Οι Σουμέριοι και τα Μαθηματικά τους

Οι πρώτοι πολιτισμοί αναπτύχθηκαν στην Ανατολική Μεσόγειο και στη Δυτική Ασία. Οι παράγοντες που έπαιξαν καθοριστικό ρόλο στη δημιουργία αυτών των πολιτισμών είναι:

• το κλίμα,
• η γεωγραφική θέση,
• η ύπαρξη νερού.

Η περιοχή της Μεσοποταμίας και η Αίγυπτος πληρούσαν αυτές τις προϋποθέσεις κι εκεί αναπτύχθηκαν οι πρώτοι πολιτισμοί. Μετακινήσεις λαών, από λιγότερο πλεονεκτικές περιοχές, έγιναν αιτία πολέμων και καταστροφών, αλλά επειδή “πόλεμος πατὴρ πάντων”, νέοι πολιτισμοί γεννήθηκαν και δανειζόμενοι τα καλύτερα από τους προηγούμενους, πρόσφεραν κι αυτοί με τη σειρά τους στην εξέλιξη της ανθρωπότητας.

Πολιτισμός χωρίς μαθηματικά δεν υπάρχει. Οι πρώτοι αυτοί λαοί ανάπτυξαν αριθμητικές και γεωμετρικές μεθόδους, για να διευκολύνουν την καθημερινή τους ζωή, να ασκήσουν τις εμπορικές τους δραστηριότητες, να οικοδομήσουν ναούς και κτήρια…Τα μαθηματικά τους, απ’ όσο τουλάχιστον μπορούμε να γνωρίζουμε, παράμειναν στο εμπειρικό - πρακτικό επίπεδο.

Οι Λαοί της Μεσοποταμίας - Βαβυλώνα

Μεσοποταμία, Ασσούρ στην ασσυριακή γλώσσα, ονόμασαν οι αρχαίοι Έλληνες το γεωγραφικό τμήμα που διαρρέεται από τους μεγάλους ποταμούς Τίγρη στα ανατολικά και Ευφράτη στα δυτικά και περιλαμβάνει τις κοιλάδες των δύο ποταμών και των παραποτάμων τους. Το βόρειο τμήμα της Μεσοποταμίας οι Έλληνες ονόμαζαν Ασσυρία, το κεντρικό Βαβυλωνία και το νότιο Χαλδαία. Η άρδευση των υδάτων των δύο ποταμών μετέβαλλε το άγονο και αργιλώδες τμήμα της κεντρικής και νότιας Μεσοποταμίας σε εύφορο έδαφος για την καλλιέργεια σιταριού και κριθαριού, γιαυτό το λόγο η περιοχή ονομάστηκε και “γόνιμη ημισέληνος”. Ο άνθρωπος από θηρευτής ή συλλέκτης τροφής περνά τώρα στη συλλογική ζωή, τη μόνιμη κατοικία και την καλλιέργεια της γης. Όπου ικανοποιούνται αυτές οι συνθήκες, αναπτύσσεται και πολιτισμός· ο άνθρωπος εξελίσσεται κοινωνικά και οικονομικά και περνά στο παραγωγικό και οργανωτικό στάδιο. Έτσι λοιπόν, από το 5000 π.Χ. περίπου μέχρι την Ελληνιστική εποχή και την εμφάνιση του Χριστιανισμού, οι λαοί της Μεσοποταμίας αναπτύσσουν έναν αξιολογότατο πολιτισμό. Η ευρύτερη περιοχή φιλοξένησε πολλούς λαούς, μεταξύ των οποίων: οι άκρως επινοητικοί, φιλεργατικοί και φιλότεχνοι Σουμέριοι, οι βόρειοι γείτονές τους Ακκάδες, που κατέκτησαν και αφομοίωσαν τον πολιτισμό των Σουμερίων, οι σιδηροτεχνίτες Χετταίοι, οι τρομεροί Ασσύριοι με τον περιώνυμο βασιλιά τους Σαρδανάπαλο, και οι Χαλδαίοι με τον βασιλιά τους Ναβονάσσαρο, θεωρούμενο ως πατέρα της Αστρολογίας, η ακολουθία των μεγάλων βασιλέων τελειώνει με τον Ναβουχοδονόσορα Β τον Μέγα. Στο τέλος, οι Πέρσες [1] επικράτησαν στην περιοχή, μέχρι την υποταγή τους από τον Μ. Αλέξανδρο.

Λύρα τῶν Σουμερίων

Σουμέριοι

ki-en-gir: Σουμέρ

Την περίοδο 3000-1500 π.Χ. [2] άκμασαν οι Σουμέριοι [3], άγνωστης καταγωγής, πιθανώς μογγολικής, δημιουργώντας έναν υψηλού επιπέδου πολιτισμό και ίδρυσαν την πρώτη πόλη του κόσμου, την Εριντού. Την χώρα τους ονόμαζαν “ki-en-gir” (η χώρα των πολιτισμένων αρχόντων”, οι ίδιοι δε αυτοαποκαλούντο “ùĝ saĝ gíg ga” (άνθρωποι με μαύρο κεφάλι).[4] Ζούσαν στο κατώτερο τμήμα της πεδιάδας της Μεσοποταμίας, στο μιχό του περσικού κόλπου, στο σημερινό νότιο Ιράκ. Όταν η εξουσία πέρασε από τους ιερείς στους βασιλείς, όπως θα δούμε παρακάτω, η ηγεμονία ασκήθηκε από τις πόλεις Κις, Ουρ (Ur, Urim), γενέτειρα του Αβραάμ (Γέννεσις,11:28-31), Ουρούκ, Αντάμπ και Ακσάκ. Οι Σουμέριοι ήταν ένας ιδιαίτερα έξυπνος και εφευρετικός λαός. Ασχολούνταν με την γεωργία, την κτηνοτροφία και το εμπόριο. Ανακάλυψαν τον τροχό, κατασκεύασαν το κάρο και αρδευτικά κανάλια· ήταν δε από τους πρώτους που επεξεργάστηκαν το μέταλλο, τελειοποίησαν το αλέτρι και μετέτρεψαν το γάλα σε βούτυρο. Ανάπτυξαν το εμπόριο γεωργικών και κτηνοτροφικών προϊόντων και έκαναν εισαγωγές πρώτων υλών, κυρίως μετάλλων. Το κράτος ήταν θεοκρατικό και οργανωμένο σε πόλεις. Κατασκεύασαν μνημειώδεις ναούς, τους λεγόμενους ζιγκουράτ (Λόφος των Ουρανών), με οικοδομικό υλικό πλίνθους ψημένους στον ήλιο ή σε καμίνια.

Αναπαράσταση του ζιγκουράτ της Ουρ

Γλώσσα-Γραφή. Από το 4000 π.Χ. μιλούσαν την αρχαία Σουμεριακή γλώσσα η οποία δεν συσχετίζεται με καμιά άλλη γνωστή γλώσσα. Γύρω στο 2300 π.Χ. τα Ακκαδικά γίνονται η καθημερινή γλώσσα, αλλά τα αρχαία Σουμεριακά εξακολουθούν να χρησιμοποιούνται ως κλασική, επίσημη γλώσσα για 2000 ακόμη χρόνια, όπως τα Λατινικά στην Ευρώπη. Μεταξύ του 3500 και 3100 π.Χ. ανακάλυψαν τη σφηνοειδή γραφή, που διακρίνεται από τη σημιτική (Εβραϊκά, Αραβικά, Αραμαϊκά). Ακόμα πιο παλιά όμως, εκατοντάδες πήλινες πινακίδες από την πόλη Ουρούκ, που χρονολογούνται από το 5000 π.Χ., μαρτυρούν μια πρώιμη πτικτογραμματική / εικονογραφική / λογογραφική / πρωτοσφηνοειδή γραφή, 2000 περίπου πικτογραμμάτων, που αφορούν κυρίως σε αγαθά προς ανταλλαγή και καθημερινά αντικείμενα (δείτε το παρακάτω σχήμα). Τα πικτογράμματα χαράσσονταν σε πηλό με ειδική γραφίδα. Η γραφίδα ήταν από καλάμι σε σχήμα σφήνας και δεν αποκλείεται να αποτέλεσε η ίδια την έμπνευση για τη σφηνοειδή γραφή.  Το σύνολο των πικτογραμμάτων συνιστά μια γραπτή γλώσσα με τη μορφή εικόνων, χωρίς τη χρήση γραμμάτων από κάποιο αλφάβητο· δεν πρέπει να συγχέονται με τα ιδεογράμματα που χρησιμοποιούνται για να εκφράσουν ιδέες. Να σημειώσουμε, ότι η πικτογραμματική και η σφηνοειδής είναι τύποι γραφής και όχι γλώσσα. Στην Εγγύς Ανατολή, γλώσσες που δεν σχετίζονταν μεταξύ τους - Σουμερικά, Ακκαδικά, Χεττιτικά και Ελαμιτικά - χρησιμοποιούσαν τη σφηνοειδή γραφή.

Η εξέλιξη της πικτογραμματικής σε σφηνοειδή γραφή

Θα διακινδυνεύσουμε ένα παραλληλισμό ανάμεσα στα πικτογράμματα των Σουμερίων και στα εικονίδια (icons) που χρησιμοποιούνται στους υπολογιστές και στα άλλα ηλεκτρονικά μέσα: η εικόνα μιας γάτας, μιας και οι γάτες είναι παντού οι ίδιες, δεν χρειάζεται κανενός είδους επεξήγηση, καμιά γλώσσα να την περιγράψει. Στις πολυπληθείς Σουμεριακές πόλεις μια γλώσσα πικτογραμμάτων φαντάζει ιδανική, το ίδιο ισχύει και για μια οθόνη υπολογιστή που την κοιτούν τόσα και διαφορετικά ζευγάρια μάτια.

Δείγμα σφηνοειδούς γραφής με τη γραμματοσειρά Assurbanipal

Την περίοδο της Ακκαδικής εισβολής, τα πικτογράμματα έχουν ήδη περιοριστεί στο 1/3 περίπου και βαθμιαία δίνουν τη θέση τους σε σφηνοειδή σύμβολα κι έτσι αναπτύσσεται η σφηνοειδής γραφή (cuneiform writing, λατ. cuneus = σφήνα), η οποία με τον καιρό υιοθετήθηκε και από άλλους λαούς της Εγγύς Ανατολής (αποτέλεσε βάση για τη δημιουργία των Ακκαδικών, Ελαμιτικών, Χεττιτικών, Ουγκαριτικών και αρχαίων Περσικών αλφαβήτων). Υπάρχει μια διαφορά ανάμεσα στα πρώιμα Σουμεριακή γραφή και στην Ακκαδική: τα πικτογράμματα είναι περισσότερο εικόνες παρά σύμβολα, το αντίθετο ισχύει με τα σφηνοειδή σύμβολα. Την Ακκαδική περίοδο συντάσσονται λεξικά(!) που συσχετίζουν την πρώιμη με την ύστερη Σουμεριακή γραφή και διευκολύνουν την ομαλή μετάβαση από τη μία στην άλλη. Από την περίοδο της Δυναστείας του Χαμουραμπί έχουν βρεθεί χιλιάδες πινακίδες από ένα σύνολο εκατομμυρίων που έχει φέρει στο φως η αρχαιολογική σκαπάνη. O (φτηνός και άφθονος στην περιοχή) πηλός αντέχει καλύτερα στο χρόνο από από τον (ακριβό) Αιγυπτιακό πάπυρο κι αυτός είναι ο λόγος που γνωρίζουμε περισσότερα για τα μαθηματικά των Μεσοποτάμιων παρά των Αιγυπτίων. Η σφηνοειδής γραφή προηγείται χρονικά των ιερογλυφικών της Αιγύπτου, αποκρυπτογραφήθηκαν όμως πρώτα τα ιερογλυφικά.

Ο βασιλιάς Γκουντέα

Οργάνωση. Οι μεγάλες εκτάσεις που έπρεπε να ποτιστούν και να καλλιεργηθούν απαιτούσαν διοικητική οργάνωση και καταμερισμό της εργασίας. Για τη “χρηματοδότηση” αυτών των εργασιών [5] απαιτείτο επίσης ένα φορολογικό / φοροεισπρακτικό σύστημα και μία μέθοδος καταγραφής αγαθών και φορολογικών εισπράξεων. Η γη έπρεπε να διαμοιραστεί για καλλιέργεια στους πολίτες, να διευθετηθεί το θέμα παροχής νερού και να μοιραστούν τα πλεονάζοντα αγαθά. Στην αρχή τη διοίκηση ασκούσαν οι αρχιερείς στους ναούς, αργότερα, όταν οι πόλεις έγιναν πολυπληθέστερες και πιο ισχυρές, τη διοίκηση ανάλαβαν οι βασιλείς (λούγκαλ: “ισχυρός άνδρας”, σίπα λούγκαλ: “βασιλιάς-ποιμένας”), οι οποίοι επίσης ήταν και αρχιστράτηγοι. Κι εδώ πάλι μας εκπλήσσουν οι Σουμέριοι, το βασιλικό μοντέλο ήταν αυτό του βασιλιά-ποιμένα. Σε αντίθεση με τους Φαραώ της Αιγύπτου, τους Κινέζους και τους Ιάπωνες αυτοκράτορες που ήταν απρόσιτοι και δεν ενδιαφέρονταν για το λαό, οι Σουμέριοι βασιλείς ήταν “ποιμένες” του λαού τους, δούλευαν για το καλό του χωρίς να ασκούν αυταρχική εξουσία. Αντί για κορώνα φορούσαν το “σκούφο του βοσκού”. Συγκρίνετε τη γλυκιά και προσηνή μορφή του εικονιζόμενου βασιλιά Γκουντέα μ’ αυτήν κάποιου Φαραώ. Δυο σχεδόν μυθολογικοί βασιλείς των Σουμερίων ήταν ο Ετάνα ο ποιμήν που προσάρτησε νέα εδάφη, βασίλευσε για 1500 χρόνια και στο τέλος ανελήφθη στους ουρανούς και ο Λουγκαλμπάντα ο ποιμήν, που βασίλευσε για 1200 χρόνια. Ιστορικά πρόσωπα ήταν οι βασιλείς Γκουντέα και Ουρ-Νάμμα, οι οποίοι βασίλευσαν περί το 2100 π.Χ. Σημαντικότερος βασιλιάς της Σουμερικής περιόδου ήταν ο Σούλγκι (Shulgi), της Τρίτης Δυναστείας της Ουρ· βασίλευσε για 47 χρόνια (2094-2047 π.Χ.)

Γκιλγκαμές

Θρησκεία-Μυθολογία. Η λατρεία των θεών για τους Σουμέριους ήταν στενά συνδεδεμένη με την ύπαρξή τους. Πίστευαν ότι οι θεοί έφτιαξαν τον άνθρωπο για να δουλεύει γι’ αυτούς. Λάτρευαν πολλούς θεούς, ανεξάρτητα κατά πόλη, κάθε πόλη-κράτος είχε και το δικό της προστάτη θεό. Κοινός όμως θεός όλων των Σουμερίων όμως ήταν ο Νινούρτα. Η κύρια θηλυκή θεότητα ήταν η Ινάννα (για τους Σουμέριους) ή Ιστάρ, (για τους Ακκάδιους και Ασσυρίους) “Αγία Παρθένα” και “ Βασίλισσα του Ουρανού”, κόρη του θεού Άνου, είναι η πρώτη γνωστή θεότητα που σχετίστηκε με τον πλανήτη Αφροδίτη. Θεά της γονιμότητας και του αισθησιασμού (ως Πούλια), της αγάπης, της ομορφιάς, της επιθυμίας, της μάχης, της καταστροφής και της πολιτικής δύναμης (ως Αυγερινός). Όπως και ο Ορφέας, κατέβηκε στον Κάτω κόσμο για να διεκδικήσει την εξουσία της. Οι θεοί λατρεύονταν στα ζιγκουράτ· οι ιερείς των Σουμερίων ονομάζοντο πατέσι. Τα ζιγκουράτ είχαν την μορφή βαθμιδωτής πυραμίδας, ο κυρίως ναός βρισκόταν στην κορυφή της κατασκευής και αποτελείτο από δύο δωμάτια, ένα για τον τιμώμενο θεό και το άλλο η κατοικία του ιερέα. Τα πρώτα ζιγκουράτ χρονολογούνται από τις αρχές της 3ης χιλιετίας και σήμερα διασώζονται 32. Επιβλητικό είναι το μεγάλο ζιγκουράτ της πόλης Ουρ, αφιερωμένο στο θεό της Σελήνης Νάνναρ (αυτός που φωτίζει) και αυτό της πόλης Νιπούρ αφιερωμένο στο θεό Ενλίλ. Οι ιερείς έπαιζαν σημαντικότατο ρόλο στη ζωή των Σουμερίων. Ερμήνευαν τα όνειρα και τους οιωνούς και προφήτευαν το μέλλον και συνέθεταν μύθους. Ανάμεσα στου μύθους των Σουμερίων συναντάμε την “Πτώση του Ανθρώπου” και μια μυθο-ιστορική εξιστόρηση του “Κατακλυσμού”. Δεν αποκλείεται οι Εβραίοι να επηρεάστηκαν από αυτούς του μύθους.

Οι Σουμέριοι δεν ονομάτιζαν τη θρησκεία τους, ούτε και εμείς σήμερα της αποδίδουμε κάποιο όνομα (π.χ. Ινδουισμός, Ζωροαστρισμός)· δεν είχαν καν είχαν λέξη που να περιγράφει την έννοια της “θρησκείας”.

Η μυθολογία των Σουμερίων είναι ιδιαίτερα ευφάνταστη. Σημαντικό λογοτεχνικό έργο και ένα από τα αρχαιότερα στον κόσμο είναι το “Έπος του Γκιλγκαμές”, μια συλλογή θρύλων και ποιημάτων, σε δώδεκα άσματα σε μεταγενέστερη Ακκαδική μορφή και όπως διασώζεται σήμερα, του ιστορικού πιθανώς ήρωα, αλλά με πολλά μυθικά στοιχεία, ημίθεου (2/3 θεός, 1/3 άνθρωπος), με υπερφυσικές δυνάμεις Γκιλγκαμές ή Γιλγαμές. Εδώ περιλαμβάνεται και ο μύθος / ιστορία του Κατακλυσμού, σε περιγραφή του βαρκάρη των Νερών του Θανάτου, Ουρσανάμπι (ο ανάλογος του πορθμέα Χάροντα στην Ελληνική μυθολογία). Ως ιστορικό πρόσωπο ο Γιλγκαμές έζησε περί το 3000 π.Χ και ήταν ο 5oς βασιλιάς της πόλης-κράτους Ουρούκ. Μαζί με τον θεόσταλτο φίλο του Ενκίντου αναλαμβάνουν αποστολές που απαιτούν υπεράνθρωπες δυνάμεις, αλλά και την αρωγή φίλιων θεών. Τα κατορθώματα του Γκιλγκαμές είναι ανάλογα με αυτά του δικού μας Ηρακλή (θανάτωση του δαίμονα στο Δάσος των Κέδρων, ζηλοτυπία και εκδίκηση των θεών, περιγραφή του Κάτω Κόσμου από τον ετοιμοθάνατο Ενκίντου, κ.α.) Έδωσε το όνομά του στον αστεροειδή 1812 Gilgamesh.

Η γραπτή Σουμεριακή λογοτεχνία - η αρχαιότερη στον κόσμο, από το 2500 π.Χ. - περιλαμβάνει αφηγηματική, διδακτική, διαλογική και λατρευτική ποίηση, ύμνους, θρήνους, τραγούδια, μύθους και παροιμίες.

Συνομωσιολογία. Το ανωτέρω εικονιζόμενο αγαλματίδιο προέρχεται από την πρωτο-Σουμεριακή περίοδο. Η παράξενη μορφή του εικονιζόμενου όντος (ανθρώπου;) μαζί με την ξαφνική εμφάνιση των Σουμερίων στο ιστορικό προσκήνιο και την πολιτισμική τους έκρηξη, έδωσαν αφορμή σε πολλούς να εικάσουν ότι βοηθήθηκαν από εξωγήινους. Κατά τη γνώμη μας, κάτι τέτοιο απαξιώνει τα επιτεύγματα και μειώνει την αξία της επινοητικότητας και δημιουργικής δύναμης των Σουμερίων, αλλά και του ανθρώπου γενικότερα. Η ιδιαίτερη απόδοση ανθρωπομορφών σε αγάλματα και ζωγραφική συναντάται συχνά σε αρχαίους πολιτισμούς· Κένταυρος Χείρων, Σφίγγα της Αιγύπτου, θεός Σεθ με κεφάλι κορακιού και σώμα ανθρώπου κ.α. Στη Σουμεριακή μυθολογία συναντάμε επίσης τους ερπετόμορφους Ανουνάκι [6], ένα συλλογικό όνομα για τους θεούς του ουρανού και της Γης, ή ακόμη και για τους θεούς του Κάτω Κόσμου. Από το δεύτερο μισό της 2^ης χιλιετίας διαφοροποιούνται σε Ιγγίγγι, θεούς του ουρανού και Ανουνάκι θεούς του Κάτω Κόσμου. Κάθε μια από τις Επτά Πύλες του Κάτω Κόσμου φυλάσσεται και από έναν Ανουνάκι. Σύμφωνα με τον συνομωσιολόγο Zecharia Sitchin οι μυθολογίες των λαών είναι η κρυφή ιστορία του κόσμου και οι μεγάλοι αρχαίοι πολιτισμοί είναι παλαιότεροι απ’ ότι μας τους παρουσιάζει η επίσημη Ιστορία και αποτελούν εξέλιξη της γνώσης που έδωσαν οι εξωγήινοι Ανουνάκι στους ανθρώπους, οι οποίοι αποίκησαν τον πλανήτη μας κάποια χρονική στιγμή. Οι Ανουνάκι υποτίθεται ότι προέρχονται από τον πλανήτη του ηλιακού μας συστήματος Νιμπίρου (Neberou: διασχίζω, για ποτάμι, βάρκα κ.τλ.· Ακκαδική και όχι Σουμεριακή λέξη) ή Ερκολούμπους ή Κόκκινο Πλανήτη ή πλανήτη Χ, με περίοδο περιφοράς γύρω από τον Ήλιο 3600 χρόνια. Το έργο του Sitchin έχει απορριφθεί από τους επιστήμονες ως ψευδοιστορικό και ψευδοεπιστημονικό λόγω προβληματικής επιστημονικής μεθόδου και της κατά βούληση μετάφρασης των αρχαίων κειμένων.

Καλλιτεχνική αναπαράσταση της πόλης Ουρ από τον Balage Balogh

Μαθηματικά. Οι Σουμέριοι, λόγω του Τίγρη και Ευφράτη, πρέπει να είχαν τα ίδια προβλήματα πλημμυρών με τους Αιγύπτιους και γενικότερα προβλήματα τοπογραφικής αποτύπωσης των γεωργικών εκτάσεων· αυτό, αλλά και η γενικότερη επινοητικότητά τους στη λύση πρακτικών προβλημάτων και στη βελτίωση του επιπέδου της ζωής τους, οδήγησε σε σημαντικές αριθμητικές και γεωμετρικές πρακτικές γνώσεις.

Ας δούμε μερικές στενά ή ευρύτερα μαθηματικές:

• Γνώριζαν τις τέσσερις βασικές πράξεις της αριθμητικής (έχουν βρεθεί πήλινες πινακίδες με πίνακες προπαίδειας σε σφηνοειδή γραφή) και ήξεραν να λύνουν αριθμητικά προβλήματα.
• Χρησιμοποιούσαν το εξηκονταδικό σύστημα αρίθμησης - βάση 60, ψηφία 0-59 σε (σύγχρονη γραφή) - και ήξεραν να χειρίζονται αρκετά μεγάλους και μικρούς αριθμούς.
• Στην αρχή, για την αναπαράσταση των φυσικών αριθμών, επινόησαν ένα σύστημα συμβόλων με ημικύκλια, κύκλους και συμπλέγματά τους· π.χ. 10 = •, 20 = ••.
• Από το 2400 π.Χ. άρχισαν να χρησιμοποιούν κλάσματα. Η εισαγωγή της έννοιας του κλασματικού αριθμού, από Σουμέριους και Αιγύπτιους είναι πολύ σημαντική, διότι επεκτείνει το σύνολο των φυσικών N στο σύνολο των ρητών αριθμών Q, με πολλαπλές πρακτικές χρήσεις. Οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν μόνο μοναδιαία κλάσματα, της μορφής 1/ν σε αντίθεση με τους Σουμέριους που χρησιμοποιούσαν τα πιο εύχρηστα κλάσματα της μορφής ν/60 ή ν/(60^2). Δεν υπήρχε όμως κάποιας μορφής συμβολισμός για τα κλάσματα, σαν τον α/β για παράδειγμα, που χρησιμοποιούμε σήμερα, έγραφαν απλώς τον αριθμό, έστω ν, και ο αναγνώστης από τα συμφραζόμενα θα έπρεπε να καταλάβει αν πρόκειται για φυσικό ή ρητό αριθμό. Αν π.χ. ήθελαν να γράψουν τον αριθμό 20, έγραφαν “<<”, όπου “<”= 10, αλλά και το κλάσμα 20/60=2/3 γραφόταν επίσης ως “<<”. Με τη βοήθεια του εξηκονταδικού τους συστήματος, οι Σουμέριοι μπορούσαν να προσεγγίσουν οποιοδήποτε κλασματικό αριθμό.
• Δεν έχουμε σαφείς ενδείξεις ότι είχαν μια ιδέα για το άπειρο και γενικότερα τα απειροσύνολα.
• Λόγω του εξηκονταδικού τους συστήματος αρίθμησης, χώρισαν το έτος σε 12 μήνες 30 ημερών και το μήνα σε 4 βδομάδες. Κάθε 6 χρόνια προσέθεταν ένα επιπλέον μήνα, για να διορθωθεί το λάθος των 5 περίπου ημερών ανά έτος (365,25 ημέρες το δικό μας Ιουλιανό έτος). Διαίρεσαν την ημέρα σε 24 ώρες, την ώρα σε 60 λεπτά και το λεπτό σε 60 δευτερόλεπτα. Η σύγχρονη γραφή της ώρας (στο στρατό, για δρομολόγια τρένων, αεροπλάνων κ.τ.λ), π.χ. 19:54:30, κάνει χρήση του δεκαδικού συστήματος για τις ώρες και του εξηκονταδικού για τα λεπτά και τα δευτερόλεπτα. Στη δεκαετία του 1930, ο Otto Neugebauer [7] επινόησε ένα σύγχρονο σύστημα συμβολισμών για τους εξηκονταδικούς αριθμούς αντικαθιστώντας τη δεκαδική μορφή 0-59 σε κάθε θέση και χρησιμοποιώντας ένα ερωτηματικό (;) για το διαχωρισμό των ακεραίων και κλασματικών τμημάτων του αριθμού και ένα κόμμα (,) για το διαχωρισμό των θέσεων σε κάθε τμήμα. Για παράδειγμα, ο άρρητος √2=1, 41421356... [8] στο εξηκονταδικό σύστημα και σύμφωνα με το συμβολισμό του Neugebauer, γράφεται:

• Μελέτησαν τις φάσεις τις σελήνης και μπορούσαν να προβλέψουν τις εκλείψεις της, καθώς και του ήλιου.
• Επινόησαν ένα πληρέστατο σύστημα μονάδων μήκους, επιφάνειας, όγκου, βάρους και χρόνου.
• Επινόησαν ένα είδος νομισματικού συστήματος κι ένα λογιστικό σύστημα για τις εμπορικές συναλλαγές τους.
• Κατασκεύασαν αρδευτικά έργα για την καλύτερη εκμετάλλευση των υδάτων Τίγρη και Ευφράτη.
• Οι ράβδοι χρυσού και ασημιού καθώς και τα δακτυλίδια ζυγίζονταν με ακρίβεια και σφραγίζονταν ως εγγύηση για την ποιότητα και ποσότητα των μετάλλων τους.

√2, σε Βαβυλωνιακή πινακίδα χειρός από τη συλλογή του παν. Yale

Συνοψίσουμε τώρα τις θαυμαστές επιστημονικές και τεχνολογικές εφευρέσεις των Σουμερίων:

γραφή / αριθμητική / γεωμετρία

μνημειακή αρχιτεκτονική / λογοτεχνία

σχολείο / λεξικό / προσωπογραφία / λογιστική

καταμερισμός εργασίας / επαγγελματικός στρατός

αρδευτικό σύστημα / αγροκαλλιέργεια / μονοκαλλιέργεια

αποχέτευση / τροχός / χαλκός

μπρούντζος / αψίδα / ιστιοφόρο / πανοπλία

ηλιακό ρολόι / σεληνιακό ημερολόγιο

σμίλη / σφυρί / πριτσίνια / πριόνι / δρεπάνι / τσάπα

κόλλα / πίσσα / σπαθί θήκη σπαθιού / ιμάντας / ιπποσκευές

λύρα / άρπα

άρμα / άμαξα

καμίνι / τούβλο / κεραμική ρόδα

άροτρο / μεταλλικά οικιακά σκεύη

φορολογία / φοροείσπραξη

μπύρα(!)

Την εποχή που οι Σουμέριοι πραγματοποιούσαν όλα αυτά τα θαυμαστά επιστημονικά και τεχνολογικά επιτεύγματα, οι άλλοι λαοί ζούσαν ακόμη στη Λίθινη εποχή.

Πινακίδα Shuruppak

Η πινακίδα από την πόλη Σουρουπάκ χρονολογείται περί το 2700 π.Χ. και είναι το αρχαιότερο σωζόμενο μαθηματικό κείμενο. Πρόκειται για έναν πίνακα, που αφορά στον υπολογισμό των εμβαδών 6 ορθογώνιων παραλληλογράμμων, των οποίων τα μήκη είναι 60 φορές μεγαλύτερα από το πλάτη τους. Η πινακίδα δεν φαίνεται να εξυπηρετεί κάποιο πρακτικό σκοπό, κι αν αυτό είναι αλήθεια, τότε ή πρόκειται για το πρώτο μνημείο καθαρών μαθηματικών ή για το πρώτο (σχολικό) εγχειρίδιο.

Σημείωση: Το άρθρο αυτό αποτελεί τμήμα ενός μεγαλύτερου που αφορά γενικά στα Βαβυλωνιακά Μαθηματικά και η συνέχειά του θα αναρτηθεί προσεχώς. Η όλη εργασία, που αφορά στην ιστορική εξέλιξη των Μαθηματικών και ιδιαίτερα της Γεωμετρίας, θα δοθεί σε PDF αν και όταν τελειώσει.
Παραλείπω εδώ την Βιβλιογραφία, θα δοθεί στο τέλος αυτής της εργασίας.

Υποσημειώσεις
[1] Το 538 π.χ. η Βαβυλώνα κυριεύτηκε από τον Πέρση βασιλιά Κύρο, και η Μεσοποταμία έγινε επαρχία της Περσίας.
[2] Οι χρονολογίες ποικίλουν στη βιβλιογραφία· επιλέξαμε τον “μέσο όρο”. Οι Σουμέριοι πιθανώς να πρωτοεμφανίστηκαν στην περιοχή της Μεσοποταμίας την Χαλκολιθική ή πρώιμη εποχή του Χαλκού, περί το 6000 π.Χ.
[3] Η χώρα ονομαζόταν Σουμέρ και όχι Σουμερία.
[4] Στην “Ιστορία της Γεωγραφίας του Ανθρώπινου Γονιδιώματος” εκφράζεται η άποψη ότι οι κάτοικοι του Κουβέιτ είναι απόγονοι των Σουμερίων.
[5] Η εσωτερική οικονομία ήταν ανταλλακτική. Η φορολόγηση γινόταν σε σπόρους, ζώα, αποξηραμένες τροφές και άλλα αγαθά. Για τις εξωτερικές ανταλλαγές ανέπτυξαν το πρώτο νομισματικό σύστημα.
[6] a-nun-na(-k): ευγενικής καταγωγής, φόβος / da-nun-na(-ke-ne): οι θεοί του Κάτω Κόσμου, σε αντιπαράθεση με τους nun-gal-e-ne: θεούς των ουρανών.
[7] Otto Eduard Neugebauer (1899-1990). Αυστροαμερικανός μαθηματικός και ιστορικός της επιστήμης. Ασχολήθηκε με τα μαθηματικά και την αστρονομία από την αρχαιότητα μέχρι το Μεσαίωνα.
[8] Το σύγχρονο σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας. Για πρώτη φορά το 1220 ο Leonardo da Pisa (Fibonacci) (περ.1175-1250), στο έργο του “Practica Geometriae”, χρησιμοποιεί το γράμμα “R” (εκ του “Radix / Root”) με μία διαγώνιο γραμμή για να δηλώσει την τετραγωνική ρίζα. Το γνωστό μας σύμβολο “√”, χωρίς όμως τον δεσμό (vinculum) πρωτοεμφανίζεται το 1525 στο πρώτο βιβλίο Άλγεβρας στα Γερμανικά, “Die Coss”, του Christoff Rudolff (1499-1545)· ο Rudolff δεν χρησιμοποιούσε δείκτες για τις ρίζες ανώτερης τάξης, αλλά τροποποιούσε το σύμβολο. O Leonhard Euler (1707-1783), στο “Institutiones Calculi Differentialis” (1775), θεωρεί ότι το σύμβολο προέρχεται από το γράμμα “r”, κάτι το οποίο ο Ελβετοαμερικανός ιστορικός των Μαθηματικών Florian Cajori, στην “Ιστορία των Μαθηματικών Συμβόλων” απορρίπτει. Στο έργο του “La Geometrie” (1637) ο Καρτέσιος (1596-1650) χρησιμοποιεί για πρώτη φορά το σύμβολο “√α” με το "δεσμό".