους τρεις που έχει δανειστεί και δεν επέστρεψε τα mastercopies τριών βιντεοκασετών με διαλέξεις του από το 2001 επισκεφτείτε το official site του και επικοινωνήστε επειγόντως μαζί του!