Τετάρτη, 22 Οκτωβρίου 2014

Σημειώσεις Θεωρητικών Μουσικής: Συγχορδίες


CHORDS B
Από την τρίφωνη κοινή συγχορδία μέχρι την συγχορδία “πυραμίδα” και την “προμητρική” μεσολαβούν τέσσερις αιώνες περίπου και αυτήν την πορεία θέλησα να αποτυπώσω σ’ αυτές τις σημειώσεις, κυρίως κατασκευαστικά και όχι τόσο ιστορικά. Οι σημειώσεις αυτές απευθύνονται σε σπουδαστές που έχουν τελειώσει τουλάχιστον το Υποχρεωτικό Αρμονίας. Κατέβαλα εντούτοις προσπάθεια, τουλάχιστον τα περί κοινών τριφώνων συγχορδιών, να είναι τόσο αναλυτικά και κατανοητά ώστε να μπορούν να τα παρακολουθήσουν φιλομαθείς και φιλόμουσοι σπουδαστές Θεωρίας της Μουσικής.

Ξεκίνησα αυτή την σειρά σημειώσεων με φιλοδοξία, Θεού θέλοντος, να καλύψω όλα τα κεφάλαια της Θεωρίας και κυρίως της Αρμονίας ψηφιοποιώντας σημειώσεις ετών και προσθέτοντας παράλληλα καινούριο υλικό. Κατέβαλλα κάθε δυνατή προσπάθεια οι όροι και οι έννοιες να αποδίδονται με “μαθηματική” ακρίβεια, να δίνονται κατασκευαστικές μέθοδοι υπό μορφήν αλγορίθμου και συμβουλές για αποφυγή λαθών, παρανοήσεων κλπ. Ασκήσεις για τις Συγχορδίες και για άλλα μουσικά θέματα μπορεί να βρει κανείς στο 3euk1L4-edu.

Η ελληνική βιβλιογραφία είναι πια πολύ πλούσια, ίσως και πιο πλούσια απ’ ότι θα έπρεπε τουλάχιστον στην Θεωρία και Αρμονία. Ο συγγραφέας λοιπόν τέτοιων εγχειριδίων θα πρέπει να αναρωτηθεί τι καινούριο και ουσιαστικό έχει να προσθέσει στα ήδη υπάρχοντα. Η αλήθεια είναι πολύ λίγα, να γράψεις καλύτερη Αρμονία από τον Kostka, τον Aldwell, τον Gauldin ακόνη και τον Dubois αν θέλετε, είναι πολύ δύσκολο. Προσωπικά, μιας και δεν υπάρχει οικονομικό όφελος ούτε πιθανότητα εκδοτικής επιτυχίας, αφού εκ πεποιθήσεως τα αναρτώ ελεύθερα στο διαδίκτυο ως αντίδωρο για τις γνώσεις που μου έχει εκείνο προσφέρει, ο λόγος είναι ένας: να τα μάθω καλύτερα.

Τις σημειώσεις μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

Κυριακή, 5 Οκτωβρίου 2014

REICHA: Φούγκα, op. 36 Nº 12

Ήταν πριν από πολλά χρόνια όταν ψαχουλεύοντας τα CD’s στο Metropolis του Πειραιά ο πωλητής έβαλε να παίζει μια περίεργη φούγκα. Περίεργη, διότι για πρώτη φορά άκουγα “κάθετη” φούγκα, ρώτησα τι ήταν αυτό που παίζει και έφυγα με ένα από τα πιο αγαπημένα μου CDs όπως αποδείχτηκε, τις 20 από τις 36 φούγκες, op. 36 του Reicha με τον Milan Langer στο πιάνο.

Η ζωή δεν είναι συνήθως δίκαιη, ούτε και η Ιστορία της Μουσικής. Οι φιλόμουσοι ξέρουν τον Antonin (Antonín, Antoine) Reicha (Rejcha) (26 Φεβρουαρίου1770, Πράγα - 28 Μαΐου,1836 Παρίσι) από τα υπέροχα κουϊντέτα πνευστών ή τις αριστοτεχνικές συμφωνίες του, για τους φίλους των Θεωρητικών της Μουσικής και ιδιαίτερα της Φούγκας, ο Τσέχος (Βοημός) είναι ο φημισμένος και πληθωρικός θεωρητικός, με μουσικές αντιλήψεις που βρίσκονται χρόνια μπροστά απ’ αυτές των συγχρόνων του, δάσκαλος των Berlioz, Gounod, Onslow, Liszt και Franck.

Επέκταση του συστήματος μείζονος - ελάσσονος, χρήση τρόπων, ασύμμετροι ρυθμοί, μη τετράγωνες φράσεις (φράσεις με περιττό αριθμό μέτρων), μικτά μέτρα, αμετρικές μελωδίες, είναι μερικές χαρακτηριστικές ιδέες του, ακόμη και χρήση τετάρτων τόνου πρότεινε, κατά το πρότυπο της Αρχαίας Ελληνικής μουσικής (αλλά, όπως και ο Busoni χρόνια αργότερα, έμεινε μόνο στη θεωρία). Σε μια εποχή που κυριαρχούσε το ρομαντικό πάθος, ο Reicha είναι η ήρεμη φωνή της λογικής, της επιστημονικότητας και της καθαρότητας της μουσικής.

Βιογραφικά
Σύγχρονος του Μπετόβεν δεν είχε την ίδια τύχη μ’ αυτόν, ως αναφορά την εκπαίδευσή του και όχι μόνον. Ο πατέρας του πέθανε όταν ήταν μόλις δέκα μηνών και η μητέρα του δεν έδειξε κανένα ενδιαφέρον για την εκπαίδευσή του. Σε ηλικία δέκα ετών φεύγει από το σπίτι του και καταλήγει πρώτα στον παππού του Václav Rejcha στο Klatovy της Βοημίας και μετά στον θείο του Josef Reicha, έναν βιρτουόζο τσελίστα, μαέστρο και συνθέτη που τον υιοθέτησε. Κοντά στην οικογένεια του θείου του μελέτησε πιάνο, τσέλο, φλάουτο (το κύριο όργανό του), Γαλλικά και Γερμανικά. Αργότερα στην Hofkapelle της Βόννης γνώρισε τον Μπετόβεν και δέθηκαν με μια μακροχρόνια φιλία. Από τον φημισμένο δάσκαλο Christian Gottlob Neefe πιθανόν να διδάχτηκε σύνθεση και να μυήθηκε μαζί με τον Μπετόβεν στα έργα του J. S. Bach. Το 1789 εισήχθη στο Πανεπιστήμιο της Βόννης και σπούδασε εκεί μέχρι το 1794 όπου η Βόννη κατελήφθη από τους Γάλλους. Έφυγε στο Αμβούργο και συνέχισε να μελετά όχι μόνο σύνθεση, αλλά και μαθηματικά, φιλοσοφία και μεθόδους διδασκαλίας της σύνθεσης. Το 1799 πήγε στο Παρίσι με την φιλοδοξία να καθιερωθεί ως σύνθετης όπερας (συνέθεσε 12 όπερες, αλλά για διάφορους λόγους απέτυχε.

Επόμενος σταθμός η Βιέννη όπου μελέτησε με τον Antonio Salieri και τον Johann Georg Albrechtsberger. Στην Βιέννη είναι που εκδίδει τις 36 Φούγκες, op. 36, αφιερωμένες στον Haydn (εκδόθηκαν το 1803, άγνωστο ακριβώς το πότε συνθέθηκαν), τον κύκλο παραλλαγών L'art de varier (1803-04) και το εγχειρίδιο Practische Beispiele (1803) που περιείχε 24 συνθέσεις, ένας κατάλογος μουσικών μορφών και ειδών, με παραδείγματα διτονικότητας και πολύ δύσκολες ασκήσεις ανάγνωσης εκ πρώτης όψεως (prima vista). Ο Μπετόβεν γνώριζε τις 36 φούγκες και λέγεται ότι είπε: “ η φούγκα δεν είναι πια φούγκα”, φαίνεται όμως ότι τον επηρέασαν στην σύνθεση των Παραλλαγών του op. 35. Με την κατάληψη της Βιέννης από τον Ναπολέοντα το 1805 επιστρέφει στο Παρίσι όπου και περνά το υπόλοιπο της ζωής του. Το 1818 ανακηρύσσεται καθηγητής της Αντίστιξης και Φούγκας στο Conservatoire και συγγράφει το Cours de composition musicale, ou Traité d’Harmonie Pratique (1816-18), το οποίο είναι ένα από τα πρώτα σύγχρονα εγχειρίδια Αρμονίας με αναφορές στην αυστηρή και ελεύθερη μουσική, την μίμηση και την ενορχήστρωση. Πήρε την γαλλική υπηκοότητα το 1829.

36 Φούγκες, οp. 36
Οι 36 φούγκες, op. 36 είναι ένας κύκλος από φούγκες για πιάνο σύμφωνα με το “Νέο Σύστημα” (Nouveau Système / Über das neue Fugensystem) που είχε εφεύρει ο Reicha για την σύνθεση φούγκας. Το Fugensystem όπως ήταν φυσικό δέχτηκε πολλές επιθέσεις από συναδέλφους συνθέτες και θεωρητικούς. Οι 36 Φούγκες είναι ένας σημαντικός σταθμός στην εξέλιξη του είδους που έπεται του Καλά Συγκερασμένου Πληκτροφόρου και της Τέχνης της Φούγκας του Bach και προηγείται του Ludus Tonalis του Χίντεμιθ και των 24 Πρελουδιών και Φυγών, op. 87 του Σοστακόβιτς. Ενδιάμεσα, και από όσο γνωρίζουμε, καμιά άλλη προσπάθεια δεν έγινε για ανανέωση του είδους, πλην της σχολικής τυποποίησης της φούγκας από τους θεωρητικούς του Conservatoire του Παρισιού και τους Άγγλους θεωρητικούς. Έξι από τις φούγκες αυτού του έργου χρησιμοποιούν θέματα άλλων συνθετών (Frescobaldi, Bach, Handel, D. Scarlatti, Haydn και Mozart). Οι περισσότερες κάνουν χρήση ενός θέματος, έξι είναι διπλές, μία τριπλή και μία εξαπλή.

Συγκεντρώνουμε κατωτέρω μερικά χαρακτηριστικά που παρουσιάζουν οι 36 φούγκες:
  • Το Θέμα πρέπει να εισάγεται από όλες τις φωνές διαδοχικά.
  • Η υφή και ο χαρακτήρας της φούγκας πρέπει να είναι αντιστικτικός.
  • Όλες οι μουσικές ιδέες μια φούγκας πρέπει να προέρχονται αποκλειστικά από το Θέμα. Το Θέμα είναι το πιο σημαντικό στοιχείο σε μια φούγκα, όλα τα υπόλοιπα μπορούν να παραληφθούν.
  • Επιτρέπονται Θέματα περιοδικού χαρακτήρα (για παράδειγμα μουσικές περίοδοι).
  • Η Απάντηση μπορεί να δοθεί σε οποιαδήποτε βαθμίδα της κλίμακας της φούγκας.
  • Οι διαδοχικές είσοδοι του Θέματος στην Έκθεση και στις Μεσαίες εισόδους μπορεί να γίνονται σε οποιαδήποτε διατονική ή χρωματική βαθμίδα της κλίμακας της φούγκας.
  • Μια φούγκα μπορεί να ξεκινά σε μια τονικότητα και να τελειώνει σε άλλη (π.χ. η Ν° 12, Λα ελάσσονα - Σολ μείζονα).
  • Δεν υπάρχει συγκεκριμένο μετατροπικό πλάνο για την είσοδο των Θεμάτων (σαν αυτό για παράδειγμα που διδασκόμαστε στην σχολική φούγκα). Το Θέμα μπορεί να περνά ακόμη και από όλες τις τονικότητες, ακολουθώντας τον κύκλο των 5ων, όπως συμβαίνει στην Φούγκα Ν° 8.
  • Γίνεται χρήση ιδιαίτερα τολμηρών αρμονιών, πολλές φορές αξεπέραστη και από υστερο-ρομαντικούς συνθέτες. O Reicha σημειώνει: “μιας και ο ακροατής μιας φούγκας εύκολα ξεχνά την αρχική τονικότητα, είναι προς το συμφέρον της αρμονικής ποικιλίας να μετατρέπει η φούγκα προς απομακρυσμένες τονικές περιοχές”.
  • Μπορούν να χρησιμοποιηθούν τρόποι και τροπικές πτώσεις (η φούγκα Ν° 19 είναι σε Δώριο τρόπο)
  • Μπορεί να χρησιμοποιηθεί πολυρρυθμία και εναλλασσόμενα μέτρα (για παράδειγμα η πολύ “μοντέρνα” φούγκα Ν° 24, στην Ν° 28 έχουμε συνένωση των μετρικών οπλισμών 6/8 + 2/8, ως απόηχος της λαϊκής μουσικής. Όπως γράφει ο Reicha στον πρόλογο του έργου με την συνένωση μετρικών οπλισμών επιχειρείται μια αναφορά στα λαϊκά τραγούδια και στους χορούς της Ελβετίας και στα τραγούδια από την Ελλάδα και την Αλσατία.
Η Φούγκα Ν° 12, op. 36
Ας στρέψουμε τώρα την προσοχή μας στην Φούγκα Ν° 12 σε Λα ελάσσονα από αυτό το έργο.

Η αλλαγή οπλισμού στο μ. 98 μας οδηγεί στο να χωρίσουμε τη φούγκα σε δύο τμήματα Α (μμ. 1-97) και Β (μμ. 98-145). Το τμήμα Α είναι στην Λα ελάσσονα και έντονα μετατροπικό, το τμήμα Β στην Σολ μείζονα και ως επί το πλείστον διατονικό. Πέραν αυτής της διαφοράς τίποτε άλλο δεν μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η φούγκα αυτή είναι σε διμερή μορφή, στο Μέρος Β η υφή παραμένει η ίδια. Η φούγκα τελειώνει ένα τόνο χαμηλότερα από εκεί που άρχισε!

Σκιαγραφούμε τώρα το γενικό πλάνο της φούγκας:

Μέρος Α

Έκθεση Ι (μμ. 1-29)
μμ. 1-9: 9-μετρο Θέμα στην τονική - μιας και οι παύσεις παίζουν σημαντικό ρόλο σ’ αυτήν την φούγκα, έχουμε συμπεριλάβει και την παύση του μ. 9 στο Θέμα - που κατασκευάζεται από τα μοτίβα x, y = I[x] (μη ακριβής αντιστροφή του x, με I δηλώνουμε την αντιστροφή εκ του Inversion) και z = y + w + y + x). Όλη η φούγκα κατασκευάζεται με αυτά και μόνον τα μοτίβα σύμφωνα με τις επιταγές του Nouveau Système.
Το Θέμα της Φούγκας με σημειωμένα τα μοτίβα x, y και z:
Theme
μμ. 10-13: σύνδεσμος / γέφυρα για την εισαγωγή του Θέματος στην φωνή ΙΙ, χρήση μοτίβων x και y.μμ. 14-21: Θέμα στην επιδεσπόζουσα (VI). Μιας και ο Reicha δεν ακολουθεί το πρότυπο Τονικής - Δεσπόζουσας, δεν έχει νόημα να μιλάμε εδώ για Απάντηση, παρά μόνον για Θέμα το οποίο εισάγεται σε διάφορες διατονικές και χρωματικές βαθμίδες της αρχικής τονικότητας. Το Θέμα στην VΙ συνοδεύεται από μοτίβα προερχόμενα από το Θέμα. Δεν υπάρχει Αντίθεμα με την στενή έννοια του όρου. Τα μοτίβα x, y και z αναδιατάσσονται κάθε φορά και συνοδεύουν το Θέμα Στα μμ. 14-18 παρατηρείστε τον σχηματισμό y + I[w] στη φωνή ΙΙΙ.
μμ. 22-29: Θέμα στη Ναπολιτάνικη της Λα ελάσσονος (Σιb μείζονα). Παρόλο που εδώ ο Reicha έχει ξεφύγει τελείως - πλην ευχάριστα, η Φα μείζονα της προηγούμενης εισόδου λειτουργεί ως δεσπόζουσα της Σιb και “εξομαλύνεται” έτσι η εμφάνιση της Ναπολιτάνικης (βοηθά και το Eb, 7η της V7 της Σιb).

Μεσαίες Είσοδοι (30-57)
Ακολουθούν τρεις είσοδοι του Θέματος στην Σολ ελάσσονα (vii, ελασσονοποιημένη υποτονική της Λα ελάσσονος), Ντο ελάσσονα (iii, ελασσονοποιημένη μέση της Λα ελάσσονος) και τέλος Λαb μείζονα (bI, αν θέλουμε να την δούμε μέσα στην Λα ελάσσονα, θα πρέπει να της αποδώσουμε τον βαρύγδουπο τίτλο της μειζονοποιημένης βαρυμένης τονικής! Η Λαb είναι η VI της Ντο ελάσσονος που προηγήθηκε). Το τμήμα αυτό είναι έντονα μετατροπικό και το Θέμα εισάγεται σε “απροσδόκητες” τονικότητες σε σχέση με την Λα ελάσσονα. Λαμβάνοντας υπόψη το ότι πρόκειται για φούγκα και το πότε γράφτηκε (περ. 1803), το τμήμα αυτό προξενεί θαυμασμό στον γράφοντα για την τόλμη και την εφευρετικότητά του.

Περιοχή Επεισοδίων (58-97)
Αυτό το τμήμα κατασκευάζεται αποκλειστικά από τα μοτίβα x και y. Εντύπωση προκαλούν οι “ποϊντιλιστικές” 3-μέτρες παύσεις. Στο μ. 97 καταλήγουμε στην V της Σολ μείζονος που είναι η τονικότητα του Τμήματος Β της φούγκας.

Μέρος Β

Εισαγωγικό Τμήμα (98-103)
Ένα 6-μετρο τμήμα, ως εισαγωγή στην Έκθεση ΙΙ που θα ακολουθήσει, κατασκευασμένο αποκλειστικά από το μοτίβο x.

Έκθεση ΙΙ (μμ. 104-119)
μμ. 104-111: Το Θέμα στην τονική της Σολ μείζονος στην φωνή ΙΙΙ.
μμ. 112-119: Άλλη μια έκπληξη μας περιμένει εδώ, το Θέμα ακούγεται ταυτόχρονα στις φωνές Ι & ΙΙ, στην τονική και επιδεσπόζουσα αντίστοιχα.

Επεισόδιο (μμ. 120-135)
Ένα 16-μετρο επεισόδιο κατασκευασμένο με τα μοτίβα x και y. Από το μ. 128 και μετά η φωνή ΙΙΙ ενισχύεται με οκτάβες.

Καταληκτικό Τμήμα (μμ. 136-145)
Με τα μοτίβα x και y και τις παρεμβαλλόμενες παύσεις ολοκληρώνεται η φούγκα με τέλεια πτώση στην Σολ μείζονα.

Η Φούγκα σε MIDI απόδοση, με σημειωμένη την ανάλυση:
Βιβλιογραφία
  • Vuillermoz Emil, Ιστορία της Μουσικής, μτφρ. Γ. Λεωτσάκος, Υποδομή, 1979
  • Wikipedia, Anton Reicha
  • Wikipedia, 36 Fugues (Reicha)
  • Anton Reicha, The New Grove Dictionary of Music and Musicians
Ηχογραφήσεις
  • 36 Fugues op. 36 (1991–92). Tiny Wirtz, πιάνο. 2 CDs, CPO 999 065-236
  • Fugues for piano, op. 36 (επιλογή από 20 φούγκες) (1996–7). Milan Langer, πιάνο. 1 CD, BONTON Music 71 0459-2 και SUPRAPHON A.S (2003)
  • 36 Fugues (2006). Jaroslav Tůma, πιάνο. 2 CDs, ARTA F101462 (Ηχογράφηση σε όργανο εποχής, φορτεπιάνο Anton Walter 1790)

Παρασκευή, 3 Οκτωβρίου 2014

Τσαϊκόφσκι: Φούγκα σε σολ# ελάσσονα, op. 21 Nº 2

Το έργο Six Morceaux pour le Piano Composés sur un Thème Seul, op. 21 (1873) του Τσαϊκόφσκι, αφιερωμένο στον Anton Rubinstein, περιλαμβάνει έξι κομμάτια για πιάνο (Prélude - Fugue - Impromptu - Marche Funèbre - Mazurque - Scherzo) πάνω σε ένα θέμα το οποίο “μεταμορφώνεται” από κομμάτι σε κομμάτι. Θα στρέψουμε την προσοχή μας στο δεύτερο κομμάτι της συλλογής, την φούγκα, αξίζει όμως τον κόπο να ρίξουμε και μια ματιά στις μεταμορφώσεις του θέματος:

Παρ. 1
Τα τρία πρώτα μέτρα του Πρελούδιου είναι ο πυρήνας της θεματικής ιδέας:
01
Παρ. 2
Γνωρίζουμε ότι κάθε μελωδία δεν προσφέρεται για θέμα φούγκας. Παρατηρείστε πως μετασχηματίζει ο Τσαϊκόφσκι το θέμα του Πρελούδιου για να αποτελέσει θέμα φούγκας:
02
Παρ. 3
Στο Impromptu, το θέμα με τρίηχα:
03
Παρ. 4
Ρυθμός πένθιμου εμβατηρίου:
04
Παρ. 5
Τρίσημος ρυθμός για το χορό της Μαζούρκας:
05
Παρ. 6
Και τέλος το ζωηρό Scherzo:
06
Αν μελετήσετε την πλήρη παρτιτούρα του έργου θα δείτε ότι τα κομμάτια, πέραν του κοινού τους θέματος, διασυνδέονται μεταξύ τους και αρμονικά:
• Prélude: Μι μείζονα -> Σολ# ελάσσονα
• Fugue: Σολ# ελάσσονα -> Σολ# μείζονα (V του επόμενου)
• Impromptu: Ντο# ελάσσονα (σχέση 3ης με το επόμενο)
• Marche Funèbre: Λαb ελάσσονα
• Mazurque: Λαb ελάσσονα
• Scherzo: Λαb μείζονα (ομώνυμη του προηγουμένου)

Η φούγκα, εκτός του ότι είναι πολύ όμορφη μουσική, παρουσιάζει και ιδιαίτερο “τεχνικό” ενδιαφέρον, ίσως μάλιστα θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί και ως ένα διαφορετικό πρότυπο σύνθεσης σχολικής φούγκας από αυτό που προτείνει ο Gedalge, πιο κοντά σε αυτό των Lovelock, Prout και Higgs. Είναι τετράφωνη, με τονική Απάντηση, χωρίς σταθερό Αντίθεμα, περιέχει μια πλήρη Έκθεση, Μεσαίες Εισόδους, Stretti και ένα Καταληκτικό Τμήμα με ένα σφικτό stretto της κεφαλής του θέματος, ακριβώς όπως προτείνει ο Lovelock στο σχετικό εγχειρίδιό του.

Η Απάντηση της Φούγκας παρουσιάζει μια ιδιομορφία, σε σχέση με τους σχολικούς κανόνες. Το Θέμα εκκινεί με την 5η μελωδική βαθμίδα (ˆ5) [1] της αρχικής τονικότητας, η οποία εκλαμβάνεται σύμφωνα με τον κανόνα ως ˆ1 της δεσπόζουσας (D) [2] και δίνεται απάντηση σε Τ (ˆ1). Ό,τι ακολουθεί υπολογίζεται εντός της Τ μιας και οι φθόγγοι δεν έχουν επηρεασθεί από χαρακτηριστική αλλοίωση της D, ούτε μια τέτοια αλλοίωση υπονοείται στην αρμονία. Το θέμα τελειώνει με το ˆ5 της κύριας τονικότητας, άρα σε κάποιο σημείο του πρέπει να έχει υποστεί εκ νέου μετατροπία στην D. Ο Τσαϊκόφσκι όμως, μετά την μετατροπία του πρώτου φθόγγου, κρατά όλο το θέμα στην Τ και μετατρέπει μόνο στον τελευταίο φθόγγο στην D! (δείτε το Παρ. 7). Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να “σπάσει” την σύνδεση διαρκείας ανάμεσα στα δύο D5 στον 3ο προς 4ο χρόνο του μ. 3 για να μπορέσει να τελειώσει στο ˆ1 της T στην Απάντηση. Κατά τη γνώμη μου και σύμφωνα με τους σχολικούς κανόνες, το τμήμα του Θέματος από το F5 του 4ου χρόνου του μ. 2 και μετά να εκληφθεί στην D και να απαντηθεί με T (δείχνεται στο δεύτερο σύστημα του Παρ. 7). Πιθανώς ο Tchaikovsky να κράτησε το Θέμα στην Τ για να διατηρήσει το εκφραστικό διάστημα της 7μ (G#4-F#5) του μ. 2 και στην Απάντηση.

Παρ. 7
Subject Answer
Στο video που ακολουθεί και στο PDF έχω σημειώσει μια στοιχειώδη ανάλυση αυτής της φούγκας. Θεωρώ ιδιαίτερα ωφέλιμη για τον σπουδαστή και μια διεξοδική αρμονική ανάλυση του κομματιού.
Το PDF με το παρόν άρθρο και την παρτιτούρα της φούγκας μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

Σημειώσεις
[1] Οι μελωδικές βαθμίδες σημειώνονται με carreted numbers: ^1, ^2, ^3, …
[2] Με T και D σημειώνουμε το μέρος του Θέματος που εκλαμβάνεται στην Τονική και Δεσπόζουσα αντίστοιχα. Αυτό αφορά την κατασκευή της Απαντήσεως και μόνον και δεν έχει να κάνει με την εναρμόνιση του Θέματος.

Τετάρτη, 1 Οκτωβρίου 2014

Ιγκόρ Κεφαλίδης: Φούγκα, op. 8 Ν° 3

Κατά την μελέτη της Φούγκας ασχολούμαστε κυρίως - και ορθά - με την περίοδο μπαρόκ, με τις φούγκες του Bach ως επί το πλείστον, υποβοηθούμενοι στην Ελλάδα από την γαλλική τυποποίηση της φούγκας (βλπ. Gedalge και Dubois, τον αν χρειάζεται η γαλλική Σχολή είναι άλλο θέμα, πρόχειρα αναφέρω ότι δεν θα έπρεπε να αγνοούμε και την αγγλική Σχολή των Prout, Higgs και άλλων).

Σκέφτηκα λοιπόν να παρουσιάσω σε μια σειρά αναρτήσεων και φούγκες άλλων περιόδων, σχολικές και μη. Ξεκινώ με μια φούγκα του Ρώσου συνθέτη ελληνικής καταγωγής Ιγκόρ Κεφαλίδη, από το Πρελούδιο και Φούγκα, op. 8 Ν° 3. Η φούγκα αυτή παρουσιάζει αρκετό ενδιαφέρον στην ανάλυση: πρώτα απ’ όλα μελετάμε μια φούγκα σε ατονικό ιδίωμα και μετά εξετάσουμε πως γνωστές μας αντιστικτικές τεχνικές - αντιστροφή θέματος, stretti κλπ - υλοποιούνται σ΄αυτό το ιδίωμα.

Την παρτιτούρα (open score, για να διευκολυνθεί η μελέτη) μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ, η MIDI μακέτα του video είναι αρκετή για μια πρώτη γνωριμία με το έργο.
(για το video επιλέξτε HD 1080p και full screen)
Ο Ιγκόρ Κεφαλίδης (Igor Kefalidis, Igor Kefalidi, Игор Кефалиди) είναι ένας Ρώσος συνθέτης, ελληνικής καταγωγής, γεννημένος στην Μόσχα στις 15 Μαρτίου του 1941. Σπούδασε πιάνο στην Μουσική Σχολή του Gnesin με την Eugenia Kulakova, στο Μουσικό Κολέγιο της Μόσχας με τον Avrelian Rubbakh και στο Ωδείο Tchaikovsky με τον Samuil Feinberg. Παράλληλα σπούδασε σύνθεση στην τάξη του Rodion Schchedrin. έχει γράψει έργα για ορχήστρα, μουσική δωματίου και από το 1990 και μετά το ενδιαφέρον του στράφηκε στην ηλεκτρονική μουσική. έργα του έχουν παιχθεί σε πολλές χώρες από σπουδαίους ερμηνευτές.

Ακολουθεί ένα πληρέστερο βιογραφικό του στην αγγλική:

Igor Kefalidis (a.k.a. Igor Kefalidi, Russian: Игор Кефалиди) was born on March 15, 1941 in Moscow. Studied piano at Gnesin Musical School in Eugenia Kulakova class (graduated in 1957) and at Moscow Conservatoire Musical college in Avrelian Rubbakh class (graduated in 1961), continued education at Moscow Tchaikovsky Conservatoire in piano class by Samuil Feinberg (graduated in 1966 by Yakov Zak) and at the same time in the composition class by Rodion Schchedrin (graduated in 1971).

In 1970s and 80s Kefalidis’ interest as a composer (he created more than 60 opuses in various genres) was closely tied to Instrumental music, particularly Chamber and Piano music (Konsert i Bellmans Hus, Trio a quattro, three piano sonatas), plus Orchestra music (symphony and concerts). In 90’s his major interest became concentrated around electronic compositions, where he demonstrated a new innovative approach to compositional technique. He was working intensively at electronic studios in France, Belgium, Germany bringing to life his creative ideas - Vogelperspektive for Magnetic Tape, audiovisual Grisions, Feu le fol, eh! (with laser show), interactive Zu seiner wahren Gestalt, microtonal Foxt 4x4 and other works.

Kefalidis participated in the organization of several international musical festivals as a program coordinator: «Musikkultur heute» (German Music Festival in USSR), 1989–1990 (Moscow, Leningrad and other cities of the USSR); «Sergei Prokofjew und Zeitgenössische Musik aus der Sowjetunion», 1990–1991 (North Rein-Westphalia, Germany); «Making Music Together» (American Music Festival in USSR), 1991 (Moscow and other cities of the USSR).
Member of the Associations of Modern and Electroacoustic Music (Moscow), and Studio LIGYS (Paris).

Kefalidis is a regularly participant of international music festival “Moscow Autumn”. His compositions were performed in many cities of Russia and former USSR, as well as in Germany, Austria, England, France, Italy, Belgium, Spain, Sweden, Finland, Israel, USA, Australia, Japan, Cuba, Czechoslovakia, Bulgaria, Yugoslavia, Hungary and Brasil.
Music of Kefalidis was performed under the conducting of Gennady Rozhdestvensky, Juozas Domarkas, Vasily Sinaisky, Dmitry Kitaenko,Vladimir Pon’kin, Pavel Kogan, Freddy Cadena and also in the interpretation of the following soloists - Tamara Gabarashvili, Nikolai Petrov, Victoria Postnikova, Liana Isakadze, Tatiana Grindenko, Marina Mdivani, Gerd Zacher, Marcel Cominotto, Mark Pekarsky, Mikhail Doubov, Victor Grishin, Andrej Vinnitski, Matthew Kocmieroski and Mikhail Shmidt (Seattle Chamber Players), ensembles - Icebreaker (London), Studio of New Music (conductor Igor Dronov).

Δευτέρα, 29 Σεπτεμβρίου 2014

Μικρές Ιστορίες 31: Το Θεώρημα του Ναπολέοντα

Οι νοητικές δεξιότητες του Ναπολέοντα είναι γνωστές, εκείνο που δεν είναι τόσο γνωστό ίσως είναι η συνεισφορά του και στην Γεωμετρία:
“Αν με τις πλευρές ενός οποιουδήποτε τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάσουμε ισόπλευρα τρίγωνα - είτε εξωτερικά είτε εσωτερικά του τριγώνου ΑΒΓ - τότε τα κέντρα αυτών των τριγώνων σχηματίζουν επίσης ισόπλευρο τρίγωνο. Η διαφορά του εμβαδού του εξωτερικού τριγώνου από το εσωτερικό ισούται με το εμβαδόν του αρχικού τριγώνου”. 

Πέμπτη, 25 Σεπτεμβρίου 2014

Η Ορχηστρική Σκέψη, Σύστημα Πρακτικής Διδασκαλίας της Ενορχήστρωσης

Η Ορχηστρική Σκέψη (Thinking for Orchestra, Practical Exercises in Orchestration) των René Leibowitz και Jan Maguire είναι ένα σύστημα πρακτικής διδασκαλίας της ενορχήστρωσης σε δύο τεύχη, το πρώτο με πιανιστικές αναγωγές αποσπασμάτων ορχηστρικών έργων προς επανενορχήστρωση από τον σπουδαστή που συνοδεύονται από σύντομα σχόλια των συγγραφέων και το δεύτερο με τις αυθεντικές ενορχηστρώσεις των συνθετών με περαιτέρω σχόλια. Χρησιμοποίησα αυτή τη μέθοδο, στην ελληνική της έκδοση από τον Νάσο, για αυτομόρφωση και τώρα την προτείνω στους μαθητές μου, θεώρησα λοιπόν υποβοηθητικό της μελέτης να συγκεντρώσω ηχογραφήσεις αυτών των αποσπασμάτων. Η εργασία αυτή αποδείχτηκε χρονοβόρα και αρκετά δύσκολη, το “ψύλλος στ’ άχυρα” το καταλαβαίνει κανείς πολύ καλά αν ψάχνει να βρει δύο μέτρα μέσα στον Τριστάνο…
Από τους δεσμούς που ακολουθούν, αλλά και από έναν ιστότοπο που έφτιαξα ειδικά για την περίσταση (Thinking for Orchestra, Practical Exercises in Orchestration), μπορείτε να κατεβάσετε τα ηχογραφημένα αποσπάσματα σε zipped αρχεία mp3 και σε πολύ καλές εκτελέσεις από την δισκοθήκη μου. Προτείνω αφού κατεβάσετε τα αποσπάσματα και τα “ξεζιπάρετε” να τα χωρίσετε σε 4 εικονικά CDs σύμφωνα με τα κεφάλαια του εγχειριδίου:
I. The Classical Orchestra (Η Κλασική Ορχήστρα)
Haydn - Mozart - Beethoven
Exs. 01-07 & 08-14
II. Early Romantic Orchestration (Η Πρωτο-ρομαντική Ενορχήστρωση)
Schubert - Mendelssohn - WeberRossini - Brahms - Berlioz
Exs. 15-22, 23-30 & 31-39
III. Late Romantic Orchestration (Η Υστερο-ρομαντική Ενορχήστρωση)
Bizet - Wagner - Verdi - Strauss - Mahler - Debussy
Exs. 40-46, 47-53 & 54-62
IV. The Modern Orchestra (Η Σύγχρονη Ορχήστρα)
Ravel - Stravinsky - Berg - Schoenberg - Barber - Sessions
Exs. 63-72, 73-79 & 80-88
Ειδικά στις "Εικόνες από Μια Έκθεση" του Mussorgsky παραθέτω και ηχογραφήσεις της πρωτότυπης πιανιστικής γραφής, για να την συγκρίνετε με την ενορχήστρωση του Ravel.

Αγγλική Έκδοση
Thinking for Orchestra, Practical Exercises in Orchestration, Schirmer Inc., NY, 1960
Ελληνική Έκδοση
Η Ορχηστρική Σκέψη, Σύστημα Πρακτικής Διδασκαλίας της Ενορχήστρωσης, Κ. Νάσος, 1986

Άλλες αναρτήσεις που αφορούν την ενορχήστρωση σ’ αυτό το ιστολόγιο:
Strauss II / Tritsch-Tracsh Polka, Full Score
Fauré: Pavane, op.50
Lovelock: Ένα Μάθημα Ενορχήστρωσης
Αλμπισίφωνον

Τρίτη, 16 Σεπτεμβρίου 2014

Verdi και Copland κτυπούν Μεσάνυκτα

Μελετώντας τον Falstaff του Verdi για άλλο λόγο, έπεσα πάνω σε μια πολύ ιδιαίτερη εναρμόνιση ενός αποσπάσματος από την Τρίτη Πράξη του έργου. Το ρολόι κτυπάει μεσάνυχτα κι ο Falstaff μετρά τα κτυπήματα πάνω σε μία μόνο νότα, ένα F3: ένα, δύο, τρία, μέχρι το δώδεκα. Ο Verdi ενορχηστρώνει για έγχορδα εκτός κοντραμπάσου και καμπάνες. Το ενδιαφέρον βρίσκεται στην εναρμόνιση αυτού του F3. Μία σειρά συγχορδιών, μη λειτουργικά συνδεδεμένων, κολοριστικών / περιγραφικών θα έλεγα (εξ ου και οι καμπάνες στην ενορχήστρωση), όλες με κοινό φθόγγο το F, ηχούν σαν την καμπάνα ενός ρολογιού. Θεωρώ την πρώτη και τελευταία συγχορδία - Φα μείζονα -  ως δομική (structural), τις ενδιάμεσες ως αντιστικτικές (contrapuntal), συγχορδίες δηλαδή που προκύπτουν από την κίνηση των φωνών και μόνον (δανείζομαι τους όρους από τον Sachter).

Μπήκα στον πειρασμό να βάλω “ταμπέλες” σ’ αυτές τις συγχορδίες, αν και θεωρώ διδακτική μεν, αλλά άνευ μουσικού νοήματος μια τέτοια ανάλυση. Για τον σκοπό αυτό ορισμένους φθόγγους τους ερμήνευσα εναρμόνια, π.χ την συγχορδία του μ. 3: Db3-G#3-Bb3-F4, την μεταγράφω ως: Db3-Ab33-Bb3-F4 και την δικαιολογώ ως δεσπόζουσα μεθ’ εβδόμης (V7) της Μιb μείζονος. [H ορθογραφία (spelling) των φθόγγων του Verdi καθιστά σαφέστερη την κίνηση των φωνών (voice leading), δυσχεραίνει όμως την ταυτοποίηση των συγχορδιών. Γενικότερα σε μουσικές που ατονούν οι λειτουργικές σχέσεις συγχορδιών ισχύει η εναρμόνια ισοδυναμία των φθόγγων (enharmonic equivalence)]

Ο οπλισμός είναι της Φα ελάσσονος, το απόσπασμα όμως ξεκινά και τελειώνει με συγχορδία Φα μείζονα. [Λάβετε υπόψη σας ότι χρησιμοποιώ στην ανάλυση κεφαλαία λατινικά για τις μείζονες συγχορδίες και μικρά λατινικά για τις ελάσσονες, ένας μικρός κύκλος αριστερά του συμβόλου σημαίνει ελαττωμένη συγχορδία, περισσότερα για τον συμβολισμό των συγχορδιών εδώ.]

Πρόβλημα, σύμφωνα με τους σχολικούς κανόνες, φαίνεται να υπάρχει με την συγχορδία του μ. 2. Την ερμηνεύω ως V2/Bb με οξυμμένη την 5η της, η 7η όμως που βρίσκεται στο βάσιμο δεν λύνεται. Αν προσέξουμε όμως  την γραμμή του βάσιμου βλέπουμε ότι ακολουθεί την κατιούσα μελωδική: F-Eb-Db-C με την παρεμβολή στο μ. 3 του Bb, τον οποίο θεωρώ ως αλματικό φθόγγο (leaping tone) πάνω στον οποίο “χτίζεται” η συγχορδία της V7/Eb. Θεωρώ λοιπόν ότι το Eb του μ. 2 λύνεται στο Db του μ. 4. Στο μ. 3 τώρα, η 7η της ii/F (G#3=Ab3, στον τενόρο) λύνεται με ανιόν βήμα στο Α3 του μ. 5.

Αναφέρθηκα προηγουμένως σε “αντιστικτικές” συγχορδίες, μια πλήρης όμως σενκεριανή ανάλυση νομίζω ότι “κολλά” στο μ. 12 όπου δεν έχουμε δεσπόζουσα (δεν τηρείται το θεμελιώδες σχήμα I-V-I). Ακούγοντας πολλές φορές αυτό το απόσπασμα έκανα μια “παράλογη” σκέψη γι’ αυτό το σημείο: την δεσπόζουσα (V) που έπρεπε να ακούσουμε πριν την τονική (I) του μ. 3 την ακούμε μετά, στο μ. 14 (πάνω στο “-te” του “notte”) και έτσι ολοκληρώνουμε a posteriori, εντός μας, την τέλεια πτώση! Άλλη σκέψη: ο χρόνος δεν σταματά να κυλά, μια τέλεια πτώση σ’ αυτό το σημείο θα “έκοβε” την ροή του… Υπάρχει βέβαια και το πρακτικό θέμα του F που πρέπει να κρατιέται αλλά δεν υφίσταται ως φθόγγος στην δεσπόζουσα της Φα (C-E-G). Θα μπορούσε βέβαια ο Verdi να χρησιμοποιήσει δεσπόζουσα με “προστιθέμενη 4η” και να έχει το F, επαναλαμβάνω όμως ότι δεν θεωρώ ενδεδειγμένη την τέλεια πτώση στο εν λόγω σημείο.

Δεν βρήκα σε κάποιο εγχειρίδιο Αρμονίας, ή στο διαδίκτυο αναφορά σ’ αυτό το απόσπασμα και ως εκ τούτου θα με ενδιέφερε μια διαφορετική αναλυτική προσέγγιση από κάποιον αναγνώστη αυτού του άρθρου.

Ακολουθεί ένα video με την ανάλυση που έφτιαξα, με ήχο από την εκτέλεση του Solti με την Ορχήστρα και Χορωδία RCA και τους Evans, Ligabue, Merrill, Freni, Kraus και Simionato.

(επιλέξτε 1080p HD για το video)
*
Το ένα φέρνει τ’ άλλο και θυμήθηκα κι ένα άλλο ρολόι που χτυπά μεσάνυκτα, αυτό του Copland. Το συναντάμε στο χιουμοριστικό σκέρτσο “The Cat and the Mouse” για πιάνο (εδώ ένα video με παρτιτούρα του έργου, παίζει ο ίδιος ο Copland). Οι φθόγγοι της συγχορδίας προέρχονται από το εξάχορδο: Gb-Ab-B-D-C-E. Με C=0 μας δίνει το φθογγοσύνολο: {6,8,11,2,0,4}, με Normal Form: [11,0,2,4,6,8], Prime Form: (013579), IC Vector: <142422> και Forte Number: 6-34. Θα μπορούσαμε να ερμηνεύσουμε αυτό τον σχηματισμό κι ως πολυχορδία: ημιελαττωμένη Λαb με 7η μικρή + αυξημένη Ντο:

Τρίτη, 9 Σεπτεμβρίου 2014

Olivier Messiaen X: Είκοσι Μαθήματα Αρμονίας IIΙ (πλήρες)


Σε προηγούμενα άρθρα μου είχα αναρτήσει μέρος των “Μαθημάτων Αρμονίας” του Messiaen. Γενικότερα, τα άρθρα μου γι’ αυτόν τον μεγάλο Συνθέτη και Δάσκαλο σ’ αυτό το ιστολόγιο είναι τα εξής:

Olivier Messiaen I: Είμαι ένας Γάλλος των βουνών
• Olivier Messiaen II: Quator pour la fin du Temps (1)
• Olivier Messiaen III: Αρμονική Τεχνική
• Olivier Messiaen IV: Βιογραφικές Σημειώσεις
• Olivier Messiaen V: Quator pour la fin du Temps (2)
• Olivier Messiaen VI: Για λίγο στην τάξη του
• Olivier Messiaen VII: Χρωματική Συναισθησία
• Olivier Messiaen VIII: Είκοσι Μαθήματα Αρμονίας I
• Olivier Messiaen IX: Είκοσι Μαθήματα Αρμονίας II

Το καλοκαίρι που πέρασε αντέγραψα και τα υπόλοιπα, μετέφρασα τον “Πρόλογο” και τις “Σημειώσεις για κάθε Μάθημα” του Messiaen και πρόσθεσα ορισμένες δικές μου παρατηρήσεις, χρήσιμες πιστεύω, για κάθε Μάθημα.

Μπορείτε να κατεβάσετε αυτήν την εργασία από εδώ.

Για κάθε μάθημα έφτιαξα ένα video με MIDI ήχο για να βοηθήσω στην μελέτη αυτών των Μαθημάτων. Τέλος, δίνω μια Άσκηση για πιάνο που έγραψα μετά την μελέτη κυρίως του τελευταίου μαθήματος.

Παραθέτω κατωτέρω τον ελληνικό “Πρόλογο” και τις “Γενικές Παρατηρήσεις στα Μαθήματα”.

Πρόλογος
Αυτά τα Μαθήματα προορίζονται για σπουδαστές που έχουν συμπληρώσει ιδιαίτερα ικανοποιητικά τον κύκλο σπουδών τους στο Ειδικό Αρμονίας, θα προσθέταμε επίσης ότι σε ορισμένες περιπτώσεις απαιτούνται επαρκείς γνώσεις αντίστιξης και φούγκας (κυρίως σε ό,τι αφορά στην κατασκευή επεισοδίων). Κατά την άποψη μας πάντως, εκτός εξαιρετικών περιπτώσεων, είναι ιδανικά για τους σπουδαστές του πρώτου έτους Σύνθεσης. Η δυσκολία των θεμάτων προσεγγίζει εκείνη του Concours d’Harmonie του Ωδείου του Παρισιού. Τα θέματα έχουν συλληφθεί στο ύφος μερικών σημαντικών συνθετών για την “Ιστορία της Αρμονίας”, από τον  Monteverdi έως τον Ravel, με στόχο να προτρέψουν τον σπουδαστή να μελετήσει τα έργα των Δασκάλων, παλιών και νέων, και να βρει την πηγή των κανόνων του τι “επιτρέπεται” και τι “απαγορεύεται”. Δεν πρόκειται για ένα συμπίλημα, αλλά για τετράφωνες σπουδές σε διαφορετικά ύφη. Μερικά μαθήματα αντλούν την έμπνευσή τους από δύο συνθέτες ταυτόχρονα. Οι λύσεις του συγγραφέα συνοδεύονται από ενάριθμο βάσιμο και στις περισσότερες των περιπτώσεων αυτή η αρίθμηση αρκεί για να καταδείξει την στοιχειώδη αρμονική ανάλυση (έχετε κατά νου ότι δεν σημειώνονται στην αρίθμηση οι ξένοι φθόγγοι). Κατά την αντιγραφή στον υπολογιστή διατηρήσαμε το γαλλικό σύστημα αρίθμησης του πρωτότυπου, οι σπουδαστές που δεν είναι εξοικειωμένοι μ’ αυτό μπορούν να συμβουλευτούν τον πίνακα αρίθμησης που βρίσκεται στο εγχειρίδιο Αντίστιξης του Dubois, ή τον δάσκαλό τους. Σε τμήματα θεμάτων που είναι δύσκολο να αναλυθούν ο Messiaen δίνει λεπτομερή ανάλυση παράλληλα με συμβουλές στον σπουδαστή για την εναρμόνιση κάθε μαθήματος.

Αντίθετα με την συνήθη πρακτική, όπου ένα τεύχος προορίζεται για τον σπουδαστή, δίνοντας τα θέματα χωρίς τη λύση τους, και ένα για τον δάσκαλο με τις εναρμονίσεις του συγγραφέα, ο Messiaen δίνει ένα μόνο τεύχος με τα θέματα μαζί με τις εναρμονίσεις τους, με βάση το οποίο ο σπουδαστής θα εργαστεί με την καθοδήγηση του δασκάλου του.
Ο Messiaen προτείνει τον εξής τρόπο εργασίας:
Ο σπουδαστής αντιγράφει το δοσμένο μέρος, βάσιμο ή σοπράνο, καλύπτοντας προσεκτικά τη λύση. Μελετά προσεκτικά τις “Παρατηρήσεις για κάθε Μάθημα” του συγγραφέα και όταν πρόκειται για δοσμένη μελωδία προσπαθεί κατά την εναρμόνισή του να εξάγει την “φυσική και αληθή” αρμονία που υπονοεί (“l’harmonie naturelle et véritable”). Ακολούθως μελετά τις επεξηγήσεις και την εναρμόνιση του συγγραφέα και επανέρχεται στο Μάθημα αυτή τη φορά εναρμονίζοντας το με βάση την αρίθμηση και το μέρος της σοπράνο από την εναρμόνιση του Messiaen, αν πρόκειται για δοσμένο βάσιμο, ή το ενάριθμο βάσιμο, αν πρόκειται για δοσμένη μελωδία. Τέλος, συγκρίνει την δική του λύση με αυτήν του συγγραφέα.

Πέραν των παρατηρήσεων και συμβουλών του Messiaen, θα προτείναμε στους σπουδαστές πριν ασχοληθούν με την εναρμόνιση να μελετήσουν τα βιογραφικά και την εργογραφία των συνθετών που αναφέρεται το κάθε Μάθημα. Θα πρέπει επίσης να μελετηθούν σε βάθος συγκεκριμένα έργα από κάθε συνθέτη καθ’ υπόδειξη του δασκάλου. Ενδεικτικά θα πρότεινα τμήματα από τον  Ορφέα του Monteverdi, τα χορικά του Bach (εργασία που γίνεται ούτως ή άλλως στο Ειδικό της Αρμονίας), μερικά κουαρτέτα εγχόρδων του Mozart, το πολύ διδακτικό Άλμπουμ για τους Νέους του Schumann, τμήματα από την Manon του Massenet, επιβεβλημένη κρίνω μια πλήρη ακρόαση του Πελλέα του Debussy και ανάλυση τμημάτων του και το κουαρτέτο του Ravel. Περιττό να αναφέρω ότι για όλα τα μαθήματα απαιτείται άριστη γνώση της Αρμονίας με ιδιαίτερη έμφαση στη χρήση των ξένων φθόγγων (πολλές φορές γίνεται και ευρύτερη χρήση τους πέραν των κανόνων των σχολικών εγχειριδίων), ελεύθερη χρήση συγχορδιών ενάτης (σε συγκεκριμένα μαθήματα) και ευρεία χρήση συγχορδιών έκτης. Τα μαθήματα αυτά δίνουν επίσης την ευκαιρία στον σπουδαστή να ασχοληθεί με εναρμονίσεις πέραν του συστήματος μείζονος - ελάσσονος. Σε ορισμένα μαθήματα γίνεται κατά την εναρμόνιση χρήση τρόπων, τεχνητών τρόπων (Μάθημα Ν° 15, 18 και 20) και τροπικών πτώσεων. Το Μάθημα Ν° 20 είναι μια πολύ καλή ευκαιρία να γνωρίσει και να μελετήσει ο σπουδαστής το περίφημο εγχειρίδιο του Messiaen “Τεχνική της Μουσικής μου Γλώσσας”.

Οι σπουδαστές της Σύνθεσης μετά την εναρμόνιση κάθε μαθήματος και την μελέτη της εναρμόνισης του Messiaen θα μπορούσαν να συνθέσουν ένα δικό τους κομμάτι (σημειώνοντας και την ανάλυσή του) εμπνευσμένο από το συγκεκριμένο Μάθημα και στο ύφος του εκάστοτε συνθέτη που εξετάζεται.

Γενικές Παρατηρήσεις στα Μαθήματα
Σε αυτά τα Μαθήματα παρατηρούμε αποκλίσεις από τους σχολικούς κανόνες της Αρμονίας. Οι αποκλίσεις αυτές δεν είναι αυθαίρετες αλλά τεκμηριώνονται από τα έργα των συνθετών στα οποία αναφέρονται. Συνοψίζουμε κατωτέρω μερικά ενδιαφέροντα σημεία που εντοπίσαμε:

• Ένα θέμα μπορεί να ξεκινά με την συγχορδία της τονικής σε πρώτη αναστροφή (Ι6). Δεν αποκλείεται να ξεκινά και με άλλη συγχορδία πλην της τονικής και μάλιστα να καθυστερεί επί μακρόν η προσέγγιση και κυρίως η εγκαθίδρυση της τονικής περιοχής.

• Σε ορισμένα συνθετικά ύφη επιτρέπονται οι 5ες παράλληλες, εκ των οποίων η πρώτη είναι ελαττωμένη και η δεύτερη καθαρή. Αλλού, επιτρέπονται οι αντιπαράλληλες 5ες, ακόμη και σε εξωτερικές φωνές (αποκλειστικά πάντως στην τέλεια πτώση).

• Μη “σχολική” χρήση της δεύτερης αναστροφής των τριφώνων συγχορδιών. Θα ονομάζαμε αυτή τη χρήση σε ορισμένες περιπτώσεις “κολοριστική”. Η αστάθεια της δεύτερης αναστροφής συμβάλλει στον “γητευτικό χαρακτήρα” ή στις “κρεμώδεις αρμονίες” ορισμένων Μαθημάτων.

• Απροετοίμαστες και άλυτες 7ες συγχορδιών μεθ’ εβδόμης. Η 7η σε αυτές τις περιπτώσεις ανεβαίνει βήμα. Μια 7η επίσης μπορεί να διακοσμηθεί πριν λυθεί.

• Ιδιαίτερη χρήση των ξένων φθόγγων. Διαβατικοί φθόγγοι που δεν λύνονται, ή την λύση τους την παίρνει άλλη φωνή (γειτονική πάντως). “Αλματικοί ποικιλματικοί φθόγγοι” (όχι “εκφυγές”, διότι ο φθόγγος της εκφυγής λύνεται σε φθόγγο της επόμενης συγχορδίας). Επερείσεις που δεν λύνονται, πολλές φορές μεγάλης διάρκειας και μάλιστα στο τέλος του θέματος δημιουργώντας έτσι μια διάφωνη καταληκτική συγχορδία. “Αλματικές επερείσεις” επίσης, αν μας επιτραπεί ο όρος, επερείσεις δηλαδή που δεν απέχουν βήμα από τον πραγματικό φθόγγο. Στην αγγλική βιβλιογραφία αυτοί οι φθόγγοι πολλές φορές καλούνται “hanging notes”, θα μεταφράζαμε πρόχειρα “ξεκρέμαστοι φθόγγοι”, αν και προτιμούμε τον πλέον δόκιμο “αλματικές επερείσεις” (δες Μάθημα Ν° 19).

• Ευρεία χρήση συγχορδιών με “προστιθέμενη 6η” στις μείζονες τρίφωνες συγχορδίες, στις συγχορδίες μεθ’ εβδόμης και μετ’ ενάτης. Χρησιμοποιούνται επίσης και συγχορδίες με “προστιθέμενη 4η” και “προστιθέμενη 9η” (αυτή η 9η μπορεί να προστεθεί σε οποιαδήποτε συγχορδία, δεν πρέπει να συγχέεται με την V 9/7).
• Χρήση εκκλησιαστικών και τεχνητών τρόπων, καθώς και τροπικών πτώσεων.

Videos
Ακολουθούν τα 20 Μαθήματα σε video με MIDI ήχο (Sibelius 7.5):

Nº 1 Δοσμένη Μελωδία (στο ύφος του Monteverdi)

Nº 2 Δοσμένη Μελωδία (στο ύφος ενός Passepied του Rameau)


Nº 3 Δοσμένο Βάσιμο (στο ύφος των χορικών του J.S. Bach)

Nº 4 Δοσμένο Βάσιμο (στο ύφος ενός πρελούδιου του J.S. Bach)

Nº 5 Δοσμένο Βάσιμο (τρίφωνο, στο ύφος των Trio Sonatas του J.S. Bach)

Nº 6 Δοσμένη Μελωδία (στο ύφος του Gluck)

Nº 7 Δοσμένο Βάσιμο (στο ύφος των κουαρτέτων εγχόρδων του Mozart)

Nº 8 Δοσμένη Μελωδία (στο ύφος των κουαρτέτων εγχόρδων του Mozart)

Nº 9 Δοσμένο Βάσιμο (στο ύφος του Schumann)

Nº 10 Δοσμένη Μελωδία (στο ύφος των κανόνων του César Franck)

Nº 11 Δοσμένο Βάσιμο (ύφος ημι-Schumann, ημι-Lalo)

Nº 12 Δοσμένη Μελωδία (ύφος ημι-Chabrier, ημι-Massenet)

Nº 13 Δοσμένο Βάσιμο (στο ύφος μιας Sicilienne του Franck)

Nº 14 Δοσμένη Μελωδία (σε ένα πολύ υβριδικό ύφος: Schumann - Fauré - Albeniz)

Nº 15 Δοσμένη Μελωδία (ύφος ημι-Franck, ημι-Debussy)

Nº 16 Δοσμένη Μελωδία (ύφος ημι-Massenet, ημι-Debussy)


Nº 17 Δοσμένη Μελωδία (ύφος ημι-Chabrier, ημι-Debussy)

Nº 18 Δοσμένη Μελωδία (στο ύφος του “Pelléas et Mélisande” του Debussy)

Nº 19 Δοσμένη Μελωδία (πεντάφωνο, στο ύφος του Maurice Ravel)

Ν° 20 Δοσμένη Μελωδία 
(σε ένα πολύ ιδιαίτερο ύφος, κατά κάποιον τρόπο αυτό το Μάθημα προσεγγίζει τις ινδουιστικές καντιλένες)

MeMod, για πιάνο
(μια άσκηση σε τροπικό ύφος)

Δευτέρα, 18 Αυγούστου 2014

Joie demener!


Τετάρτη, 13 Αυγούστου 2014

Για την Nadia Boulanger

Στα βιογραφικά συνθετών και εκτελεστών του 20ου αι., συχνά συναντάμε αναφορές στο όνομα της Nadia Boulanger (εδώ ένας κατάλογος των μαθητών της). Γεννήθηκε το 1887, στα 72 του τότε ο πατέρας της Ernest Boulanger, συνθέτης και πιανίστας, Ρωσίδα πριγκίπισσα η μητέρα της, η Raissa Myshetskaya. Έξι χρόνια αργότερα γεννιέται η - σπουδαία επίσης - αδελφή της Lili.

Δεν θα επιμείνω στα βιογραφικά, τα οποία εντούτοις έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον και μπορείτε να τα βρείτε εδώ. Θα ήθελα σ’ αυτό το άρθρο να παραθέσω διάφορες απόψεις της για την παιδαγωγική της μουσικής. Τι ήταν αυτό που την έκανε ιδιαίτερη και συνθέτες διέσχιζαν τον Ατλαντικό για να σπουδάσουν μαζί της; Ποιος ήταν ο “τρόπος” της για να εμπνεύσει και να καθοδηγήσει τους σπουδαστές της; Μέσα σ’ αυτά τα παραθέματα ίσως βρούμε, σπουδαστές, δάσκαλοι και συνθέτες, κάποια πράγματα που θα μας κάνουν καλύτερους σ’ αυτό που κάνουμε.
Όταν ρωτήθηκε για την διαφορά ανάμεσα σε ένα καλοκαμωμένο έργο και ένα αριστούργημα, απάντησε: “Μπορώ να πω αν ένα έργο είναι καλά καμωμένο ή όχι και πιστεύω ότι υπάρχουν συνθήκες χωρίς τις οποίες η σύνθεση ενός αριστουργήματος δεν μπορεί να επιτευχθεί, εντούτοις αυτό που κάνει ένα έργο αριστούργημα δεν μπορεί να ορισθεί. Δεν λέω ότι δεν υπάρχει ένα κριτήριο για τα αριστουργήματα, απλά δεν ξέρω ποιο είναι.”
Χαιρόταν όλη την “καλή μουσική”. Σύμφωνα με τον Lennox Berkeley: “Ένα καλό βαλς αξίζει όσο μια καλή φούγκα, κι αυτό διότι έκρινε ένα έργο αποκλειστικά σύμφωνα με το αισθητικό του περιεχόμενο.” Παρ’ όλα αυτά, το γούστο της θα μπορούσε να περιγραφεί: “για να το θέσουμε απλά, εκλεκτικό”: Θαύμαζε τον Debussy και τον Ravel. Παρ’ όλο που λίγο συμπαθούσε τον Schoenberg και τους βιενέζους δωδεκαφθογγιστές, υποστήριζε φλογερά τον Stravinsky.”
Επέμενε στην αξία της πλήρους προσοχής σε ό,τι κάνουμε: “Καθένας που ενεργεί απρόσεκτα χαραμίζει την ζωή του. Θα έφτανα στο σημείο να πω ότι η έλλειψη προσοχής είναι άρνηση της ζωής, είτε όταν καθαρίζεις τα τζάμια, είτε όταν προσπαθείς να γράψεις ένα αριστούργημα, η προσοχή σου θα πρέπει να είναι τεταμένη.”
Το 1920, δυο από τις αγαπημένες της μαθήτριες σταμάτησαν τα μαθήματα μαζί της για να παντρευτούν. Νόμισε ότι πρόδωσαν την δουλειά μαζί της και την υποχρέωσή τους απέναντι στη μουσική. Η συμπεριφορά της απέναντι στις γυναίκες που ασχολούνταν με την μουσική ήταν αντιφατική: παρ’ όλη την καθιέρωσή της ως σπουδαίας παιδαγωγού και την επιτυχία της αδελφής της Lilly, σε όλη της την ζωή πίστευε ότι το καθήκον μιας γυναίκας είναι να είναι σύζυγος και μητέρα. Σύμφωνα με τον Ned Rorem, πάντα θα έβρισκε κάποια δικαιολογία για τις αστοχίες των ανδρών σπουδαστών της, ενώ ήταν ιδιαίτερα αυστηρή με τις γυναίκες.
Έβλεπε την διδασκαλία ως ευχαρίστηση, προνόμιο και καθήκον: “Κανένας δεν είναι υποχρεωμένος να διδάσκει. Δηλητηριάζει την ζωή σου το να διδάσκεις και να βαριέσαι.”
Δεχόταν σπουδαστές κάθε επιπέδου, το μόνο της κριτήριο ήταν να θέλουν να μάθουν. Προσάρμοζε τη διδασκαλία της στις δεξιότητές τους. Οι ταλαντούχοι μαθητές της θα έπρεπε να μπορούν να απαντήσουν στις πιο δύσκολες ερωτήσεις και να διατηρούν την προσοχή τους υπό την πίεση του άγχους. Οι λιγότερο ικανοί μαθητές, που δεν επρόκειτο να ακολουθήσουν επαγγελματική καριέρα, αντιμετωπίζονταν με περισσότερη επιείκια. Είχε διαφορετική προσέγγιση για κάθε σπουδαστή: “Όταν δέχεσαι ένα νέο μαθητή, το πρώτο πράγμα που θα πρέπει να προσπαθήσεις να καταλάβεις είναι το μουσικό του ένστικτο και τα φυσικά του χαρίσματα. Κάθε σπουδαστής θέτει ένα ιδιαίτερο πρόβλημα.”
Η Boulanger χρησιμοποιούσε ποικίλες διδακτικές μεθόδους. Οι σπουδαστές της μελετούσαν παραδοσιακή αρμονία, ανάγνωση εκ πρώτης όψεως στο πιάνο, αντίστιξη των ειδών και σολφέζ (σταθερό ντο). Έλεγε: “δεν έχει σημασία τι ύφος χρησιμοποιείς, αρκεί να το χρησιμοποιείς με συνέπεια.”
Συνήθως σχολίαζε μια παρτιτούρα σπουδαστή της σε σχέση με τα έργα άλλων συνθετών: “Αυτά τα μέτρα έχουν την ίδια αρμονική διαδοχή με το Πρελούδιο στη Φα μείζονα του Bach και με την Μπαλάντα σε Φα μείζονα του Chopin. Δεν μπορούσες να σκεφτείς κάτι πιο ενδιαφέρον;” Ο Virgil Thomson έβρισκε αυτή τη διαδικασία ατελέσφορη, ο σπουδαστής έβλεπε το έργο του να καταστρέφεται μπροστά στα μάτια του από την εφαρμογή συνταγών ρουτίνας από το στάνταρ ρεπερτόριο. Ο Aaron Copland από την άλλη θυμάται ότι είχε μια βασική αρχή, την δημιουργία αυτού που αποκαλούσε “la grande ligne” της μεγάλης γραμμής στη μουσική. Έλεγε: “Χρειάζεται να καθιερώσεις μια μουσική γλώσσα και μέσα σ’ αυτήν να βρεις την ελευθερία να είσαι ο εαυτός σου. Είναι πάντα απαραίτητο να είσαι ο εαυτός σου, από μόνο του αυτό είναι ένα σημάδι μεγαλοφυΐας.”
Ισχυριζόταν ότι δεν μπορούσε να εμφυσήσει την δημιουργικότητα στους σπουδαστές της παρά μόνον να τους βοηθήσει να γίνουν ευφυείς μουσικοί που καταλαβαίνουν την τέχνη της σύνθεσης. “Δεν μπορώ να δώσω ή να πάρω εφευρετικότητα από κάποιον, μπορώ απλά να του παράσχω την ελευθερία [ικανότητα] να διαβάζει, να ακούει, να βλέπει, να καταλαβαίνει. Μόνο η έμπνευση μπορεί να κάνει την διαφορά ανάμεσα σε ένα καλοκαμωμένο κομμάτι και σε ένα καλλιτέχνημα.” Πίστευε ότι τα μόνα που χρειαζόταν ένας σπουδαστής ήταν η επιθυμία για γνώση, η ανάγκη να γίνει καλύτερος και η δουλειά. Στην επικρατούσα άποψη, ότι μεγάλοι καλλιτέχνες γίνονται μόνον τα προικισμένα παιδιά, έφερνε ως αντιπαράδειγμα τον Rameau, που έγραψε την πρώτη του όπερα πενήντα χρονών, τον Wojtowicz που έγινε πιανίστας τριάντα ένα και τον Roussel που ασχολήθηκε επαγγελματικά με την μουσική από τα είκοσι πέντε του και μετά.
Η ίδια είχε μια φαινομενική μνήμη, δώδεκα χρονών ήξερε όλο το Καλά Συγκερασμένο Πληκτροφόρο του Bach απ’ έξω. Οι σπουδαστές της αναφέρουν ότι είχε κάθε σημαντικό κομμάτι σημαντικού συνθέτη στα ακροδάκτυλά της. Ο Copland θυμάται: “Η Nadia Boulanger ήξερε όλα όσα χρειάζεται να ξέρει κανείς για την μουσική, ήξερε την παλιά και την πιο πρόσφατη μουσική, πριν τον Bach και μετά τον Stravinsky. Κατείχε όλη την τεχνική γνώση: αρμονική μεταφορά, ενάριθμο βάσιμο, ανάγνωση παρτιτούρας εκ πρώτης όψεως, τεχνικές των οργάνων, δομική ανάλυση, την σχολική και την ελεύθερη φούγκα, τους Αρχαίους Ελληνικούς Τρόπους και το Γρηγοριανό Μέλος.”
Για την Αρμονία έλεγε ότι πρέπει ο σπουδαστής να απελευθερωθεί από τα δεσμά του σωστού και λάθους και να σκεφτεί χρώματα και αποχρώσεις του ήχου.
Για να σπουδάσουμε μουσική θα πρέπει να μάθουμε κανόνες, για να δημιουργήσουμε μουσική θα πρέπει να τους ξεχάσουμε.

Δευτέρα, 11 Αυγούστου 2014

Πανσέληνος Αυγούστου 2014

Είναι το φως που κάνει ένα δορυφόρο αυγουστιάτικο φεγγάρι.

Τετάρτη, 6 Αυγούστου 2014

Μερικές σκέψεις για το "ταλέντο"

Διατυπώνω πρόχειρα μερικές σκέψεις για το “ταλέντο”. Πιστεύω ότι το ταλέντο είναι μία συνισταμένη πολλών και διαφορετικής φύσης συνιστωσών. Μερικές από αυτές με τυχαία σειρά είναι: γενετική / φυσική προδιάθεση και “αγάπη” για το αντικείμενο, κατάλληλη σωματική / μυική διάπλαση, σωματική αντοχή σε πολύωρη ενασχόληση με το αντικείμενο, ισχυρό νευρικό σύστημα, υψηλός νοητικός και συναισθηματικός δείκτης, αναλυτικές και συνθετικές δεξιότητες, ικανότητα διαχείρισης άγχους, ικανότητα διαχείρισης της αποτυχίας / επιτυχίας, ικανότητα συγκέντρωσης, ικανότητα του να θέτεις στόχους και αξιολογείς την πορεία επίτευξής των, ικανότητα στις δημόσιες σχέσεις (ανάλογα με το αντικείμενο) και τέλος μια φιλοσοφία ζωής.

Αν κάποιος έχει όλες αυτές τις συνιστώσες σε υψηλό βαθμό γίνεται Boulez για παράδειγμα, αναλόγως διαβαθμιζόμεθα όλοι οι άλλοι.

H εκτίμηση ενός ταλέντου είναι επίσης συνάρτηση του χρόνου, με ό,τι ο χρόνος συνεπάγεται.Έχει ενδιαφέρον να δούμε ποιες από τις ανωτέρω συνιστώσες είχε ο Alkan και ποιες ο Marmontel, πως εκτιμήθη το ταλέντο τους στον καιρό τους και πως εκτιμάται στον καιρό μας.

Τρίτη, 29 Ιουλίου 2014

BACH: 4 Duets, BWV 802-805

Clavier-Übung ΙΙΙ
Clavier-Übung (Άσκηση για Πληκτροφόρα) είναι ένας τίτλος που χρησιμοποίησε ο Bach για τέσσερις συλλογές έργων για πληκτροφόρα όργανα που εκδόθηκαν μεταξύ του 1726 και 1741.

Οι συλλογές αυτές είναι:
Clavier-Übung Ι (1726-31): οι 6 Παρτίτες, BWV 825-830
Clavier-Übung ΙI (1735): το Ιταλικό Κοντσέρτο, BWV 971 και η Γαλλική Εισαγωγή, BWV 831˙
Clavier-Übung ΙII (1739): αποτελείται από λειτουργική μουσική για εκκλησιαστικό όργανο, BWV 669-689, ένα Πρελούδιο και Φούγκα, BWV 552 και 4 Duetti, BWV 802-805˙
Clavier-Übung [IV] (1741): οι Παραλλαγές Goldberg, BWV 988
Το Clavier-Übung ΙΙΙ (μερικές φορές αναφέρεται και ως German Organ Mass), το τρίτο από τα τέσσερα βιβλία Clavier-Übung (τα υπόλοιπα τρία είναι για τσέμπαλο), είναι μία συλλογή έργων για εκκλησιαστικό όργανο, την οποία ο Bach ξεκίνησε το 1735-36 και εξέδωσε περί το τέλος Σεπτεμβρίου του 1739. Ήταν η πρώτη συλλογή έργων για εκκλησιαστικό όργανο που εξέδιδε και το πιο φιλόδοξο ποτέ εκδοτικό του σχέδιο. Clavier-Übung σημαίνει Άσκηση (Übung) για πληκτροφόρο (Clavier) και ακολουθεί την μακρά παράδοση ανάλογων έργων (Kuhnau, Krieger, L­übeck, κ.α). Το χειρόγραφο δεν σώζεται.

Ο Bach προλογίζει το έργο ως εξής:
“Dritter Theil der Clavier-Übung bestehend in verschiedenen Vorspielen über die Catechismus- und andere Gesaenge, vor die Orgel: Denen Liebhabern, in besonders denen Kennern von dergleichen Arbeit, zur Gemüths Ergezung verfertiget von Johann Sebastian Bach, Koenigl. Pohlnischen und Churfürstl. Saechss. Hoff-Compositeur, Capellmeister, und Directore Chori Musici in Leipzig. In Verlegung des Authoris.” 
“Τρίτος Τόμος των Ασκήσεων για Πληκτροφόρο, αποτελούμενος από κατηχητικά πρελούδια και άλλους ύμνους για το εκκλησιαστικό όργανο. Μία σύνθεση για τους φιλόμουσους και ιδιαίτερα για τους επαΐοντες τέτοιων έργων, για την ανάταση του πνεύματος, από τον Johann Sebastian Bach, Αυλικό Συνθέτη της Βασιλικής Πολωνικής και Ελεκτορικής Σαξονικής Αυλής, διευθυντού ορχήστρας (Capellmeister) και διευθυντού χορωδίας της chorus musicus, Λειψία. Έκδοση του συνθέτη.”
Περιέχει μερικές από τις σημαντικότερες, πολύπλοκες και τεχνικά απαιτητικές συνθέσεις του κάντορα για το εκκλησιαστικό όργανο. 21 Χορικά Πρελούδια, BWV 669-689, ένα Πρελούδιο και μία Φούγκα, BWV 552.1 & 552.2, και τέσσερα Duetti, BWV 802-805. Η προτίμησή του για τις χορικές τροπικές μελωδίες του 16ου αι. του δίνει την δυνατότητα να υπερβεί τα όρια του μείζονος - ελάσσονος και να διερευνήσει την τροπική αρμονία με έναν συστηματικό τρόπο. Το Clavier-Übung III αποτελεί σταθμό στο συνθετικό έργο του Bach και στέκεται στο κατώφλι της τρίτης συνθετικής περιόδου του. Πολλά υφολογικά στοιχεία που θα αποτελέσουν τον κύριο πυρήνα της τρίτης περιόδου προδιαγράφονται σε αυτό το έργο: η προτίμηση στις τεχνικές της φούγκας του κανόνα και της παραλλαγής, η συνειδητή διάκριση ανάμεσα στο stile antico και moderno, η προτίμηση για τις αφηρημένες και πολύπλοκες μορφές και τέλος η επιθυμία του να πει την τελευταία λέξη για τα μουσικά είδη με τα οποία ασχολείται με έργα μνημειώδους σύλληψης (Boyd, 1999).

4 Duetti, BWV 802-805
Προβληματική είναι η θέση των τεσσάρων duetti στο τρίτο μέρος του Clavier-Übung ΙΙΙ, δεν ταιριάζουν στην κατά τα άλλα τόσο ομοιογενή συλλογή. Στην αρχή θεωρήθηκαν ως έργα για τσέμπαλο, η γραφή τους ταιριάζει περισσότερο για αυτό το όργανο, εντούτοις η έκταση τους είναι πάντα στα όρια αυτής του εκκλησιαστικού οργάνου. Προστέθηκαν στην έκδοση της συλλογής την τελευταία στιγμή, πιθανώς για καθαρά πρακτικούς λόγους, και τελικά βρήκαν τη θέση τους σαν έργα για εκκλησιαστικό όργανο, πλουτίζοντας το ρεπερτόριο οργάνων μικρότερων διαστάσεων. Μπορεί να συμβολίζουν τους τέσσερις Ευαγγελιστές, τις τέσσερις Αρετές, τους τέσσερις Προφήτες, τα τέσσερα Τέρατα γύρω από τον Θρόνο της Αποκάλυψης, τα Τέσσερα Στοιχεία της Φύσης, τους τέσσερις ποταμούς της Εδέμ, τον Λόγο του Θεού, τον Σταυρό, τον Θάνατο και τους Ουρανούς κατά τον Albert Clement, να συμπληρώνουν απλά τον αριθμό 27 στα έργα της συλλογής, να προστέθηκαν στην συλλογή από λάθος κατά τον Albert Schweitzer, ή ακόμη και να συμπληρώνουν τον απαιτούμενο αριθμό σελίδων για εκδοτικούς σκοπούς. Καμιά από τις ανωτέρω επεξηγήσεις της φύσης και της θέσης αυτών των έργων εντός της συλλογής δεν ταιριάζει με το ύφος και το πλάνο του Clavier-Übung III. Ο ίδιος ο Bach δεν απέδωσε καμία θεολογική σημασία σε αυτά τα duetti, το σίγουρο είναι ότι δείχνουν τις δυνατότητες της δίφωνης αντίστιξης με τον καλύτερο τρόπο.
Στο Critica Musica, o Matthesson περιγράφει το duetto ως “μία άρια σε διαλογική μορφή με την δυνατότητα εισαγωγής και επεξεργασίας δύο αντιτιθέμενων θεμάτων” (Volume I, 1722), ή ως “ένα δίφωνο κομμάτι με χρήση και άλλων αυστηρών αντιστικτικών τεχνικών πλέον της μίμησης στην ταυτοφωνία ή στην οκτάβα” (Volume II, 1725). Τα duetti στις καντάτες του Bach έχουν πάντα μορφή διαλόγου, για παράδειγμα ανάμεσα στον Ιησού και στην ψυχή του ανθρώπου, δεν αποκλείεται λοιπόν τα εν λόγω έργα να είναι μια μορφή προσευχής, ένας διάλογος ανάμεσα στον προσευχόμενο και τον Θεό. Ο Matthesson τα χαρακτηρίζει ως αριστουργηματικές, μεγάλης κλίμακας δίφωνες inventions. Ο Bach κάνει χρήση ποικίλων αντιστικτικών τεχνικών (μιμήσεις, κανόνες, αντιστροφές, κλπ), με την μελωδία και την αρμονία των κομματιών να είναι ιδιαίτερα επεξεργασμένες. Τα μελωδικά στοιχεία των duetti δεν είναι παρμένα από μελωδίες χορικών, εντούτοις στο Duetto III, BWV 804 ακούγεται καθαρά η μελωδία του χορικού «Allein Gott in der Höh sei Ehr». Οι τονικότητες των κομματιών καλύπτουν το διάστημα μιας τετάρτης (e–F–G–a). Ανάλογο πρότυπο διαδοχής τονικοτήτων συναντάται στα χορικά πρελούδια BWV 673-677. Η βασική μετρική μονάδα σε κάθε duetto αυξάνει κατά ένα όγδοο από ντουέτο σε ντουέτο (εκκινώντας από όγδοο στο πρώτο ντουέτο καταλήγουμε σε μισό [4 όγδοα] στο τέταρτο ντουέτο).
  • Το Duetto I, BWV 802 αναλύουμε διεξοδικά κατωτέρω.
  • Στο Duetto II, BWV 803 σε Φα μείζονα συναντάμε την σπάνια μορφή φούγκας σε μορφή aria da capo, ABA. Βασική μετρική μονάδα το τέταρτο (= 2 όγδοα). Το τμήμα Α είναι 37 μέτρα, μια τυπική σύνθεση στο πνεύμα των δίφωνων και τρίφωνων inventions. Το τμήμα Β είναι 75 μέτρα, χρωματικό στη φύση και σοβαρό στο ύφος, με επεισόδια σε ελάσσονες τονικότητες, κάνει χρήση strettos, συγκοπών και κανονικής γραφής.
  • Το 39 μέτρων Duetto III, BWV 804 σε Σολ μείζονα είναι το απλούστερο των τεσσάρων. Βασική μετρική μονάδα το παρεστιγμένο τέταρτο (= 3 όγδοα). Έχει ανάλαφρο, χορευτικό χαρακτήρα και βρίσκεται πολύ κοντά στο πνεύμα των δίφωνων inventions.
  • Το Duetto IV, BWV 805 είναι μια φούγκα 108 μέτρων σε Λα ελάσσονα. Βασική μετρική μονάδα το μισό (= 4 όγδοα) σε alla breve χρόνο. Το θέμα έχει μήκος 8 μέτρων, η απάντηση είναι τονική και όλες οι είσοδοι θέματος και απαντήσεων γίνονται στην τονική περιοχή της τονικής και της δεσπόζουσας. Το ύφος είναι έντονα χρωματικό. Οι μεσαίες είσοδοι διασυνδέονται με 3 επεισόδια.
Ανάλυση του Duetto I, BWV 802
Πρόκειται για μία φούγκα με θέμα και σταθερό αντίθεμα (αναφέρεται και ως διπλή φούγκα). Το θέμα κατασκευάζεται από διακριτά στοιχεία / μοτίβα που έχουμε σημειώσει στην παρτιτούρα ως x1 (= x1a + x1a + x1b + x1c), x2 (= x2a + x1c), x2, x3, x4 και x5. Ο σκελετός του αντιθέματος είναι η κατιούσα χρωματική E-D#-D-C#-C-B και κατασκευάζεται με αλυσιδωτή χρήση του μοτίβου y1 στην κατιούσα χρωματική και του y2 και της αντιστροφής του I[y2] (με Ι σημειώνουμε την αντιστροφή ενός μοτίβου, εκ του [I]nversion). Παρατηρήστε την γωνιώδη κατασκευή του αντιθέματος και τα διαστήματα 8Α και 8Κ. Θέμα και αντίθεμα είναι βέβαια κατασκευασμένα σε διπλή αντίστιξη. Με αυτά τα μοτίβα και μόνον κατασκευάζεται όλη η φούγκα, δείγμα οικονομίας από τον κάντορα. Η Απάντηση είναι πραγματική.

(με κλικ η εικόνα μεγεθύνεται)
Ακολουθεί ανάλυση μέτρο προς μέτρο της φούγκας:

ΕΚΘΕΣΗ (μμ. 1-12): μμ. 1-6 Θ(i) στην σοπράνο, Αθ στο μπάσο. Ακολουθούν τα μμ. 7-12 με Α(v) στο μπάσο και Αθ στην σοπράνο [με “Θ” σημειώνουμε το θέμα - κόκκινο στην παρτιτούρα και με “Αθ” το αντίθεμα - μπλε].
ΕΠΕΙΣΟΔΙΟ I.1 (μμ. 13-17): Τα δομικά στοιχεία του επεισοδίου έχουν εισαχθεί ήδη στο τελευταίο μέτρο της Έκθεσης. Το επεισόδιο κατασκευάζεται ως αλυσίδα με κατιούσες 2ες ανά μέτρο και χρησιμοποιεί τα μοτιβικά στοιχεία x5 και y1 εναλλάξ στις δύο φωνές. Σύμφωνα με τον Gedalge πρόκειται για Επεισόδιο Τύπου ΙΙΙ, όπου δύο φωνές μιμούνται η μία την άλλη. Συγκρίνετε το Επεισόδιο I.1 με το Ι.2 (μμ. 41-45).
ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ Ι (μμ.18-20): Διασυνδέει το τέλος του Επεισοδίου Ι.1 με την επιπλέον είσοδο του Θ στο μ. 21. Κατασκευάζεται με το μοτίβο x1.
ΕΠΙΠΡΟΣΘΕΤΗ ΕΚΘΕΣΗ (μμ. 21-25): Μία μόνον είσοδος του Θ(i) στην σοπράνο (δεν την ονομάζουμε Αντέκθεση διότι σε αυτήν την περίπτωση η διάταξη των εισόδων θα έπρεπε να αντιστραφεί σύμφωνα με τον κανόνα της σχολικής φούγκας). Το Θ διακόπτεται στο 5ο του μέτρο το οποίο και αποτελεί κατασκευαστικό στοιχείο του Επεισοδίου που θα ακολουθήσει.
ΕΠΕΙΣΟΔΙΟ ΙI.1 (μμ. 26-28): Αλυσιδωτή ανά μέτρο με βάση τον κύκλο των 5ων κατασκευή και με χρήση των μοτιβικών στοιχείων x4 και y2. Πρόκειται για Επεισόδιο Τύπου Ι κατά Gedalge, όπου κάθε φωνή εκθέτει μια ξεχωριστή φιγούρα. Συγκρίνετε το Επεισόδιο ΙI.1 με το ΙΙ.2 (μμ. 54-56).
ΜΕΣΑΙΕΣ ΕΙΣΟΔΟΙ Ι.1 & Ι.2 (μμ. 29-40): Ακολουθεί ένα ζεύγος μεσαίων εισόδων του Θ στην μέση, ΙΙΙ (Σολ) και υποτονική, VII (Ρε) αντίστοιχα.
ΕΠΕΙΣΟΔΙΟ I.2 (μμ. 41-45): Ανάλογο του Επεισοδίου Ι.1 με αντίστροφη διάταξη των μοτιβικών στοιχείων x5 και y1.
ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ IΙ (μμ.18-20): Διασυνδέει το τέλος του Επεισοδίου Ι.2 με την Μεσαία Είσοδο ΙΙ στο μ. 49.
ΜΕΣΑΙΑ ΕΙΣΟΔΟΣ ΙΙ (μμ. 49-53): Αυτή η μεσαία είσοδος στην τονική περιοχή της v μου δίνει την αίσθηση “εξισορρόπησης” της επιπρόσθετης εισόδου του Θ στην i των μμ. 21-25. Όπως και εκεί, χρησιμοποιούνται μόνο τα 5 πρώτα μέτρα του Θ, και το τελευταίο μέτρο “γεννά” το Επεισόδιο ΙΙ.2.
ΕΠΕΙΣΟΔΙΟ ΙI.2 (μμ. 54-56): Ανάλογο του Επεισοδίου ΙΙ.1 με αντίστροφη διάταξη των μοτιβικών στοιχείων x4 και y2.
ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΙΙΙ (μμ.56-60): Διασυνδέει το τέλος του Επεισοδίου ΙΙ.2 με το Τελικό Τμήμα. Κατασκευάζεται με το μοτίβο x1, την αντιστροφή του (σημειώνεται στην παρτιτούρα με I[x1]), την σμίκρυνση του x2 (./.x2) [με ./. δηλώνουμε την σμίκρυνση ενός μοτίβου] καθώς και την σμίκρυνση και αντιστροφή του (./.I[x2]).
ΤΕΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ (μμ. 61-70): Δύο είσοδοι του Θ στην i σε σοπράνο και μπάσο. Παρατηρήστε ότι στην Έκθεση έχουμε Θ(i) - A(v) στο Τελικό Τμήμα Θ(i) - Θ(i), πράγμα που μας θυμίζει Έκθεση και Επανέκθεση σε μορφή σονάτας!
CODA (μμ. 71-73): Το μ. 71 κατασκευάζεται με τα μοτίβα I[x1c] και I[y2]. Ακολουθούν δύο καταληκτικά μέτρα και τέλεια πτώση στην τονική.

Αυτό το άρθρο και τις παρτιτούρες των Duetti μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.
Την παρτιτούρα χωρίς την αναλυση και το άρθρο μπορείτε επίσης να κατεβάσετε από το νέο μου λογαριασμό στο ISLMP, εδώ.

Στο πρώτο video που ακολουθεί είναι σημειωμένη η ανάλυση του Duetto I. Στα υπόλοιπα τρία είναι απλά η παρτιτούρα παιγμένη από υπολογιστή. Επέλεξα να μην ενσωματώσω στα videos κάποια εμπορική εκτέλεση και να περιοριστώ σε ήχους από υπολογιστή για λόγους copyright. Στην δισκογραφία και στο Youtube μπορείτε να βρείτε εξαιρετικές εκτελέσεις.

(για τα videos επιλέξτε 1080p HD)
Duetto I, BWV 802
Duetto II, BWV 803
Duetto III, BWV 804
Duetto IV, BWV 805
Εργασίες
Για τους σπουδαστές της Αντίστιξης και Φούγκας
  1. Αναλύστε αρμονικά και τα τέσσερα duetti. Λάβετε υπόψη σας ότι στην δίφωνη αντίστιξη οι αρμονίες πολλές φορές δεν είναι σαφείς. Εντοπίστε και ονομάστε όλους τους ξένους φθόγγους. Ιδιαίτερα για το Duetto I θα ήταν πολύ χρήσιμο να το ξαναγράψετε χωρίς τους ξένους φθόγγους (σκελετοποίηση), αυτό θα σας βοηθήσει στην αρμονική ανάλυση.
  2. Μελετήστε την χρήση των μοτίβων και τους αντιστικτικούς συνδυασμούς τους. Εντοπίστε μιμήσεις, μεγεθύνσεις, σμικρύνσεις και αποσπασματικές χρήσεις των μοτίβων.
  3. Στο Duetto IV δώστε ιδιαίτερη προσοχή στην ανάλυση του μ. 105.
Για τους σπουδαστές της Φούγκας
  1. Κάνετε την ανάλυση των υπόλοιπων τριών duetti σύμφωνα με το υπόδειγμα που δόθηκε για το πρώτο.
  2. Κάνετε ένα χρονοδιάγραμμα (timeline) του κάθε ντουέτου με χρήση διαφορετικών χρωμάτων για θέμα, αντίθεμα κλπ.
Βιβλιογραφία
BOYD Malcolm, Oxford Composer Companions, J.S. Bach, Oxford University Press, 1999
BOYD Malcolm, The Master Musicians, Bach, J.M Dent & Sons Ltd, 1986
TOMITA Yo, Clavier-Übung III
Wikipedia, Clavier-Übung III

Πέμπτη, 24 Ιουλίου 2014

Ο Άγγλος Καθηγητής, ο Πυθαγόρας και το Θεώρημα του

Ο Άγγλος καθηγητής, τουλάχιστον για το Πυθαγόρειο Θεώρημα, δεν λέει τίποτα περισσότερο απ’ ότι αναγράφεται σε όλα τα εγχειρίδια Ιστορίας των Μαθηματικών. Τα βρήκαν όλα οι Έλληνες; Όχι μόνον δεν τα βρήκαν αλλά περιορίζοντας την σκέψη τους στο “κανόνα και διαβήτη” έθεσαν ανυπέρβλητα εμπόδια στην εξέλιξη της μαθηματικής τους σκέψης. Η αλήθεια, όπως την αντιλαμβάνομαι απλά από την αγάπη μου για το αντικείμενο και συνυπολογιζομένου του ότι δεν είμαι μαθηματικός, έχει ως εξής:

“Υπάρχει μια μεγάλη Σουμεριο-Βαβυλωνιακή και Αιγυπτιακή μαθηματική παρακαταθήκη, την οποία οι Έλληνες τυποποιούν (τα Στοιχεία του Ευκλείδη είναι το πρότυπο και πρωτότυπο Τυπικό Σύστημα [Formal System] στην Ιστορία των Μαθηματικών) και εξελίσσουν, φθάνοντας με τον Αρχιμήδη στα πρόθυρα του Απειροστικού Λογισμού!” [Ο Χριστιανισμός ανακόπτει για αιώνες αυτήν την πορεία, καλώς ή κακώς είναι άλλο θέμα, οι Άραβες περισώζουν και εξελίσσουν την πνευματική κληρονομιά των Αρχαίων και την παραδίδουν στους αναγεννησιακούς μαθηματικούς].”

Η μεγαλοφυΐα των Ελλήνων συνίσταται στο ότι και γνώριζαν τον γενικό κανόνα αλλά και  μπορούσαν να τον αποδείξουν, δημιουργώντας έτσι Θεωρήματα καθολικής ισχύος. Αυτό δεν το είχε πετύχει κανείς προγενέστερος πολιτισμός.

Τι πέτυχαν οι Σουμέριοι και Βαβυλώνιοι:
• Εφηύραν την γραφή.
• Εισήγαγαν τα κλάσματα.
• Εφηύραν το “Θεσιακό Αριθμητικό Σύστημα”.
• Από τους απλούς υπολογισμούς οδηγήθηκαν στην επίλυση αλγεβρικών και γεωμετρικών προβλημάτων.
• Γνώριζαν (αυτοί και οι Κινέζοι) τις Πυθαγόρειες Τριάδες, άρα και το αντίστοιχο θεώρημα, χωρίς όμως την απόδειξή του.

Τι δεν πέτυχαν:
• Να ανακαλύψουν το μηδέν (0).
• Να ανακαλύψουν την υποδιαστολή (,).
• Να ανακαλύψουν τους άρρητους αριθμούς.
• Τους ενδιέφερε η επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων κι όχι η διατύπωση γενικών νόμων.
• Δεν “αποδείκνυαν” τα μαθηματικά τους ευρήματα.

Κανείς λαός δεν τα βρήκε όλα μόνος του. Σουμέριοι, Βαβυλώνιοι, Αιγύπτιοι, Κινέζοι, Έλληνες και Ινδοί προσέφεραν τις γιγάντιες πλάτες τους για να πατήσουν και να δουν πιο μακριά οι σύγχρονοι γίγαντες: Νεύτων, Φερμά, Γκαλουά, Γκέντελ και πολλοί άλλοι.

Είναι αλήθεια ότι δεν γνωρίζουμε ονόματα Σουμερίων, Βαβυλωνίων και Αιγυπτίων μαθηματικών. Εικάζω ότι αυτό οφείλεται στην πολιτική και θρησκευτική δομή αυτών των λαών. Εντούτοις τα επιτεύγματά τους δεν μπορούν να αμφισβητηθούν λόγω των ευρημάτων, αλλά και της πρακτικής χρήσης των μαθηματικών στην Αρχιτεκτονική και Αστρονομία / Αστρολογία. Ενδεικτικά αναφέρω ότι τέσσερα κλασικά έργα διασώζονται από την αρχαία Κίνα πριν το 1000 π.Χ. Ένα από αυτά το “Σου-Τζινγκ”, γράφτηκε περίπου στο τέλος της 3ης χιλιετίας πιθανόν από τον αυτοκράτορα Γιάο (~2357-2258). Σε αυτό αναφέρονται και τα ονόματα δύο αστρονόμων του Χο και του Χι. Το τελευταίο από τα προαναφερθέντα τέσσερα έργα είναι το “Τζιου-τζαν Σουά-σου”, ή “Αριθμητική σε Εννέα Κεφάλαια”, πιθανόν του Τσανγκ Τσ’ ανγκ γύρω στο 200 π.χ αλλά βασιζόμενο σε παλαιότερα έργα που τοποθετούνται γύρω στο 1000 π.Χ.

Να σημειώσω επίσης ότι οι προηγηθέντες του ελληνικού πολιτισμού ασχολούνται με τις επιστήμες “χρησιμοθηρικά”. Για παράδειγμα στην Αίγυπτο τα μαθηματικά, ενασχόληση ιερέων και γραφέων κυρίως, βάλτωσαν μόλις τελειώσαν οι πυραμίδες. Μόνο οι Έλληνες κάνουν μαθηματικά γιατί είναι όμορφα!

Οι Έλληνες πάντως κατάλαβαν μια μεγάλη συμπαντική αλήθεια, αυτήν που διατυπώνει ο Πλάτων στην Πολιτεία του (VII, 525 Α9-Β2):
Σωκράτης: Κι όλη η αριθμητική και οι υπολογισμοί σχετίζονται με τους αριθμούς;
Γλαύκων: Ναι.
Σωκράτης: Και φαίνεται να οδηγούν το νου προς την αλήθεια;
Γλαύκων: Ναι, μ’ έναν τρόπο θαυμάσιο.

Μου αρέσει να σκέφτομαι το εξής: μπορώ να συννενοηθώ με έναν πολιτισμό που έχει κατακτήσει τις έννοιες του “σημείου”, της “ευθείας” και του ¨επιπέδου”, έστω κι αν απέχει δις έτη φωτός μακριά από την Γη!

Πέμπτη, 17 Ιουλίου 2014

2πR

Μερικοί άνθρωποι βάζουν πολύ μεράκι στην δουλειά τους και έχουν διάθεση για προσφορά, για το κάτι παραπάνω, ακόμη κι όταν μεταφράζουν υπότιτλους για ένα σήριαλ. Το κείμενο που ακολουθεί (σε μορφή plain text στο πρωτότυπο) συνοδεύει τους μεταφρασμένους στα ελληνικά υπότιτλους του Person of Interest S02E11 με τίτλο “2πR”. Επεξηγεί πρόσωπα και πράγματα στα οποία γίνεται αναφορά στο εν λόγω επεισόδιο. Το αναδημοσιεύω μιας και, πέραν του αρχικού του σκοπού, μπορεί να γίνει το έναυσμα για καλοκαιρινά διαβάσματα.

Γιόχαν Καρλ Φρίντριχ Γκάους
Ο Γιόχαν Καρλ Φρίντριχ Γκάους (Johann Carl Friedrich Gauss) ήταν Γερμανός μαθηματικός που συνεισέφερε σε πολλά ερευνητικά πεδία της επιστήμης του, όπως η θεωρία αριθμών, η στατιστική, η μαθηματική ανάλυση, η διαφορική γεωμετρία, αλλά και συναφών επιστημών, όπως η γεωδαισία, η αστρονομία και η φυσική (ηλεκτροστατική, οπτική, γεωμαγνητισμός). Αποκλήθηκε «ο πρίγκηψ των μαθηματικών» και ο «μεγαλύτερος μαθηματικός μετά τον Αρχιμήδη και τον Ευκλείδη». Ο Γκάους υπήρξε ίσως ο σημαντικότερος Γερμανός μαθηματικός όλων των εποχών και ένας από τους δύο ή τρεις σπουδαιότερους των νεότερων χρόνων (μετά την αρχαιότητα) (Waldo Dunnington: "The Sesquicentennial of the Birth of Gauss", Scientific Monthly, τόμος 24, σ. 402-414).
Ο Γκάους ήταν αυτό που αποκαλείται «παιδί - θαύμα» και υπάρχουν αρκετές ιστορίες για τις εκπληκτικές του ικανότητες ως νηπίου, ενώ οι πρώτες μεγάλες μαθηματικές ανακαλύψεις του χρονολογούνται από την εφηβεία του. Σε ηλικία 21 ετών είχε ολοκληρώσει το κύριο έργο του στα καθαρά μαθηματικά, το Disquisitiones Arithmeticae, (= «Αριθμητικές Έρευνες», 1798, εκδόθηκε το 1801). Αυτό το έργο διαδραμάτισε θεμελιώδη ρόλο στην εδραίωση της θεωρίας αριθμών ως αυτοδύναμου κλάδου των μαθηματικών και τη σημάδεψε μέχρι τις μέρες μας.
Οι ιστορίες για την πρώιμη ιδιοφυΐα του ως μικρό παιδί είναι όλες αναπόδεικτες. Σύμφωνα με μία, το ταλέντο του πρωτοεμφανίσθηκε σε ηλικία τριών ετών, όταν διόρθωσε χωρίς χαρτί και μολύβι ένα λάθος που είχε κάνει ο πατέρας του στο χαρτί ενώ έκανε υπολογισμούς για τα οικονομικά της οικογένειας.
Η γνωστότερη ίσως ιστορία αφορά την απόπειρα του δασκάλου του στο δημοτικό, του J.G. Buttner, να απασχολήσει τους μαθητές του σε μια κενή ώρα βάζοντάς τους να προσθέσουν όλους τους ακεραίους από το 1 ως το 100. Ο μικρός Γκάους βρήκε το σωστό άθροισμα σε λιγότερο από 1 λεπτό, εκπλήσσοντας τόσο τον δάσκαλο όσο και τον βοηθό του Martin Bartels. Ο Γκάους αντιλήφθηκε ότι η πρόσθεση κατά ζεύγη από τις δύο άκρες αυτής της σειράς των αριθμών έδινε πάντα το ίδιο άθροισμα: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, κ.ο.κ., οπότε για ένα ολικό άθροισμα 50 ? 101 = 5050 (βλ. αριθμητική σειρά). Ο J. Rotman πάντως γράφει στο βιβλίο του A first course in Abstract Algebra ότι πιστεύει πως αυτό το περιστατικό δεν συνέβη ποτέ.

Αριθμός π
Η μαθηματική σταθερά π είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του στην Ευκλείδεια γεωμετρία, και ο οποίος χρησιμοποιείται πολύ συχνά στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανολογία. Ο συμβολισμός προέρχεται από το αρχικό γράμμα πι της λέξης «περιφέρεια» και έχει καθιερωθεί διεθνώς, ενώ στο λατινικό αλφάβητο συμβολίζεται ως Pi όταν δεν είναι διαθέσιμοι τυπογραφικά ελληνικοί χαρακτήρες. Το π είναι γνωστό επίσης ως σταθερά του Αρχιμήδη (δεν πρέπει να συγχέεται με τον αριθμό του Αρχιμήδη) ή αριθμός του Λούντολφ.
Ο Αρχιμήδης καθόρισε την πρώτη επιστημονικά αποδεδειγμένη μέθοδο με την οποία υπολογίζεται ο αριθμός.
Συνήθως χρησιμοποιείται η προσέγγιση π = 3,14. Τα πρώτα 50 δεκαδικά ψηφία του π είναι:
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

Χάκερ
Αρχικά ο όρος χάκερ (haker) σήμαινε στα αγγλικά το δημιουργό ενός επίπλου ή γενικότερα ξύλινου αντικειμένου με τη βοήθεια πελέκεως (τσεκουριού).
Χάκερ ονομάζεται κάποιος που αντλεί ευχαρίστηση από τη βαθειά κατανόηση της εσωτερικής λειτουργίας ενός συστήματος, ειδικότερα ενός υπολογιστή ή δικτύου υπολογιστών, στον οποίο, όμως, δεν έχει δικαίωμα πρόσβασης. Ο όρος (ειδικά στην ελληνική γλώσσα) συγχέεται πολύ συχνά με τον όρο κράκερ (cracker), κάτι που αποτελεί σφάλμα. Σε αντίθεση με τον χάκερ, ο κράκερ είναι άτομο (ή ομάδα ατόμων) που αποπειράται να αποκτήσει πρόσβαση σε υπολογιστικό σύστημα για την οποία όχι μόνο δε διαθέτει εξουσιοδότηση, αλλά με στόχο να το βλάψει με οποιοδήποτε τρόπο. Οι κράκερ είναι εξ ορισμού κακόβουλοι, αντίθετα προς τους χάκερ, ενώ διαθέτουν και πολλά εργαλεία για τις κακόβουλες ενέργειές τους.Η διεθνής κοινότητα των χάκερ πιστεύει ότι η πρόσβαση στην πληροφορία αποτελεί παγκόσμιο κοινό αγαθό και ότι είναι ηθικό καθήκον τους να μοιράζονται τις ικανότητές τους τόσο δημιουργώντας λογισμικό ανοικτού κώδικα, όσο και διευκολύνοντας την πρόσβαση σε πληροφορίες και υπολογιστικούς πόρους, όπου αυτό είναι εφικτό. Έχουν, επίσης, την αμφιλεγόμενη πεποίθηση ότι το "σπάσιμο" και η "εξερεύνηση" ενός υπολογιστικού συστήματος, τόσο σε επίπεδο υλικού όσο και (κυρίως) λογισμικού είναι ηθικά αποδεκτή, εφόσον ο χάκερ δεν διαπράττει κλοπή, βανδαλισμό ή παραβίαση εμπιστευτικότητας. Για τους χάκερς, όποιος "αξίζει αυτόν τον τίτλο, είναι στην πραγματικότητα ένας έξυπνος προγραμματιστής ή άτομο με ιδιαίτερες ικανότητες στην κατανόηση και το χειρισμό υπολογιστικών συστημάτων". Σε καμία, όμως, περίπτωση, δεν αποδέχονται ότι οι πράξεις ενός χάκερ έχουν κακόβουλους στόχους και αυτή η διαφορά είναι που τους διακρίνει από τους κράκερς.

Κέβιν Μίτνικ
Ο Κέβιν Ντέιβιντ Μίτνικ (Kevin David Mitnick) (6 Αυγούστου 1963) είναι ένας από τους πιο διάσημους Αμερικανούς χάκερ. Έχοντας εισβάλει σε πολλά τηλεπικοινωνιακά δίκτυα και κλέβοντας δεδομένα από αυτά, τον καταδίκασαν σε φυλάκιση για ηλεκτρονικά εγκλήματα και κατοχή πλαστών στοιχείων. Ο Μίτνικ απέκτησε πολλούς υποστηρικτές που πίστευαν ότι η τιμωρία του ήταν υπερβολική και τον θεώρησαν σαν τον μεγαλύτερο χάκερ της εποχής μας καθώς επίσης και ως τον καλύτερο κοινωνικό μηχανικό (social engineer).

Κοινωνικός Μηχανικός (Social Engineer)
Ο όρος που δίνεται σε έναν άνθρωπο που είναι ικανός να αποκτήσει πληροφορίες δυσπρόσιτες στο κοινό χρησιμοποιώντας μόνο τεχνικές επικοινωνίας, εξαπάτησης ή/και παραπλάνησης -εν ολίγοις, χωρίς χρήση κάποιου υπολογιστικού ή εν γένει μηχανικού μέσου.

Θείος Σαμ
Παρατσουκλι της Αμερικής. Ο Θείος Σαμ είναι μια φιγουρα που χρησιμοποιείτε απο τον στρατο των ΗΠΑ, στις αφίσες της Στρατολογίας , από τα μέσα του 19ου αιώνα.

ARPANET
Το ARPANET ταν το πρώτο δίκτυο ανταλλαγής δεδομένων, και ο "μπαμπάς" του Internet που χρησιμοποιούμε στις μέρες μας ενώ ήταν δημιούργημα των Εθνικών Υπηρεσιών Ασφαλείας των ΗΠΑ με αρχικό σκοπό την ανταλλαγή στρατιωτικών πληροφοριών.

Συμπίεση Δεδομένων
Με τον όρο συμπίεση δεδομένων (data compression) εννοούμε τη μετατροπή ενός ψηφιακού αρχείου (για αποστολή ή αποθήκευση) σε μικρότερο αρχείο (που περιέχει μικρότερο αριθμό μπιτ) με τρόπο ώστε να είναι δυνατή η επαναμετατροπή του συμπιεσμένου αρχείου στο αρχικό. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιούνται πολλές μέθοδοι, οι οποίες χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: τις μη απωλεστικές και τις απωλεστικές.
Πολλά αρχεία περιέχουν μεγάλα τμήματα τα οποία επαναλαμβάνονται (όπως ένα αρχείο κειμένου μπορεί να περιέχει πολλές φορές τη λέξη Κωνσταντινούπολη οπότε αρκεί η λέξη να τοποθετηθεί σε έναν πίνακα με λέξεις και να αντικαθίσταται με έναν αριθμό που δείχνει τη θέση της στον πίνακα) ή περιέχουν δεδομένα που η απώλειά τους δεν προκαλεί σοβαρή μεταβολή του περιεχόμενου.
Η συμπίεση μπορεί να μειώσει τον όγκο των δεδομένων που στέλνονται ή αποθηκεύονται, με την ελαχιστοποίηση του ενυπάρχοντος πλεονασμού. Ο πλεονασμός παρουσιάζεται κατά τη δημιουργία των δεδομένων. Με τη διαδικασία της συμπίεσης η μεταφορά και η αποθήκευση γίνονται με πιο αποδοτικό τρόπο, ενώ παράλληλα διατηρείται η ακεραιότητα των δεδομένων.
Μη απωλεστική συμπίεση
Στην μη απωλεστική συμπίεση (lossless compression) διατηρείται η ακεραιότητα των δεδομένων. Τα αρχικά δεδομένα και τα δεδομένα μετά τη συμπίεση και την αποσυμπίεση είναι ακριβώς τα ίδια, επειδή σε αυτές τις μεθόδους ο αλγόριθμος συμπίεσης και ο αλγόριθμος αποσυμπίεσης είναι ακριβώς αντίστροφοι. Κατά τη διαδικασία δε χάνεται κανένα μέρος των δεδομένων. Τα πλεονάζοντα δεδομένα κωδικοποιούνται κατά τη συμπίεση και αποκωδικοποιούνται κατά την αποσυμπίεση. Αυτοί οι μέθοδοι χρησιμοποιούνται όταν δεν πρέπει να χαθεί ούτε ένα μπιτ δεδομένων όπως στην περίπτωση ενός αρχείου κειμένου ή ενός προγράμματος.
Τα γνωστά προγράμματα 7z, bz, zip και rar χρησιμοποιούν μη απωλεστική συμπίεση.
Απωλεστική συμπίεση
Η απώλεια δεδομένων μπορεί να μην είναι αποδεκτή σε αρχεία κειμένου ή ενός προγράμματα, είναι όμως αποδεκτή σε εικόνες και ταινίες. Ο λόγος είναι ότι τα μάτια μας και τα αφτιά μας δεν μπορούν να διακρίνουν πολύ μικρές αλλαγές. Για τέτοιες περιπτώσεις είναι κατάλληλες οι απωλεστικές μεθόδοι συμπίεσης (lossy data compression). Οι μέθοδοι αυτές είναι οικονομικότερες και απαιτούν λιγότερο χρόνο και χώρο όταν πρέπει να σταλούν εκατομμύρια μπιτ εικόνων και βίντεο το δευτερόλεπτο. Χαρακτηριστικό παράδειγμα απωλεστικής συμπίεσης εικόνας είναι η μέθοδος JPEG (Joint Photografic Experts Group) για βίντεο η μέθοδος MPEG (Moving Pictures Experts Group) και για ήχο το πρότυπο mp3.

Κβαντική Φυσική
Η Κβαντική Μηχανική (ή Κβαντική Φυσική ή Κβαντομηχανική), είναι αξιωματικά θεμελιωμένη θεωρία της φυσικής, που αναπτύχθηκε με σκοπό την ερμηνεία φαινομένων που η Νευτώνεια μηχανική αδυνατούσε να περιγράψει. Η κβαντομηχανική περιγράφει τη συμπεριφορά της ύλης στο μοριακό, ατομικό και υποατομικό επίπεδο. Ο όρος κβάντο (quantum, μικρή ποσότητα - προέρχεται από τη λέξη quantus που στα Λατινικά σημαίνει πόσο) αναφέρεται σε διακριτές μονάδες που χαρακτηρίζουν συγκεκριμένες φυσικές ποσότητες, όπως η ενέργεια ενός ατόμου ύλης σε κατάσταση ηρεμίας.
Η κβαντομηχανική είναι μια θεωρία της φυσικής μηχανικής. Θεωρείται πιο θεμελιώδης από την κλασσική μηχανική, καθώς εξηγεί φαινόμενα που η κλασσική μηχανική και η κλασσική ηλεκτροδυναμική αδυνατούν να αναλύσουν, όπως:
Την κβάντωση (διακριτοποίηση) πολλών φυσικών ποσοτήτων, όπως για παράδειγμα την κίνηση του ηλεκτρονίου μόνο σε συγκεκριμένες ενεργειακές τροχιές σε ένα άτομο.
Τον κυματοσωματιδιακό δυϊσμό, δηλαδή την εκδήλωση, σε ορισμένες περιπτώσεις, κυματικής συμπεριφοράς από σωματίδια ύλης, κυρίως ηλεκτρόνια.
Τον κβαντικό εναγκαλισμό, που σχετίζεται με την περιγραφή της κατάστασης ενός συστήματος από επαλληλία καταστάσεων.
Το φαινόμενο σήραγγας, χάρη στο οποίο σωματίδια μπορούν να υπερπηδήσουν φράγματα δυναμικού και να βρεθούν σε περιοχές του χώρου απαγορευμένες από την κλασσική μηχανική.
Θεωρείται επίσης θεμελιώδης επειδή σε συγκεκριμένες περιπτώσεις, για παράδειγμα όταν μελετώνται μακροσκοπικά σώματα, οι νόμοι που περιγράφουν τα κβαντικά φαινόμενα συγκλίνουν με τους νόμους της κλασσικής μηχανικής, κι έτσι η δεύτερη θεωρείται οριακή περίπτωση της πρώτης. Η περίπτωση αυτή είναι γνωστή ως αρχή της αντιστοιχίας, που αρχικά διατύπωσε ο Νιλς Μπορ.
Η κβαντομηχανική σε έναν αιώνα πειραματισμού δεν έχει διαψευστεί. Κρύβεται πίσω από πολλά φυσικά φαινόμενα και ιδιαιτέρως τα χημικά φαινόμενα καθώς και τη φυσική της στερεάς κατάστασης.

AUMF = Authorization for Use of Military Force Against Terrorists = Αντιτρομοκρατική
CODIS = βάση δεδομένων DNA για εγκληματίες