Σάββατο, 30 Μαΐου 2020

Μικρές Ιστορίες 48: Rebel και Penderecki

Είναι κοινό μυστικό, ότι το 1736 ένας μηχανικός και ερασιτέχνης μαθηματικός, του οποίου το όνομα έσβησαν από την ιστορία οι μυστικές δυνάμεις που κυβερνούν τον κόσμο, εφευρίσκει μια χρονομηχανή. Ας τον λέμε Χ. Τυχαίνει να είναι φίλος με τον επαναστάτη συνθέτη Jean-Féry Rebel, ο οποίος, ρηξικέλευθο πνεύμα όπως ήταν, δέχεται να δοκιμάσει την εφεύρεση. Ο Χ ρυθμίζει τη χρονική συνιστώσα στις 24 Οκτωβρίου του 1970 και τις χωρικές να βγάζουν, διαβολεμένη τύχη, στο United Nations Headquarters της Νέας Υόρκης. Ο Jean-Féry εντυπωσιάζεται από τη Νέα Υόρκη του 20ου αι. Εντύπωση του κάνουν οι θόρυβοι της πόλης, τους οποίους προσπαθεί να καταγράψει με νότες στο μουσικό του αϊπάδιο˙ η κλίμακα με τα 57 “ημιτόνια” που είχε μόλις εφεύρει τον βοηθά σ’ αυτό. Η ματιά του πέφτει σε μια αφίσα, με τα λίγα αγγλικά που είχε μάθει από μια Αγγλίδα, νεανικό του έρωτα, καταλαβαίνει ότι πρόκειται για μια συναυλία, όπου θα παιχτεί ένα έργο με τίτλο “Κοσμογονία”, του συναδέλφου του Κ. Penderecki. Ακόμη γράφουν μουσική τον 20ο αι.; αναρωτιέται…

Το βράδυ στις 8, έχοντας ενεργοποιήσει την αορατοκάλυψη, έξτρα γκατζετάκι του Χ, μπαίνει στην αίθουσα. Εντυπωσιάζεται από την πολυπληθή ορχήστρα και χορωδία. Τα 24 βιολιά του βασιλιά είναι ένα τίποτα μπροστά της σκέφτηκε, κι ο ξερόλας κι αντιπαθητικός Lully καυχιέται γι’ αυτά.  Ξεκινά το έργο, ξεπερνά γρήγορα το αρχικό σοκ κι αρχίζει να καταγράφει μανιωδώς τις νότες στο αϊπάδιο. Αχ! και να’ χε τελειοποιήσει ο Χ τη ζωντανορυακοποίση (κάτι σαν το δικό μας live streaming) και να έστελνε τα δεδομένα στο σπίτι του μέσω των ακασικών πεδίων…

Με το που τελείωσε το έργο, πατά το κουμπί της χωροχρονικής επαναφοράς. Τον βρίσκουμε τώρα σπίτι του να καταγράφει και να επεξεργάζεται πυρετωδώς τις σημειώσεις του στο “Ιωνικόν”, το νέο πρόγραμμα μουσικής σημειογραφίας του Χ. Για να μην τον κατηγορήσουν οι επόμενες γενιές για κλοπή πνευματικής ιδιοκτησίας, ονομάζει το έργο του “Elemens” και το πρώτο μέρος “Χάος”.

Το 1737 παίχτηκαν τα “Elemens” του Rebel. Τη συναυλία παρακολούθησε στα κρυφά ο Πολωνός συνθέτης Penderecki, ο οποίος με το που γύρισε στην Κρακοβία άρχισε να επεξεργάζεται πυρετωδώς τις σημειώσεις που κράτησε από το έργο του Rebel. Για να μην τον κατηγορήσουν οι επόμενες γενιές για κλοπή πνευματικής ιδιοκτησίας, ονομάζει το έργο του “Κοσμογονία”.

Τρίτη, 26 Μαΐου 2020

Piano Notebook III (2011-2019)


Δώδεκα σημειώσεις για πιάνο (2011-2019)

Τρίτη, 5 Μαΐου 2020

Μαθηματικά για Μουσικούς: Αριθμοσύνολα Ι

Το αρχείο μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

Η σειρά σημειώσεων μαθηματικών για μουσικούς, γράφτηκε ή μάλλον γράφεται, για τους σπουδαστές της μουσικής και γενικότερα για τους μουσικούς, που είτε δεν έδωσαν την πρέπουσα σημασία όταν τα διδάχτηκαν είτε έχουν λησμονήσει όρους, έννοιες και τεχνικές των μαθηματικών. Σκοπό έχει να λειτουργήσει ως θεωρητικό ελάχιστο γι’ αυτούς που θέλουν να ασχοληθούν με τομείς της μουσικής, που εμπλέκονται τα μαθηματικά, όπως η μουσική θεωρία συνόλων (set theory), διάφορα είδη μουσικής ανάλυσης και η αλγοριθμική σύνθεση.

Έχει καταβληθεί κάθε προσπάθεια, όσο είναι βέβαια αυτό δυνατόν, να εξηγείται κάθε έννοια, χωρίς να υπάρχουν προαπαιτούμενες γνώσεις, εκτός από αυτές, που θα χαρακτηρίζαμε ως γυμνασιακές. Όταν συμπληρωθούν όλα τα τεύχη, μια τέτοια φιλοδοξία θα είναι πιο εφικτή. Σε καμιά περίπτωση πάντως αυτές οι σημειώσεις δεν μπορούν να αντικαταστήσουν εγχειρίδια γραμμένα από επαγγελματίες μαθηματικούς, κι αυτός είναι ένας απώτερος στόχους τους, να ανοίξουν δηλαδή το δρόμο για περαιτέρω μελέτη και εμβάθυνση.

Στο Τεύχος ΙV.1 γίνεται μια γενική συζήτηση για την έννοια του αριθμού, της αρίθμησης και εκτίθενται τα διάφορα αριθμοσύνολα, φτάνοντας μέχρι την έννοια του απείρου και τους υπερπεπερασμένους αριθμούς. Στο Τεύχος IV.2 γίνεται μια πιο λεπτομερής, ακριβής και πιο πρακτική έκθεση των αριθμοσυνόλων και των ιδιοτήτων τους.

Μικρές Ιστορίες 47: Το Ξενοδοχείο Η


Κάπου στην εικονική Θούλη φτάνει μια χειμωνιάτικη νύχτα, μεσάνυχτα, μ' ένα παλιό εικονικό σκαραβαίο, ο Κ.

Δεν ξέρουμε τίποτα άλλο γι' αυτόν κι ούτε πρόκειται να μάθουμε μέχρι το τέλος αυτής της ιστορίας. Δοκιμάζει τη τύχη του στα πρώτα δύο-τρία ξενοδοχεία που βρίσκονται στο κεντρικό δρόμο της Θούλης χωρίς τύχη, όλα είναι πλήρη.

Ένας ευγενικός ξενοδόχος, του συστήνει να πάει έξω από την πόλη, στο ξενοδοχείο Η, εκεί θα βρει σίγουρα δωμάτιο.

Μετά από ώρα κι αφού περιπλανήθηκε στους δαιδαλώδεις δρόμους των συνοικιών της Θούλης, ο Κ. βλέπει ένα δυσανάλογα μεγάλο Η από νέον να αναβοσβήνει στην είσοδο ενός περίεργου κτιρίου. Στη ρεσεψιόν ένας ηλικιωμένος κύριος μ' ένα ταμπελάκι που γράφει Ξ. στην αριστερή πλευρά του μάλλον φτηνού σακακιού του, τον χαιρετά:

Ξ. Καλώς ήρθατε. Πως θα μπορούσα να σας εξυπηρετήσω;

Κ. Θα ήθελα ένα δωμάτιο για απόψε σας παρακαλώ.

Ξ. Παρόλο που το ξενοδοχείο μας έχει άπειρα δωμάτια, κάτι που δεν νομίζω να βρείτε πουθενά αλλού στο γαλαξία μας, εντούτοις, είμαστε πλήρεις.

Κ. Κι εσείς; Από τα μεσάνυχτα ψάχνω δωμάτιο και κοντεύει να ξημερώσει.

Ξ. Μην σας απασχολεί, θα σας εξυπηρετήσω αμέσως.

Κ. Μα μόλις είπατε… Θα διώξετε κάποιον; Δεν θα το ήθελα.

Ξ. Όχι, όχι, είναι απλό, μιας και το ξενοδοχείο μας έχει άπειρα δωμάτια, απλά θα ζητήσω από τον πελάτη 1 του δωματίου 1 να μετακομίσει από το 1 στο 2, τον πελάτη του δωματίου 2 να μετακομίσει από το 2 στο 3 και – με παρακολουθείτε; – από τον πελάτη του δωματίου ν να μετακομίσει στο δωμάτιο ν+1.

Κ. Σας παρακολουθώ. Αρκετά έξυπνο, θα πρέπει όμως να ζητήσετε από τους πελάτες σας να μετακινηθούν όλοι ταυτόχρονα, αλλιώς, αν μετακινούνται ένας-ένας θα χρειαστούμε άπειρο χρόνο κι έχω δυο μέρες να κοιμηθώ.

Ξ. Εύστοχη η παρατήρησή σας, ακριβώς έτσι θα γίνει, υπάρχει ειδικός μηχανισμός αυτόματης μετακίνησης πελατών.

Κ. Μια στιγμή, επειδή μου κίνησε το ενδιαφέρον, εντάξει μ' αυτό, ας υποθέσουμε όμως, ότι τώρα που μιλάμε έρχονται 7 νέοι πελάτες, τι θα κάνετε;

Ξ. Ας το γενικεύσουμε και μετά θα απαντήσω και ειδικά στην ερώτησή σας. Υποθέτουμε λοιπόν, ότι καταφθάνουν ν πελάτες στο ξενοδοχείο μας, θα ζητήσω τότε από κάθε ήδη υπάρχοντα πελάτη, έστω του δωματίου νούμερο κ, να μετακινηθεί στο δωμάτιο ν+κ.

Κ. Κατάλαβα, απαντώ μόνος μου στην ερώτησή μου: αν έρθουν 7 νέοι πελάτες, θα ζητήσετε απ' αυτόν του δωματίου 1 να μετακινηθεί στο δωμάτιο 1+7, στο δωμάτιο 8 δηλαδή, κι απ' αυτόν που ήδη βρίσκεται στο 10 ας πούμε, να μετακινηθεί στο 10+7=17.

Ξ. Έξοχα! Αυτό ακριβώς θα κάνω.

Κ. Μου κινήσατε την περιέργεια ακόμη περισσότερο και θα σας ρωτήσω κάτι εξωπραγματικό.

Ξ. Στη Θούλη, μόνο εξωπραγματικά πράγματα συμβαίνουν αγαπητέ μου!

Κ. Ωραία λοιπόν! Ας υποθέσουμε ότι έξω από το ξενοδοχείο σας περιμένουν άπειροι το πλήθος πελάτες να βολέψετε, τι θα κάνετε; Θα τους διώξετε, γιατί σας τελείωσαν τα κόλπα με τα άπειρα δωμάτιά σας;

Ξ. Καταρχάς μου άρεσε η έκφραση "άπειροι το πλήθος", είναι ωραίο οι άνθρωποι να εκφράζονται με ακρίβεια, κάτι που λείπει στις μέρες μας. Όσο για τα κόλπα μας – δεν μου άρεσε πολύ σαν λέξη αυτή, αλλά τέλος πάντων – τα κόλπα μας λοιπόν, με τα άπειρα δωμάτια, είναι άπειρα ή… περίπου.

Κ. Και τι θα κάνετε λοιπόν;

Ξ. Θα ζητήσω από κάθε ένοικο του δωματίου κ να μετακινηθεί στο δωμάτιο 2κ, έτσι ώστε, όλοι οι ήδη υπάρχοντες πελάτες να εγκατασταθούν σε δωμάτια με άρτιο αριθμό. Μένουν άδεια, όπως καταλαβαίνετε τα περιττά δωμάτια, τα 1,3,5,… , εκεί θα φιλοξενηθούν οι άπειροι νέοι πελάτες μας.

Κ. Κατάλαβα.

Ξ. Φοβάμαι ότι ακόμη δεν έχετε συλλάβει πλήρως τις δυνατότητες του ξενοδοχείου μας.

Κ. Τι εννοείται;

Ξ. Θα σας θέσω εγώ ένα πρόβλημα, που αντιμετώπισα με επιτυχία, πριν από μερικούς άπειρους μήνες: φανταστείτε λοιπόν, ότι καταφθάνει στο ξενοδοχείο μας ένας άπειρος αριθμός λεωφορείων από τη γειτονική χώρα των Αριμασπών, όπου το καθένα έχει άπειρες θέσεις και είναι και πλήρες!

Κ. Το λύσατε;

Ξ. Είπα ότι το αντιμετώπισα με επιτυχία, άρα την απάντηση την έχετε ήδη.

Κ. Και τι κάνατε;

Ξ. Είστε σίγουρος ότι θέλετε να χάσετε τον ύπνο σας;

Κ. Ναι, με τρώει η περιέργεια.

Ξ. Λοιπόν, να θα γράψω σ' αυτό το χαρτί τη λίστα των ενεργειών μου:
  • Αρίθμησα τα λεωφορεία 1,2,3,… και τις θέσεις κάθε λεωφορείου με 1,2,3,…
  • Ζήτησα, όπως έκανα και προηγουμένως, από κάθε ήδη υπάρχοντα ένοικο με αριθμό δωματίου κ, να μετακινηθεί στο δωμάτιο 2κ , καλύφθηκαν έτσι όλα τα άρτια δωμάτια.
  • Ζήτησα επίσης, από τον επιβάτη του λεωφορείου 1 με αριθμό θέσης 1, να εγκατασταθεί στο δωμάτιο 3, απ' αυτόν με αριθμό θέσης 2 να βολευτεί στο δωμάτιο 32=9, να μην συνεχίσω…, όπως καταλαβαίνετε, ο επιβάτης του λεωφορείου 1 με αριθμό θέσης ν, εγκαταστάθηκε στο δωμάτιο 3ν . Όλες οι δυνάμεις του 3 είναι περιττές και με τη διευθέτηση που έκανα πριν, όλα τα δωμάτια με περιττό αριθμός είναι άδεια.
Κ. Μέχρις εδώ καλά, έχετε όμως άπειρα άλλα λεωφορεία με άπειρους επιβάτες να εξυπηρετήσετε…

Ξ. Μην είστε βιαστικός, μέχρις εδώ το καταλάβατε;

Κ. Μάλιστα, συνεχίστε.

Ξ. Πάμε στο λεωφορείο 2 λοιπόν. Συνεχίζω τη λίστα ενεργειών μου:
  • Ο επιβάτης του λεωφορείου 2 με αριθμό θέσης 1 εγκαθίσταται στο δωμάτιο 5, αυτός με αριθμό θέσης 2, στο δωμάτιο 52=25 και γενικά, αυτός με αριθμό θέσης ν, στο δωμάτιο 5ν.
Κ.

Ξ. Δεν λέτε τίποτα;

Κ. Είπατε να μην διακόπτω. Σκέφτομαι…

Ξ. Τι σκέφτεστε;

Κ. Οι αριθμοί 3 και 5 που επιλέξατε είναι πρώτοι.

Ξ. Σωστά, για συνεχίστε…

Κ. Δώστε μου το χαρτί με τη λίστα, να:
  • Ο επόμενος πρώτος είναι ο 7, θα τον χρησιμοποιήσουμε για το λεωφορείο 3 και ο επιβάτης με θέση ν, θα εγκατασταθεί στο δωμάτιο 7ν.
  • Γενικά και για να μην πολυλογούμε, εκείνο που κατάλαβα είναι, ότι επιβάτης του λεωφορείου μ με αριθμό θέσης ν, θα εγκατασταθεί στο δωμάτιο pν , όπου p είναι ο (μ+1)-στός πρώτος.
Ξ. Ενεός! Είστε πολύ έξυπνος.

Κ. Ευχαριστώ! υπερβολές. Εκείνο που δεν κατάλαβα, για να είμαι ειλικρινής, είναι το γιατί αυτή η μέθοδος “δουλεύει”. Ποιος μας εγγυάται ότι όλα αυτά τα δωμάτια είναι άδεια;

Ξ. Χμ… πριν πολλά χρόνια, στον υλικό κόσμο, υπήρχε ένας πλανήτης που τον έλεγαν Γη. Εκεί έζησε ένας πολύ έξυπνος άνθρωπος και πολύ μεθοδικός, που τον έλεγαν Ευκλείδη. Ο Ευκλείδης λοιπόν, απέδειξε ότι κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με ένα και μοναδικό τρόπο!

Κ. Ναι, καταλαβαίνω τώρα. Οι νέοι ένοικοι θα εγκατασταθούν σε ένα δωμάτιο x, που θα είναι δύναμη ενός πρώτου, κι αυτό το x θα είναι μοναδικό, όπως είπε ο Ευκλείδης. Για παράδειγμα, ο επιβάτης 7 του λεωφορείου 1, θα εγκατασταθεί στο δωμάτιο 37=2187 . Δεν είναι δυνατόν επιβάτης του ίδιου ή άλλου λεωφορείου να εγκατασταθεί στο ίδιο δωμάτιο˙ να, ο επιβάτης 7 του λεωφορείου 2, θα εγκατασταθεί στο δωμάτιο 57=78125 και προφανώς το 37 δεν είναι ίσο με το 57.

 Ξ. Μένω έκπληκτος με την οξυδέρκειά σας.

Η συζήτηση έχει συνεπάρει τους δυο άντρες.

Ο Ξ. προτείνει στον Κ. ένα ποτήρι ακριβό μαλτ κι αυτός το δέχεται ευχαρίστως. Τώρα η κούραση κι η αϋπνία του Κ. έχουν δώσει τη θέση τους σ' αυτήν τη λεπτή διανοητική ηδονή που νιώθει κανείς, όταν ασχολείται με τέτοια θέματα.

Εκεί που γεύονται σιωπηλοί το μαλτ με μικρές γουλιές, πλησιάζει μια γυναίκα ντυμένη στα μαύρα, γύρω στα τριάντα, αν κι αυτές τις μέρες είναι δύσκολο να προσδιορίσει ηλικία κανείς, με ξανθά μαλλιά και ω! τι παράξενο, με διάφανα μάτια!

Γ. Συγνώμη που διακόπτω…

Ξ. Παρακαλώ! Ευχαρίστησή μας!

Γ. Άκουσα άθελά μου τη συζήτησή σας κι έχω μια απορία.

Ξ. Στη διάθεσή σας, για όποια απορία έχετε, πεπερασμένη ή άπειρη.

Γ. Ευχαριστώ! Ας υποθέσουμε ότι στη Θούλη έρχονται άπειρα μεταγωγικά διαστημόπλοια και το καθένα μεταφέρει άπειρα λεωφορεία με άπειρους επιβάτες σε κάθε λεωφορείο. Θα μπορέσετε να τους εξυπηρετήσετε;

Ξ. Α! κι αυτό το πρόβλημα το έχω λύσει…

Κ. E, αφήστε μου λίγο χρόνο να σκεφτώ κι εγώ!

Ο Ξ. κατάλαβε ότι ο Κ. ήθελε να εντυπωσιάσει την Γ. και σώπασε διακριτικά.

Κ. Ωραία, για πείτε, δεν μπορώ να σκεφτώ κάτι.

Ξ. Θα ακολουθήσουμε την προηγούμενη πρακτική. Σε κάθε επιβάτη θα αντιστοιχήσουμε τρεις αριθμούς: έναν για το διαστημόπλοιο που τον μετέφερε, έναν για το λεωφορείο που επιβαίνει και έναν για τη θέση που κάθεται στο λεωφορείο. Ξεκινάμε μεταφέροντας όλους τους ήδη υπάρχοντες ενοίκους του ξενοδοχείου σε δωμάτια που φέρουν άρτιο αριθμό, όπως κάναμε και προηγουμένως δηλαδή.

Κ. Παρακαλώ, αφήστε με να συνεχίσω… το βρήκα!

Ξ. Ναι βέβαια, κανένα πρόβλημα.

Κ. Λοιπόν, που είχαμε μείνει… α, ναι. Θεωρείστε, ωραία μου κυρία, ότι ο επιβάτης που ήρθε με το διαστημόπλοιο κ, επέβαινε στο λεωφορείο μ και καθόταν στη θέση ν. Βρίσκουμε τον (μ+1)-στό πρώτο, τον ονομάζουμε p και τον υψώνουμε στη δύναμη που μας δείχνει ο αριθμός θέσης του επιβάτη, δηλαδή pν . Τώρα, παίρνουμε τον αριθμό του διαστημοπλοίου κ, βρίσκουμε τον (κ+1)-στό πρώτο, τον ονομάζουμε q και τον υψώνουμε στον αριθμό που βρήκαμε πριν. Γ. Δηλαδή ο ν επιβάτης του μ λεωφορείου που ήρθε με το κ διαστημόπλοιο, θα εγκατασταθεί στο δωμάτιο qpν .

Ξ. Ο κύριος το εξέθεσε το επιχείρημα με σαφήνεια και ακρίβεια στη γενική του μορφή. Επιτρέψτε μου ένα αριθμητικό παράδειγμα, διότι μπορεί να μην είμαι και το πιο μετριόφρων ολόγραμμα στη Θούλη, αλλά από τη φύση μου είμαι γρήγορος στις πράξεις: αν ο επιβάτης με αριθμό θέσης 3 έφτασε με το διαστημόπλοιο 2 και το λεωφορείο 4, θα εγκατασταθεί στο δωμάτιο 5113 . Ξέρετε τι νούμερο έχει αυτό το δωμάτιο;

Γ. Επειδή κι εγώ τα πάω καλά με τους αριθμούς, για περιμένετε λιγάκι… λοιπόν, θα εγκατασταθεί στον αριθμό δωματίου:

2133417097383300885828922149388295869002691681447630473377065869045726 3777039563551460457961823131831723126626368062335526244502659302257298 8249741034525826204478941248881599704447567317342020769690774856744018 4380255965021845313052035575268682024106273260281112335991524283602073 4637928973924123599318742331849666769670940204962762324067886767586664 2275079668414209076926647520518428349430205084787158430531857881151071 2032039285787324104334818932872723389624639118815021819448191139994100 0838178538428713005707712823105876802741249521253894186038932392011289 9209637323380566365531664614975048029328931870230876872041677274158231 3491044372794221496842850947810669298268231887200065686015007197982913 7011970606035496361468529625438307654814790729779729540504425506222432 3860081838202481712691472223220429859783328546270031462938397755954388 7202857905475321080841239960790045479357636656653381124204571506197680 719196796417236328125

Οι Ξ. και Κ. στάθηκαν να κοιτούν έκπληκτοι την Γ.

Ξαφνικά ο Ξ. πετάγεται από τη θέση του και λέει σιγανά:

Ξ. Ο κύριος Η. ο ιδιοκτήτης του ξενοδοχείου.

Η. Είναι πολύ ενδιαφέρον που ασχολείστε με τέτοια θέματα, για άλλους δεν έχουν καμιά αξία. Ο αγαπητός και λαλίστατος Ξ. παρουσίασε όλες τις λύσεις αυτών των περίεργων προβλημάτων ως δικές του, η ιστορική αλήθεια όμως είναι άλλη. Για χρόνια απασχολούσαν τους ξενοδόχους κάτω στη Γη τέτοιου είδους προβλήματα, μάλιστα ένας διάσημος ξενοδόχος του παρελθόντος έλεγε ότι τέτοιου είδους ιδέες αξίζουν να συζητιόνται μόνο στα καφενεία, γιατί δεν έχουν καμιά πρακτική αξία, ώσπου ένας άλλος συνάδελφος, ο αξέχαστος κύριος C., μας έμαθε τον τρόπο να εξυπηρετούμε απειροπελάτες. Μπορούμε να εξυπηρετήσουμε πεπερασμένο αριθμό άπειρων διαστημοπλοίων που μεταφέρουν άπειρο αριθμό λεωφορείων με άπειρο αριθμό επιβατών, ακόμη και πεπερασμένο αριθμό άπειρων διαστημοπλοίων που μεταφέρουν άπειρα διαστημόπλοια που μεταφέρουν… Εκείνο που δεν μπορούμε να κάνουμε είναι να εξυπηρετήσουμε πελάτες άπειρων άπειρων διαστημοπλοίων…

Γ. Και πως είμαστε σίγουροι, ότι ο επιβάτης του κ1 διαστημοπλοίου, του λ1 λεωφορείου, που κάθεται στη θέση ν1 δεν θα μοιραστεί το ίδιο δωμάτιο με τον επιβάτη του του κ2 διαστημοπλοίου, του λ2 λεωφορείου, που κάθεται στη θέση ν2;

Η. Το εξήγησε πριν ο κύριος Ξ. κι ο Ευκλείδης το επιβεβαιώνει. Θα το αποδείξουμε με την παλιά, καλή μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Αν οι δύο διαφορετικοί επιβάτες μοιραστούν το ίδιο δωμάτιο, τότε θα ισχύει… για δώστε μου το χαρτί που γράφατε πριν κύριε Ξ.… λοιπόν, δείτε, θα ισχύει: q1p1ν1=q2p2ν2, όπου p1 o (λ1+1)-οστός πρώτος και q1 o (κ1+1)-οστός πρώτος. Από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής, θα έχουμε: q1=q2→ p1ν1→ p2ν2→ ν12, ν12 όμως σημαίνει ότι πρόκειται για τον ίδιο επιβάτη, πράγμα άτοπο, διότι υποθέσαμε ότι οι επιβάτες είναι διαφορετικοί. Όπως καταλαβαίνετε…

O Κ. τον διέκοψε αγενέστατα και είπε στην Γ.

Κ. Μήπως θα θέλατε… κι αυτή απάντησε ναι.
_________________________________________________

Το λεγόμενο ξενοδοχείο του Hilbert είναι η ιστορία ενός φανταστικού ξενοδοχείου με άπειρα δωμάτια, που σκοπό έχει να δείξει τις παράξενες ιδιότητες του απείρου. Από το 1970 και μετά έχει χρησιμοποιηθεί σε πολλά επιχειρήματα που αφορούν εκτός από τα μαθηματικά, τη φιλοσοφία και τη θεολογία. Δεν είναι απόλυτα σίγουρο αν ο ίδιος ο Hilbert πρότεινε αυτό το νοητικό πείραμα, σε μια διάλεξή του τον Ιανουάριο του 1924, ή όχι, μπορεί απλά να πρόκειται για μια ιστορία που ανήκει στο μαθηματικό φολκλόρ. Η ιστορία αυτή έγινε ευρέως γνωστή το 1947, όταν  George Gamow την περιέλαβε σε ένα βιβλίο του και μερικοί πιστεύουν ότι τελικά είναι δικής του επινόησης.

Πέμπτη, 9 Απριλίου 2020

Τεχνική Ηoquetus


(Προτείνω να διαβάζετε το κείμενο παράλληλα με το βίντεο και να ακούτε πρώτα κάθε παράδειγμα.)
“Ηoquetus / Hoquet / Hocket” σημαίνει “λόξιγκας” και η συνθετική αυτή τεχνική πάει πίσω στο Μεσαίωνα. Άκουσα για πρώτη φορά για τη σύγχρονη εφαρμογή της, πριν πολλά χρόνια σε ένα σεμινάριο με τον Πολωνό συνθέτη Paweł Szymański. Ο ίδιος τη χρησιμοποιούσε σε πολλά έργα του αυτής της περιόδου (π.χ. στην Partita, Σπουδή για Πιάνο). Αξίζει να ακούσετε και το "Hoketus" του Louis Andriessen και να δείτε το σχετικό βίντεο για το πως το κατασκεύασε.
Θα εκθέσουμε την τεχνική αυτή με μερικά απλά παραδείγματα, που θα μας δείξουν την αρχή λειτουργίας της.
Ορίζουμε πρώτα δύο διαστήματα που θα μας φανούν χρήσιμα σ’ αυτήν την εργασία:
α) Διάστημα Οριζόντιας Μετατόπισης: μετρά σε μετρικές μονάδες το πόσο απέχουν οριζόντια δύο γειτονικές φωνές.
β) Διάστημα Κάθετης Μετατόπισης: μετρά σε μετρικές μονάδες το πόσο απέχουν κάθετα δύο γειτονικές φωνές.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1
Ακολουθούμε τα εξής βήματα:
1. Φωνή Α: μετρικός οπλισμός 4/4, μετρική μονάδα το τέταρτο (από δω και στο εξής “q”). Στο παράδειγμά μας χρησιμοποιούμε τους φθόγγους του κατιόντος αιολικού τρόπου, τους οποίους διατάσσουμε με αξίες q, έτσι ώστε να απέχουν μεταξύ τους 6 μετρικές μονάδες (6 q). Ο φθόγγος μαζί με τις παύσεις θα καταλαμβάνει 7 μετρικές μονάδες (7q). Το σύνολο των 7q, ονομάζουμε “περίοδο”. Η  περίοδός μας είναι 7q, 2 μέτρα είναι 8q, ένας πλήρης κύκλος θα συμπληρωθεί σε 56 q (ΕΚΠ [7,8]=56). 56q είναι 56:4=14 μέτρα (μ).
2. Η δεύτερη περίοδος της φωνής Α θα ξεκινήσει στον 4ο χρόνο του μ. 2. Στον 1ο χρόνο του μ.3 ξεκινά η φωνή Β κι ακολουθούμε την ίδια διαδικασία (“Διάστημα οριζόντιας μετατόπισης” 8q. Πειράζοντας αυτό το διάστημα παίρνουμε διαφορετικά αποτελέσματα). Οι φωνές Α & Β διατηρούν το “διάστημα κάθετης μετατόπισης” 1q σε όλη τη διαδρομή τους και δεν θα συναντηθούν ποτέ. Το ίδιο ισχύει για όλες τις φωνές του Παρ. 1.
3. Με τον ίδιο τρόπο συνεχίσουμε με τις υπόλοιπες φωνές μέχρις ότου να εκτεθούν και οι 7 (A - G). Έχουμε καλύψει τώρα όλο το φθογγικό μας υλικό με το που κλείνει ο κύκλος της φωνής Α (ως αποτέλεσμα ο ανιών αιολικός). Από το μ. 15 και μετά αρχίζει η αντίστροφη διαδικασία “αποδόμησης” του υλικού.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2
Το Παρ. 1 δεν μας έδωσε κάτι ενδιαφέρον, αν όμως “πειράξουμε” το διάστημα οριζόντιας μετατόπισης (17q, ποτέ δεν χάνει κανείς αν ποντάρει στους πρώτους αριθμούς) τα πράγματα αλλάζουν προς το καλύτερο. Όλες οι άλλες παράμετροι διατηρήθηκαν ίδιες για να είναι πιο εύκολη η σύγκριση με το Παρ.1.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3
Στο Παρ. 3 του βίντεο από-συνθέτουμε και επανα-συνθέτουμε το πρώτο 4-μετρο του μέρους του φλάουτου από την Badinerie της 2ης ορχηστρικής σουίτας του Bach. Ακολουθούμε την ίδια διαδικασία όπως και στο Παρ. 1, εκείνο όμως που αλλάζει είναι το φθογγικό υλικό.
Η τεχνική αυτή, πειραματιζόμενοι με διάφορους μετρικούς οπλισμούς, μετρικές μονάδες, διαστήματα κάθετης μετατόπισης και φθογγικό υλικό (ακόμη και συγχορδίες), μπορεί να μας δώσει πολύ ενδιαφέροντα αποτελέσματα (το σπάσιμο της συμμετρίας δίνει πάντα κάτι το ενδιαφέρον!). Οι υπολογισμοί μπορούν να γίνουν στο χαρτί, σε ένα πρόγραμμα μουσικής σημειογραφίας (Finale, Sibelius, Dorico) κι ακόμη πιο εύκολα αν χρησιμοποιήσουμε κάποιο DAW. Στο Logic Pro X, π.χ., η Event List κάνει πολύ καλή δουλειά. Τα πιο ενδιαφέροντα αποτελέσματα μπορεί να πάρει κανείς βέβαια, αν δουλέψει αλγοριθμικά. H τεχνική hoquetus μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε ολόκληρο το κομμάτι, σε μέρος του ή ακόμη και να συνυπάρξει με άλλες τεχνικές.
Δείτε στο βίντεο που ακολουθεί πως χρησιμοποίησα αυτήν την τεχνική  σε ένα κομμάτι μου (στα ξύλινα πνευστά, τα άλλα όργανα είναι γραμμένα με άλλες τεχνικές). Όλοι οι υπολογισμοί εδώ έγιναν με το χέρι.

Κυριακή, 5 Απριλίου 2020

π+e invention


Στο διαδίκτυο μπορεί να βρει κανείς διάφορα βίντεο με τη “μουσική” του π. Κάθε τέτοια προσπάθεια ξεκινά από ένα σύνολο “αρχών” που θέτει ο συνθέτης, συνήθως χρησιμοποιείται η λεγόμενη set theory. Ακολούθησα ένα διαφορετικό δρόμο προσπαθώντας να αντλήσω όσο το δυνατόν περισσότερες μουσικές πληροφορίες από τους ίδιους τους αριθμούς.
Χρησιμοποίησα, λοιπόν, τους δυο διάσημους άρρητους και υπερβατικούς αριθμούς, την Αρχιμήδεια σταθερά π και τη βάση των Νεπέρειων λογαρίθμων e (επίκαιρη στις μέρες μας, λόγω της εκθετικής συνάρτησης) για ένα μικρό αλγοριθμικό, ολικά σειραϊκό κομμάτι για βιολί και τσέλο. Με απλά λόγια (λάβετε υπόψη ότι η διαδικασία είναι αρκετά επίπονη), όλες οι μουσικές παράμετροι προαποφασίζονται με βάση το π και το e (τονικό ύψος, ρυθμός, δυναμική, ηχόχρωμα κτλ), φτιάχνεται ένας αλγόριθμος (μια “συνταγή” για το πως θα χρησιμοποιηθούν αυτές οι παράμετροι) μεταφράζεται αυτή η “συνταγή” σε κάτι που να μπορεί να καταλάβει ο υπολογιστής, εδώ σε γλώσσα LISP, και μετά περιμένεις τα αποτελέσματα.
Να, σχηματικά πως δούλεψα:
1. Ξεκίνησα με τα 200 πρώτα ψηφία του ακέραιου μέρους και του δεκαδικού αναπτύγματος των π και e.
2. Τα χώρισα σε τριάδες, κάθε τριάδα θεώρησα ότι αντιπροσωπεύει Herz με προσέγγιση τετάρτου του τόνου κι έτσι πήρα τα τονικά ύψη (συνάρτηση: hertz-to-pitch).
3. Το βιολί χρησιμοποιεί το π, το τσέλο το e. Προσάρμοσα κατάλληλα τις τιμές Herz στις εκτάσεις των συγκεκριμένων οργάνων.
4. Μετέτρεψα τα τονικά ύψη του βήματος (1) σε δυναμικές (pitch-to-velocity) κι έτσι πήρα τις δυναμικές κάθε οργάνου.
5. Οι ρυθμικές αξίες 16ων και 8ων αντιστοιχούν σε pizzicato, οι υπόλοιπες αξίες σε arco.
6. Το tempo είναι ελεύθερο.

Αυτή η μουσική έχει συναισθήματα, απλά δεν τα χρησιμοποιεί :)

Πέμπτη, 2 Απριλίου 2020

Άσκηση Σύνθεσης

Δίνεται ένα μικρό κομμάτι για πιάνο του Alfredo Casella. Μπορείτε να το κατεβάσετε από εδώ και να το ακούσετε εδώ.

Στην άσκηση αυτή θα πρέπει να απαντήσετε στα ερωτήματα που ακολουθούν (θα τα βρείτε και στο PDF) και να συνθέσετε μια Siciliana.

1. Βρείτε βιογραφικά στοιχεία για τον Alfredo Casella.
2. Βρείτε ιστορικά και μορφολογικά στοιχεία για τη “Siciliana”.
3. Κάνετε τη μορφολογική ανάλυση του κομματιού.
4. Υπάρχει / -ουν τονικό / -κά κέντρο / -α;
5. Ποια κλίμακα (τρόπος) χρησιμοποιείται στα μμ. 1-9?
6. Στα μμ. 9-11?
7. Ποια κλίμακα υπονοείται στο μ. 12?
8. Ποια κλίμακα (τρόπος) χρησιμοποιείται στα μμ. 13-17?
9. Πόσες φθογγικές κλάσεις χρησιμοποιούνται στα μμ. 18-19?
10. Συνεχίστε σχολιάζοντας το τονικό υλικό όλου του κομματιού.
11. Συνθέστε μια τροπική (modal) siciliana σε απλή τριμερή μορφή που να περιέχει τουλάχιστον τρεις “μετατροπίες” και να καταλήγει σε μια ατονική Coda.

Τρίτη, 31 Μαρτίου 2020

BACH = Οι Φούγκες του ΚΣΠ σε Ανοικτή Παρτιτούρα (Βιβλίο IΙ)

Τελείωσα σήμερα τις φούγκες από το Βιβλίο ΙΙ του Καλά Συγκερασμένου Πληκτροφόρου (ΚΣΠ ΙΙ) του Bach σε ανοικτή παρτιτούρα, με το Dorico. Μπορείτε να τις κατεβάσετε από εδώ.

Κατέβαλα κάθε δυνατή προσπάθεια να μην υπάρχουν λάθη, εντούτοις, σε μια τόσο μεγάλης έκτασης εργασία, με ένα όχι και τόσο ώριμο πρόγραμμα ακόμη, παρόλα αυτά καλύτερο από το Sibelius, είναι αναπόφευκτα. Αν κάποιος χρησιμοποιήσει αυτήν την παρτιτούρα και εντοπίσει κάποιο λάθος, παρακαλώ να μου το αναφέρει και θα το διορθώσω στην επόμενη έκδοση.

Τις φούγκες του ΚΣΠ Ι, σε παλιότερη έκδοση με Sibelius (αναμένουν αναβάθμιση), μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

Πέμπτη, 19 Μαρτίου 2020

Tonal Mazurka (1991)


Τονική Μαζούρκα για πιάνο (Νοέμβριος 1991)

Τετάρτη, 18 Μαρτίου 2020

MÉRAUX: Grand Etude, op.63.24, “Bravura”


Ο Hamelin θεωρεί τις Σπουδές για πιάνο op. 63 του Méraux άμουσες και σε μια συνέντευξή του είχε πει, ότι ειδικά τη Ν° 24 δεν πρόκειται να την παίξει, γιατί του προκαλεί ναυτία το πέρα δώθε των χεριών. Ο Κατσαρής πάντως τις ηχογράφησε όλες. Στο YouTube μπορείτε να βρείτε εκτελέσεις από πιανίστες και MIDI, όχι όμως (ακόμη;) του Κατσαρή. Έφτιαξα ένα βίντεο με MIDI ήχο και η ιδιαιτερότητα της δικής μου παρτιτούρας είναι ότι είναι ανοικτή, σε τέσσερα πεντάγραμμα, για να φαίνονται καθαρά οι φωνές και το τι παίζει το κάθε χέρι.

Σ’ αυτή τη Σπουδή βλέπουμε πως υλικό Υποχρεωτικού Αρμονίας μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή ενός ενδιαφέροντος έργου. Η Σπουδή είναι δύσκολη, αλλά έχει μικρό βαθμό πολυπλοκότητας, το “Lemma-Icon-Epigram” του Ferneyhough, π.χ., είναι ένα πολύ δύσκολο έργο και με υψηλό βαθμό πολυπλοκότητας.

Την παρτιτούρα μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.




Σάββατο, 14 Μαρτίου 2020

Σύνθετες Τμηματικές Μορφές

Βασική θεωρία τμηματικών μορφών, σύνθετη τριμερής μορφή, μενουέτο: ανάλυση και ασκήσεις.

Κατεβάζετε το PDF από εδώ.

Κυριακή, 8 Μαρτίου 2020

Οικογένεια Bach


Η εικόνα αυτή κατασκευάστηκε με XeLaTeX και TiKz. Παραθέτω το Πρελούδιο μαζί με τον κώδικα, για όποιον ενδιαφέρεται:

\documentclass[12pt,a3paper,landscape,table,usenames, dvipsnames]{article}

% FONTS
\usepackage[upright]{fourier} % set math font
\usepackage[no-math]{fontspec} % to load non-Latex fonts (keeping math font)
\setmainfont[Kerning=On,Mapping=tex-text]{Alfios} % fontspec reverts to CM, so reset to Minion Pro
\usepackage{pifont}

% CHANGE FONT LOCALLY
\newfontfamily\MG[Ligatures=TeX]{_P22MorrisGolden-Regular} % Change Font to Alexander

% PACKAGE {geometry}: cus­tomize Page Lay­out
\usepackage[margin=1in]{geometry}

\usepackage[Greek,Latin]{ucharclasses}

% PACKAGE {xltxtra}: to type­set Greek lan­guage doc­u­ments
\usepackage{xltxtra,xgreek}

\setTransitionsForGreek{\setlanguage{greek}}{\setlanguage{american}} % Instead of american, any other language can be used

% (3) PACKAGE {amsmath}: enhancements for Maths
\usepackage{amsmath}
\newcommand{\Mod}[1]{\ (\mathrm{mod}\ #1)} % Modulo

\usepackage{fancyhdr}
\setlength{\headheight}{15pt}

\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\sectionmark}[1]{ \markright{#1} }

\fancyhf{}
\fancyhead[LE,RO]{ \color{gray}\mypc{\thepage} }
\fancyhead[RE]{ \color{gray}\mypc{\nouppercase{\leftmark}} }
\fancyhead[LO]{ \color{gray}\mypc{\nouppercase{\rightmark}} }

\fancypagestyle{plain}{ %
  \fancyhf{} % remove everything
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} % remove lines as well
  \renewcommand{\footrulewidth}{0pt}
}

% PACKAGE {xcolor}: gives ac­cess to sev­eral kinds of color tints, shades, tones, and mixes of ar­bi­trary col­ors
\usepackage[table]{xcolor}

% Definitions of Header Colors
\definecolor{chapter}{RGB}{88,110,117}
\definecolor{sec}{RGB}{41,72,125}
\definecolor{sub}{RGB}{54,88,153}
\definecolor{ssub}{RGB}{137,143,156}
\definecolor{def}{RGB}{66,103,178}
\definecolor{proof}{RGB}{95,110,116}

% TikZ
\usepackage{pgfplots}
\usetikzlibrary{angles}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{calc}
\pgfplotsset{compat=newest}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{matrix}
\usetikzlibrary{patterns}
\usepgfplotslibrary{polar}
\usetikzlibrary{quotes}
\usepgflibrary{shapes.geometric}
\usetikzlibrary{through}
\tikzset{>=latex}
\usetikzlibrary{shadows.blur}
\usetikzlibrary{shapes,shadows,arrows}

% END OF PRELUDE

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
\color{Bittersweet}{\huge \MG{Bach Family}}
\end{center}

\tikzstyle{decision} = [diamond, draw, fill=blue!20,
    text width=4.5em, text badly centered, node distance=3cm, inner sep=0pt]
%\tikzstyle{block} = [rectangle, draw, fill=blue!10, text width=5em, text centered, rounded corners, minimum height=3em, node distance=5em]
\tikzstyle{block} = [rectangle, draw, shading=radial, inner color=white, outer color=OliveGreen!10!, drop shadow, text width=5em, text centered, rounded corners, minimum height=3em, node distance=5em]
\tikzstyle{line} = [draw, -latex']
\tikzstyle{cloud} = [draw, ellipse,fill=red!20, node distance=3cm,
    minimum height=2em]

\begin{figure}[h!]
\centering

\begin{tikzpicture}

% NODES
\node [block, inner color=white, outer color=yellow!40!] (?) {?};
\node [block, below of=?, yshift=-3em, xshift=-8em, yshift=3em] (Veit) {Veit \\ {\footnotesize (+c.1577/1619)}};
\node [block, below of=?, yshift=-3em, xshift=8em, yshift=3em] (Hans) {Hans \\ {\footnotesize (c.1520-c.1580)}};

% Hans Sons
\node [block, text width=1em, inner color=white, outer color=gray!30!, below of=Hans] (H1) {?};
\node [block, text width=1em, inner color=white, outer color=gray!30!, below of=Hans, xshift=-6em] (H2) {?};
\node [block, text width=1em, inner color=white, outer color=gray!30!, below of=Hans, xshift=6em] (H3) {?};

\node [block, below of=Veit, xshift=-4em] (Lips) {Lips \\ {\footnotesize (c.1552-1620)}};

% Lips Sons
\node [block, text width=1em, inner color=white, outer color=gray!30!, left of=Lips, xshift=-10em] (V1) {?};
\node [block, text width=1em, inner color=white, outer color=gray!30!, above of=V1] (V2) {?};
\node [block, text width=1em, inner color=white, outer color=gray!30!, below of=V1] (V3) {?};

\node [block, below of=Veit, xshift=4em] (Johannes) {Johannes \\ {\footnotesize (c.1550-1626)}};

% Johannes Sons
\node [block, below of=Johannes, xshift=-12em, yshift=-10] (Heinrich) {Heinrich \\ {\footnotesize (1615-1692)}};
\node [block, below of=Johannes, yshift=-11] (C) {Christoph \\ {\footnotesize (1613-1661)}};
\node [block, below of=Johannes, xshift=280, yshift=20] (J) {Johann \\ {\footnotesize (1604-1673)}};

% Heinrich Sons
\node [block, below of=Heinrich, xshift=-7em] (JC1) {Johann Christoph \\ {\footnotesize (1642-1703)}};
\node [block, below of=JC1, yshift=-10] (JN) {Johann Nikolaus \\ {\footnotesize (1669-1753)}};
\node [block, below of=Heinrich] (JM) {Johann Michael \\ {\footnotesize (1648-1694)}};
\node [block, below of=Heinrich, xshift=7em] (JG) {Johann Günter \\ {\footnotesize (1653-1683)}};

% Maria Barbara
\node [block, shading=radial, inner color=white, outer color=Dandelion!20!, below of=JM, yshift=-10] (MB) {Maria Barbara \\ {\footnotesize (1684-1720)}};

% Christoph Sons
\node [block, below of=C, xshift=7em] (GC) {Georg Christoph \\ {\footnotesize (1642-1697)}};
\node [block, below of=C, xshift=14em] (JC2) {Johann Christoph \\ {\footnotesize (1645-1693)}};
\node [block, below of=C, xshift=21em] (JA) {Johann Ambrosius \\ {\footnotesize (1645-1695)}};

% Johann Sons
\node [block, text width=1em, inner color=white, outer color=gray!30!, right of=J, xshift=1em] (J2) {?};
\node [block, text width=1em, inner color=white, outer color=gray!30!, above of=J2, yshift=-10] (J1) {?};
\node [block, text width=1em, inner color=white, outer color=gray!30!, below of=J2, yshift=10] (J3) {?};

% Johann Ambrosius Sons
\node [block, shading=radial, inner color=white, outer color=red!20!, below of=JA, yshift=-20] (JSB) {\textbf{Johann Sebastian} \\ {\footnotesize (1685-1750)}};
\node [block, shading=radial, inner color=white, outer color=Dandelion!20!, right of=JSB, xshift=30] (AM) {Anna Magdalena Wilke \\ {\footnotesize (1701-1760)}};
\node [block, left of=JSB, xshift=-30] (JC3) {Johann Christoph \\ {\footnotesize (1671-1721)}};
\node [block, left of=JC3, xshift=-30] (JB) {Johann Balthasar \\ {\footnotesize (1673-1791)}};
\node [block, left of=JB, xshift=-30] (JJ) {Johann Jacob \\ {\footnotesize (1682-1722)}};

% Johann Christoph Sons
\node [block, text width=1em, inner color=white, outer color=gray!30!, below of=JC3, xshift=2em] (JCS2) {?};
\node [block, text width=1em, inner color=white, outer color=gray!30!, below of=JC3, xshift=-2em] (JCS1) {?};

% Johann Sebastian Sons
\node [block, shading=radial, inner color=white, outer color=blue!15!, below of=JJ, yshift=-80] (WF) {\textbf{Wilhelm Friedemann} \\ {\footnotesize (1710-1784)}};
\node [block, shading=radial, inner color=white, outer color=blue!15!, below of=JB, yshift=-80] (CPE) {\textbf{Carl Philipp Emanuel} \\ {\footnotesize (1714-1788)}};
\node [block, below of=JC3, yshift=-80] (JGB) {Johann Gottfried Bernhard \\ {\footnotesize (1715-1739)}};
\node [block, below of=JSB, yshift=-80] (GH) {Georg Heinrich \\ {\footnotesize (1724-1763)}};
\node [block, below of=JSB, yshift=-80, xshift=90] (JCF) {Johann Christoph Friedrich \\ {\footnotesize (1732-1795)}};
\node [block, shading=radial, inner color=white, outer color=blue!15!, below of=JSB, yshift=-80, xshift=180] (JC4) {\textbf{Johann Christian} \\ {\footnotesize (1735-1782)}};

% Carl Philipp Emanuel Son
\node [block, below of=CPE, yshift=-20] (JSBP) {Johann Sebastian (painter) \\ {\footnotesize (1748–1778)}};

% Johann Christoph Friedrich Son
\node [block, below of=JCF, yshift=-20] (WFE) {Wilhelm Friedrich Ernst \\ {\footnotesize (1759–1845)}};

% -------------------------------------------------------
% Draw edges
% \path [line] (?) -- (Veit);
\path [line] (?) -| (Veit);

\path [line] (?) -| (Hans);

\path [line] (Hans) -- (H1);
\path [line] (Hans) -- (H2);
\path [line] (Hans) -- (H3);

\path [line] (Lips) -- (V1);
\path [line] (V1) -- (V2);
\path [line] (V1) -- (V3);
\path [line] (Veit) -- (Lips);
\path [line] (Veit) -- (Johannes);

% Johannes Sons
\path [line] (Johannes) -- (Heinrich);
\path [line] (Johannes) -- (C);
\path [line] (Johannes) |- (J);

% Heinrich Sons
\path [line] (Heinrich) -| (JC1);
\path [line] (Heinrich) -- (JM);
\path [line] (Heinrich) -| (JG);
\path [line] (JC1) -- (JN);
\path [line] (JM) -- (MB);

% Christoph Sons
\path [line] (C) -| (GC);
\path [line] (C) -| (JC2);
\path [line] (C) -| (JA);

% Johann Sons
\path [line] (J) -- (J2);
\path [line] (J) |- (J1);
\path [line] (J) |- (J3);

% Johann Ambrosius Sons
\path [line] (JA) -- (JSB);
\path [line] (JA.south) -- ++(0,0) -- ++(0,-.5) -|  (JC3.north);
\path [line] (JA.south) -- ++(0,0) -- ++(0,-.5) -|  (JB.north);
\path [line] (JA.south) -- ++(0,0) -- ++(0,-.5) -|  (JJ.north);

% Johann Christoph Sons
\path [line] (JC3) -- (JCS1);
\path [line] (JC3) -- (JCS2);

% Johann Sebastian Sons
\path [line] (JSB) -- (GH);
\path [line] (JSB.south) -- ++(0,0) -- ++(0,-2.2) -|  (WF.north);
\path [line] (JSB.south) -- ++(0,0) -- ++(0,-2.2) -|  (CPE.north);
\path [line] (JSB.south) -- ++(0,0) -- ++(0,-2.2) -|  (JGB.north);
\path [line] (JSB.south) -- ++(0,0) -- ++(0,-2.2) -|  (JCF.north);
\path [line] (JSB.south) -- ++(0,0) -- ++(0,-2.2) -|  (JC4.north);

% Carl Philipp Emanuel Son
\path [line] (CPE) -- (JSBP);

% Johann Christoph Friedrich Son
\path [line] (JCF) -- (WFE);

\end{tikzpicture}
\end{figure}

\begin{center}
© 3euk1L4 • 2020
\end{center}


\end{document}

Παρασκευή, 6 Μαρτίου 2020

Διπλοί Aρμονικοί για Bιολί

Ένα αρχείο χρήσιμο για όσους μελετούν οργανογνωσία και / ή γράφουν μουσική.
Το PDF μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

Τρίτη, 3 Μαρτίου 2020

Τέσσερις Μινιατούρες για Πιάνο (1981 / 2019)


28 Ερωτήσεις για τον Chopin

1. Σε ποιο χωριό, κοντά σε ποια μεγάλη πόλη, ποιας χώρας γεννήθηκε ο Chopin;
2. Ποιο ήταν το πλήρες όνομά του;
2. Σε ποια μουσική περίοδο ανήκει;
3. Πως ονομαζόταν ο πατέρας του, από που καταγόταν και ποιο ήταν το επάγγελμά του;
4. Πόσους / -ες αδελφούς / -ες είχε;
5. Από ποιον πήρε τα πρώτα του μουσικά μαθήματα και σε ποιο όργανο;
6. Ποιος ήταν ο πρώτος του (επαγγελματίας) δάσκαλος;
7. Πότε εξέδωσε την πρώτη του σύνθεση;
8. Πότε έκανε το πρώτο του ταξίδι στο εξωτερικό;
9. Σε ποια ηλικία εγκαταστάθηκε μόνιμα στο εξωτερικό και σε ποια χώρα;
10. Γιατί έφυγε από τη χώρα του;
11. Ήταν ο Chopin πατριώτης ή “αδιάφορος” κοσμοπολίτης;
12. Πόσα έργα έγραψε περίπου;
13. Ποια ήταν η αντίδραση του Παρισινού κοινού στο παίξιμό του; Τι έγραψε ο τύπος;
14. Με ποιους σπουδαίους μουσικούς γνωρίστηκε; Ποια ήταν γενικά η γνώμη τους γι αυτόν;
15. Ποια ήταν η αγαπημένη του μάρκα πιάνων;
16. Σε ποιον είναι αφιερωμένη η λεγόμενη “επαναστατική” σπουδή και με ποια αφορμή την συνέθεσε;
17. Με ποια μουσικά είδη ασχολήθηκε ο Chopin;
18. Ποιος είπε τη φράση: “Υποκλιθείτε κύριοι, μια ιδιοφυΐα!” (Hats off, gentlemen, a genius!);
19. Ποιος και για ποιο λόγο αποκάλεσε τον Chopin “ιδιοφυΐα του δεξιού χεριού”;
20. Με ποιαν ήταν ερωτευμένος και ήθελε να την παντρευτεί και για ποιο λόγο ναυάγησαν τα σχέδιά του;
21. Που έγραψε τα περισσότερα από τα σπουδαιότερα έργα του και ποιον / ποιαν είχε παρέα;
22. Ποιο ήταν το επάγγελμα της George Sand;
23. Όταν ξέσπασε η Γαλλική επανάσταση ποιος τον έπεισε να ταξιδέψει στην Αγγλία και Σκοτία;
24. Πότε και σε ποια χώρα έδωσε το τελευταίο του ρεσιτάλ;
25. Σε ποια χώρα, σε ποια πόλη και σε ποια εκκλησία τελέστηκε η επικήδεια ακολουθία του;
26. Ποια έργα, ποιων συνθετών παίχτηκαν στην κηδεία του;
27. Ποια / ποιες ήταν οι τελευταίες του επιθυμίες;
28. Ποια πιστεύεται ότι είναι η αιτία του θανάτου του και τι αναγράφει το πιστοποιητικό θανάτου του;

Κυριακή, 23 Φεβρουαρίου 2020

Μικρές Ιστορίες 46: Το διαβατήριο του Φαραώ


Ο μακρόβιος Ραμσής Β’, o Οσυμανδύας των Ελλήνων κι ο Φαραώ της “Eξόδου” των Εβραίων (1303 π.Χ.-Ιούλιος ή Αύγουστος 1213 / απεβίωσε ενενηκοντούτης) είναι ο μόνος Φαραώ που ταξίδεψε με αεροπλάνο  και  είχε μάλιστα και διαβατήριο στο οποίο αναγράφεται ως ημερομηνία γέννησης το 1303 π.Χ. και επάγγελμα Βασιλεύς (τεθνεώς)! Μεγαλομανής, ακόμη και μετά θάνατον!

Το διαβατήριο εκδόθηκε στις 9/3/1974 και έληξε στις 9/3/1981. Η ιστορία έχει ως εξής: στις αρχές της δεκαετίας του 70 διαπιστώθηκε ότι η μούμια είχε αναπτύξει βακτήρια τα οποία σταδιακά θα την κατέστρεφαν. Οι Γάλλοι προσφέρθηκαν να την αποκαταστήσουν, αλλά ο Ραμσής θα έπρεπε να ταξιδέψει αεροπορικώς στα εργαστήρια της Γαλλίας. Ένας κοινός νόμος Γαλλίας και Αιγύπτου δεν επέτρεπε ακόμη και οι νεκροί να ταξιδεύουν αεροπορικώς χωρίς διαβατήριο κι έτσι ο βασιλεύς θα έπρεπε, για πρώτη φορά στη συνολική ιστορία της φυσικής παρουσίας του στη Γη (ζωντανός + νεκρός), να εκδώσει διαβατήριο. Κατά την άφιξή του στο αεροδρόμιο Paris–Le Bourget του απεδώθηκαν τιμές αρχηγού κράτους.

Δεν είναι γνωστό αν ανανέωσε το διαβατήριο του, ούτε αν συνάντησε τον Αντρέα το 81 :)

Σάββατο, 15 Φεβρουαρίου 2020

Μια Σύνθεση του Glenn Gould


Μια σύνθεση του δεκάχρονου Glenn Gould (25 Μαρτίου 1943, γεννήθηκε στις 25 Σεπτεμβρίου του 1933). Πρόκειται για έναν ύμνο που έγραψε μαθητής στο Williamson Road School στο Toronto για τον Ερυθρό Σταυρό του Καναδά. Στο PDF θα βρείτε το πρωτότυπο και την αντιγραμμένη παρτιτούρα.

Μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

Πέμπτη, 13 Φεβρουαρίου 2020

CZERNY - Πιανιστική Εγκυκλοπαίδεια - Βιβλίο ΙΙ


Το Βιβλίο ΙΙ της “Πιανιστικής Εγκυκλοπαίδειας” του Czerny. Περιέχει δεξιοτεχνικά αποσπάσματα έργων των Dussek, Prince Louis Ferdinand , Beethoven, Cramer, Hummel και Ries.

Στο video μπορείτε να ακούσετε σε MIDI μερικά από τα αποσπάσματα.

Ό,τι ακολουθεί τη διπλή διαστολή και επανάληψη είναι συνήθως δική μου προσθήκη για να ολοκληρωθεί το κάθε απόσπασμα ως μικρή σπουδή.

Την παρτιτούρα μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

Τετάρτη, 5 Φεβρουαρίου 2020

CZERNY - Πιανιστική Εγκυκλοπαίδεια - Βιβλίο Ι


Η Πιανιστική Εγκυκλοπαίδεια του Czerny, χωρίς αριθμό opus, είναι ένα μάλλον άγνωστο στην Ελλάδα έργο, αρκετά ενδιαφέρον όμως, όπως κι ό,τι έγραψε ο σημαντικός Δάσκαλος της πιανιστικής τεχνικής. Αποτελείται από δεξιοτεχνικά αποσπάσματα προγενέστερων και σύγχρονών του συνθετών κατά χρονολογική κι όχι κατά σειρά δυσκολίας. Αρχίζει από τον D. Scarlatti και τελειώνει στο μαθητή του Liszt.
Αντέγραψα, δακτυλοθέτησα και έγραψα σύντομες κατέντζες σε μερικά από τα αποσπάσματα, εκεί όπου ο Czerny είχε μια απλή πτώση V-I. Εδώ θα βρείτε το Βιβλίο Ι, από τον Scarlatti μέχρι τον Wölfl.

Το αρχείο PDF μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

Τρίτη, 7 Ιανουαρίου 2020

Μεθοδική Αντιμετώπιση των Αρμονικών Αλυσίδων


Οι σημειώσεις αυτές, για τις αρμονικές αλυσίδες, είναι μια επανέκδοση του 2020 (v.2) αυτών του 2003 (v.1). Τις ξανακοίταξα, τις βελτίωσα, πρόσθεσα αρκετά θέματα και διόρθωσα όσα λάθη υπήρχαν. Θα υπάρχει περιθώριο βελτίωσης, ακόμη και στη ν-οστή έκδοση. Προσπάθησα να προσομοιώσω στη γραφή το “πνεύμα” των εξωσχολικών εγχειριδίων Γεωμετρίας της δεκαετίας του ’70, εξού κι ο τίτλος “Μεθοδική Αντιμετώπιση …”

Το αρχείο PDF μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ

Παρασκευή, 20 Δεκεμβρίου 2019

54 Φωνητικοί Κανόνες


“for a canon in inversion is a dangerous diversion”

Συνέλεξα και επιμελήθηκα 54 απλούς φωνητικούς κανόνες. Πέρα από τη απόλαυση του να τραγουδάς έναν κανόνα και τη συνήθη χορωδιακή του χρήση, οι κανόνες αυτοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν και στο μάθημα του σολφέζ. Δεν γνωρίζω ποιος έκανε τις ελληνικές μεταφράσεις˙ σ΄ ένα κανόνα συνάντησα το όνομα Χατζηϊωαννίδης (1966).

Το αρχείο σε μορφή PDF μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

Σάββατο, 23 Νοεμβρίου 2019

Μικρές Ιστορίες 44: Αντικαπνιστικός Νόμος

Νομίζω ότι ο αντικαπνιστικός νόμος δεν καλύπτει όλες τις περιπτώσεις και επειγόντως η κυβέρνηση θα πρέπει να δημιουργήσει μια νέα γραμμή καταγγελιών, για όσους καπνίζουν ασυνείδητα δίπλα μας προϊόντα πλουτωνίου. Δείτε τι μπορείτε να πάθετε ως παθητικός καπνιστής πλουτωνίου:
1. Μιας και το πλουτώνιο δεν είναι υδατοδιαλυτό, δεν πρόκειται να διαλυθεί στα υγρά ρουθούνια σας, αντίθετα θα δημιουργήσει οξείδια και υδρίδια, τα οποία θα διογκώσουν την αρχική ποσότητα που εισπνεύσατε κατά 70%.
2. Το πρόσωπό σας θα αρχίσει να διογκώνεται, να φουσκώνει σα μπαλόνι για να το πούμε καλύτερα, δεν χρειάζεται πάντως να πανικοβληθείτε, ακόμη δεν συντρέχουν λόγοι ιδιαίτερης ανησυχίας.
3. Στο (3) αρχίζετε να ανησυχείτε: τα οξείδια και υδρίδια του (1) είναι πυροφορικά, πράμα που σημαίνει ότι αναφλέγονται όταν εκτεθούν στον αέρα. Το κεφάλι σας θα πάρει φωτιά από τα μέσα.
4. Το κεφάλι σας εκρήγνυται.
5. Άφησα για το τέλος τα καλά νέα: δεν θα προλάβετε να νιώσετε κανένα σύμπτωμα από τη ραδιενέργεια.

Τρίτη, 6 Αυγούστου 2019

Τέσσερα Κομμάτια για Πιάνο (1986)



Τέσσερα μικρά κομμάτια για πιάνο γραμμένα το 1986. Τα ξανακοίταξα το 2000.

Σάββατο, 20 Ιουλίου 2019

BACH: Toccata con Fuga, BWV 565


Έκανα μια πιο “ανθρώπινη” μεταγραφή της διάσημης Τοκάτας & Φούγκας σε ρε ελάσσονα, BWV 565 του Bach. Οι μεταγραφές των Tausig, Busoni, Grainger και η “τερατώδης” του Cortot (ναι! πιο δύσκολη κι απ’ του Busoni) είναι αριστουργηματικές μεν, αλλά “όσα δεν φτάνει η αλεπού” για τον ερασιτέχνη πιανίστα. Προσπάθησα, όσο μου ήταν δυνατόν, να είμαι πιο κοντά στο πρωτότυπο, χωρίς να παραλείψω όμως νότες, όπως κάνουν άλλες εύκολες μεταγραφές. Βασικά, ήθελα να αποφύγω το ρομαντικό πιάνο που “βρυχάται” - που θα έλεγε κι ο Schoenberg - γι’ αυτό και στην - κατά τα άλλα αχρείαστη μιας κι υπάρχουν τόσες υπέροχες ηχογραφήσεις - video / μακέτα που αναρτώ, επιλέγω ήχο VST πιάνου εποχής.

Την παρτιτούρα μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.


Σάββατο, 13 Ιουλίου 2019

Λαμπελέτ / Παπαντωνίου: Πεταλούδα


Στις τελευταίες σελίδες των Οδηγιών για τη Διδασκαλία των Νέων Αλφαβηταρίων”, έκδοση του 1923 του Εθνικού Τυπογραφείου, βρήκα αυτό τραγουδάκι του Γεωργίου Λαμπελέτ (1875-1945) σε ποίηση του Ζαχαρία Παπαντωνίου (1877-1940). Δεν ξέρω αν μπορεί να το βρει κανείς κάπου αλλού (έχουν εκδοθεί τα Άπαντα του Λαμπελέτ;), κι έτσι αποφάσισα να το αντιγράψω.


Μπορείτε να το κατεβάσετε από εδώ.

Ψάχνοντας τα PDF μου, τελικά, βρήκα μια έκδοση της Βιβλιοθήκης του Εκπαιδευτικού Ομίλου (1920), όπου συγκεντρώνονται 16 τραγούδια του Λαμπελέτ σε ποίηση του Ζαχαρία Παπαντωνίου με τίτλο “Τα Χελιδόνια”. Ο Παπαντωνίου αφιερώνει το βιβλίο στον αδελφό του, ζωγράφο Αθανάσιο. Η αφιέρωση είναι ιδιαίτερα συγκινητική, αξίζει να τη διαβάσετε:

Ἀδελφέ,

Μοὺ ἔδωσες τὴ βαθύτερη πληγὴ ποὺ μποροῦσε να δώσει ἡ ἀγάπη. Σοῦ δίνω αὐτοὺς τοὺς στίχους.

Ξέρω πόσο αὐστηρὸς θὰ εἶσαι μέσα στὴν ὀμορφιά ποὺ ζῆς. Ὃμως ἀξίωσε τους μ᾽ἓνα βλέμμα καλοσύνης. Ἤθελα νὰ δώσω στὰ παιδιά λίγο τραγούδι, ὅπως ὁ πατέρας μας τὰ γράμματα, ὅπως ἐσὺ τὴ γραμμὴ καὶ τὸ χρῶμα. Κοινὸ συναίσθημα ὠδήγησε καὶ τοὺς τρεῖς κοντὰ στὴν ἡλικία ποὺ δὲν τὴν ἄγγιξεν ἀκόμα τὸ κακό. 

Ἐπάλεψα μ᾽ἓνα θεριὸ νὰ σὲ λυτρώσω - νικήθηκα. Αὐτὴ εἶναι ὃλη μου ἡ ἱστορία. Ἂλλη δὲ θὰ μοῦ ἒπρεπε. Κάθε ἂνθρωπος γυρίζει ἀπὸ τὴ δική του μάχη. Ὃσο γιὰ τὴ Ζωή, δὲν ἀφῆκες νὰ μὲ γελάση. Μ᾽ἒμαθες πὼς ἒχει κάτι θετικό, κι αὐτὸ εἶναι ὁ Πόνος, ὁ αἰώνιος δημιουργὸς τῆς θρησκείας, τῆς ἠθικῆς καὶ τῆς τέχνης.

Λοιπόν, χωρὶς νὰ κοιτάξης τὴ φτώχεια τῆς προφορᾶς, κράτησέ με λίγο, ἀγαπημένε, στὸ κατώφλι τῶν λαμπρῶν κόσμων ποὺ σὲ πῆραν. Δὲ θὰ σοῦ ταράξω τὴν ἱερὴ σιωπή. Πολὺ σιγά, ἤθελα νὰ σοῦ πῶ  τοῦτο μόνο, πὼς ἡ μνήμη, ἡ μεγάλη αὐτὴ πίκρα καὶ τιμὴ τοῦ ἀνθρώπου, ἐφύλαξε πιστὰ τὴν ἠθική σου ποὺ ἦταν κρίνο καὶ τὴν παλέτα σου ποὺ ἔλαμπεν ἀπὸ ἥλιο…

Ζαχαρίας Παπαντωνίου

Τετάρτη, 12 Ιουνίου 2019

Σονατίνα για Πιάνο Ν°6 (2012)



Μια σονατίνα για πιάνο σε παλιό στιλ του 2012. Στο μεσαίο μέρος το Χριστιανικό τραγούδι “Όπως το Ελάφι” (από τον Ψαλμό μα΄ 2), έτσι όπως το θυμάμαι από τα παλιά, και στο τελευταίο το παραδοσιακό “Δυο Ήλιοι, δυο Φεγγάρια”.

Παρασκευή, 7 Ιουνίου 2019

Κατοπτρικός Mozart



Διάβασα μια καινούρια θεωρία, όπου υπάρχει λέει ένα κατοπτρικό του δικού μας σύμπαντος κι ο καθένας από μας έχει τον κατοπτρικό του δίδυμο κι αυτό εξηγεί τη βαρύτητα, τη σκοτεινή ύλη κι άλλα ωραία. Σκέφτηκα λοιπόν ότι σ’ αυτό το σύμπαν ο Mozart θα είχε γράψει τη γνωστή σονάτα facile, αντί για τη Ντο μείζονα, στη Ντο ελάσσονα. Πειραματίστηκα με την ιδέα. Την ίδια στιγμή, το κατοπτρικό μου “εγώ”, εκεί, έκανε την ίδια σκέψη και επανασύνθεσε τη σονάτα από τη Ντο ελάσσονα στη Ντο μείζονα.

Κυριακή, 2 Ιουνίου 2019

CERTON = Je ne l'ose dire


Την παρτιτούρα μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.

Αντέγραψα και επιμελήθηκα (με το Dorico) ένα υπέροχο chanson του Pierre Certon (1510; - 1572). Το νόημα των στίχων είναι το εξής:

Δεν θα στο πω, δεν θα στο πω
αλλά τέλος πάντων θα στο πω.
Στο χωριό μας είναι ένας άντρας
που καίγεται από τη ζήλια για τη γυναίκα του
βέβαια, δεν έχει άδικο
τον κερατώνει σαν τρελή.

Τι στίχους να περιμένεις από κάποιον, που την ώρα της Θείας Λειτουργίας παίζει μπάλα στο προαύλιο του ναού; Παραλίγο τη γλίτωσε τη φυλακή. Αργότερα συμμορφώθηκε κι έγινε κανονάρχης (εκκλησιαστικό αξίωμα) στον καθεδρικό της Melun.

Δευτέρα, 20 Μαΐου 2019

SAINT-PREUX: Concerto pour une voix



Μικρός, περίμενα πως και πως την μουσική των τίτλων της “Σύγχρονης Εύας” στην ΥΕΝΕΔ, εκπομπής για γυναίκες που παρουσίαζε η Έλλη Ευαγγελίδου. Μόλις πριν λίγες μέρες έμαθα ότι ο συνθέτης ονομάζεται Saint-Preux (Christian Saint-Preux Langlade) και γεννήθηκε στη Γαλλία το 1950. Το κομμάτι έγραψε στην Πολωνία τον Αύγουστο του 1969. Όταν γύρισε στη Γαλλία το ηχογράφησε και έγινε αμέσως μεγάλη επιτυχία. Μέσα σε λίγους μήνες πούλησε 3.000.000 αντίτυπα, μόνο στη Γαλλία. Το τραγούδησαν πολλοί και πολλές, η ερμηνεία της Danielle Licari, κατά τη γνώμη μου, είναι αξεπέραστη. Το “τραγούδι” δεν έχει στίχους, χρησιμοποιεί μια ασματική τεχνική παρόμοια με το scat singing της Jazz. Το ύφος της σύνθεσης θα το χαρακτήριζα pop baroque.

Χτες το πρωί, το μετέγραψα, χωρίς λόγο, για φωνή και κουαρτέτο εγχόρδων, και να μια MIDI μακέτα, από το Sibelius και το NotePerformer.

Τρίτη, 14 Μαΐου 2019

Μικρές Ιστορίες 43: Ο Υποψήφιος Δήμαρχος και το Ξενοδοχείο

Ο Γιώργος Καντόρης είναι υποψήφιος δήμαρχος του Καποδιστριακού Δήμου της Μεγάλης Λυγαριάς και επισκέπτεται την περιοχή της Κάτω Λυγαριάς, που πριν χρόνια ήταν κι αυτή Δήμος. Η περιοχή έχει γνωρίσει μεγάλη άνθιση τα τελευταία χρόνια με τον νυν δήμαρχο και ο πρωτοεμφανιζόμενος Καντόρης τα έχει βρει δύσκολα εδώ που τα λέμε. Ανάμεσα στις άλλες φυσικές της ομορφιές, η Κάτω Λυγαριά έχει κι ένα περίφημο μεν, παράξενο δε ξενοδοχείο, το ξενοδοχείο “Hilbert”. Ο Καντόρης, εξαντλημένος από τις ολοήμερες προεκλογικές ομιλίες, φτάνει το βράδυ στο ξενοδοχείο. Τον υποδέχεται ένας ψηλόλιγνος νεαρός.

Ρεσεψιονίστ (Ρ): Καλησπέρα σας. Σας καλωσορίζουμε στο Ξενοδοχείο Hilbert, από το 1883 που ανοίξαμε, το ξενοδοχείο μας αποτελεί τη νέα Εδέμ του κάθε οδοιπόρου, του κάθε ταξιδευτή. Πως θα μπορούσαμε να σας εξυπηρετήσουμε;

Καντόρης (Κ): Ονομάζομαι Καντόρης Γεώργιος και είμαι υποψήφιος δήμαρχος.

Ρ: Και βέβαια είστε και σας εύχομαι τα καλύτερα. Τι επιθυμείτε;

Κ: Ένα δωμάτιο, σας παρακαλώ.

Ρ: Πολύ ωραία κύριε. Ποιο δωμάτιο θα θέλατε; Τα δωμάτια μας αριθμούνται 1,2,3 και πάει λέγοντας, για την ακρίβεια έχουμε δωμάτια που φέρουν όποιον αριθμό επιθυμεί η υποψηφιότητά σας. Μην ξεχάσω να αναφέρω τα “πρώτα” μας δωμάτια, τα οποία, βεβαίως βεβαίως, φέρουν πρώτους αριθμούς, α!, και τη σημερινή μας ειδική προσφορά, τα δωμάτια 490, με θέα στο πεδίο της Μάχης του Μαραθώνα και το δωμάτιο 401 με θέα στα Κούναξα στολισμένα με γιγαντοαφίσες του Κυρού και του Αρταξέρξη. Ποιο δωμάτιο, λοιπόν, θα επιθυμούσατε;

Κ: Δηλαδή, όποιο δωμάτιο θέλω; Όλα τα δωμάτια είναι άδεια; Το ξενοδοχείο είναι άδειο;

Ρ: Ω! όχι κύριε δήμαρχε.

Κ: Υποψήφιος…

Ρ: Ω! όχι κύριε υποψήφιε, το αντίθετο μάλιστα, όλα τα δωμάτια είναι κατειλημμένα. Οι υποψήφιοι είναι πολλοί, άπειροι το πλήθος θα έλεγα, τελευταία μας ήρθε και μια αποστολή υποψηφίων από την Ανδρομέδα, αλλά προσέξτε να δείτε, το ξενοδοχείο μας διαθέτει μια πρωτοποριακή τεχνολογία διάθεσης δωματίων, έτσι λοιπόν, αν θελήσετε να μείνετε στα Κούναξα, χμ, συγνώμη, στο δωμάτιο 401 εννοώ, εμείς μετακινούμε τον πελάτη του 401 στο 402, αυτόν του 402 στο 403, ε, να μην σας κουράζω, καταλάβατε πιστεύω.

Κ: Δηλαδή μπορώ να μείνω σε όποιο δωμάτιο θέλω;

Ρ: Βεβαίως, και μην ξεχνάτε την σημερινή μας ειδική προφορά…

Κ: Ναι, ναι ξέρω μ’ αυτόν τον Ξέρξη...

Ρ: Άρτα...

Κ: Άρτα, Γιάννενα μη το κουράζεις, λοιπόν, άκου, θέλω να μείνω στο τελευταίο!

Ρ: Ε, χμ, σε ποιο;

Κ: Στο τελευταίο κύριε Δαρείε μου, στο τελευταίο.

Ρ: Δε με λένε Δα…, στο τελευταίο; Στο 1 δηλαδή;

Κ: Θεέ μου, ποιους χαζούς θα κυβερνήσω; Αυτό είναι το πρώτο, αγαπητέ μου ψηφοφόρε, εγώ θέλω να μείνω στο τελευταίο δωμάτιο του ξενοδοχείου σας. Κανείς μετά από μένα. Έγινα σαφής;

Ρ: Εεε, μάλιστα. Λοιπόν έχω να σας αντιπροτείνω το 13,4 δις, βλέπει κατευθείαν στη Μεγάλη Έκρηξη, είναι λίγο ζεστό, αλλά με τα τελευταία συστήματα κλιματισμού…

Κ: Η Μεγάλη Έκρηξη θα γίνει όταν εκλεγώ! Παιδάκι μου καταλαβαίνεις Ελληνικά, αφού έχετε διαθέσιμα τόσα δωμάτια, εγώ θέλω να μείνω στο τελευταίο!

Ρ: Μα κύριε νομάρχα μου…

Κ: Για δήμαρχος βάζω…

Ρ: Δεν υπάρχει αμφιβολία κύριε πρέσβη μου, αλλά κοιτάξτε, όπως μάθαμε στο σχολείο, τα δωμάτια μας αριθμούνται με βάση τους φυσικούς αριθμούς, οι οποίοι όπως γνωρίζετε δεν έχουν τέλος, λες κάποιον και τσουπ να ένας μεγαλύτερος, και ως εκ τούτου…

Κ: Λοιπόν, αφού δεν μπορείτε να με εξυπηρετήσετε, θα πάω στο διπλανό ξενοδοχείο…

Ρ: Μια στιγμή σας παρακαλώ κύριε περιφερειάρχα μου, θα φωνάξω τη διευθύντρια, αυτή σίγουρα θα μπορέσει να σας εξυπηρετήσει.

Κ: Δήμαρ…, άστο.

Δεν προλαβαίνει να τελειώσει τη φράση του και ο ρεσεψιονίστ έχει μπει σ’ ένα πλαϊνό δωμάτιο. Σε λίγο εμφανίζεται μια πανέμορφη γυναίκα, ξανθιά, ψηλή με γαλανά σπινθηροβόλα μάτια.

Υπατία (Υ): Καλησπέρα σας. Ονομάζομαι Υπατία Θέωνος. Πως θα μπορούσα να σας εξυπηρετήσω;

Ο Καντόρης τα χάνει για λίγο, σα να ζαλίζεται από αυτό το υπέροχο πλάσμα που βλέπει σα σε όνειρο μπρος του, ξεροκαταπίνει και με σπασμένη φωνή λέει:

Κ: Ε, να, εγώ, που λέτε, υποψήφιος, ναι, θα ήθελα ένα τελευταίο, ε, το τελευταίο δωμάτιο του ξενοδοχείου σας και ο κύριος πριν…

Υ: Μην σας απασχολεί κύριέ μου, ο ρεσεψιονίστ έχει δώσει τρεις φορές Θεωρία Αριθμών στο πανεπιστήμιο και τις τρεις κόπηκε. Αν συνεχίσει έτσι θα πρέπει να εγκαταλείψει τις σπουδές του και να ασχοληθεί με την πολιτική. Ω! συγνώμη, δεν ήθελα να σας προσβάλλω… Οι υπερπεπερασμένες υπηρεσίες του ξενοδοχείου μας, θα σας εξασφαλίσουν το δωμάτιο που επιθυμείτε. Μια στιγμή μόνο να ελέγξω αν έχει καθαριστεί.

Κ: Υπέροχα. Και τι νούμερο θα έχει το δωμάτιό μου;

Υ: Το νούμερο “ω”. Βλέπετε, ο ρεσεψιονίστ μας, δεν μπορεί να καταλάβει πέραν από την έννοια του πληθικού αριθμού των δωματίων του ξενοδοχείου μας. Επιτρέψτε μου μια μικρή διάλεξη…

Ο Καντόρης θα καθόταν ακόμα και εγχείρηση ανοικτής καρδιάς να του κάνει!

Υ: Λοιπόν έχω την προσοχή σας;

Κ: Εξ αδιαιρέτου, διαμπερώς θα μπορούσα να πω.

Υ: Οι φυσικοί αριθμοί, λοιπόν, δεν είναι ένα απλό σύνολο. Ξέρετε τι είναι σύνολο;

Κ: Έχω ξοδέψει χρήματα για τα συνολάκια της γυναίκας μου…

Υ: Το προσπερνώ. Μου θυμίζετε τον Κύριλλο. Λοιπόν το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι διατεταγμένο, δηλαδή ισχύει 1 < 2 < 3 <… και αυτή η διάταξη δεν έχει όντως τελευταίο στοιχείο. Εντούτοις, κι εδώ είναι το ενδιαφέρον, μπορούμε να ορίσουμε ένα στοιχείο ω το οποίο να είναι μεγαλύτερο από κάθε φυσικό αριθμό:
1 < 2 < 3…< ω.

Εκείνο που ζητήσατε δεν ήταν απλώς ένα δωμάτιο, αλλά ένα δωμάτιο με συγκεκριμένη διάταξη, να είναι το τελευταίο. Αυτό είναι το δωμάτιο ω.

Ο Καντόρης κάπου είχε ακούσει ότι το καλύτερο αφροδισιακό για μια γυναίκα είναι η εξυπνάδα του άντρα. Με ύφος υψηλοIQίστα λέει στην Υπατία:

Κ. Κι αν θέλω κι ένα δωμάτιο για μια “φίλη” (εδώ, θυμίζοντας παλιό Υπουργό Πολιτισμό, της κλείνει το μάτι) που να έχει αριθμό δωματίου μεγαλύτερο από το δικό μου;

Υ: Κανένα πρόβλημα. Θα την βάλουμε στο δωμάτιο ω+1.

Κ: Ωραία, θέλω να κλείσω δωμάτια και για κάποιους ψηφοφόρους μου.

Υ: Θα φιλοξενηθούν στα δωμάτια ω+2, ω+3, …

Κ: Κοιτάξτε, ως πολιτικός έχω ρεύμα, αν θέλω να κλείσω δωμάτια για “πολύ μεγάλο ν” ψηφοφόρους μου;

Υ: Ο ν-οστός ψηφοφόρος σας θα φιλοξενηθεί στο δωμάτιο ω+ν.

Ο Καντόρης δεν ήθελε να το βάλει κάτω.

Κ: Ωραία, παρόλο που στους δυο τρίτος δεν χωρεί, πείτε ότι θέλω να φιλοξενήσω τη γυναίκα μου, μεταξύ του δικού μου δωματίου και του δωματίου της φίλης μου.

Υ: Περνώντας από τους φυσικούς στους ρητούς, η γυναίκα σας θα φιλοξενηθεί στο δωμάτιο ω+1/2.

Κ: Και μεταξύ του δικού μου δωματίου και του δωματίου της γυναίκας μου, τα δυο παιδιά μου;

Υ: Στα δωμάτια ω+1/3, ω+1/4! Μη βασανίζεστε, μεταξύ των δωματίων ω και ω+1 μπορώ να “στριμώξω” όσα ευρύχωρα δωμάτια θέλετε.

Σιωπή. Ο Καντόρης με σιγανή φωνή λέει:

Κ: Μπορείτε να χειριστείτε το οτιδήποτε;

Υ: Και ναι και όχι. Μπορώ να χειριστώ οποιοδήποτε συνδυασμό διατάξεων με άπειρες ομάδες απείρων συγγενών, φίλων, υποψηφίων και ψηφοφόρων επιθυμείτε. Μπορώ να “στριμώξω” ω^3 + ω^2 + ω +5 πρωθυπουργούς μεταξύ των δωματίων 1 και 2. Για να το πω πιο απλά, μπορώ να χειριστώ οποιαδήποτε γραμμική διάταξη ενός αριθμήσιμου συνόλου ανθρώπων. Οι ρητοί αριθμοί, όπως έλεγε κι ο συγχωρεμένος ο πατέρας μου, σχηματίζουν μια πυκνή γραμμική διάταξη.

Προσέξτε όμως, αν είχατε ένα αριθμό, ας πούμε, εξωγήινων ψηφοφόρων τόσων, όσοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί, δεν θα μπορούσα να τους εξυπηρετήσω, έστω κι αν ήταν αδιάφοροι ως προς την διάταξη των δωματίων τους. Αυτοί οι αριθμοί έχουν αυτό το προβληματάκι. Γι’ αυτό κι αυτούς τους ψηφοφόρους τους λέμε μη αριθμήσιμους. Έχω ακούσει ότι στην Άνω Λυγαριά κτίζεται ένα ξενοδοχείο που θα εξυπηρετεί μη αριθμήσιμο πλήθος πελατών, σας το υπογράφω όμως ότι για να κλείσεις δωμάτιο εκεί θα είναι εφιάλτης.

Θα μπορούσα να σας πω και για τους σουρεαλιστικούς αριθμούς, ή να σας διαβάσω λίγο Μπρετόν, αλλά ας μην σας κουράζω άλλο. Καμιά φορά παρασύρομαι και χάνομαι στους συλλογισμούς μου. Από μικρή το είχα, τότε στην όμορφη Αλεξάνδρεια…

Ο Καντόρης, σαν την Ιουδήθ, τη γυναίκα του δίκαιου Λωτ, είχε μείνει στήλη άλατος. Αυτό το ω τον είχε συνεπάρει πιο πολύ κι από τα μάτια της Υπατίας. Κι αυτοί οι σουρεαλιστικοί αριθμοί τι ήταν; Ζήτησε τελικά το δωμάτιο 231821, αλλά δεν είχε όρεξη να δει τη μάχη της Αλαμάνας. Την επόμενη μέρα, πρωί πρωί, απέσυρε την υποψηφιότητά του, πήρε το τρένο, κατέβηκε στην Αθήνα και πήρε από ένα παλαιοπωλείο την τρίτομη Άλγεβρα του Κανέλλου. Από κάπου έπρεπε να ξεκινήσει για να φτάσει στο ω…

(Η ιστορία είναι εμπνευσμένη από μια ανάρτηση του μαθηματικού Alon Amit στο Quora).

Παρασκευή, 12 Απριλίου 2019

Μικρές Ιστορίες 42: Μέλαινα Γαία

Μιας και οι μαύρες τρύπες έχουν την τιμητική τους αυτές τις μέρες, ας υπολογίσουμε την ακτίνα της Γης, στο υποθετικό σενάριο που θα κατέρρεε σε μια μη περιστρεφόμενη μαύρη τρύπα. Αυτό δεν είναι δυνατόν βέβαια, μιας και για να γίνεις μαύρη τρύπα πρέπει να είσαι αστέρι και μάλιστα πιο παχουλό από τον ήλιο μας, χρειάζονται από 1,4 ηλιακές μάζες και πάνω (αυτό που λένε “όριο Chandrasekhar”).

Ο υπολογισμός είναι αρκετά απλός και η ακτίνα της Μέλαινας Γαίας δίνεται από τον τύπο του Karl Schwarzschild, που έδωσε μια λύση των εξισώσεων της Γενικής Σχετικότητας του Αϊνστάιν λίγους μόνο μήνες μετά την παρουσίαση της θεωρίας του το 1915.

Οι πράξεις φαίνονται στην εικόνα και το αποτέλεσμα είναι 9 mm, ένα πολύ βολικό και πρακτικό μέγεθος…

Αν ο ήλιος μας γινόταν ξαφνικά μαύρη τρύπα, θα είχε ακτίνα 3 Km, μια απόσταση ούτε Πέραμα - Παλούκια δηλαδή (δεν θα γίνει ποτέ, θα έχει ένα πολύ λιγότερο εντυπωσιακό θάνατο), η Γη θα συνέχιζε να περιστρέφεται γύρω του σα να μην συμβαίνει τίποτα, απλά θα έκανε λίγο πιο κρύο…

Και κάτι άλλο, κάθε μαύρη τρύπα στο κέντρο της έχει ένα κουκούτσι, κάτι σαν την ελιά δηλαδή, το λένε στοιχειώδη ανωμαλία (singularity) έχει, θεωρητικά τουλάχιστον, άπειρη πυκνότητα και οι γνωστοί νόμοι της φυσικής εκεί καταρρέουν. Όποιος πέσει μέσα στην τρύπα, πριν γίνει μακαρόνια ΜΙΣΚΟ (λόγω της τεράστιας διαφοράς βαρύτητας ανάμεσα στα πόδια και το κεφάλι), ίσως προλάβει να το δει, για όλους εμάς τους τυχερούς όμως που είμαστε στην απέξω, η singularity θα είναι ένα αντικείμενο στο ΜΕΛΛΟΝ!

Πέμπτη, 7 Φεβρουαρίου 2019

Μικρές Ιστορίες 15B: Ο Σέργιος (Ραχμάνινοφ) κι ο Πέτρος (Λαμπαδάριος)

Κάπου στις αρχές του 1890 ο Sergei Taneiv σ’ ένα από τα συνηθισμένα μουσικά σουαρέ της εποχής προσκάλεσε διάφορους φίλους μουσικούς, ανάμεσα τους και τον Alexander Glazunov. Ζήτησαν από τον Glazunov να παίξει κάτι δικό του, μόλις είχε τελειώσει το πρώτο μέρος από μια καινούρια του συμφωνία κι όλοι ήθελαν να την ακούσουν. Ούτε καν ο μέντορας του Rimsky-Korsakov ήξερε κάτι για το έργο.

Ο Glazunov κάθισε στο πιάνο, ο Taneiv σηκώθηκε και τον παρακάλεσε να περιμένει για λίγο για να κλειδώσει την πόρτα του δωματίου μη τυχόν και τους ενοχλήσει κανείς. Ο Glazunov άρχισε να παίζει, τελείωσε, χειροκροτήθηκε. Όπως συνηθιζόταν ακολούθησε συζήτηση για το έργο (και σίγουρα κάποιο ποτάκι...). Ξαφνικά λέει ο Taneiv: “Ωχ!, ξέχασα την πόρτα κλειδωμένη και κάποιος μπορεί να ήρθε εντωμεταξύ και να περιμένει στο χολ”. Βγήκε από το δωμάτιο και επέστρεψε σε λίγο με τον Rachmaninov τον οποίο σύστησε ως ταλαντούχο μαθητή του. Του ζήτησαν να παίξει κάτι - το “ταλαντούχος” δεν μοιραζόταν εύκολα εκείνη την εποχή. Ο Rachmaninov κάθισε στο πιάνο και έπαιξε - από μνήμης εννοείτε - το μέρος της συμφωνίας που μόλις είχε ακούσει! Έκπληκτος ο Glazunov τον ρώτησε: “Πως το έμαθες αυτό το κομμάτι; Δεν το έχω παίξει και δείξει σε κανέναν μέχρι τώρα.” Ο Taneiv απάντησε: “Τον είχαμε κλειδώσει έξω. Καθόταν στο υπνοδωμάτιο μου.”

* Την ιστορία αναφέρει ο συμμαθητής του Rachmaninov B.L. Yavorsky. Την αντέγραψα από το The Virtuosi του H. C. Schonberg.

Το 1770 πήγαν στην Κωνσταντινούπολη τρεις Οθωμανοί Πέρσες μουσικοί, με σκοπό να παρουσιάσουν στον Σουλτάνο Χαμίτ Α΄, μια σύνθεσή τους. Οι αυλικοί μουσικοί του Σουλτάνου (Δερβίσηδες) πειράχτηκαν, ίσως και να φοβήθηκαν για τη θέση τους και ζήτησαν βοήθεια από τον Πέτρο, που τον θεωρούσαν μέγα δάσκαλο, σέβονταν και υπολήπτονταν. Ο Πέτρος τους συμβούλεψε να καλέσουν τους Πέρσες σε δείπνο και σαν έρθουν στο κέφι κι αρχίσουν να τραγουδούν, να τους ζητήσουν να παίξουν και τη σύνθεση που έφεραν για το σουλτάνο. Έτσι κι έγινε. Κάπου κρυμμένος ήταν κι ο Πέτρος κι άκουσε τη σύνθεσή τους. Ίσως η σύνθεση να παίχτηκε δυο τρεις φορές, κάτι που ήταν αρκετό για το δαιμόνιο αυτί του Πέτρου να την ακούσει και καταγράψει.
Την άλλη μέρα, που οι Πέρσες έπαιξαν τη σύνθεσή τους στον Σουλτάνο, να σου μπαίνει ο Πέτρος και λέει: “για σταθείτε αυτή η σύνθεση είναι δική μου και Άραβες μαθητές μου την έχουν διδάξει στην περιοχή τους.” Οι Πέρσες τον προκαλούν να επαναλάβει τη σύνθεση. Βγάζει αυτός την παρτιτούρα που είχε γράψει στα κλεφτά την προηγούμενη μέρα και επαναλαμβάνει τη σύνθεση. Έγινε χαμός, κάποιος από τους Πέρσες μάλιστα προσπάθησε να τον σκοτώσει. Οι Δερβίσηδες τότε συλλαμβάνουν τους άμοιρους Πέρσες και τους στέλνουν από κει που ήρθαν.

Από αυτό το γεγονός, δόθηκε το παρατσούκλι “χιρζίζ” στον Πέτρο που σημαίνει “κλέφτης” (Κατά τον Ιωάννη Πλεμένο, η απόδοση του ονόματος χιρσζ ήταν τιμητική, διότι εννοούσε αυτόν που έκλεψε τη δύναμη από το κακό.)

* Την ιστορία για τον Λαμπαδάριο βρήκα στο Orthodox Wiki.