Πέμπτη, 21 Ιουνίου 2007

Η κούνια της γάτας και το μυστικό εξάγραμμο

Το καλοκαίρι έφτασε και παρόλο που στις αγαπημένες μας γάτες δεν πολυαρέσουν τα ταξίδια - σοφές πάντα, αν τελικά αποφασίσουμε να τις πάρουμε μαζί στο θερινό μας ησυχαστήριο καλό θα ήταν να τους εξασφαλίσουμε κι ένα άνετο μέρος για τους διαλογισμούς τους. Να λοιπόν μια κατασκευή που θα λατρέψουν: Δένουμε δύο σκοινιά L1 και L2 που δεν είναι παράλληλα σε τέσσερα σταθερά σημεία, σε τέσσερα δέντρα ας πούμε. Από ένα σημείο Α1 του σκοινιού L1 δένουμε ένα άλλο σκοινί από το Α1 σε ένα σημείο Β2 στο L2. Όμοια δένουμε τα σκοινιά Β1Α2, Β2C1, B1C2, A1C2 και A2B1. Αποδεικνύεται ότι τα σημεία τομής των σκοινιών D, E και F βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Η απόδειξη μάλλον δεν θα απασχολήσει τη γάτα μας, αυτή μπορεί να ξαπλώσει αμέριμνη και ευθυτενής κατά μήκος της DEF. Συμβουλευτείτε το παρακάτω σχήμα για την κατασκευή:

Η ανωτέρω κατασκευή είναι μια ειδική περίπτωση του Μεγάλου Θεωρήματος του γάλλου μαθηματικού και φιλόσοφου Blaise Pascal (1623–1662), το οποίο ο άγγλος μαθηματικός James Joseph Sylvester (1814–1897) απεκάλεσε “η κούνια της γάτας” από ένα παιδικό παιγνίδι με σπάγκους.

Η γενική μορφή του θεωρήματος του Pascal έχει ως εξής: Πάνω σε μια κωνική τομή (διαλέγουμε εδώ την απλή περίπτωση ενός κύκλου κέντρου Ο, χωρίς να θιγεί η γενικότητα), παίρνουμε έξι διαδοχικά σημεία A, B, C, D, E, F τα οποία ενώνουμε κατ’ αυτήν τη σειρά με ευθείες όπως φαίνεται στο σχήμα. Προκύπτει έτσι ένα εξάπλευρο εγγεγραμμένο στον δοθέντα κύκλο (Hexagrammum Mysticum). Αποδεικνύεται ότι τα σημεία τομής G, H, I των ζευγών των ευθειών (ΑB, ED), (BC, FE) και (CD, AF) είναι συνευθειακά.

Άξιο θαυμασμού είναι το γεγονός ότι αυτό το θεώρημα ανακαλύφθηκε και αποδείχτηκε από ένα αγόρι δεκάξι ετών μαζί με άλλες 400 περίπου προτάσεις πάνω στις κωνικές τομές.

Το Μεγάλο Θεώρημα του Pascal είναι μια γενίκευση του Θεωρήματος του Εξαγώνου του Πάππου (περ. τέλος 3ου αι. μ.Χ). Με τη βοήθεια του προβολικού δυισμού ο Charles Julien Brianchon (1783-1864) διατύπωσε 167 χρόνια μετά, το δυικό θεώρημα του Pascal, γνωστό ως θεώρημα του Brianchon. Το 1847 ο August Ferdinand Möbius (1790-1868) γενίκευσε το Θεώρημα του Pascal για ένα πολύγωνο 4n+2 πλευρών εγγεγραμμένο σε κωνική τομή.

5 σχόλια:

Philip Gregory είπε...

Αυτός ο κακομοίρης ο Pascal ήταν πολύ αδικημένος απ' το θεό...(ή τη φύση τελοσπάντων... nobody knows ποιο απ' τα δύο πραγματικά ισχύει. Ίσως και τα δύο!) Ακόμα θυμάμαι πόσο βλάκας είχα αισθανθεί όταν έμαθα ότι ως μαθητής δημοτικού ο Pascal είχε κάνει το εξής: Ύστερα από προτροπή του δασκάλου προς τους μαθητές να προσθέσουν όλους τους αριθμούς απ' το 1 ως το 100 ο pascal πορουσίασε τη λύση σε δευτερόλεπτα χρησιμοποιώντας έναν τύπο του στυλ (ν/2)*(ν+1)όπου ν στην περίπτωσή μας το 100. Δηλάδή ο Pascal είδε εκεί που τα άλλα παιδιά έβλεπαν 100 αριθμούς στη σειρά 50 αθροίσματα που έδιναν άθροισμα 101. (1+100), (2+99),..., (50+51). Άρα δεν με ΕΚΠΛΗΣΕΙ το τι έκανε στα 16 αν και είναι ΕΚΠΛΗΚΤΙΚΟ!

ΓΕΡΑΣΙΜΟΣ ΜΠΕΡΕΚΕΤΗΣ είπε...

Αγαπημένε μου φίλε!
Πόσο ωραία τα διαλέγεις και τα λες.

Ασμοδαίος είπε...

@philip gregory: Ο μαθηματικός στον οποίο αναφέρεστε είναι ο Gauss, όχι ο Pascal.

Philip Gregory είπε...

Sorry my bad! Μάλλον το μπέρδεψα με την ιστορία ότι ο Pascal είχε φτιάξει μια μηχανή για να κάνει γρήγορους υπολογισμούς ο πατέρας του. Αυτές οι ιστοριούλες ήταν στο βιβλίο των μαθηματικών του γυμνασίου μαζί με αρκετές ακόμα. Sorry και πάλι...

Sraosha είπε...

Ωραίο ποστάκι! Το είχα ξεχάσει το Θεώρημα του Πασκάλ...