Μικρές Ιστορίες 10: Διαστάσεις

Ο διάλογος αναφέρεται από τον Ian Stewart στο 14ο κεφάλαιο Into Hyperspace του Concepts of Modern Mathematics. Η Μεταφυσική, η Επιστημονική Φαντασία και η τηλεοπτική μπουρδολογία έχουν προσδώσει στις διαστάσεις υπερφυσικές ιδιότητες, στα μαθηματικά όμως πρόκειται για κάτι απλό: διάσταση ενός χώρου ονομάζουμε τον αριθμό των συντεταγμένων που απαιτούνται για να καθοριστεί ένα σημείο σε αυτό το χώρο, στη γραμμή για παράδειγμα χρειαζόμαστε 1 αριθμό, στο επίπεδο 2, στον 3-διάστατο χώρο που ζούμε και υποφέρουμε 3 και γενικεύοντας στον ν-διάστατο ν, με ν = 1,2,3, ... Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι ο ορισμός του σημείου από τον Ευκλείδη “σημείον έστιν ου μέρος ουθέν” παραπέμπει σε έναν 0-διάστατο χώρο.

Μπορούμε να γράψουμε:

• 1-διάστατος χώρος = R = το σύνολο των πραγματικών αριθμών x
• 2-διάστατος χώρος = R² = το σύνολο των ζευγών πραγματικών αριθμών (x,y)
• 3-διάστατος χώρος = R³ = το σύνολο των τριάδων πραγματικών αριθμών (x,y,z)

και γενικά:

• ν-διάστατος χώρος = R^ν = το σύνολο των ν-άδων πραγματικών αριθμών (x₁, x₂, x₃, ..., x_ν).

Για να οριστεί πλήρως ένας χώρος χρειάζεται και μια μετρική, ένας τρόπος να μετράμε αποστάσεις μέσα σ' αυτόν. Η έννοια της απόστασης θα πρέπει να πληρεί τις παρακάτω προϋποθέσεις:

1. Η απόσταση μεταξύ δυο σημείων πρέπει να είναι θετική,
2. Η απόσταση μεταξύ δυο σημείων πρέπει να είναι η ίδια προς οποιαδήποτε κατεύθυνση, και τέλος,
3. Η απόσταση από το σημείο Α στο Β δεν πρέπει να είναι μεγαλύτερη από την απόσταση από το Α στο Γ συν την απόσταση από το Γ στο Β.

Το (3) με απλά λόγια μας λέει ότι μια πλευρά ενός τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δυο άλλων και μας δίνει μια ιδέα του γεγονότος ότι σε έναν επίπεδο χώρο το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δυο σημεία είναι η μικρότερη δυνατή απόσταση.

Μια πολύ σημαντική παρατήρηση εδώ, αλλιώς τα πράγματα θα γίνουν άνω-κάτω στο μυαλό μας: η έννοια μιας γεωμετρίας δεν μπορεί να ταυτιστεί με την έννοια του χώρου και του αριθμού των διαστάσεων του. Η γεωμετρία περιγράφει μια σειρά ιδιοτήτων του χώρου ανεξαρτήτως του αριθμού των διαστάσεων του. Για να ονομαστεί ένας ν-διάστατος χώρος Ευκλείδειος θα πρέπει να υπακούει στα Αξιώματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας.

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα εύκολα προκύπτει ότι στον 2-διάστατο Ευκλείδειο χώρο η απόσταση από το σημείο (x₁, x₂) στο (y₁, y₂) δίνεται από τον τύπο:

d² = (x₁ - y₁)² + (x₂ - y₂)²

Εύκολα γενικεύεται ο τύπος για ν διαστάσεις.

•

Ο Ian Stewart στο What Does a Martian Look Like? λέει: “η Επιστήμη είναι η καλύτερη άμυνα μας ενάντια σε αυτό που θέλουμε να πιστεύουμε”. Η συμπληρωματική αυτής της πρότασης θα μπορούσε να είναι: “η Τέχνη είναι η καλύτερη διέξοδος για να ζήσουμε αυτό που θέλουμε να πιστεύουμε”.