Τέλειοι Φίλοι

Τέλειοι αριθμοί / perfect numbers ονομάζονται οι θετικοί ακέραιοι (φυσικοί) οι οποίοι ισούνται με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών τους. 

Ο μικρότερος τέλειος αριθμός είναι ο 6=1+2+3. Ο επόμενος είναι ο 28=1+2+4+7+14, τρίτος ο 496 και τέταρτος ο 8128. Αυτοί οι τέσσερις τέλειοι είναι ανακάλυψη του Ευκλείδη και είναι οι μόνοι που ήταν γνωστοί στην αρχαιότητα. 

Οι τέλειοι αριθμοί του Ευκλείδη παράγονται από τον τύπο 2^ν-1(2^ν-1) και ο Ευκλείδης απέδειξε ότι αυτός ο τύπος δίνει έναν τέλειο αριθμό αν ο 2^ν-1 είναι πρώτος. Οι πρώτοι αριθμοί της μορφής 2^ν-1 είναι γνωστοί ως πρώτοι του Mersenne, από το όνομα του Marin Mersenne (1588-1648) Γάλλου πολυμαθούς ιερέα, με σημαντική συνεισφορά στα μαθηματικά στην φυσική ακουστική και γενικά στην επιστήμη της εποχής του.

Μέχρι το 2016 είχαν ανακαλυφθεί 49 τέλειοι αριθμοί και ο 49^ος έχει 44.677.235 ψηφία. Όλοι οι τέλειοι αριθμοί είναι άρτιοι, δεν είναι γνωστό αν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί. 

Φίλιοι αριθμοί / αmicable numbers ονομάζονται τα ζεύγη θετικών ακεραίων αριθμών (φυσικών), στα όποια ο καθένας από αυτούς ισούται με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του άλλου. 

Σύμφωνα με την παράδοση ο Πυθαγόρας ή οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν το ζεύγος (220,284), το οποίο εθεωρείτο μέχρι και τον Μεσαίωνα ως σύμβολο φιλίας (ιδιαίτερα στον Μεσαίωνα πουλούσαν φυλαχτά με χαραγμένους αυτούς τους αριθμούς και λειτουργούσαν ως ερωτικά φίλτρα). 

Οι γνήσιοι διαιρέτες του 220 είναι οι: 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110 και το άθροισμά τους: 284. Αντίστοιχα οι γνήσιοι διαιρέτες του 284 είναι οι: 1,2,4,71,142, με άθροισμα: 220. 

Ο N. Paganini (ναι, ο γνωστός!) σε ηλικία 16 ετών ανακάλυψε το ζευγάρι φίλων αριθμών (1184,1210), το οποίο είχε ξεφύγει από τους Fermat (17296,18416), Descartes (9363584, 9437056) και Euler (ανακάλυψε 62 ζεύγη!).

Ο Απ. Παύλος στην Αθήνα

Άραγε τι να σκέφτηκε ο Παύλος κατά την επίσκεψή του στην Αθήνα, όταν είδε το βωμό με την επιγραφή “τω αγνώστω Θεώ”; Μια ευκαιρία να ξεκινήσει το κήρυγμα του στους σνομπ Αθηναίους, με μια αναφορά στον άγνωστο Θεό του βωμού, όπως και πράγματι έκανε; Μήπως αναρωτήθηκε, έστω και για μια στιγμή μόνο, ότι κάτι μπορεί να του διαφεύγει; Στο κάτω κάτω δεν θα μιλούσε σε τυχαίους, στους Αθηναίους θα μιλούσε. Μάλλον απίθανο να κλονιζόταν η πίστη του από μια επιγραφή σε μια πέτρα με τη φλόγα που τον έκαιγε…

Την ίδια απορία είχα, απ’ ό,τι θυμάμαι, και τότε που πρωτοδιάβασα στο Λύκειο αυτήν την ιστορία με τον Παύλο, στην Εκκλησιαστική Ιστορία του Βασίλειου Πετρούνια (ΟΕΔΒ, πρώτη έκδοση 1967, δεν είμαι τόσο παλιός, το βιβλίο κυκλοφορούσε για αρκετά χρόνια). Πρόσφατα το βρήκα σε ηλεκτρονική μορφή, το διάβασα κι όταν έφτασα στο συγκεκριμένο σημείο, σκέφτηκα το ίδιο.

Πως θα κήρυσσε άραγε ο Παύλος μπροστά στον Σωκράτη, στον Πλάτωνα, στον Αριστοτέλη; Θα το αποτολμούσε καν; Μπροστά στον Αρχιμήδη, τον Ευκλείδη, τον Αρίσταρχο; Θα ήταν ενδιαφέρουσα η αντιπαράθεση ανάμεσα στις Κωνικές τομές και το 5ο Αίτημα Παραλλήλων από τη μια και το Άγιο Πνεύμα από την άλλη.

Ίσως ο Αρχιμήδης να απαντούσε στον Παύλο με τα λόγια του Ed Witten: “Ανάμεσα στη θρησκεία και την επιστήμη επιλέγω την επιστήμη, διότι είναι πιο ενδιαφέρουσα και πιο αποτελεσματική”. 

Κ. Γιαννίδης - Ξύπνα Αγάπη μου

Μια μεταγραφή του γνωστού τραγουδιού για φωνή και πιάνο, με βάση την ορχηστρική παρτιτούρα.

Το "Πόσο Λυπάμαι", μπορείτε να ακούσετε και να δείτε την παρτιτούρα εδώ.

Piano Sonatina IX (2018)

te lucis ante terminum

te lucis ante terminum

(προς Σε, πριν το τέλος της μέρας)

7-φωνο μοτέτο για έγχορδα

Te lucis ante terminum,

Rerum Creator, poscimus,

Ut pro tua clementia, 

Sis praesul et custodia. 

Procul recedant somnia, 

Et noctium phantasmata: 

Hostemque nostrum comprime, 

Ne polluantur corpora. 

Praesta, Pater piissime, 

Patrique compar Unice, 

Cum Spiritu Paraclito, 

Regnans per omne saeculum. 

Amen.

Μικρή Ηχητική Ιστορία: Ξέρξης Ι

Νανούρισμα

Ένα Νανούρισμα για την Ελευθερίτσα.

MORPAIN: Φούγκα σε Λα ελάσσονα

Άλλη μία φούγκα από το “Traitè de la Fugue” του Andrè Gedalge. Την παρτιτούρα σε ανοικτή και συνεπτυγμένη μορφή μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

O Joseph Morpain (1873-1961) ήταν πιανίστας, συνθέτης και καθηγητής στο Κονσερβατόριο του Παρισιού και στην École Normale de Musique. Σπούδασε στο Κονσερβατόριο του Παρισιού με τον Émile Decombes, μαθητή του Chopin και τον Gabriel Fauré. Σπουδαίοι μαθητές του, η Clara Haskil και η Monique Haas.

Δημοσίευσε το "Comment il faut jouer du piano" και τα "50 Chansons des Charentes et du Poitou" (1924).

Η Φούγκα στη Λα ελάσσονα είναι από την περίοδο της μαθητείας του κοντά στον Fauré.

Η τάξη του Morpain στο Κονσερβατόριο του Παρισιού

PALESTRINA: Quam pulchram es

Την παρτιτούρα μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

Το μοτέτο “Quam pulchra es et quam decora” του Palestrina προέρχεται από τον κύκλο 29 πεντάφωνων (Cantus, Altus, Quintus, Tenor, Bassus) μοτέτων του Δασκάλου με κείμενο από το “Άσμα Ασμάτων” του Σολομώντα και γενικό τίτλο: “Motettorum Liber Quartus Quinque Vocibus Canticis Canticorum”, έργο του 1584.

Το «Άσμα Ασμάτων» αποτελεί ένα λυρικό δραματικό ποίημα, ύμνο στην Αγάπη, ένα γαμήλιο τραγούδι. Τα πρόσωπα του ποιήματος είναι η Νύφη Σουλαμίτις και ο Άντρας (βασιλιάς Σολομών). Το ποίημα αποδίδεται, όχι χωρίς αμφιβολίες, στον Σολομώντα (Ι:1 Ἄσμα ἀσμάτων, ὅ ἐστι τῷ Σαλωμών.) Ο πρωτότυπος τίτλος του είναι “Σιρχασσιρείμ” και αποδόθηκε από τους Εβδομήκοντα ως “Άσμα Ασμάτων”.

Το «Άσμα Ασμάτων» αποτελεί ένα λυρικό δραματικό ποίημα, ύμνο στην Αγάπη, ένα γαμήλιο τραγούδι. Τα πρόσωπα του ποιήματος είναι η Νύφη Σουλαμίτις και ο Άντρας (βασιλιάς Σολομών). Το ποίημα αποδίδεται, όχι χωρίς αμφιβολίες, στον Σολομώντα (Ι:1 Ἄσμα ἀσμάτων, ὅ ἐστι τῷ Σαλωμών.) Ο πρωτότυπος τίτλος του είναι “Σιρχασσιρείμ” και αποδόθηκε από τους Εβδομήκοντα ως “Άσμα Ασμάτων”.

1. Quam pulchra es et quam decora

2. carissima, in deliciis!

3. Statura tua adsimilata est palmæ

4. et ubera tua botris

5. Dixi: Ascendam in palmam

6. et apprehendam fructus eius

7. et erunt ubera tua

8. sicut botri vineæ

9. et odor oris

10. sicut malorum

Ο σπουδαστής της Αντίστιξης θα πρέπει να εξετάσει τα εξής:
1. τον τρόπο (modus) του μοτέτου
2. τον αριθμό και τη διάταξη των ντουέτων στο τμήμα (1)
3. το ρόλο της φωνής Quintus (τι σημαίνει Quintus; αν είχαμε και  έκτη φωνή πως θα ονομαζόταν;)
4. τις πτώσεις των διαφόρων τμημάτων και να ονομάσει τους τρόπους που μετατρέπει το μοτέτο
5. τη μελωδική και αντιστικτική διάρθρωση του έργου (πως αποδίδεται μελορυθμικά το νόημα κάθε στίχου του κειμένου;)
6. στο τμήμα (6) πως μελοποιείται η λέξη “ascendam” και γιατί;
7. σε ποια λέξη κορυφώνεται (climax) το έργο;
8. πως σχολιάζετε την τελευταία πτώση;

Η παρτιτούρα είναι στοιχειωδώς σχολιασμένη και αναφέρεται ακροθιγώς στα παραπάνω ερωτήματα.

7:6  Quam pulchra es et quam decora, carissima, in deliciis!

τί ὡραιώθης καὶ τὶ ἡδύνθης ἀγάπη, ἐν τρυφαῖς σου;

How beautiful art thou, and how comely, my dearest, in delights!

Πόσο ωραία γίνεσαι, αγάπη μου! Πόσο ηδονική στις τρυφερότητές σου!

7:7  Statura tua adsimilata est palmæ, et ubera tua botris.

τοῦτο μέγεθός σου, ὡμοιώθης τῷ φοίνικι καὶ οἱ μαστοί σου τοῖς βότρυσιν.

Thy stature is like to a palm tree and thy breasts to clusters of fruit.

Το ανάστημά σου μοιάζει με φοίνικα και οι μαστοί σου με σταφύλια αμπέλου.

7:8  Dixi: Ascendam in palmam et apprehendam fructus eius; et erunt ubera tua sicut botri vineæ et odor oris tui sicut malorum

εἶπα· ἀναβήσομαι ἐπὶ τῷ φοίνικι, κρατήσω τῶν ὕψεων αὐτοῦ, καὶ ἔσονται δὴ μαστοί σου ὡς βότρυες τῆς ἀμπέλου καὶ ὀσμὴ ῥινός σου ὡς μῆλα

I said: I will go up into the palm tree and I will take hold of the fruit thereof. And thy breasts also shall be as the clusters of the vine; and the odour of thy mouth like apples.

Είπα· θα ανέβω πάνω στο φοίνικα, θα φθάσω στην κορυφή του, και οι μαστοί σου θα είναι κοντά μου σαν σταφύλια αμπέλου, και η ευωδία της μύτης σου, σαν ευωδία μήλων.

the|orphic|egg

Μουσική πάνω σε μια ζωγραφιά της Ελευθερίας στην πόρτα του ψυγείου.

Ο Deshevov και οι “Σιδηροτροχιές” του

Την παρτιτούρα του “Rails” μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

Όπως ο Beethoven λάτρευε και εμπνεόταν από τη Φύση, έτσι και και μερικοί συνθέτες των πρώτων δεκαετιών του 20ου αι. θέλγονταν κι εμπνέονταν από τον “πρωτάκουστο” ήχο των μηχανών, τρένων, αυτοκινήτων, εργοστασιακών θορύβων κ.τ.λ. Δημιουργήθηκε τότε το κίνημα του Φουτουρισμού, που αφορούσε στη ζωγραφική, στη γλυπτική, στην ποίηση, στο θέατρο, στην αρχιτεκτονική, στη μουσική ακόμη και στη γαστρονομία. Ιδρυτική πράξη του κινήματος μπορεί να θεωρηθεί το “Μανιφέστο του Φουτουρισμού” (1909) του Ιταλού ποιητή, εκδότη και κριτικού Τέχνης Filippo Tommaso Emilio Marinetti. Ο Ιταλός επίσης, συνθέτης και μουσικολόγος, Francesco Balilla Pratella συνδέθηκε με το κίνημα το 1910 και έγραψε την ίδια χρονιά το “Μανιφέστο για Φουτουριστές Μουσικούς”, το “Τεχνικό Μανιφέστο της Φουτουριστικής Μουσικής” (1911) και την “Καταστροφή του Τετραγωνισμού / Distruzione della quadratura” (1912).

Ο Marinetti γράφει για το Φουτουρισμό:
“O Φουτουρισμός βασίζεται στην πλήρη ανανέωση της ανθρώπινης ευαισθησίας, που προκαλείται από τις μεγάλες επιστημονικές ανακαλύψεις. Oι άνθρωποι που χρησιμοποιούν τον τηλέγραφο, το τηλέφωνο, το φωνόγραφο, το ποδήλατο, τη μοτοσικλέτα, το αυτοκίνητο, το υπερωκεάνιο, το πηδαλιοχούμενο, το αεροπλάνο, τον κινηματογράφο, τη μεγάλη εφημερίδα δεν έχουν ανακαλύψει ακόμη πως αυτά τα μέσα επικοινωνίας, μεταφοράς και πληροφόρησης ασκούν αποφασιστική επίδραση στην ψυχή τους”.

Τα βασικά σημεία της μουσικής φουτουριστικής “επανάστασης” του Marinetti είναι:
• οι νέοι να αποφεύγουν τα ωδεία και να σπουδάζουν ανεξάρτητα
• ίδρυση ενός μουσικού περιοδικού ανεξάρτητου από την ακαδημαϊκή κοινότητα και τους κριτικούς
• αποχή από όλους τους μουσικούς διαγωνισμούς που δεν είναι απολύτως ανοικτοί
• απελευθέρωση από το παρελθόν και από την “καλά φτιαγμένη” μουσική
• τέλος στη δεσποτεία των τραγουδιστών, είναι ίσοι με τους άλλους μουσικούς της ορχήστρας
• οι συνθέτες όπερας πρέπει να συνθέτουν τα δικά τους λιμπρέτι σε ελεύθερο στίχο
• να δοθεί τέλος στις παραδοσιακές φόρμες της μπαλάντας, των ναπολιτάνικων τραγουδιών που προκαλούν ναυτία και της θρησκευτικής μουσικής
• να προτιμώνται νέα έργα να παίζονται παρά τα παλιά

Το 1913 η “Τέχνη των Θορύβων” του Ιταλού ζωγράφου και αυτοδίδακτου μουσικού Luigi Russolo, μέλλει να γίνει ένα από τα πιο σημαντικά κείμενα για τη μουσική αισθητική του 20ου αι. Μαζί με τον αδελφό του Antonio κατασκευάζουν μουσικά όργανα / γεννήτριες θορύβου που ονομάζουν “intonarumori”.

Η “Τέχνη των Θορύβων” κατατάσσει τους θορύβους σε έξι κατηγορίες:
1) Βρυχηθμοί, κεραυνοί, εκρήξεις, συριστικοί βρυχηθμοί, πάταγοι, κρότοι
2) συρίγματα, αναστεναγμοί, συριγμοί
3) ψίθυροι, μουρμούρες, ψελλίσματα, κελαρύσματα
4) στριγγλιές, τριξίματα, θροΐσματα, βόμβοι, τριψίματα
5) ήχοι που προκαλούνται κτυπώντας μέταλλα, ξύλα, δέρματα, πέτρες, κεραμικά
6) Φωνές ανθρώπων και ζώων, κραυγές, στριγγλιές, θρήνοι, γιουχαΐσματα, αποδοκιμασίες, ουρλιαχτά, επιθανάτιοι ρόγχοι, αναφιλητά, λυγμοί

Σχεδόν παράλληλα κι επηρεασμένος από τις ιδέες του Marinetti, γενιέται ο Ρωσικός Φουτουρισμός από τη λογοτεχνική ομάδα Hylaea. Οι David Burlyuk, Vasily Kamensky, Velimir Khlebnikov, Aleksey Kruchenykh και Vladimir Mayakovsky εκδίδουν το 1911 το μανιφέστο “Ένα Χαστούκι στα Μούτρα του Κοινού Γούστου / Пощёчина общественному вкусу”. Οι ιδέες του Ρωσικού Φουτουριστικού κινήματος αγκαλιάζουν ποίηση, λογοτεχνία, θέατρο, κινηματογράφο, μουσική και τυπογραφία. Αντιπροσωπευτικοί συνθέτες του Ρωσικού Φουτουριστικού Κινήματος οι:  Arthur-Vincent Lourié, Mikhail Gnesin, Alexander Goedicke, Geog Kirkor, Julian Krein, Alexander Mosolov και Vladimir Deshevov.

Τρία μουσικά “μηχανιστικά / φουτουριστικά” έργα αυτής της περιόδου ξεχωρίζουν κατά τη γνώμη μου: το “Pacific 231” (1923) για ορχήστρα του  Arthur Honegger, που αγαπούσε τα τρένα όπως άλλοι αγαπούν τις γυναίκες ή τα άλογα (δική του έκφραση), το “Iron Foundry / Zavod: muzyka mashin, op.19 (1926-27) / Χυτήριο Σιδήρου” για ορχήστρα του Alexander Vasilyevich Mosolov και το “Rails”, op.16 (1926) (Σιδηροτροχιές) για πιάνο του Vladimir Deshevov.

Ο Deshevov σπούδασε πιάνο με τον Leonid Nikolayev και τον Alexander Winkler, σύνθεση με τον Vasily Pavlovich Kalafati, τον Anatoly Konstantinovich Lyadov, ton Maximilian Osseyevich Steinberg και τον Jāzeps Vītols στο Ωδείο της Αγ. Πετρούπολης από το 1908 ως το 1914. Υπηρέτησε στο στρατό κατά τη διάρκεια του Α΄ Παγκοσμίου Πολέμου και αμέσως μετά, από το 1917 ως το 1919, ανέλαβε καθήκοντα γραμματέα στη “Μουσική Κομητεία της Εθνικής εκπαίδευσης” στο Yelizavetgrad. Από το 1920 μέχρι το 1921 ήταν διευθυντής του μουσικού παραρτήματος της Σεβαστούπολης, όπου και ίδρυσε ένα ωδείο που διηύθυνε για ένα χρόνο. Για δέκα χρόνια δίδαξε σε μουσικά κολέγια του Λένινγκραντ μέχρι να γίνει γνωστός σαν συνθέτης και διευθυντής ορχήστρας θεάτρου. Την περίοδο 1941-44, κατά τον αποκλεισμό του Λένινγραντ δούλεψε και στο ραδιόφωνο.

Τη δεκαετία του ’20 εθεωρείτο ένας από τους πλέον υποσχόμενους νέους συνθέτες της ΕΣΣΔ. Τα έργα του αυτής της περιόδου είναι από πανδιατονικά στο ύφος του Honegger και του Prokofiev, μέχρι έντονα χρωματικά και μηχανιστικά σαν το πιανιστικό του έργο “Rails”. Ο Darius Milhaud τον γνώρισε στο Λένινγκραντ, και κατά την επιστροφή του στο Παρίσι έγραψε στις Γαλλικές εφημερίδες ότι πρόκειται για μια μουσική ιδιοφυΐα και ένα εξαιρετικά πρωτότυπο συνθέτη. Δεν απέδωσαν πάντως οι προσπάθειές του να τον κάνει γνωστό στην Ευρώπη. Το 1929 συνέθεσε το πιο γνωστό έργο του, “Πάγος και Ατσάλι”. Ιδεολογικές διαφορές με το καθεστώς (σοσιαλιστικός ρεαλισμός μετά το 1932) δεν επέτρεψαν την συνέχιση της καριέρας του, παρόλο που μετρίασε το αβαγκαρντίστικο ύφος της μουσικής του. Κατά τη διάρκεια του Β΄ Παγκοσμίου Πολέμου δόθηκε μια κάποια προσοχή στη μουσική του (μπαλέτα σε κλασικό ύφος, πατριωτικοί ύμνοι), αλλά τελικά και πάλι ξεχάστηκε και ίσως το μόνο που τον θυμίζει σήμερα είναι το “Rails” από τη μουσική που έγραψε το 1926, για το θεατρικό έργο πάνω στην ομώνυμη νουβέλα του Pierre Hamp.

Τεχνικά Αντιγραφικά

Το “Rails” είναι το πρώτο έργο μέτριας δυσκολίας που αντιγράφω στο Dorico, έκδ. 1.2.0. Παρόλο που το work flow δεν είναι ακόμη ταχύ και ρέον όπως στο Sibelius, η εμπειρία μου είναι πολύ θετική. Εκείνο που μου έκανε εντύπωση είναι η σχεδόν μηδενική μου παρέμβαση στις default ρυθμίσεις του προγράμματος, πέραν από την αλλαγή σε italics των expressions, σε αντίθεση με το Sibelius, για να μην αναφέρω το Finale, που έχω αλλάξει κοπιωδώς ακόμη και την γραμματοσειρά (Norflock αντί Opus ή Helsinki). Ακόμη και τα εξώφυλλα έγιναν με το Dorico, με την δυνατότητα που δίνουν τα για πρώτη φορά εισαγόμενα flows σε πρόγραμμα μουσικής σημειογραφίας (όπως ακριβώς στο Quark και το InDesign). Αν αυτός ο Daniel Spreadbury του Dorico οργανώσει θρησκευτική σέκτα ή πολιτικό κόμμα θα είμαι από τα πρώτα μέλη :)

Περί Copyright

Όπως αναφέρει το ISMLP το “Rails” είναι ελεύθερο copyright στο Καναδά, αλλά στην Ευρώπη όχι· εντούτοις σε αφήνει να κατεβάσεις την παρτιτούρα με δική σου ευθύνη. Στο YouTube υπάρχει επίσης βίντεο με εκτέλεση και παρτιτούρα. Δεν έχω σκοπό, ούτε όφελος οικονομικό ή άλλο τι, από την ανάρτηση αυτής της παρτιτούρας (η οποία, με παντελή έλλειψη μετριοφροσύνης θα πω, ότι δεν συγκρίνεται ποιοτικά με αυτήν του ISMLP…), την αναρτώ από αγάπη σ’ αυτή τη μουσική και με σκοπό να την γνωρίσουν και να την παίξουν κι άλλοι.

Να κι ένα δικό μου τρένο (πάντως, αγαπώ περισσότερο τις γυναίκες από τα τρένα):

Lilypond, η Λίμνη των Κρίνων

Πέρασαν σχεδόν είκοσι πέντε χρόνια από τότε που πάλευα να γράψω νότες με το Notator SL (που έγινε Logic, μας πούλησε η Emagic και το πούλησε  στην Apple), το Score Perfect (πέθανε νεότατος ο δημιουργός του Klaus Kleinbrahm, στα 53 του), το Encore (που έχει πια βρυκολακιάσει) και το Music Prose (που έγινε Finale), και τριάντα πέντε χρόνια από τότε που έγραψα μια μελωδιούλα στον Spectrum ZX. Έκτοτε τα προγράμματα μουσικής σημειογραφίας (ΠΜΣ) έχουν κάνει μεγάλα προς τα μπρος βήματα, όχι όμως άλματα· το μετέωρο βήμα του Dorico ίσως γίνει άλμα κάποια στιγμή, μένει να το δούμε …

Το ειδύλλιο με τον κώδικα ξεκίνησε με το LaTex και ο καινούριος χρόνος με βρήκε να μιμούμαι τον Mr. Robot και να προσπαθώ να γράψω ένα ντο ολόκληρο στη σφηνοειδή γραφή της Λίμνης με τα (ακανθώδη) Κρίνα. Η εμμονική και πεισματάρικη φύση του ζωδίου μου, με βοήθησαν να ξεπεράσω τις αρχικές - φαινομενικά ανυπέρβλητες -  δυσκολίες του προγράμματος και σε σύντομο σχετικά διάστημα να αντιγράψω το Solfeggietto του CPE Bach. Το Lilypond δεν έχει GUI (γραφικό περιβάλλον), τον κώδικα / παρτιτούρα τον γράφει κανείς σε ένα απλό text file (plain text). Δεν είναι γλώσσα προγραμματισμού, αλλά markup language, “προσημασμένη γλώσσα” όπως και το LaTex. Όταν γράφεις νότες δεν τις βλέπεις, χρειάζεται compiling, όπως λεν οι ειδικοί, για να εμφανιστεί η παρτιτούρα σε ένα PDF. Υπάρχουν και κάποιοι editors που κάνουν τη δουλειά πιο εύκολη (Frescobaldi), θυμίζουν κάπως περιβάλλον Sibelius δηλαδή, αλλά αυτοί έχουν άλλα προβλήματα.

Να ένα δείγμα τις δουλειάς των διακοπών (προσέξτε την πολυμετρία, ποιο άλλο πρόγραμμα το κάνει αυτό χωρίς διάφορα τρικ;):

Να κι ένα τμήμα του κώδικα:

Γιατί όλη αυτή η φασαρία σε μια μικρή και δύσκολη ζωή, θα αναρωτηθεί κανείς. Παραθέτω τα υπέρ και τα κατά σε ένα κατάλογο, έτσι όπως τα έζησα αυτές τις λίγες μέρες που ασχολούμαι με το πρόγραμμα:

ΥΠΕΡ

• Είναι δωρεάν (άδεια χρήσης GNU), τέρμα τα σπασμένα που λείπει κάποιο .dll και οι αγενείς και αδηφάγες εταιρείες (βλέπε AVID).

• Είναι αποτέλεσμα κάποιου / κάποιων που αγαπούν πολύ αυτό που κάνουν και μοιράζονται το προϊόν της εργασίας τους και την αγάπη τους με τους άλλους.

• Ο κώδικας είναι ανοικτός, αν ξέρει κάποιος προγραμματισμό μπορεί να τον συμπληρώσει / διορθώσει / βελτιώσει.

• Όμορφες παρτιτούρες, οι πιο άρτιες αισθητικά, αν τις συγκρίνουμε με αυτές που παράγουν τα άλλα ΠΜΣ. Εν πολλοίς οφείλεται στη γραμματοσειρά FETA που είναι και κομψή και πιο ανθρώπινη (sic) από την Maestro (πιο κρύα κι από υγρό άζωτο), την Opus και τις άλλες.

• Άπαξ και μάθεις τον κώδικα δεν ασχολείσαι τόσο με το formatting όσο με το περιεχόμενο της σύνθεσης.

• Θεωρητικά άπειρες δυνατότητες σημειογραφίας, ούτε στο ελάχιστο δεν πλησιάζουν τα άλλα ΠΜΣ. Αν φανταστείς κάτι μπορείς να το κάνεις.

• Απόλυτος έλεγχος του υλικού, χειρίζεσαι αριθμούς και οι αριθμοί, εκτός κι αν τους χειρίζονται πολιτικοί, φέρνουν πάντα ευτυχία.

• Δέχεται αρχεία MusicXML και τα μετατρέπει σε Lilypond. Αυτό διευκολύνει πολύ την κοπιώδη εργασία του να περάσεις χοντρικά τις νότες. Παλιότερες εκδόσεις του musescore εξήγαγαν σε αρχεία .ly (Lilypont), δυστυχώς όχι η τελευταία έκδοση.

• Τα help files είναι πληρέστατα, τα snippets βοηθητικότατα και η κοινότητα χρηστών εξυπηρετικότατη.

ΚΑΤΑ
• Κώδικας, αυτή η λέξη για κάποιους είναι από μόνη της αποτρεπτική.
• Δεν βλέπεις τις νότες όταν τις γράφεις.
• Δεν ακούς τις νότες όταν τι γράφεις. Εξάγει σε MIDI file, δεν μπορεί όμως να συγκριθεί κάτι τέτοιο, με το επίπεδο παιξίματος του Sibelius για παράδειγμα.
• Άνθρωποι είμαστε, λάθη κάνουμε κι εδώ τα λάθη δεν συγχωρούνται. Ένα κόμμα να λείπει, compilation δεν γίνεται κι αν η παρτιτούρα είναι μεγάλη, ψάχνεις ψύλλο στ΄ άχυρα. Θα βοηθούσαν προγράμματα όπως το texmaker και το BBedit στο debugging, δυστυχώς όμως μόνο το TeXShop είναι συμβατό με το Lilypond και το TeXShop δεν είναι και το καλύτερο. Αν εκδώσει εκτελέσιμο (dmg) το Frescobaldi θα είναι μια λύση.
• Δύσκολα ένα γέρικο άλογο μαθαίνει νέα κόλπα.

Δίνω τώρα τα τέσσερα πρώτα μέτρα από το Sofeggietto σε Finale, Sibelius, musescore, Dorico και Lilypond για σύγκριση. Δεν έχω “πειράξει” τις παρτιτούρες, ό,τι δίνει το default template του κάθε προγράμματος:

Κάντε κλικ στις εικόνες για μεγέθυνση

Jingle Bells (Original)

Από ΕΔΩ μπορείτε να κατεβάσετε την πλήρη παρτιτούρα, για πιάνο φωνή και τετράφωνη χορωδία καθώς και τις πάρτες.

To χιλιοτραγουδισμένο "Jingle Bells" (ίσως το πιο πολυπαιγμένο και άμεσα αναγνωρίσιμο τραγούδι στο κόσμο) γράφτηκε το 1857 από τον Αμερικανό συνθέτη, τραγουδοποιό, οργανίστα και ενορχηστρωτή James Lord Pierpont (25 Απριλίου 1822 - 5 Αυγούστου 1893). Ο αυθεντικός τίτλος του τραγουδιού είναι "The One Horse Open Sleigh" και οι στίχοι είναι του ιδίου. Το τραγούδι εκδόθηκε τον Αύγουστο του 1857 από τον Εκδοτικό Οίκο Oliver Ditson & Company και είναι αφιερωμένο στον John P. Ordway. Παίχτηκε για πρώτη φορά σε μια Κυριακάτικη σχολική γιορτή την ημέρα των Ευχαριστιών στη Savannah της Georgia. Πιθανόν να γράφτηκε το 1850. Η αποδοχή του ήταν μέτρια, με τα χρόνια όμως έγινε ένα από τα πιο δημοφιλή Χριστουγεννιάτικα τραγούδια. Υπάρχουν ποικίλες παραλλαγές, εναρμονίσεις και ενορχηστρώσεις του τραγουδιού.

Μια MIDI μακέτα του τραγουδιού:

Και οι στίχοι:

Dashing thro’ the snow,

In a one-horse open sleigh,

O’er the hills we go,

Laughing all the way;

Bells on bob tail ring,

Making spirits bright,

Oh what sport to ride and sing

A sleighing song to night.

Jingle bells, Jingle bells,

Jingle all the way;

Oh! what joy it is to ride

In a one horse open sleigh.

Jingle bells, Jingle bells,

Jingle all the way;

Oh! what joy it is to ride

In a one horse open sleigh.

A day or two ago,

I thought I’d take a ride,

And soon Miss Fannie Bright

Was seated by my side,

The horse was lean and lank;

Misfortune seemed his lot,

He got into a drifted bank,

And we, we got upsot.

A day or two ago,

The story I must tell

I went out on the snow

And on my back I fell;

A gent was riding by

In a one-horse open sleigh,

He laughed as there I sprawling lie,

But quickly drove away.

Now the ground is white

Go it while you’re young,

Take the girls to night

And sing this sleighing song;

Just get a bob tailed bay

Two forty as his speed.

Hitch him to an open sleigh

And crack, you’ll take the lead.

10 Χριστουγεννιάτικες Μελωδίες

Την παρτιτούρα μπορείτε να κατεβάσετε από ΕΔΩ.

Αφορμή για να επεξεργαστώ αυτές τις Χριστουγεννιάτικες μελωδίες στάθηκε η καινούρια αναβάθμιση του προγράμματος μουσικής σημειογραφίας Dorico (1.2). Το Dorico είναι ένα καινούριο πρόγραμμα σημειογραφίας, που έρχεται με την ορμή των Δωριέων να πάρει την εξουσία που κατέχουν για χρόνια οι Αχαιοί, Finale και Sibelius. Μετά από ένα χρόνο παρουσίας στην αγορά, ακόμη δεν μπορεί κανείς να αρχίσει και να τελειώσει (μέχρι τον Printer) μια παρτιτούρα, όσες λειτουργίες όμως έχει υλοποιήσει (π.χ. chord symbols) είναι τέλειες, και δεν συγκρίνονται με τις ανάλογες λειτουργίες αντίστοιχων προγραμμάτων. Finale και Sibelius είναι “γερασμένα” προγράμματα, μ’ ένα παλιομοδίτικο διαδραστικό περιβάλλον, παρόλα τα liftings που έχουν υποστεί (τώρα πια, φρικιώ στην ιδέα της παλέτας δυναμικών του Finale…). Ο χρόνος θα δείξει, το Dorico πιστεύω θα ενηλικιωθεί γύρω στο 2020, καλά να είμαστε…
   
Επεξεργάστηκα αυτά τὰ γνωστά Χριστουγεννιάτικα κομμάτια για 2 σοπράνο μελωδικά όργανα με έκταση C4-A5 (C4=0). Μπορούν να παιχτούν από δύο  σοπράνο φλογέρες με ράμφος (αυτό το όργανο είχα στο μυαλό μου όταν έκανα τὴν επεξεργασία), δύο μελωδικές, ἤ ακόμη καὶ από δύο βιολιά ἤ φλάουτα καὶ φυσικά από οποιοδήποτε άλλο όργανο ἤ συνδυασμό οργάνων καλύπτει αυτή τὴν έκταση. H επεξεργασία είναι σχετικά απλή, μια εισαγωγή καὶ μια Coda στις περισσότερες περιπτώσεις.

Μικρές Ιστορίες 40: Τα Πλεονεκτήματα των Γραφέων

Μια συνηθισμένη πρακτική, ακόμη και σήμερα, των πατεράδων με ευυπόληπτο και προσοδοφόρο επάγγελμα είναι να προσπαθούν να πείσουν τους νεαρούς γιους τους να μελετούν και κάποια στιγμή να ακολουθήσουν τη ``στρωμένη" δουλειά του πατέρα τους. Στο παρακάτω απόσπασμα ένας Αιγύπτιος γραφέας, χιλιάδες χρόνια πριν, εκθέτει στο γιο του τα πλεονεκτήματα της δουλειάς του και ταυτόχρονα τα μειονεκτήματα των άλλων επαγγελμάτων:

“Έχεις φανταστεί τη ζωή του αγρότη που καλλιεργεί τη γη; ο φοροεισπράκτορας στέκεται στην άκρη του χωραφιού και συγκεντρώνει τη δεκάτη της συγκομιδής· συνοδεύεται από ροπαλοφόρους και από νέγρους που κρατούν σανίδες από φοίνικα. Όλοι τους φωνάζουν: ``Έλα, τον καρπό". Αν ο αγρότης δεν έχει να τους δώσει, τον πετούν κάτω, τον δένουν, τον σύρουν στο αρδευτικό κανάλι και τον βουτούν μέσα αρχίζοντας από το κεφάλι…

Οι βιοτέχνες δεν δουλεύουν λιγότερο από τους αγρότες· ακόμη και τη νύχτα, το σπίτι τους είναι φωτισμένο και δουλεύουν… Ο κουρέας εργάζεται ως τη νύχτα… Τα δάχτυλα του βαφέα βρομάνε σάπιο ψάρι, τα μάτια του κουρασμένα…

Ο στρατιώτης… τον παίρνουν παιδί και τον κλείνουν στο στρατόπεδο· σε λίγο η κοιλιά του μπαίνει μέσα, τα φρύδια του σκίζονται, το κεφάλι του γίνεται όλο πληγές. Τον ξαπλώνουν και τον χτυπούν σαν να ήταν πάπυρος… Όταν επιστρέφει από την εκστρατεία μοιάζει με γέρικο ξύλο φαγωμένο από τα σκουλήκια…”

Οι Βαβυλώνιοι και τα Μαθηματικά τους

Αυτό είναι ένα άλλο τμήμα των Μαθηματικών μου Σημειώσεων, που αφορά στα Ιστορικά Μαθηματικά και συγκεκριμένα σ’ αυτά των Βαβυλώνιων. Το κείμενο, λόγω των πολλών μαθηματικών τύπων, στοιχειοθετήθηκε με το XeLaTeX (και είμαι πολύ περήφανος γι’ αυτό και ρίχνω μαύρη πέτρα σε όλους τους επεξεργαστές κειμένου που χρησιμοποίησα μέχρι σήμερα). Η παλαιότητα του template του ιστολογίου μου δεν επιτρέπει να ανεβάσω μαθηματικούς τύπους και γι’ αυτό η δημοσίευση γίνεται με εικόνες (απαιτείται λίγο υπομονή μέχρι να κατέβουν). Οι εικόνες είναι μέτριας ποιότητας για να μην έχουν μεγάλο μέγεθος. Αν κάνετε κλικ πάνω τους, ανοίγουν σε καινούριο παράθυρο και μπορείτε να διαβάσετε πιο άνετα το κείμενο. 

Αν με τη βοήθεια της Ιστάρ τελειώσει αυτή η εργασία, θα αναρτήσω το PDF.

Πόσο Λυπάμαι

Πόσο Λυπάμαι

Από την Αθηναϊκή ηθογραφία “Τρείς Σωματοφύλακες” του Μοντιάλ.  

Κώστας Γιαννίδης

Βαλς, 1938

Μεταγραφή για φωνή και πιάνο:

Δημήτρης Συκιάς

Οκτώβριος 2017

*

Πολλές αγάπες γνώρισα 

αγάπησα και χώρισα

μα όπου κι αν γυρνούσα

εσένα ζητούσα.

Στα όνειρα τα χίλια μου

σε γύρευαν τα χείλια μου

σε γύρευε η ψυχή μου

κι οι πόθοι οι κρυφοί μου.

Πόσο λυπάμαι

τα χρόνια που πήγαν χαμένα 

πριν να γνωρίσω εσένα

που πρόσμενα καιρό.

Μα πώς φοβάμαι

πως ίσως μια μέρα σε χάσω

γιατί να σε ξεχάσω

ποτέ δεν θα μπορώ.

Γύρε κοντά μου αγάπη γλυκιά μου 

θέλω ακόμα ξανά να σου πω.

Οι Σουμέριοι και τα Μαθηματικά τους

Οι πρώτοι πολιτισμοί αναπτύχθηκαν στην Ανατολική Μεσόγειο και στη Δυτική Ασία. Οι παράγοντες που έπαιξαν καθοριστικό ρόλο στη δημιουργία αυτών των πολιτισμών είναι:

• το κλίμα,
• η γεωγραφική θέση,
• η ύπαρξη νερού.

Η περιοχή της Μεσοποταμίας και η Αίγυπτος πληρούσαν αυτές τις προϋποθέσεις κι εκεί αναπτύχθηκαν οι πρώτοι πολιτισμοί. Μετακινήσεις λαών, από λιγότερο πλεονεκτικές περιοχές, έγιναν αιτία πολέμων και καταστροφών, αλλά επειδή “πόλεμος πατὴρ πάντων”, νέοι πολιτισμοί γεννήθηκαν και δανειζόμενοι τα καλύτερα από τους προηγούμενους, πρόσφεραν κι αυτοί με τη σειρά τους στην εξέλιξη της ανθρωπότητας.

Πολιτισμός χωρίς μαθηματικά δεν υπάρχει. Οι πρώτοι αυτοί λαοί ανάπτυξαν αριθμητικές και γεωμετρικές μεθόδους, για να διευκολύνουν την καθημερινή τους ζωή, να ασκήσουν τις εμπορικές τους δραστηριότητες, να οικοδομήσουν ναούς και κτήρια…Τα μαθηματικά τους, απ’ όσο τουλάχιστον μπορούμε να γνωρίζουμε, παράμειναν στο εμπειρικό - πρακτικό επίπεδο.

Οι Λαοί της Μεσοποταμίας - Βαβυλώνα

Μεσοποταμία, Ασσούρ στην ασσυριακή γλώσσα, ονόμασαν οι αρχαίοι Έλληνες το γεωγραφικό τμήμα που διαρρέεται από τους μεγάλους ποταμούς Τίγρη στα ανατολικά και Ευφράτη στα δυτικά και περιλαμβάνει τις κοιλάδες των δύο ποταμών και των παραποτάμων τους. Το βόρειο τμήμα της Μεσοποταμίας οι Έλληνες ονόμαζαν Ασσυρία, το κεντρικό Βαβυλωνία και το νότιο Χαλδαία. Η άρδευση των υδάτων των δύο ποταμών μετέβαλλε το άγονο και αργιλώδες τμήμα της κεντρικής και νότιας Μεσοποταμίας σε εύφορο έδαφος για την καλλιέργεια σιταριού και κριθαριού, γιαυτό το λόγο η περιοχή ονομάστηκε και “γόνιμη ημισέληνος”. Ο άνθρωπος από θηρευτής ή συλλέκτης τροφής περνά τώρα στη συλλογική ζωή, τη μόνιμη κατοικία και την καλλιέργεια της γης. Όπου ικανοποιούνται αυτές οι συνθήκες, αναπτύσσεται και πολιτισμός· ο άνθρωπος εξελίσσεται κοινωνικά και οικονομικά και περνά στο παραγωγικό και οργανωτικό στάδιο. Έτσι λοιπόν, από το 5000 π.Χ. περίπου μέχρι την Ελληνιστική εποχή και την εμφάνιση του Χριστιανισμού, οι λαοί της Μεσοποταμίας αναπτύσσουν έναν αξιολογότατο πολιτισμό. Η ευρύτερη περιοχή φιλοξένησε πολλούς λαούς, μεταξύ των οποίων: οι άκρως επινοητικοί, φιλεργατικοί και φιλότεχνοι Σουμέριοι, οι βόρειοι γείτονές τους Ακκάδες, που κατέκτησαν και αφομοίωσαν τον πολιτισμό των Σουμερίων, οι σιδηροτεχνίτες Χετταίοι, οι τρομεροί Ασσύριοι με τον περιώνυμο βασιλιά τους Σαρδανάπαλο, και οι Χαλδαίοι με τον βασιλιά τους Ναβονάσσαρο, θεωρούμενο ως πατέρα της Αστρολογίας, η ακολουθία των μεγάλων βασιλέων τελειώνει με τον Ναβουχοδονόσορα Β τον Μέγα. Στο τέλος, οι Πέρσες [1] επικράτησαν στην περιοχή, μέχρι την υποταγή τους από τον Μ. Αλέξανδρο.

Λύρα τῶν Σουμερίων

Σουμέριοι

ki-en-gir: Σουμέρ

Την περίοδο 3000-1500 π.Χ. [2] άκμασαν οι Σουμέριοι [3], άγνωστης καταγωγής, πιθανώς μογγολικής, δημιουργώντας έναν υψηλού επιπέδου πολιτισμό και ίδρυσαν την πρώτη πόλη του κόσμου, την Εριντού. Την χώρα τους ονόμαζαν “ki-en-gir” (η χώρα των πολιτισμένων αρχόντων”, οι ίδιοι δε αυτοαποκαλούντο “ùĝ saĝ gíg ga” (άνθρωποι με μαύρο κεφάλι).[4] Ζούσαν στο κατώτερο τμήμα της πεδιάδας της Μεσοποταμίας, στο μιχό του περσικού κόλπου, στο σημερινό νότιο Ιράκ. Όταν η εξουσία πέρασε από τους ιερείς στους βασιλείς, όπως θα δούμε παρακάτω, η ηγεμονία ασκήθηκε από τις πόλεις Κις, Ουρ (Ur, Urim), γενέτειρα του Αβραάμ (Γέννεσις,11:28-31), Ουρούκ, Αντάμπ και Ακσάκ. Οι Σουμέριοι ήταν ένας ιδιαίτερα έξυπνος και εφευρετικός λαός. Ασχολούνταν με την γεωργία, την κτηνοτροφία και το εμπόριο. Ανακάλυψαν τον τροχό, κατασκεύασαν το κάρο και αρδευτικά κανάλια· ήταν δε από τους πρώτους που επεξεργάστηκαν το μέταλλο, τελειοποίησαν το αλέτρι και μετέτρεψαν το γάλα σε βούτυρο. Ανάπτυξαν το εμπόριο γεωργικών και κτηνοτροφικών προϊόντων και έκαναν εισαγωγές πρώτων υλών, κυρίως μετάλλων. Το κράτος ήταν θεοκρατικό και οργανωμένο σε πόλεις. Κατασκεύασαν μνημειώδεις ναούς, τους λεγόμενους ζιγκουράτ (Λόφος των Ουρανών), με οικοδομικό υλικό πλίνθους ψημένους στον ήλιο ή σε καμίνια.

Αναπαράσταση του ζιγκουράτ της Ουρ

Γλώσσα-Γραφή. Από το 4000 π.Χ. μιλούσαν την αρχαία Σουμεριακή γλώσσα η οποία δεν συσχετίζεται με καμιά άλλη γνωστή γλώσσα. Γύρω στο 2300 π.Χ. τα Ακκαδικά γίνονται η καθημερινή γλώσσα, αλλά τα αρχαία Σουμεριακά εξακολουθούν να χρησιμοποιούνται ως κλασική, επίσημη γλώσσα για 2000 ακόμη χρόνια, όπως τα Λατινικά στην Ευρώπη. Μεταξύ του 3500 και 3100 π.Χ. ανακάλυψαν τη σφηνοειδή γραφή, που διακρίνεται από τη σημιτική (Εβραϊκά, Αραβικά, Αραμαϊκά). Ακόμα πιο παλιά όμως, εκατοντάδες πήλινες πινακίδες από την πόλη Ουρούκ, που χρονολογούνται από το 5000 π.Χ., μαρτυρούν μια πρώιμη πτικτογραμματική / εικονογραφική / λογογραφική / πρωτοσφηνοειδή γραφή, 2000 περίπου πικτογραμμάτων, που αφορούν κυρίως σε αγαθά προς ανταλλαγή και καθημερινά αντικείμενα (δείτε το παρακάτω σχήμα). Τα πικτογράμματα χαράσσονταν σε πηλό με ειδική γραφίδα. Η γραφίδα ήταν από καλάμι σε σχήμα σφήνας και δεν αποκλείεται να αποτέλεσε η ίδια την έμπνευση για τη σφηνοειδή γραφή.  Το σύνολο των πικτογραμμάτων συνιστά μια γραπτή γλώσσα με τη μορφή εικόνων, χωρίς τη χρήση γραμμάτων από κάποιο αλφάβητο· δεν πρέπει να συγχέονται με τα ιδεογράμματα που χρησιμοποιούνται για να εκφράσουν ιδέες. Να σημειώσουμε, ότι η πικτογραμματική και η σφηνοειδής είναι τύποι γραφής και όχι γλώσσα. Στην Εγγύς Ανατολή, γλώσσες που δεν σχετίζονταν μεταξύ τους - Σουμερικά, Ακκαδικά, Χεττιτικά και Ελαμιτικά - χρησιμοποιούσαν τη σφηνοειδή γραφή.

Η εξέλιξη της πικτογραμματικής σε σφηνοειδή γραφή

Θα διακινδυνεύσουμε ένα παραλληλισμό ανάμεσα στα πικτογράμματα των Σουμερίων και στα εικονίδια (icons) που χρησιμοποιούνται στους υπολογιστές και στα άλλα ηλεκτρονικά μέσα: η εικόνα μιας γάτας, μιας και οι γάτες είναι παντού οι ίδιες, δεν χρειάζεται κανενός είδους επεξήγηση, καμιά γλώσσα να την περιγράψει. Στις πολυπληθείς Σουμεριακές πόλεις μια γλώσσα πικτογραμμάτων φαντάζει ιδανική, το ίδιο ισχύει και για μια οθόνη υπολογιστή που την κοιτούν τόσα και διαφορετικά ζευγάρια μάτια.

Δείγμα σφηνοειδούς γραφής με τη γραμματοσειρά Assurbanipal

Την περίοδο της Ακκαδικής εισβολής, τα πικτογράμματα έχουν ήδη περιοριστεί στο 1/3 περίπου και βαθμιαία δίνουν τη θέση τους σε σφηνοειδή σύμβολα κι έτσι αναπτύσσεται η σφηνοειδής γραφή (cuneiform writing, λατ. cuneus = σφήνα), η οποία με τον καιρό υιοθετήθηκε και από άλλους λαούς της Εγγύς Ανατολής (αποτέλεσε βάση για τη δημιουργία των Ακκαδικών, Ελαμιτικών, Χεττιτικών, Ουγκαριτικών και αρχαίων Περσικών αλφαβήτων). Υπάρχει μια διαφορά ανάμεσα στα πρώιμα Σουμεριακή γραφή και στην Ακκαδική: τα πικτογράμματα είναι περισσότερο εικόνες παρά σύμβολα, το αντίθετο ισχύει με τα σφηνοειδή σύμβολα. Την Ακκαδική περίοδο συντάσσονται λεξικά(!) που συσχετίζουν την πρώιμη με την ύστερη Σουμεριακή γραφή και διευκολύνουν την ομαλή μετάβαση από τη μία στην άλλη. Από την περίοδο της Δυναστείας του Χαμουραμπί έχουν βρεθεί χιλιάδες πινακίδες από ένα σύνολο εκατομμυρίων που έχει φέρει στο φως η αρχαιολογική σκαπάνη. O (φτηνός και άφθονος στην περιοχή) πηλός αντέχει καλύτερα στο χρόνο από από τον (ακριβό) Αιγυπτιακό πάπυρο κι αυτός είναι ο λόγος που γνωρίζουμε περισσότερα για τα μαθηματικά των Μεσοποτάμιων παρά των Αιγυπτίων. Η σφηνοειδής γραφή προηγείται χρονικά των ιερογλυφικών της Αιγύπτου, αποκρυπτογραφήθηκαν όμως πρώτα τα ιερογλυφικά.

Ο βασιλιάς Γκουντέα

Οργάνωση. Οι μεγάλες εκτάσεις που έπρεπε να ποτιστούν και να καλλιεργηθούν απαιτούσαν διοικητική οργάνωση και καταμερισμό της εργασίας. Για τη “χρηματοδότηση” αυτών των εργασιών [5] απαιτείτο επίσης ένα φορολογικό / φοροεισπρακτικό σύστημα και μία μέθοδος καταγραφής αγαθών και φορολογικών εισπράξεων. Η γη έπρεπε να διαμοιραστεί για καλλιέργεια στους πολίτες, να διευθετηθεί το θέμα παροχής νερού και να μοιραστούν τα πλεονάζοντα αγαθά. Στην αρχή τη διοίκηση ασκούσαν οι αρχιερείς στους ναούς, αργότερα, όταν οι πόλεις έγιναν πολυπληθέστερες και πιο ισχυρές, τη διοίκηση ανάλαβαν οι βασιλείς (λούγκαλ: “ισχυρός άνδρας”, σίπα λούγκαλ: “βασιλιάς-ποιμένας”), οι οποίοι επίσης ήταν και αρχιστράτηγοι. Κι εδώ πάλι μας εκπλήσσουν οι Σουμέριοι, το βασιλικό μοντέλο ήταν αυτό του βασιλιά-ποιμένα. Σε αντίθεση με τους Φαραώ της Αιγύπτου, τους Κινέζους και τους Ιάπωνες αυτοκράτορες που ήταν απρόσιτοι και δεν ενδιαφέρονταν για το λαό, οι Σουμέριοι βασιλείς ήταν “ποιμένες” του λαού τους, δούλευαν για το καλό του χωρίς να ασκούν αυταρχική εξουσία. Αντί για κορώνα φορούσαν το “σκούφο του βοσκού”. Συγκρίνετε τη γλυκιά και προσηνή μορφή του εικονιζόμενου βασιλιά Γκουντέα μ’ αυτήν κάποιου Φαραώ. Δυο σχεδόν μυθολογικοί βασιλείς των Σουμερίων ήταν ο Ετάνα ο ποιμήν που προσάρτησε νέα εδάφη, βασίλευσε για 1500 χρόνια και στο τέλος ανελήφθη στους ουρανούς και ο Λουγκαλμπάντα ο ποιμήν, που βασίλευσε για 1200 χρόνια. Ιστορικά πρόσωπα ήταν οι βασιλείς Γκουντέα και Ουρ-Νάμμα, οι οποίοι βασίλευσαν περί το 2100 π.Χ. Σημαντικότερος βασιλιάς της Σουμερικής περιόδου ήταν ο Σούλγκι (Shulgi), της Τρίτης Δυναστείας της Ουρ· βασίλευσε για 47 χρόνια (2094-2047 π.Χ.)

Γκιλγκαμές

Θρησκεία-Μυθολογία. Η λατρεία των θεών για τους Σουμέριους ήταν στενά συνδεδεμένη με την ύπαρξή τους. Πίστευαν ότι οι θεοί έφτιαξαν τον άνθρωπο για να δουλεύει γι’ αυτούς. Λάτρευαν πολλούς θεούς, ανεξάρτητα κατά πόλη, κάθε πόλη-κράτος είχε και το δικό της προστάτη θεό. Κοινός όμως θεός όλων των Σουμερίων όμως ήταν ο Νινούρτα. Η κύρια θηλυκή θεότητα ήταν η Ινάννα (για τους Σουμέριους) ή Ιστάρ, (για τους Ακκάδιους και Ασσυρίους) “Αγία Παρθένα” και “ Βασίλισσα του Ουρανού”, κόρη του θεού Άνου, είναι η πρώτη γνωστή θεότητα που σχετίστηκε με τον πλανήτη Αφροδίτη. Θεά της γονιμότητας και του αισθησιασμού (ως Πούλια), της αγάπης, της ομορφιάς, της επιθυμίας, της μάχης, της καταστροφής και της πολιτικής δύναμης (ως Αυγερινός). Όπως και ο Ορφέας, κατέβηκε στον Κάτω κόσμο για να διεκδικήσει την εξουσία της. Οι θεοί λατρεύονταν στα ζιγκουράτ· οι ιερείς των Σουμερίων ονομάζοντο πατέσι. Τα ζιγκουράτ είχαν την μορφή βαθμιδωτής πυραμίδας, ο κυρίως ναός βρισκόταν στην κορυφή της κατασκευής και αποτελείτο από δύο δωμάτια, ένα για τον τιμώμενο θεό και το άλλο η κατοικία του ιερέα. Τα πρώτα ζιγκουράτ χρονολογούνται από τις αρχές της 3ης χιλιετίας και σήμερα διασώζονται 32. Επιβλητικό είναι το μεγάλο ζιγκουράτ της πόλης Ουρ, αφιερωμένο στο θεό της Σελήνης Νάνναρ (αυτός που φωτίζει) και αυτό της πόλης Νιπούρ αφιερωμένο στο θεό Ενλίλ. Οι ιερείς έπαιζαν σημαντικότατο ρόλο στη ζωή των Σουμερίων. Ερμήνευαν τα όνειρα και τους οιωνούς και προφήτευαν το μέλλον και συνέθεταν μύθους. Ανάμεσα στου μύθους των Σουμερίων συναντάμε την “Πτώση του Ανθρώπου” και μια μυθο-ιστορική εξιστόρηση του “Κατακλυσμού”. Δεν αποκλείεται οι Εβραίοι να επηρεάστηκαν από αυτούς του μύθους.

Οι Σουμέριοι δεν ονομάτιζαν τη θρησκεία τους, ούτε και εμείς σήμερα της αποδίδουμε κάποιο όνομα (π.χ. Ινδουισμός, Ζωροαστρισμός)· δεν είχαν καν είχαν λέξη που να περιγράφει την έννοια της “θρησκείας”.

Η μυθολογία των Σουμερίων είναι ιδιαίτερα ευφάνταστη. Σημαντικό λογοτεχνικό έργο και ένα από τα αρχαιότερα στον κόσμο είναι το “Έπος του Γκιλγκαμές”, μια συλλογή θρύλων και ποιημάτων, σε δώδεκα άσματα σε μεταγενέστερη Ακκαδική μορφή και όπως διασώζεται σήμερα, του ιστορικού πιθανώς ήρωα, αλλά με πολλά μυθικά στοιχεία, ημίθεου (2/3 θεός, 1/3 άνθρωπος), με υπερφυσικές δυνάμεις Γκιλγκαμές ή Γιλγαμές. Εδώ περιλαμβάνεται και ο μύθος / ιστορία του Κατακλυσμού, σε περιγραφή του βαρκάρη των Νερών του Θανάτου, Ουρσανάμπι (ο ανάλογος του πορθμέα Χάροντα στην Ελληνική μυθολογία). Ως ιστορικό πρόσωπο ο Γιλγκαμές έζησε περί το 3000 π.Χ και ήταν ο 5oς βασιλιάς της πόλης-κράτους Ουρούκ. Μαζί με τον θεόσταλτο φίλο του Ενκίντου αναλαμβάνουν αποστολές που απαιτούν υπεράνθρωπες δυνάμεις, αλλά και την αρωγή φίλιων θεών. Τα κατορθώματα του Γκιλγκαμές είναι ανάλογα με αυτά του δικού μας Ηρακλή (θανάτωση του δαίμονα στο Δάσος των Κέδρων, ζηλοτυπία και εκδίκηση των θεών, περιγραφή του Κάτω Κόσμου από τον ετοιμοθάνατο Ενκίντου, κ.α.) Έδωσε το όνομά του στον αστεροειδή 1812 Gilgamesh.

Η γραπτή Σουμεριακή λογοτεχνία - η αρχαιότερη στον κόσμο, από το 2500 π.Χ. - περιλαμβάνει αφηγηματική, διδακτική, διαλογική και λατρευτική ποίηση, ύμνους, θρήνους, τραγούδια, μύθους και παροιμίες.

Συνομωσιολογία. Το ανωτέρω εικονιζόμενο αγαλματίδιο προέρχεται από την πρωτο-Σουμεριακή περίοδο. Η παράξενη μορφή του εικονιζόμενου όντος (ανθρώπου;) μαζί με την ξαφνική εμφάνιση των Σουμερίων στο ιστορικό προσκήνιο και την πολιτισμική τους έκρηξη, έδωσαν αφορμή σε πολλούς να εικάσουν ότι βοηθήθηκαν από εξωγήινους. Κατά τη γνώμη μας, κάτι τέτοιο απαξιώνει τα επιτεύγματα και μειώνει την αξία της επινοητικότητας και δημιουργικής δύναμης των Σουμερίων, αλλά και του ανθρώπου γενικότερα. Η ιδιαίτερη απόδοση ανθρωπομορφών σε αγάλματα και ζωγραφική συναντάται συχνά σε αρχαίους πολιτισμούς· Κένταυρος Χείρων, Σφίγγα της Αιγύπτου, θεός Σεθ με κεφάλι κορακιού και σώμα ανθρώπου κ.α. Στη Σουμεριακή μυθολογία συναντάμε επίσης τους ερπετόμορφους Ανουνάκι [6], ένα συλλογικό όνομα για τους θεούς του ουρανού και της Γης, ή ακόμη και για τους θεούς του Κάτω Κόσμου. Από το δεύτερο μισό της 2^ης χιλιετίας διαφοροποιούνται σε Ιγγίγγι, θεούς του ουρανού και Ανουνάκι θεούς του Κάτω Κόσμου. Κάθε μια από τις Επτά Πύλες του Κάτω Κόσμου φυλάσσεται και από έναν Ανουνάκι. Σύμφωνα με τον συνομωσιολόγο Zecharia Sitchin οι μυθολογίες των λαών είναι η κρυφή ιστορία του κόσμου και οι μεγάλοι αρχαίοι πολιτισμοί είναι παλαιότεροι απ’ ότι μας τους παρουσιάζει η επίσημη Ιστορία και αποτελούν εξέλιξη της γνώσης που έδωσαν οι εξωγήινοι Ανουνάκι στους ανθρώπους, οι οποίοι αποίκησαν τον πλανήτη μας κάποια χρονική στιγμή. Οι Ανουνάκι υποτίθεται ότι προέρχονται από τον πλανήτη του ηλιακού μας συστήματος Νιμπίρου (Neberou: διασχίζω, για ποτάμι, βάρκα κ.τλ.· Ακκαδική και όχι Σουμεριακή λέξη) ή Ερκολούμπους ή Κόκκινο Πλανήτη ή πλανήτη Χ, με περίοδο περιφοράς γύρω από τον Ήλιο 3600 χρόνια. Το έργο του Sitchin έχει απορριφθεί από τους επιστήμονες ως ψευδοιστορικό και ψευδοεπιστημονικό λόγω προβληματικής επιστημονικής μεθόδου και της κατά βούληση μετάφρασης των αρχαίων κειμένων.

Καλλιτεχνική αναπαράσταση της πόλης Ουρ από τον Balage Balogh

Μαθηματικά. Οι Σουμέριοι, λόγω του Τίγρη και Ευφράτη, πρέπει να είχαν τα ίδια προβλήματα πλημμυρών με τους Αιγύπτιους και γενικότερα προβλήματα τοπογραφικής αποτύπωσης των γεωργικών εκτάσεων· αυτό, αλλά και η γενικότερη επινοητικότητά τους στη λύση πρακτικών προβλημάτων και στη βελτίωση του επιπέδου της ζωής τους, οδήγησε σε σημαντικές αριθμητικές και γεωμετρικές πρακτικές γνώσεις.

Ας δούμε μερικές στενά ή ευρύτερα μαθηματικές:

• Γνώριζαν τις τέσσερις βασικές πράξεις της αριθμητικής (έχουν βρεθεί πήλινες πινακίδες με πίνακες προπαίδειας σε σφηνοειδή γραφή) και ήξεραν να λύνουν αριθμητικά προβλήματα.
• Χρησιμοποιούσαν το εξηκονταδικό σύστημα αρίθμησης - βάση 60, ψηφία 0-59 σε (σύγχρονη γραφή) - και ήξεραν να χειρίζονται αρκετά μεγάλους και μικρούς αριθμούς.
• Στην αρχή, για την αναπαράσταση των φυσικών αριθμών, επινόησαν ένα σύστημα συμβόλων με ημικύκλια, κύκλους και συμπλέγματά τους· π.χ. 10 = •, 20 = ••.
• Από το 2400 π.Χ. άρχισαν να χρησιμοποιούν κλάσματα. Η εισαγωγή της έννοιας του κλασματικού αριθμού, από Σουμέριους και Αιγύπτιους είναι πολύ σημαντική, διότι επεκτείνει το σύνολο των φυσικών N στο σύνολο των ρητών αριθμών Q, με πολλαπλές πρακτικές χρήσεις. Οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν μόνο μοναδιαία κλάσματα, της μορφής 1/ν σε αντίθεση με τους Σουμέριους που χρησιμοποιούσαν τα πιο εύχρηστα κλάσματα της μορφής ν/60 ή ν/(60^2). Δεν υπήρχε όμως κάποιας μορφής συμβολισμός για τα κλάσματα, σαν τον α/β για παράδειγμα, που χρησιμοποιούμε σήμερα, έγραφαν απλώς τον αριθμό, έστω ν, και ο αναγνώστης από τα συμφραζόμενα θα έπρεπε να καταλάβει αν πρόκειται για φυσικό ή ρητό αριθμό. Αν π.χ. ήθελαν να γράψουν τον αριθμό 20, έγραφαν “<<”, όπου “<”= 10, αλλά και το κλάσμα 20/60=2/3 γραφόταν επίσης ως “<<”. Με τη βοήθεια του εξηκονταδικού τους συστήματος, οι Σουμέριοι μπορούσαν να προσεγγίσουν οποιοδήποτε κλασματικό αριθμό.
• Δεν έχουμε σαφείς ενδείξεις ότι είχαν μια ιδέα για το άπειρο και γενικότερα τα απειροσύνολα.
• Λόγω του εξηκονταδικού τους συστήματος αρίθμησης, χώρισαν το έτος σε 12 μήνες 30 ημερών και το μήνα σε 4 βδομάδες. Κάθε 6 χρόνια προσέθεταν ένα επιπλέον μήνα, για να διορθωθεί το λάθος των 5 περίπου ημερών ανά έτος (365,25 ημέρες το δικό μας Ιουλιανό έτος). Διαίρεσαν την ημέρα σε 24 ώρες, την ώρα σε 60 λεπτά και το λεπτό σε 60 δευτερόλεπτα. Η σύγχρονη γραφή της ώρας (στο στρατό, για δρομολόγια τρένων, αεροπλάνων κ.τ.λ), π.χ. 19:54:30, κάνει χρήση του δεκαδικού συστήματος για τις ώρες και του εξηκονταδικού για τα λεπτά και τα δευτερόλεπτα. Στη δεκαετία του 1930, ο Otto Neugebauer [7] επινόησε ένα σύγχρονο σύστημα συμβολισμών για τους εξηκονταδικούς αριθμούς αντικαθιστώντας τη δεκαδική μορφή 0-59 σε κάθε θέση και χρησιμοποιώντας ένα ερωτηματικό (;) για το διαχωρισμό των ακεραίων και κλασματικών τμημάτων του αριθμού και ένα κόμμα (,) για το διαχωρισμό των θέσεων σε κάθε τμήμα. Για παράδειγμα, ο άρρητος √2=1, 41421356... [8] στο εξηκονταδικό σύστημα και σύμφωνα με το συμβολισμό του Neugebauer, γράφεται:

• Μελέτησαν τις φάσεις τις σελήνης και μπορούσαν να προβλέψουν τις εκλείψεις της, καθώς και του ήλιου.
• Επινόησαν ένα πληρέστατο σύστημα μονάδων μήκους, επιφάνειας, όγκου, βάρους και χρόνου.
• Επινόησαν ένα είδος νομισματικού συστήματος κι ένα λογιστικό σύστημα για τις εμπορικές συναλλαγές τους.
• Κατασκεύασαν αρδευτικά έργα για την καλύτερη εκμετάλλευση των υδάτων Τίγρη και Ευφράτη.
• Οι ράβδοι χρυσού και ασημιού καθώς και τα δακτυλίδια ζυγίζονταν με ακρίβεια και σφραγίζονταν ως εγγύηση για την ποιότητα και ποσότητα των μετάλλων τους.

√2, σε Βαβυλωνιακή πινακίδα χειρός από τη συλλογή του παν. Yale

Συνοψίσουμε τώρα τις θαυμαστές επιστημονικές και τεχνολογικές εφευρέσεις των Σουμερίων:

γραφή / αριθμητική / γεωμετρία

μνημειακή αρχιτεκτονική / λογοτεχνία

σχολείο / λεξικό / προσωπογραφία / λογιστική

καταμερισμός εργασίας / επαγγελματικός στρατός

αρδευτικό σύστημα / αγροκαλλιέργεια / μονοκαλλιέργεια

αποχέτευση / τροχός / χαλκός

μπρούντζος / αψίδα / ιστιοφόρο / πανοπλία

ηλιακό ρολόι / σεληνιακό ημερολόγιο

σμίλη / σφυρί / πριτσίνια / πριόνι / δρεπάνι / τσάπα

κόλλα / πίσσα / σπαθί θήκη σπαθιού / ιμάντας / ιπποσκευές

λύρα / άρπα

άρμα / άμαξα

καμίνι / τούβλο / κεραμική ρόδα

άροτρο / μεταλλικά οικιακά σκεύη

φορολογία / φοροείσπραξη

μπύρα(!)

Την εποχή που οι Σουμέριοι πραγματοποιούσαν όλα αυτά τα θαυμαστά επιστημονικά και τεχνολογικά επιτεύγματα, οι άλλοι λαοί ζούσαν ακόμη στη Λίθινη εποχή.

Πινακίδα Shuruppak

Η πινακίδα από την πόλη Σουρουπάκ χρονολογείται περί το 2700 π.Χ. και είναι το αρχαιότερο σωζόμενο μαθηματικό κείμενο. Πρόκειται για έναν πίνακα, που αφορά στον υπολογισμό των εμβαδών 6 ορθογώνιων παραλληλογράμμων, των οποίων τα μήκη είναι 60 φορές μεγαλύτερα από το πλάτη τους. Η πινακίδα δεν φαίνεται να εξυπηρετεί κάποιο πρακτικό σκοπό, κι αν αυτό είναι αλήθεια, τότε ή πρόκειται για το πρώτο μνημείο καθαρών μαθηματικών ή για το πρώτο (σχολικό) εγχειρίδιο.

Σημείωση: Το άρθρο αυτό αποτελεί τμήμα ενός μεγαλύτερου που αφορά γενικά στα Βαβυλωνιακά Μαθηματικά και η συνέχειά του θα αναρτηθεί προσεχώς. Η όλη εργασία, που αφορά στην ιστορική εξέλιξη των Μαθηματικών και ιδιαίτερα της Γεωμετρίας, θα δοθεί σε PDF αν και όταν τελειώσει.
Παραλείπω εδώ την Βιβλιογραφία, θα δοθεί στο τέλος αυτής της εργασίας.

Υποσημειώσεις
[1] Το 538 π.χ. η Βαβυλώνα κυριεύτηκε από τον Πέρση βασιλιά Κύρο, και η Μεσοποταμία έγινε επαρχία της Περσίας.
[2] Οι χρονολογίες ποικίλουν στη βιβλιογραφία· επιλέξαμε τον “μέσο όρο”. Οι Σουμέριοι πιθανώς να πρωτοεμφανίστηκαν στην περιοχή της Μεσοποταμίας την Χαλκολιθική ή πρώιμη εποχή του Χαλκού, περί το 6000 π.Χ.
[3] Η χώρα ονομαζόταν Σουμέρ και όχι Σουμερία.
[4] Στην “Ιστορία της Γεωγραφίας του Ανθρώπινου Γονιδιώματος” εκφράζεται η άποψη ότι οι κάτοικοι του Κουβέιτ είναι απόγονοι των Σουμερίων.
[5] Η εσωτερική οικονομία ήταν ανταλλακτική. Η φορολόγηση γινόταν σε σπόρους, ζώα, αποξηραμένες τροφές και άλλα αγαθά. Για τις εξωτερικές ανταλλαγές ανέπτυξαν το πρώτο νομισματικό σύστημα.
[6] a-nun-na(-k): ευγενικής καταγωγής, φόβος / da-nun-na(-ke-ne): οι θεοί του Κάτω Κόσμου, σε αντιπαράθεση με τους nun-gal-e-ne: θεούς των ουρανών.
[7] Otto Eduard Neugebauer (1899-1990). Αυστροαμερικανός μαθηματικός και ιστορικός της επιστήμης. Ασχολήθηκε με τα μαθηματικά και την αστρονομία από την αρχαιότητα μέχρι το Μεσαίωνα.
[8] Το σύγχρονο σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας. Για πρώτη φορά το 1220 ο Leonardo da Pisa (Fibonacci) (περ.1175-1250), στο έργο του “Practica Geometriae”, χρησιμοποιεί το γράμμα “R” (εκ του “Radix / Root”) με μία διαγώνιο γραμμή για να δηλώσει την τετραγωνική ρίζα. Το γνωστό μας σύμβολο “√”, χωρίς όμως τον δεσμό (vinculum) πρωτοεμφανίζεται το 1525 στο πρώτο βιβλίο Άλγεβρας στα Γερμανικά, “Die Coss”, του Christoff Rudolff (1499-1545)· ο Rudolff δεν χρησιμοποιούσε δείκτες για τις ρίζες ανώτερης τάξης, αλλά τροποποιούσε το σύμβολο. O Leonhard Euler (1707-1783), στο “Institutiones Calculi Differentialis” (1775), θεωρεί ότι το σύμβολο προέρχεται από το γράμμα “r”, κάτι το οποίο ο Ελβετοαμερικανός ιστορικός των Μαθηματικών Florian Cajori, στην “Ιστορία των Μαθηματικών Συμβόλων” απορρίπτει. Στο έργο του “La Geometrie” (1637) ο Καρτέσιος (1596-1650) χρησιμοποιεί για πρώτη φορά το σύμβολο “√α” με το "δεσμό".