Οι Βαβυλώνιοι και τα Μαθηματικά τους

Αυτό είναι ένα άλλο τμήμα των Μαθηματικών μου Σημειώσεων, που αφορά στα Ιστορικά Μαθηματικά και συγκεκριμένα σ’ αυτά των Βαβυλώνιων. Το κείμενο, λόγω των πολλών μαθηματικών τύπων, στοιχειοθετήθηκε με το XeLaTeX (και είμαι πολύ περήφανος γι’ αυτό και ρίχνω μαύρη πέτρα σε όλους τους επεξεργαστές κειμένου που χρησιμοποίησα μέχρι σήμερα). Η παλαιότητα του template του ιστολογίου μου δεν επιτρέπει να ανεβάσω μαθηματικούς τύπους και γι’ αυτό η δημοσίευση γίνεται με εικόνες (απαιτείται λίγο υπομονή μέχρι να κατέβουν). Οι εικόνες είναι μέτριας ποιότητας για να μην έχουν μεγάλο μέγεθος. Αν κάνετε κλικ πάνω τους, ανοίγουν σε καινούριο παράθυρο και μπορείτε να διαβάσετε πιο άνετα το κείμενο. 

Αν με τη βοήθεια της Ιστάρ τελειώσει αυτή η εργασία, θα αναρτήσω το PDF.

Πόσο Λυπάμαι

Πόσο Λυπάμαι

Από την Αθηναϊκή ηθογραφία “Τρείς Σωματοφύλακες” του Μοντιάλ.  

Κώστας Γιαννίδης

Βαλς, 1938

Μεταγραφή για φωνή και πιάνο:

Δημήτρης Συκιάς

Οκτώβριος 2017

*

Πολλές αγάπες γνώρισα 

αγάπησα και χώρισα

μα όπου κι αν γυρνούσα

εσένα ζητούσα.

Στα όνειρα τα χίλια μου

σε γύρευαν τα χείλια μου

σε γύρευε η ψυχή μου

κι οι πόθοι οι κρυφοί μου.

Πόσο λυπάμαι

τα χρόνια που πήγαν χαμένα 

πριν να γνωρίσω εσένα

που πρόσμενα καιρό.

Μα πώς φοβάμαι

πως ίσως μια μέρα σε χάσω

γιατί να σε ξεχάσω

ποτέ δεν θα μπορώ.

Γύρε κοντά μου αγάπη γλυκιά μου 

θέλω ακόμα ξανά να σου πω.

Οι Σουμέριοι και τα Μαθηματικά τους

Οι πρώτοι πολιτισμοί αναπτύχθηκαν στην Ανατολική Μεσόγειο και στη Δυτική Ασία. Οι παράγοντες που έπαιξαν καθοριστικό ρόλο στη δημιουργία αυτών των πολιτισμών είναι:

• το κλίμα,
• η γεωγραφική θέση,
• η ύπαρξη νερού.

Η περιοχή της Μεσοποταμίας και η Αίγυπτος πληρούσαν αυτές τις προϋποθέσεις κι εκεί αναπτύχθηκαν οι πρώτοι πολιτισμοί. Μετακινήσεις λαών, από λιγότερο πλεονεκτικές περιοχές, έγιναν αιτία πολέμων και καταστροφών, αλλά επειδή “πόλεμος πατὴρ πάντων”, νέοι πολιτισμοί γεννήθηκαν και δανειζόμενοι τα καλύτερα από τους προηγούμενους, πρόσφεραν κι αυτοί με τη σειρά τους στην εξέλιξη της ανθρωπότητας.

Πολιτισμός χωρίς μαθηματικά δεν υπάρχει. Οι πρώτοι αυτοί λαοί ανάπτυξαν αριθμητικές και γεωμετρικές μεθόδους, για να διευκολύνουν την καθημερινή τους ζωή, να ασκήσουν τις εμπορικές τους δραστηριότητες, να οικοδομήσουν ναούς και κτήρια…Τα μαθηματικά τους, απ’ όσο τουλάχιστον μπορούμε να γνωρίζουμε, παράμειναν στο εμπειρικό - πρακτικό επίπεδο.

Οι Λαοί της Μεσοποταμίας - Βαβυλώνα

Μεσοποταμία, Ασσούρ στην ασσυριακή γλώσσα, ονόμασαν οι αρχαίοι Έλληνες το γεωγραφικό τμήμα που διαρρέεται από τους μεγάλους ποταμούς Τίγρη στα ανατολικά και Ευφράτη στα δυτικά και περιλαμβάνει τις κοιλάδες των δύο ποταμών και των παραποτάμων τους. Το βόρειο τμήμα της Μεσοποταμίας οι Έλληνες ονόμαζαν Ασσυρία, το κεντρικό Βαβυλωνία και το νότιο Χαλδαία. Η άρδευση των υδάτων των δύο ποταμών μετέβαλλε το άγονο και αργιλώδες τμήμα της κεντρικής και νότιας Μεσοποταμίας σε εύφορο έδαφος για την καλλιέργεια σιταριού και κριθαριού, γιαυτό το λόγο η περιοχή ονομάστηκε και “γόνιμη ημισέληνος”. Ο άνθρωπος από θηρευτής ή συλλέκτης τροφής περνά τώρα στη συλλογική ζωή, τη μόνιμη κατοικία και την καλλιέργεια της γης. Όπου ικανοποιούνται αυτές οι συνθήκες, αναπτύσσεται και πολιτισμός· ο άνθρωπος εξελίσσεται κοινωνικά και οικονομικά και περνά στο παραγωγικό και οργανωτικό στάδιο. Έτσι λοιπόν, από το 5000 π.Χ. περίπου μέχρι την Ελληνιστική εποχή και την εμφάνιση του Χριστιανισμού, οι λαοί της Μεσοποταμίας αναπτύσσουν έναν αξιολογότατο πολιτισμό. Η ευρύτερη περιοχή φιλοξένησε πολλούς λαούς, μεταξύ των οποίων: οι άκρως επινοητικοί, φιλεργατικοί και φιλότεχνοι Σουμέριοι, οι βόρειοι γείτονές τους Ακκάδες, που κατέκτησαν και αφομοίωσαν τον πολιτισμό των Σουμερίων, οι σιδηροτεχνίτες Χετταίοι, οι τρομεροί Ασσύριοι με τον περιώνυμο βασιλιά τους Σαρδανάπαλο, και οι Χαλδαίοι με τον βασιλιά τους Ναβονάσσαρο, θεωρούμενο ως πατέρα της Αστρολογίας, η ακολουθία των μεγάλων βασιλέων τελειώνει με τον Ναβουχοδονόσορα Β τον Μέγα. Στο τέλος, οι Πέρσες [1] επικράτησαν στην περιοχή, μέχρι την υποταγή τους από τον Μ. Αλέξανδρο.

Λύρα τῶν Σουμερίων

Σουμέριοι

ki-en-gir: Σουμέρ

Την περίοδο 3000-1500 π.Χ. [2] άκμασαν οι Σουμέριοι [3], άγνωστης καταγωγής, πιθανώς μογγολικής, δημιουργώντας έναν υψηλού επιπέδου πολιτισμό και ίδρυσαν την πρώτη πόλη του κόσμου, την Εριντού. Την χώρα τους ονόμαζαν “ki-en-gir” (η χώρα των πολιτισμένων αρχόντων”, οι ίδιοι δε αυτοαποκαλούντο “ùĝ saĝ gíg ga” (άνθρωποι με μαύρο κεφάλι).[4] Ζούσαν στο κατώτερο τμήμα της πεδιάδας της Μεσοποταμίας, στο μιχό του περσικού κόλπου, στο σημερινό νότιο Ιράκ. Όταν η εξουσία πέρασε από τους ιερείς στους βασιλείς, όπως θα δούμε παρακάτω, η ηγεμονία ασκήθηκε από τις πόλεις Κις, Ουρ (Ur, Urim), γενέτειρα του Αβραάμ (Γέννεσις,11:28-31), Ουρούκ, Αντάμπ και Ακσάκ. Οι Σουμέριοι ήταν ένας ιδιαίτερα έξυπνος και εφευρετικός λαός. Ασχολούνταν με την γεωργία, την κτηνοτροφία και το εμπόριο. Ανακάλυψαν τον τροχό, κατασκεύασαν το κάρο και αρδευτικά κανάλια· ήταν δε από τους πρώτους που επεξεργάστηκαν το μέταλλο, τελειοποίησαν το αλέτρι και μετέτρεψαν το γάλα σε βούτυρο. Ανάπτυξαν το εμπόριο γεωργικών και κτηνοτροφικών προϊόντων και έκαναν εισαγωγές πρώτων υλών, κυρίως μετάλλων. Το κράτος ήταν θεοκρατικό και οργανωμένο σε πόλεις. Κατασκεύασαν μνημειώδεις ναούς, τους λεγόμενους ζιγκουράτ (Λόφος των Ουρανών), με οικοδομικό υλικό πλίνθους ψημένους στον ήλιο ή σε καμίνια.

Αναπαράσταση του ζιγκουράτ της Ουρ

Γλώσσα-Γραφή. Από το 4000 π.Χ. μιλούσαν την αρχαία Σουμεριακή γλώσσα η οποία δεν συσχετίζεται με καμιά άλλη γνωστή γλώσσα. Γύρω στο 2300 π.Χ. τα Ακκαδικά γίνονται η καθημερινή γλώσσα, αλλά τα αρχαία Σουμεριακά εξακολουθούν να χρησιμοποιούνται ως κλασική, επίσημη γλώσσα για 2000 ακόμη χρόνια, όπως τα Λατινικά στην Ευρώπη. Μεταξύ του 3500 και 3100 π.Χ. ανακάλυψαν τη σφηνοειδή γραφή, που διακρίνεται από τη σημιτική (Εβραϊκά, Αραβικά, Αραμαϊκά). Ακόμα πιο παλιά όμως, εκατοντάδες πήλινες πινακίδες από την πόλη Ουρούκ, που χρονολογούνται από το 5000 π.Χ., μαρτυρούν μια πρώιμη πτικτογραμματική / εικονογραφική / λογογραφική / πρωτοσφηνοειδή γραφή, 2000 περίπου πικτογραμμάτων, που αφορούν κυρίως σε αγαθά προς ανταλλαγή και καθημερινά αντικείμενα (δείτε το παρακάτω σχήμα). Τα πικτογράμματα χαράσσονταν σε πηλό με ειδική γραφίδα. Η γραφίδα ήταν από καλάμι σε σχήμα σφήνας και δεν αποκλείεται να αποτέλεσε η ίδια την έμπνευση για τη σφηνοειδή γραφή.  Το σύνολο των πικτογραμμάτων συνιστά μια γραπτή γλώσσα με τη μορφή εικόνων, χωρίς τη χρήση γραμμάτων από κάποιο αλφάβητο· δεν πρέπει να συγχέονται με τα ιδεογράμματα που χρησιμοποιούνται για να εκφράσουν ιδέες. Να σημειώσουμε, ότι η πικτογραμματική και η σφηνοειδής είναι τύποι γραφής και όχι γλώσσα. Στην Εγγύς Ανατολή, γλώσσες που δεν σχετίζονταν μεταξύ τους - Σουμερικά, Ακκαδικά, Χεττιτικά και Ελαμιτικά - χρησιμοποιούσαν τη σφηνοειδή γραφή.

Η εξέλιξη της πικτογραμματικής σε σφηνοειδή γραφή

Θα διακινδυνεύσουμε ένα παραλληλισμό ανάμεσα στα πικτογράμματα των Σουμερίων και στα εικονίδια (icons) που χρησιμοποιούνται στους υπολογιστές και στα άλλα ηλεκτρονικά μέσα: η εικόνα μιας γάτας, μιας και οι γάτες είναι παντού οι ίδιες, δεν χρειάζεται κανενός είδους επεξήγηση, καμιά γλώσσα να την περιγράψει. Στις πολυπληθείς Σουμεριακές πόλεις μια γλώσσα πικτογραμμάτων φαντάζει ιδανική, το ίδιο ισχύει και για μια οθόνη υπολογιστή που την κοιτούν τόσα και διαφορετικά ζευγάρια μάτια.

Δείγμα σφηνοειδούς γραφής με τη γραμματοσειρά Assurbanipal

Την περίοδο της Ακκαδικής εισβολής, τα πικτογράμματα έχουν ήδη περιοριστεί στο 1/3 περίπου και βαθμιαία δίνουν τη θέση τους σε σφηνοειδή σύμβολα κι έτσι αναπτύσσεται η σφηνοειδής γραφή (cuneiform writing, λατ. cuneus = σφήνα), η οποία με τον καιρό υιοθετήθηκε και από άλλους λαούς της Εγγύς Ανατολής (αποτέλεσε βάση για τη δημιουργία των Ακκαδικών, Ελαμιτικών, Χεττιτικών, Ουγκαριτικών και αρχαίων Περσικών αλφαβήτων). Υπάρχει μια διαφορά ανάμεσα στα πρώιμα Σουμεριακή γραφή και στην Ακκαδική: τα πικτογράμματα είναι περισσότερο εικόνες παρά σύμβολα, το αντίθετο ισχύει με τα σφηνοειδή σύμβολα. Την Ακκαδική περίοδο συντάσσονται λεξικά(!) που συσχετίζουν την πρώιμη με την ύστερη Σουμεριακή γραφή και διευκολύνουν την ομαλή μετάβαση από τη μία στην άλλη. Από την περίοδο της Δυναστείας του Χαμουραμπί έχουν βρεθεί χιλιάδες πινακίδες από ένα σύνολο εκατομμυρίων που έχει φέρει στο φως η αρχαιολογική σκαπάνη. O (φτηνός και άφθονος στην περιοχή) πηλός αντέχει καλύτερα στο χρόνο από από τον (ακριβό) Αιγυπτιακό πάπυρο κι αυτός είναι ο λόγος που γνωρίζουμε περισσότερα για τα μαθηματικά των Μεσοποτάμιων παρά των Αιγυπτίων. Η σφηνοειδής γραφή προηγείται χρονικά των ιερογλυφικών της Αιγύπτου, αποκρυπτογραφήθηκαν όμως πρώτα τα ιερογλυφικά.

Ο βασιλιάς Γκουντέα

Οργάνωση. Οι μεγάλες εκτάσεις που έπρεπε να ποτιστούν και να καλλιεργηθούν απαιτούσαν διοικητική οργάνωση και καταμερισμό της εργασίας. Για τη “χρηματοδότηση” αυτών των εργασιών [5] απαιτείτο επίσης ένα φορολογικό / φοροεισπρακτικό σύστημα και μία μέθοδος καταγραφής αγαθών και φορολογικών εισπράξεων. Η γη έπρεπε να διαμοιραστεί για καλλιέργεια στους πολίτες, να διευθετηθεί το θέμα παροχής νερού και να μοιραστούν τα πλεονάζοντα αγαθά. Στην αρχή τη διοίκηση ασκούσαν οι αρχιερείς στους ναούς, αργότερα, όταν οι πόλεις έγιναν πολυπληθέστερες και πιο ισχυρές, τη διοίκηση ανάλαβαν οι βασιλείς (λούγκαλ: “ισχυρός άνδρας”, σίπα λούγκαλ: “βασιλιάς-ποιμένας”), οι οποίοι επίσης ήταν και αρχιστράτηγοι. Κι εδώ πάλι μας εκπλήσσουν οι Σουμέριοι, το βασιλικό μοντέλο ήταν αυτό του βασιλιά-ποιμένα. Σε αντίθεση με τους Φαραώ της Αιγύπτου, τους Κινέζους και τους Ιάπωνες αυτοκράτορες που ήταν απρόσιτοι και δεν ενδιαφέρονταν για το λαό, οι Σουμέριοι βασιλείς ήταν “ποιμένες” του λαού τους, δούλευαν για το καλό του χωρίς να ασκούν αυταρχική εξουσία. Αντί για κορώνα φορούσαν το “σκούφο του βοσκού”. Συγκρίνετε τη γλυκιά και προσηνή μορφή του εικονιζόμενου βασιλιά Γκουντέα μ’ αυτήν κάποιου Φαραώ. Δυο σχεδόν μυθολογικοί βασιλείς των Σουμερίων ήταν ο Ετάνα ο ποιμήν που προσάρτησε νέα εδάφη, βασίλευσε για 1500 χρόνια και στο τέλος ανελήφθη στους ουρανούς και ο Λουγκαλμπάντα ο ποιμήν, που βασίλευσε για 1200 χρόνια. Ιστορικά πρόσωπα ήταν οι βασιλείς Γκουντέα και Ουρ-Νάμμα, οι οποίοι βασίλευσαν περί το 2100 π.Χ. Σημαντικότερος βασιλιάς της Σουμερικής περιόδου ήταν ο Σούλγκι (Shulgi), της Τρίτης Δυναστείας της Ουρ· βασίλευσε για 47 χρόνια (2094-2047 π.Χ.)

Γκιλγκαμές

Θρησκεία-Μυθολογία. Η λατρεία των θεών για τους Σουμέριους ήταν στενά συνδεδεμένη με την ύπαρξή τους. Πίστευαν ότι οι θεοί έφτιαξαν τον άνθρωπο για να δουλεύει γι’ αυτούς. Λάτρευαν πολλούς θεούς, ανεξάρτητα κατά πόλη, κάθε πόλη-κράτος είχε και το δικό της προστάτη θεό. Κοινός όμως θεός όλων των Σουμερίων όμως ήταν ο Νινούρτα. Η κύρια θηλυκή θεότητα ήταν η Ινάννα (για τους Σουμέριους) ή Ιστάρ, (για τους Ακκάδιους και Ασσυρίους) “Αγία Παρθένα” και “ Βασίλισσα του Ουρανού”, κόρη του θεού Άνου, είναι η πρώτη γνωστή θεότητα που σχετίστηκε με τον πλανήτη Αφροδίτη. Θεά της γονιμότητας και του αισθησιασμού (ως Πούλια), της αγάπης, της ομορφιάς, της επιθυμίας, της μάχης, της καταστροφής και της πολιτικής δύναμης (ως Αυγερινός). Όπως και ο Ορφέας, κατέβηκε στον Κάτω κόσμο για να διεκδικήσει την εξουσία της. Οι θεοί λατρεύονταν στα ζιγκουράτ· οι ιερείς των Σουμερίων ονομάζοντο πατέσι. Τα ζιγκουράτ είχαν την μορφή βαθμιδωτής πυραμίδας, ο κυρίως ναός βρισκόταν στην κορυφή της κατασκευής και αποτελείτο από δύο δωμάτια, ένα για τον τιμώμενο θεό και το άλλο η κατοικία του ιερέα. Τα πρώτα ζιγκουράτ χρονολογούνται από τις αρχές της 3ης χιλιετίας και σήμερα διασώζονται 32. Επιβλητικό είναι το μεγάλο ζιγκουράτ της πόλης Ουρ, αφιερωμένο στο θεό της Σελήνης Νάνναρ (αυτός που φωτίζει) και αυτό της πόλης Νιπούρ αφιερωμένο στο θεό Ενλίλ. Οι ιερείς έπαιζαν σημαντικότατο ρόλο στη ζωή των Σουμερίων. Ερμήνευαν τα όνειρα και τους οιωνούς και προφήτευαν το μέλλον και συνέθεταν μύθους. Ανάμεσα στου μύθους των Σουμερίων συναντάμε την “Πτώση του Ανθρώπου” και μια μυθο-ιστορική εξιστόρηση του “Κατακλυσμού”. Δεν αποκλείεται οι Εβραίοι να επηρεάστηκαν από αυτούς του μύθους.

Οι Σουμέριοι δεν ονομάτιζαν τη θρησκεία τους, ούτε και εμείς σήμερα της αποδίδουμε κάποιο όνομα (π.χ. Ινδουισμός, Ζωροαστρισμός)· δεν είχαν καν είχαν λέξη που να περιγράφει την έννοια της “θρησκείας”.

Η μυθολογία των Σουμερίων είναι ιδιαίτερα ευφάνταστη. Σημαντικό λογοτεχνικό έργο και ένα από τα αρχαιότερα στον κόσμο είναι το “Έπος του Γκιλγκαμές”, μια συλλογή θρύλων και ποιημάτων, σε δώδεκα άσματα σε μεταγενέστερη Ακκαδική μορφή και όπως διασώζεται σήμερα, του ιστορικού πιθανώς ήρωα, αλλά με πολλά μυθικά στοιχεία, ημίθεου (2/3 θεός, 1/3 άνθρωπος), με υπερφυσικές δυνάμεις Γκιλγκαμές ή Γιλγαμές. Εδώ περιλαμβάνεται και ο μύθος / ιστορία του Κατακλυσμού, σε περιγραφή του βαρκάρη των Νερών του Θανάτου, Ουρσανάμπι (ο ανάλογος του πορθμέα Χάροντα στην Ελληνική μυθολογία). Ως ιστορικό πρόσωπο ο Γιλγκαμές έζησε περί το 3000 π.Χ και ήταν ο 5oς βασιλιάς της πόλης-κράτους Ουρούκ. Μαζί με τον θεόσταλτο φίλο του Ενκίντου αναλαμβάνουν αποστολές που απαιτούν υπεράνθρωπες δυνάμεις, αλλά και την αρωγή φίλιων θεών. Τα κατορθώματα του Γκιλγκαμές είναι ανάλογα με αυτά του δικού μας Ηρακλή (θανάτωση του δαίμονα στο Δάσος των Κέδρων, ζηλοτυπία και εκδίκηση των θεών, περιγραφή του Κάτω Κόσμου από τον ετοιμοθάνατο Ενκίντου, κ.α.) Έδωσε το όνομά του στον αστεροειδή 1812 Gilgamesh.

Η γραπτή Σουμεριακή λογοτεχνία - η αρχαιότερη στον κόσμο, από το 2500 π.Χ. - περιλαμβάνει αφηγηματική, διδακτική, διαλογική και λατρευτική ποίηση, ύμνους, θρήνους, τραγούδια, μύθους και παροιμίες.

Συνομωσιολογία. Το ανωτέρω εικονιζόμενο αγαλματίδιο προέρχεται από την πρωτο-Σουμεριακή περίοδο. Η παράξενη μορφή του εικονιζόμενου όντος (ανθρώπου;) μαζί με την ξαφνική εμφάνιση των Σουμερίων στο ιστορικό προσκήνιο και την πολιτισμική τους έκρηξη, έδωσαν αφορμή σε πολλούς να εικάσουν ότι βοηθήθηκαν από εξωγήινους. Κατά τη γνώμη μας, κάτι τέτοιο απαξιώνει τα επιτεύγματα και μειώνει την αξία της επινοητικότητας και δημιουργικής δύναμης των Σουμερίων, αλλά και του ανθρώπου γενικότερα. Η ιδιαίτερη απόδοση ανθρωπομορφών σε αγάλματα και ζωγραφική συναντάται συχνά σε αρχαίους πολιτισμούς· Κένταυρος Χείρων, Σφίγγα της Αιγύπτου, θεός Σεθ με κεφάλι κορακιού και σώμα ανθρώπου κ.α. Στη Σουμεριακή μυθολογία συναντάμε επίσης τους ερπετόμορφους Ανουνάκι [6], ένα συλλογικό όνομα για τους θεούς του ουρανού και της Γης, ή ακόμη και για τους θεούς του Κάτω Κόσμου. Από το δεύτερο μισό της 2^ης χιλιετίας διαφοροποιούνται σε Ιγγίγγι, θεούς του ουρανού και Ανουνάκι θεούς του Κάτω Κόσμου. Κάθε μια από τις Επτά Πύλες του Κάτω Κόσμου φυλάσσεται και από έναν Ανουνάκι. Σύμφωνα με τον συνομωσιολόγο Zecharia Sitchin οι μυθολογίες των λαών είναι η κρυφή ιστορία του κόσμου και οι μεγάλοι αρχαίοι πολιτισμοί είναι παλαιότεροι απ’ ότι μας τους παρουσιάζει η επίσημη Ιστορία και αποτελούν εξέλιξη της γνώσης που έδωσαν οι εξωγήινοι Ανουνάκι στους ανθρώπους, οι οποίοι αποίκησαν τον πλανήτη μας κάποια χρονική στιγμή. Οι Ανουνάκι υποτίθεται ότι προέρχονται από τον πλανήτη του ηλιακού μας συστήματος Νιμπίρου (Neberou: διασχίζω, για ποτάμι, βάρκα κ.τλ.· Ακκαδική και όχι Σουμεριακή λέξη) ή Ερκολούμπους ή Κόκκινο Πλανήτη ή πλανήτη Χ, με περίοδο περιφοράς γύρω από τον Ήλιο 3600 χρόνια. Το έργο του Sitchin έχει απορριφθεί από τους επιστήμονες ως ψευδοιστορικό και ψευδοεπιστημονικό λόγω προβληματικής επιστημονικής μεθόδου και της κατά βούληση μετάφρασης των αρχαίων κειμένων.

Καλλιτεχνική αναπαράσταση της πόλης Ουρ από τον Balage Balogh

Μαθηματικά. Οι Σουμέριοι, λόγω του Τίγρη και Ευφράτη, πρέπει να είχαν τα ίδια προβλήματα πλημμυρών με τους Αιγύπτιους και γενικότερα προβλήματα τοπογραφικής αποτύπωσης των γεωργικών εκτάσεων· αυτό, αλλά και η γενικότερη επινοητικότητά τους στη λύση πρακτικών προβλημάτων και στη βελτίωση του επιπέδου της ζωής τους, οδήγησε σε σημαντικές αριθμητικές και γεωμετρικές πρακτικές γνώσεις.

Ας δούμε μερικές στενά ή ευρύτερα μαθηματικές:

• Γνώριζαν τις τέσσερις βασικές πράξεις της αριθμητικής (έχουν βρεθεί πήλινες πινακίδες με πίνακες προπαίδειας σε σφηνοειδή γραφή) και ήξεραν να λύνουν αριθμητικά προβλήματα.
• Χρησιμοποιούσαν το εξηκονταδικό σύστημα αρίθμησης - βάση 60, ψηφία 0-59 σε (σύγχρονη γραφή) - και ήξεραν να χειρίζονται αρκετά μεγάλους και μικρούς αριθμούς.
• Στην αρχή, για την αναπαράσταση των φυσικών αριθμών, επινόησαν ένα σύστημα συμβόλων με ημικύκλια, κύκλους και συμπλέγματά τους· π.χ. 10 = •, 20 = ••.
• Από το 2400 π.Χ. άρχισαν να χρησιμοποιούν κλάσματα. Η εισαγωγή της έννοιας του κλασματικού αριθμού, από Σουμέριους και Αιγύπτιους είναι πολύ σημαντική, διότι επεκτείνει το σύνολο των φυσικών N στο σύνολο των ρητών αριθμών Q, με πολλαπλές πρακτικές χρήσεις. Οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν μόνο μοναδιαία κλάσματα, της μορφής 1/ν σε αντίθεση με τους Σουμέριους που χρησιμοποιούσαν τα πιο εύχρηστα κλάσματα της μορφής ν/60 ή ν/(60^2). Δεν υπήρχε όμως κάποιας μορφής συμβολισμός για τα κλάσματα, σαν τον α/β για παράδειγμα, που χρησιμοποιούμε σήμερα, έγραφαν απλώς τον αριθμό, έστω ν, και ο αναγνώστης από τα συμφραζόμενα θα έπρεπε να καταλάβει αν πρόκειται για φυσικό ή ρητό αριθμό. Αν π.χ. ήθελαν να γράψουν τον αριθμό 20, έγραφαν “<<”, όπου “<”= 10, αλλά και το κλάσμα 20/60=2/3 γραφόταν επίσης ως “<<”. Με τη βοήθεια του εξηκονταδικού τους συστήματος, οι Σουμέριοι μπορούσαν να προσεγγίσουν οποιοδήποτε κλασματικό αριθμό.
• Δεν έχουμε σαφείς ενδείξεις ότι είχαν μια ιδέα για το άπειρο και γενικότερα τα απειροσύνολα.
• Λόγω του εξηκονταδικού τους συστήματος αρίθμησης, χώρισαν το έτος σε 12 μήνες 30 ημερών και το μήνα σε 4 βδομάδες. Κάθε 6 χρόνια προσέθεταν ένα επιπλέον μήνα, για να διορθωθεί το λάθος των 5 περίπου ημερών ανά έτος (365,25 ημέρες το δικό μας Ιουλιανό έτος). Διαίρεσαν την ημέρα σε 24 ώρες, την ώρα σε 60 λεπτά και το λεπτό σε 60 δευτερόλεπτα. Η σύγχρονη γραφή της ώρας (στο στρατό, για δρομολόγια τρένων, αεροπλάνων κ.τ.λ), π.χ. 19:54:30, κάνει χρήση του δεκαδικού συστήματος για τις ώρες και του εξηκονταδικού για τα λεπτά και τα δευτερόλεπτα. Στη δεκαετία του 1930, ο Otto Neugebauer [7] επινόησε ένα σύγχρονο σύστημα συμβολισμών για τους εξηκονταδικούς αριθμούς αντικαθιστώντας τη δεκαδική μορφή 0-59 σε κάθε θέση και χρησιμοποιώντας ένα ερωτηματικό (;) για το διαχωρισμό των ακεραίων και κλασματικών τμημάτων του αριθμού και ένα κόμμα (,) για το διαχωρισμό των θέσεων σε κάθε τμήμα. Για παράδειγμα, ο άρρητος √2=1, 41421356... [8] στο εξηκονταδικό σύστημα και σύμφωνα με το συμβολισμό του Neugebauer, γράφεται:

• Μελέτησαν τις φάσεις τις σελήνης και μπορούσαν να προβλέψουν τις εκλείψεις της, καθώς και του ήλιου.
• Επινόησαν ένα πληρέστατο σύστημα μονάδων μήκους, επιφάνειας, όγκου, βάρους και χρόνου.
• Επινόησαν ένα είδος νομισματικού συστήματος κι ένα λογιστικό σύστημα για τις εμπορικές συναλλαγές τους.
• Κατασκεύασαν αρδευτικά έργα για την καλύτερη εκμετάλλευση των υδάτων Τίγρη και Ευφράτη.
• Οι ράβδοι χρυσού και ασημιού καθώς και τα δακτυλίδια ζυγίζονταν με ακρίβεια και σφραγίζονταν ως εγγύηση για την ποιότητα και ποσότητα των μετάλλων τους.

√2, σε Βαβυλωνιακή πινακίδα χειρός από τη συλλογή του παν. Yale

Συνοψίσουμε τώρα τις θαυμαστές επιστημονικές και τεχνολογικές εφευρέσεις των Σουμερίων:

γραφή / αριθμητική / γεωμετρία

μνημειακή αρχιτεκτονική / λογοτεχνία

σχολείο / λεξικό / προσωπογραφία / λογιστική

καταμερισμός εργασίας / επαγγελματικός στρατός

αρδευτικό σύστημα / αγροκαλλιέργεια / μονοκαλλιέργεια

αποχέτευση / τροχός / χαλκός

μπρούντζος / αψίδα / ιστιοφόρο / πανοπλία

ηλιακό ρολόι / σεληνιακό ημερολόγιο

σμίλη / σφυρί / πριτσίνια / πριόνι / δρεπάνι / τσάπα

κόλλα / πίσσα / σπαθί θήκη σπαθιού / ιμάντας / ιπποσκευές

λύρα / άρπα

άρμα / άμαξα

καμίνι / τούβλο / κεραμική ρόδα

άροτρο / μεταλλικά οικιακά σκεύη

φορολογία / φοροείσπραξη

μπύρα(!)

Την εποχή που οι Σουμέριοι πραγματοποιούσαν όλα αυτά τα θαυμαστά επιστημονικά και τεχνολογικά επιτεύγματα, οι άλλοι λαοί ζούσαν ακόμη στη Λίθινη εποχή.

Πινακίδα Shuruppak

Η πινακίδα από την πόλη Σουρουπάκ χρονολογείται περί το 2700 π.Χ. και είναι το αρχαιότερο σωζόμενο μαθηματικό κείμενο. Πρόκειται για έναν πίνακα, που αφορά στον υπολογισμό των εμβαδών 6 ορθογώνιων παραλληλογράμμων, των οποίων τα μήκη είναι 60 φορές μεγαλύτερα από το πλάτη τους. Η πινακίδα δεν φαίνεται να εξυπηρετεί κάποιο πρακτικό σκοπό, κι αν αυτό είναι αλήθεια, τότε ή πρόκειται για το πρώτο μνημείο καθαρών μαθηματικών ή για το πρώτο (σχολικό) εγχειρίδιο.

Σημείωση: Το άρθρο αυτό αποτελεί τμήμα ενός μεγαλύτερου που αφορά γενικά στα Βαβυλωνιακά Μαθηματικά και η συνέχειά του θα αναρτηθεί προσεχώς. Η όλη εργασία, που αφορά στην ιστορική εξέλιξη των Μαθηματικών και ιδιαίτερα της Γεωμετρίας, θα δοθεί σε PDF αν και όταν τελειώσει.
Παραλείπω εδώ την Βιβλιογραφία, θα δοθεί στο τέλος αυτής της εργασίας.

Υποσημειώσεις
[1] Το 538 π.χ. η Βαβυλώνα κυριεύτηκε από τον Πέρση βασιλιά Κύρο, και η Μεσοποταμία έγινε επαρχία της Περσίας.
[2] Οι χρονολογίες ποικίλουν στη βιβλιογραφία· επιλέξαμε τον “μέσο όρο”. Οι Σουμέριοι πιθανώς να πρωτοεμφανίστηκαν στην περιοχή της Μεσοποταμίας την Χαλκολιθική ή πρώιμη εποχή του Χαλκού, περί το 6000 π.Χ.
[3] Η χώρα ονομαζόταν Σουμέρ και όχι Σουμερία.
[4] Στην “Ιστορία της Γεωγραφίας του Ανθρώπινου Γονιδιώματος” εκφράζεται η άποψη ότι οι κάτοικοι του Κουβέιτ είναι απόγονοι των Σουμερίων.
[5] Η εσωτερική οικονομία ήταν ανταλλακτική. Η φορολόγηση γινόταν σε σπόρους, ζώα, αποξηραμένες τροφές και άλλα αγαθά. Για τις εξωτερικές ανταλλαγές ανέπτυξαν το πρώτο νομισματικό σύστημα.
[6] a-nun-na(-k): ευγενικής καταγωγής, φόβος / da-nun-na(-ke-ne): οι θεοί του Κάτω Κόσμου, σε αντιπαράθεση με τους nun-gal-e-ne: θεούς των ουρανών.
[7] Otto Eduard Neugebauer (1899-1990). Αυστροαμερικανός μαθηματικός και ιστορικός της επιστήμης. Ασχολήθηκε με τα μαθηματικά και την αστρονομία από την αρχαιότητα μέχρι το Μεσαίωνα.
[8] Το σύγχρονο σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας. Για πρώτη φορά το 1220 ο Leonardo da Pisa (Fibonacci) (περ.1175-1250), στο έργο του “Practica Geometriae”, χρησιμοποιεί το γράμμα “R” (εκ του “Radix / Root”) με μία διαγώνιο γραμμή για να δηλώσει την τετραγωνική ρίζα. Το γνωστό μας σύμβολο “√”, χωρίς όμως τον δεσμό (vinculum) πρωτοεμφανίζεται το 1525 στο πρώτο βιβλίο Άλγεβρας στα Γερμανικά, “Die Coss”, του Christoff Rudolff (1499-1545)· ο Rudolff δεν χρησιμοποιούσε δείκτες για τις ρίζες ανώτερης τάξης, αλλά τροποποιούσε το σύμβολο. O Leonhard Euler (1707-1783), στο “Institutiones Calculi Differentialis” (1775), θεωρεί ότι το σύμβολο προέρχεται από το γράμμα “r”, κάτι το οποίο ο Ελβετοαμερικανός ιστορικός των Μαθηματικών Florian Cajori, στην “Ιστορία των Μαθηματικών Συμβόλων” απορρίπτει. Στο έργο του “La Geometrie” (1637) ο Καρτέσιος (1596-1650) χρησιμοποιεί για πρώτη φορά το σύμβολο “√α” με το "δεσμό".

Μαθηματικός Πλατωνισμός (Updated)

Αυτό το το άρθρο αποτελείται από μέρος των σημειώσεων που κρατώ μελετώντας πάλι Γεωμετρία - μετά από 30 περίπου χρόνια - και κυρίως τη θεμελίωσή της από τον Ευκλείδη μέχρι τον Hilbert. Κάποια στιγμή το κεφάλαιο του Μαθηματικού Πλατωνισμού και γενικότερα της Φιλοσοφίας των Μαθηματικών απέκτησε μια σχετική πληρότητα και λογική συνέχεια στη γραφή και σκέφτηκα να τις αναρτήσω στο ιστολόγιό μου. Θα ήθελα να επιστήσω την προσοχή του αναγνώστη στο ότι αυτός που γράφει δεν είναι μαθηματικός ή φιλόσοφος της επιστήμης και ως εκ τούτου η αξιοπιστία αυτών που γράφει ελέγχεται. Εντούτοις κατέβαλα κάθε προσπάθεια συμβουλευόμενος αρκετά εγχειρίδια και ιστότοπους πάνω στο θέμα για την ακρίβεια των πληροφοριών που παραθέτω. Περιόρισα τις προσωπικές απόψεις στο ελάχιστο και, όσες υπάρχουν, γίνονται εύκολα αντιληπτές στο κείμενο.

Ο Penrose και ο Πλάτων

“Πόσο πραγματικά είναι τα αντικείμενα [1] του κόσμου των μαθηματικών;” αναρωτιέται ο Penrose στο “Νέο αυτοκράτορα(;) [2]”. Και απαντά:

“Από μια άποψη φαίνεται να μην έχουν καμιά σχέση με την πραγματικότητα. Τα μαθηματικά αντικείμενα είναι απλώς έννοιες· είναι οι νοητικές εξιδανικεύσεις που γίνονται από τους μαθηματικούς. Έστω κι αν συχνά είναι αποτέλεσμα της εξωτερικής εμφάνισης και της φαινομενικής τάξης που χαρακτηρίζουν τον κόσμο γύρω μας, δεν παύουν να είναι νοητικές εξιδανικεύσεις. Μήπως πρόκειται για κάτι άλλο πέρα από τα αυθαίρετα δημιουργήματα του ανθρώπινου νου; Κι όμως φαίνεται ότι οι μαθηματικές έννοιες έχουν μια δική τους ύπαρξη, που προχωρά πολύ πιο πέρα από τις νοητικές αναζητήσεις οποιουδήποτε συγκεκριμένου μαθηματικού. Είναι σαν να οδηγείται η σκέψη προς κάποια εξωτερική αλήθεια - μια αλήθεια που διαθέτει τη δική της πραγματική υπόσταση και αποκαλύπτεται στον καθένα μας αποσπασματικά.”

Ανακαλύπτονται τα Μαθηματικά ή εφευρίσκονται; Στην πολύ ενδιαφέρουσα και σημαντική για την κατανόηση του κόσμου μας αυτή ερώτηση - αναπάντητη επί του παρόντος και ίσως διά παντός - παρά την πληθώρα φιλοσοφικών θεωριών ιδίως στον 20^ο αι. - οι εμφορούμενοι από τις θεωρίες του Πλάτωνα μαθηματικοί απαντούν ότι τα μαθηματικά αντικείμενα έχουν δική τους υπόσταση, ανεξάρτητη από αυτόν που τα διανοείται. Και που βρίσκονται αυτά τα μαθηματικά αντικείμενα; Είναι μέρος του Πλατωνικού Κόσμου των Ιδεών!

Οι Τρεις Κόσμοι
Τα μαθηματικά αντικείμενα διαφέρουν όχι μόνον από αυτά που συναντάμε στο φυσικό κόσμο - τον κόσμο του “γίγνεσθαι” - αλλά και από τα νοητικά - αυτά που επινοούμε (γενικότερα αυτά που αποκαλούνται ψυχικά ενεργήματα, πάθη και παραστάσεις). Υπάρχει όμως μια βαθιά σχέση ανάμεσα στο φυσικό και νοητικό κόσμο. Ένα από τα μεγαλύτερα μυστήρια του Σύμπαντος είναι το πως ο πρώτος εξηγείται με τόσο θαυμαστή ακρίβεια από τον δεύτερο. Το μυστήριο βαθαίνει αν αναλογιστούμε ότι τα μαθηματικά (πιθανώς) δεν εξηγούν μόνο τα φυσικά φαινόμενα, αλλά και τις πράξεις μας, τα αισθήματά μας και τη συμπεριφορά μας. Αν φτάσουμε ποτέ σε μια “Θεωρία των Πάντων”, ίσως δραματικά διαπιστώσουμε ότι είμαστε μέρος μια εξίσωσης. Τους τρεις αυτούς κόσμους - Ιδεών, Φυσικό, Νοητικό - και τη διασύνδεσή τους αναπαριστά ο Penrose με το διπλανό σχήμα. Στο “The Road to Reality [3]” το σχήμα αυτό σχολιάζεται αρκετά και τροποποιείται στην πορεία διευρυνόμενο, κάτι που θα παραλείψουμε εδώ. Αξίζει πάντως κανείς να “διαλογιστεί” πάνω σ’ αυτήν την πλατωνικής προέλευσης ιδέα του σπουδαίου μαθηματικού και φυσικού. Να σημειώσουμε επίσης ότι ο Πλατωνικός Κόσμος των Ιδεών δεν περιλαμβάνει μόνον μαθηματικές ιδέες, αλλά και αυτές του ωραίου του αγαθού της δικαιοσύνης, της αρετής, της ευσέβειας κ.α.

Προσωκρατικοί

Ο Πλάτωνας ήταν βαθύς γνώστης της φιλοσοφίας των Προσωκρατικών, με μια προτίμηση σε Παρμενίδη και Πυθαγόρα, και γνώστης των μαθηματικών της εποχής του. Ο Παρμενίδης εισάγει την έννοια του σταθερού και αναλλοίωτου Εἶναι [4] και ο Ηράκλειτος του ευμετάβλητου, ρέοντος Γίγνεσθαι. Οι Προσωκρατικοί, και ιδίως ο Παρμενίδης, ανοίγουν το δρόμο και για την πλατωνική και την αριστοτέλεια φιλοσοφία. Συλλαμβάνεται η ιδέα της “Αρχής” του Κόσμου και χωρίζονται τα αισθητά από τα νοητά. Πρώτος ο Παρμενίδης [5] κάνει την διάκριση ανάμεσα στο όντως ον και στη γνώση του όντος. Το ον δεν μπορεί να αλλάξει διότι τότε θα γίνει μη-ον. Το παρμενίδειο ον είναι αδιατάρακτο και αγέννητο και μέσα στην ενότητά του διαλύεται ο κόσμος των φαινομένων και εντυπώσεων· το αληθινό ον, το Είναι, είναι διαφορετικό δεν έχει σχέση με τα αισθητηριακά δεδομένα και την υποκειμενική γνώμη. Το “Είναι” είναι αληθές και αμετάβλητο, η δόξα είναι το κοσμικό “γίγνεσθαι”. Ο Πυθαγόρας εισάγει την έννοια της περατής “μονάδας” και του “Απείρου”, το “Ένα” εισπνέει το άπειρο, χωρίζεται και δημιουργεί τον Κόσμο.

Ο Πλάτων ως Μαθηματικός
Διάκριση φαινομένων και πραγματικότητας γίνεται και στον Πλάτωνα. Τα ασταθή, ευμετάβλητα και φθαρτά αισθητά πράγματα, ο κόσμος δηλαδή των φαινομένων, οδηγούν σε δόξες (γνώμες). Πραγματική επιστήμη είναι μόνο τα Μαθηματικά, τα οποία υπάρχουν ανεξάρτητα από μας. Οι κλάδοι της Μαθηματικής Επιστήμης ιεραρχούνται ως εξής: Γεωμετρία (επιπεδομετρία και στερεομετρία), Αριθμητική, Αστρονομία και Αρμονία. Ο μαθηματικός δεν εφευρίσκει αλήθειες, τις ανακαλύπτει· αλήθειες που υπάρχουν ανεξάρτητα απ᾽ αυτόν που τις διανοείται. Ό,τι σχετίζεται με τις δόξες είναι Τέχνη και η ιεράρχηση εδώ είναι από την Ρητορική μέχρι την ανώτερη Τέχνη που είναι η Αρχιτεκτονική. Στην κορυφή Επιστημών και Τεχνών βρίσκεται η Φιλοσοφία η οποία δεν είναι μια ακόμη θεωρία, αλλά μια ενεργητική στάση ζωής [6].
Δεν μας άφησε αμιγές μαθηματικό έργο, επηρέασε όμως με τις ιδέες του τις μελλοντικές γενιές μαθηματικών κι αυτή η επιρροή, αν και εξασθένισε τον 20^ο αι., κρατεί μέχρι τις μέρες μας. Στους πρώιμους διαλόγους του δεν συναντάμε αναφορές στα Μαθηματικά, εξάλλου τα ενδιαφέροντα του δασκάλου του Σωκράτη εστιάζονταν στη πολιτική και την ηθική. Στα έργα όμως της μέσης περιόδου, τα Μαθηματικά γίνονται υπόδειγμα αντικειμενικότητας, εγκυρότητας, αχρονικότητας, ανεξαρτησίας και ακρίβειας, ένα πολύτιμο - αλλά όχι το υπέρτατο που είναι η Φιλοσοφία - εργαλείο για την κατανόηση του Κόσμου. Τα Μαθηματικά “είναι καθολικά χρήσιμα σε όλες τις τέχνες και σε κάθε μορφή γνώσης και διανοητικής λειτουργίας - το πρώτο πράγμα που θα πρέπει κανείς να μάθει” (Πολιτεία, 523). Εξάλλου και η επιγραφή στο υπέρθυρο της Πλατωνικής Ακαδημίας το καθιστούσε σαφές: “Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω”.

“Φαίδων” και “Πολιτεία”
Στο “Φαίδωνα” έχουμε μια πρώτη παρουσίαση του κόσμου των Ιδεών, της αθανασίας της ψυχής [7] (η οποία συγγενεύει με τις Ιδέες, ενώ το σώμα συγγενεύει με τον υλικό κόσμο [8]) και τις Ιδέες ως αιτίες των αισθητών. Στην Πολιτεία, η μαθηματική γνώση αποτελεί προϋπόθεση για μια ουσιαστική ενασχόληση με τη φιλοσοφία. Η τέλεια γνώση, η Επιστήμη μπορεί να προκύψει μόνο από τις Ιδέες, από το Είναι.

“Μενών”
Στο διάλογο “Μένων ή Περί Αρετής Πειραστικός”, ο Σωκράτης και ο νεαρός αριστοκράτης Μένωνας αναζητούν τον ορισμό της Αρετής και αναλύουν το ερώτημα αν αυτή είναι μπορεί να διδαχτεί. Ο Σωκράτης ρωτά τον δούλο του Μένωνα, ο οποίος δεν έχει πρότερη μαθηματική γνώση:

“εἰ οὖν εἴη αὕτη ἡ πλευρὰ δυοῖν ποδοῖν καὶ αὕτη δυοῖν, πόσων ἂν εἴη ποδῶν τὸ ὅλον; ὧδε δὲ σκόπει· εἰ ἦν ταύτῃ δυοῖν ποδοῖν, ταύτῃ δὲ ἑνὸς ποδὸς μόνον, ἄλλο τι ἅπαξ ἂν ἦν δυοῖν ποδοῖν τὸ χωρίον;” (ποια είναι η πλευρά τετραγώνου με εμβαδόν διπλάσιο του εμβαδού τετραγώνου με πλευρά δύο πόδια;) και με την μαιευτική του μέθοδο οδηγεί το νεαρό στη σωστή απάντηση, θέλοντας να αποδείξει ότι η μαθηματική γνώση προϋπάρχει, διότι τη γνώρισε η ψυχή μας πριν την ενσάρκωσή της στον υλικό κόσμο· στον κόσμο του γίγνεσθαι όμως, πρέπει να “θυμηθούμε” να “συνειδητοποιήσουμε’’ αυτό που ξέρουμε ήδη. Οι ερωτήσεις του Σωκράτη ξεκλειδώνουν τη μνήμη της “καθεύδουσας” ψυχής του δούλου και τον οδηγούν στη λύση του γεωμετρικού προβλήματος. Άρα, “εκείνος που δεν ξέρει, έχει μέσα του, για όσα δεν ξέρει, αληθινές γνώμες” (85c6), γνώμες τις οποίες “δεν του τις δίδαξε κάποιος” αλλά “όταν τις ξυπνήσει κανείς με ερώτηση γίνονται επιστήμες” (85d4-5) και τελικά “εκείνο που τώρα τυχαίνει να μην ξέρει” κάποιος “είναι εκείνο που δεν έχει θυμηθεί” (86b3-4). Η Γνώση είναι Ανάμνηση, η μνήμη προϋπάρχει του φυσικού σώματος.
Τρία στάδια διέρχεται ο δούλος μέχρι να αποκτήσεις αληθινή γνώση:

1. Συνειδητοποιεί ότι αυτά που γνωρίζει είναι ψευδή (84a2).
2. Μετά την κατάσταση της συνειδητής άγνοιας αρχίζει να αποκτά τις πρώτες αληθινές γνώμες· δεν έχει όμως αποκτήσει ακόμη γνώση (84d3-85b7).
3. Αποκτά αληθινή γνώση (98a4)

Με βάση το ίδιο το πρόβλημα τώρα (έστω α η πλευρά του αρχικού τετραγώνου με α = 2 πόδια και Ε₁ = α^2 το εμβαδόν του):

1. Ο δούλος διπλασιάζει την πλευρά του αρχικού τετραγώνου, του επισημαίνεται το λάθος μιας και το τετράγωνο που προκύπτει έχει τετραπλάσιο και όχι διπλάσιο εμβαδόν (Ε₂=4α$\sqrt{2}$, με Ε₂ το εμβαδόν του νέου τετραγώνου).
2. Στη συνέχεια αυξάνει την πλευρά α κατά 1 και προκύπτει Ε₂=(α+1)², αν α = 2 πόδια, το εμβαδόν που προκύπτει είναι 9 τ. πόδια· κι αυτή η λύση λανθασμένη.
3. Τελικά δίνεται η σωστή λύση. Ο διπλασιασμός του τετραγώνου επιτυγχάνεται, αν σχηματίσουμε ένα άλλο τετράγωνο με πλευρά τη διαγώνιο του πρώτου· αν β η πλευρά του νέου τετραγώνου τότε β = α$\sqrt{2}$.

Σημείωση: Η λύση που προτείνεται από τον Σωκράτη στο διάλογο είναι γεωμετρική και όχι αλγεβρική. Πρόκειται για μια γεωμετρική κατασκευή με γνώμονα και διαβήτη. Οι αρχαίοι Έλληνες όλα τα αλγεβρικά προβλήματα τα μετέτρεπαν σε γεωμετρικά.

Γεωμετρία
Η Γεωμετρία αποτελεί για τον Πλάτωνα ένα παράδειγμα του κόσμου των Ιδεών και της σχέσης του με τον φυσικό κόσμο. Ο φυσικός κόσμος δεν περιέχει αδιάστατα σημεία, γραμμές χωρίς πλάτος, τέλειους κύκλους και σφαίρες. Τα πρότυπα γεωμετρικά σχήματα των φυσικών αντικειμένων κατοικούν στον κόσμο των Ιδεών· εκεί τα συνάντησε και τα γνώρισε η ψυχή και μετά την ενσάρκωσή της προσπαθεί να τα θυμηθεί. Τα φυσικά αντικείμενα προσεγγίζουν τα αντίστοιχα τους ιδεατά· μια μπάλα ποδοσφαίρου για παράδειγμα προσεγγίζει σε κάποιο βαθμό την ιδέα της σφαίρας. Μια υλική σφαίρα, όσο καλά δουλεμένη και να είναι, όση τέχνη και να βάλουμε για να την σμιλέψουμε, ποτέ δεν ταυτιστεί με την έννοια καθευτό της σφαίρας, με το ατάραχο και αιώνιο νόημά της που κατοικεί στον κόσμο των Ιδεών. Οι εικόνες των υλικών αντικειμένων έχουν φυσικές ιδιότητες, βάρος, χρώμα υφή, οσμή και φθείρονται από το χρόνο, κάτι που λείπει από τα πρωτότυπά τους ιδεατά. Τα σχήματα της Γεωμετρίας αναπαριστούν ατελώς τις αναλλοίωτες και άχρονες μαθηματικές οντότητες. Οι μαθηματικές αλήθειες είναι ανεξάρτητες από τον όποιο μαθηματικό φορμαλισμό που επινοούμε για να τις εκφράσουμε. Λεπτός είναι και ο διαχωρισμός της έννοιας της ισότητας στον κόσμο των Ιδεών και στο φυσικό. Η καθεαυτή ισότητα έχει μια σταθερή, αναλλοίωτη σχέση με τον εαυτό της. Δεν μεταπίπτει ποτέ σε ανισότητα. Αντίθετα στον φυσικό κόσμο δεν υπάρχει ισότητα, υπάρχουν ίσα αντικείμενα (!)· και από τα ίσα μπορούν να προκύψουν άνισα, π.χ. 2=2 => → 2+3>2+1. Η καθαρή αρχή της ισότητας όμως δεν αλλάζει ποτέ το νόημά της. Αν το άλλαζε δεν θα είχαμε καμιά σταθερότητα στη γνώση μας κι αυτή η σταθερότητα είναι όρος απαράβατος για να έχουμε γνώση. Αλλά ούτε και τα ίδια τα φυσικά αντικείμενα δεν θα ήταν σταθερά, ο νους μας θα τα ανακάτωνε χωρίς κανένα εσωτερικό κανόνα “ἑλκόμενα ἄνω καὶ κάτω τῷ ἡμετέρῳ φαντάσματι” (“Κρατύλος”, 386e).

Η ανακάλυψη της μη ύπαρξης κοινού μέτρου ανάμεσα στην υποτείνουσα και τις κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου και κατ’ επέκταση των ασύμμετρων αριθμών, οδήγησε σε άδοξο τέλος την προσπάθεια των Πυθαγόρειων να ερμηνεύσουν τον κόσμο με απλούς λόγους φυσικών αριθμών. Ο Πλάτωνας αναλαμβάνει το έργο της ανασυγκρότησης των Πυθαγόρειων μαθηματικών, ένα έργο που θα ολοκληρώσει αργότερα ο Ευκλείδης με τα “Στοιχεία” του. Αντί για τους φυσικούς αριθμούς επιλέγει τη Γεωμετρία και γενικότερα “γεωμετρικοποεί” τα μαθηματικά που τώρα περιλαμβάνουν την Αριθμητική, την Αστρονομία και την Κοσμολογία· γίνεται θεμελιωτής τής γεωμετρικής εικόνας τού κόσμου και, μέσω αυτής, θεμελιωτής επίσης της νεότερης Επιστήμης - της επιστήμης του Κοπέρνικου, του Γαλιλαίου, του Kepler και του Newton. Tα “Στοιχεία” τού Ευκλείδη δεν είναι απλό εγχειρίδιο Γεωμετρίας, είναι μάλλον η τελευταία προσπάθεια της Πλατωνικής Σχολής να λύσει την κρίση με μια ολική ανασυγκρότηση των μαθηματικών και της κοσμολογίας σε γεωμετρικές βάσεις, ώστε να αντιμετωπισθεί το πρόβλημα των άρρητων με τρόπο συστηματικό και όχι περιστασιακά, σε αντίστροφη κατεύθυνση από το πυθαγόρειο πρόγραμμα αριθμητικοποίησης. [9]

Αν η Ευκλείδεια Γεωμετρία αντανακλά τον αληθή κόσμο των Ιδεών, τότε η μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες τι θέση έχουν; Είναι ψευδείς, ατελείς επινοήσεις του ανθρώπου; Μήπως αντανακλούν άλλους κόσμους, μη προσβάσιμους στον άνθρωπο; Σε κάθε περίπτωση αυτές οι εναλλακτικές γεωμετρίες αποτέλεσαν σοβαρό πλήγμα στην πλατωνική θεώρηση του κόσμου, μιας κι ο Ευκλείδης αποτελούσε το κατεξοχήν παράδειγμα της βεβαιότητας της ανθρώπινης γνώσης.

Αριστοτέλης
Ο μαθητής του Πλάτωνα, Αριστοτέλης, κράτησε αποστάσεις από τη θεωρία των Ιδεών [10] του δασκάλου του και ως εκ τούτου είχε και διαφορετική άποψη για τα σημεία, τις γραμμές, τα τρίγωνα και τα άλλα μαθηματικά αντικείμενα, θεωρεί ότι είναι απλά αφαιρέσεις με βάση την εμπειρία μας. Όταν συναντάμε τρίγωνα και σφαίρες στο φυσικό κόσμο διαμορφώνουμε τις έννοιες του τέλειου τρίγωνου και της τέλειας σφαίρας επικεντρώνοντας στις έννοιες της τριγωνικότητας και της σφαιρικότητας, αγνοώντας σκόπιμα υλικό, μέγεθος και βάρος. Μια μπάλα ποδοσφαίρου δεν είναι τέλεια σφαίρα, προσεγγίζει όμως την έννοια της σφαιρικότητας.

“Τίμαιος”
Ας στρέψουμε τώρα για λίγο την προσοχή μας για λίγο στον “Τίμαιο”. Πρόκειται για ένα διάλογο ανάμεσα στον Σωκράτη, τον Αθηναίο Κριτία και δύο Μεγαλοελλαδίτες, τον Ερμοκράτη από τις Συρακούσες και τον Τίμαιο από την ανώτερη κοινωνική τάξη των Λοκρών, με πολιτική δραστηριότητα, κατά την διάρκεια της πανήγυρης της θεάς Αθηνάς. Είναι ένα έργο δογματικής ή / και αποκαλυπτικής κοσμογονίας, βιολογίας και φυσιολογίας, μια διατριβή “περί Φύσεως” με πυθαγόρειες επιρροές. Στην αρχή του διαλόγου γίνεται διάκριση ανάμεσα στα γιγνόμενα και στα (όντως) όντα. Εισάγεται μετά ο Δημιουργός [11] ο οποίος είναι το αίτιο των γιγνομένων, του ορατού, αντιληπτού μέσω των αισθήσεων κόσμου στον οποίο ζούμε. Η Γέννηση του κόσμου δεν είναι μια φυσική ή τυχαία διαδικασία αλλά μίμηση ενός προτύπου το οποίο ενυπάρχει στο νου του δημιουργού, με τον ίδιο τρόπο που μέσω της μίμησης δημιουργείται ένα καλλιτεχνικό έργο. Ο Κόσμος δεν δημιουργείται από το μηδέν, προϋπάρχει το αναίτιο, άμορφο, άτακτο και απροσδιόριστο γίγνεσθαι, δηλαδή, ή ύλη προϋπάρχει του Κόσμου μαζί με τον Δημιουργό [12]. Ο Τίμαιος στο 28c του διαλόγου δηλώνει για τον ποιητή και πατέρα αυτού του κόσμου: “…είναι αδύνατον να βρεθεί· και αν ακόμη κάποιος τον βρει, είναι αδύνατον να τον φανερώσει σε όλους τους ανθρώπους”. Μπορούμε όμως να περιγράψουμε τις σκέψεις και τις πράξεις του”. Ο Θεός δημιουργεί τον κόσμο επιβάλλοντας τάξη στην αταξία· “εἰς τάξιν αὐτὸ ἤγαγεν ἐκ τῆς ἀταξίας”. Το “προσχέδιο” (blueprint) του κόσμου κατασκευάζεται με βάση τα καθαρά μαθηματικά, κάνει εφαρμογή “σχημάτων και αριθμών” (53b, 69b), χρησιμοποιεί “αναλογίες” (31c, 36b, 56b, 69b), “μεσότητες” (36a), και “συμμετρίες” (69b)· επειδή είναι αγαθός, θέλει να δημιουργήσει έναν κόσμο που να του μοιάζει “βουληθεὶς γὰρ ὁ θεὸς ἀγαθὰ μὲν πάντα, φλαῦρον δὲ μηδὲν εἶναι κατὰ δύναμιν…” (30a). Εδώ εντοπίζεται και η διαφορά του πλατωνικού από τον ιουδαϊκο-χριστιανικό θεό, ο θεός του Πλάτωνα δεν είναι παντοδύναμος! Ο θεός του Πλάτωνα κατασκευάζει τον κόσμο σεβόμενος την Ανάγκη!

Ο Δημιουργός και η Ανάγκη
Πλάι στο Δημιουργό στέκεται μία δεύτερη αντίρροπη κοσμική δύναμη η Ανάγκη [13]. Στο προκοσμικό χάος απόλυτη κυρίαρχος είναι η Ανάγκη, η τυφλή μηχανική αιτιότητα και το “τυχὸν ἄτακτον ἑκάστοτε ἐξεργάζεται” (46e). Ο Δημιουργός εμφανίζεται στο σημείο “0” του χρόνου, πείθει την Ανάγκη να συνεργαστεί και συναρμολογεί τον κόσμο.

Τα 4+1 Στοιχεία και τα Πλατωνικά Στερεά
Τα πρωταρχικά υλικά του σύμπαντος είναι τα τέσσερα στοιχεία: η φωτιά, ο αέρας, το νερό και η γη. Δεν έχουν δημιουργηθεί, υπάρχουν “φύσει και τύχῃ” (Νόμοι 889b). Στον “Τίμαιο”, ο Πλάτωνας μας δίνει μια λεπτομερή άλλα υποθετική ιστορία για το πως ο φυσικός κόσμος κατασκευάστηκε γεωμετρικά, από τα πέντε πλατωνικά στέρεα: τετράεδρο (πυραμίδα), οκτάεδρο, εξάεδρο (κύβος), εικοσάεδρο και δωδεκάεδρο (η πέμπτη ουσία). Στα πλατωνικά στερεά θα επανέλθουμε αναλυτικότερα με μια εργασία για την Ιερή Γεωμετρία των Πυθαγορείων.
Το “κακό” εμφανίζεται στον κόσμο αρκετά αργότερα, όταν οι κατώτεροι θεοί αναλαμβάνουν τον κόσμο και συναρμόζουν το γένος των ανθρώπων, το “θεοῦ τι παίγνιον μεμηχανημένον” (Νόμοι 803c).

Σύνοψη

Ας συνοψίσουμε τώρα τα περί Θεού-Δημιουργού:

• Η θεϊκή φύση του Δημιουργού έχει μαθηματικό χαρακτήρα.
• Ο πλατωνικός θεός είναι πρόσωπο και έχει σώμα αφού μπορεί και μιλά, είναι αγαθός, προνοητικός, επιθυμεί, χαίρεται, πιστεύει, είναι τεχνίτης-χειρωνάκτης, έχει ευγενή κίνητρα, επιθυμεί να φτιάξει ένα κόσμο που να του ομοιάζει και στο τέλος παραδίδει το κόσμο στους “νέους” θεούς και αποσύρεται.
• Δρα με σκοπιμότητα, με προσοχή, έχει κατασκευαστικό σχέδιο που βασίζεται σε ένα αφηρημένο πρότυπο.
• Αξιολογεί το προϋπάρχον υλικό του, υποτάσσεται και συμμορφώνεται [14] όπου δεν γίνεται διαφορετικά, με τις ιδιότητές αυτού του του υλικού και προσπαθεί να κάμψει την αντίστασή του και να το χειριστεί με τον καλύτερο και πιο αποτελεσματικό τρόπο.
• Οι πράξεις Του στοχεύουν στη δημιουργία τάξης από την αταξία, μαθηματική αρμονία και μέτρο, ακρίβεια, κυκλικές και ομαλές κινήσεις. Θα μπορούσαμε να πούμε με σύγχρονους όρους ότι ο Θεός καταναλώνει μέρος της ενέργειάς Του για να μειώσει την εντροπία του συστήματος.

Kαι τα περί Μαθηματικών Ιδεών:

• Περιγράφουν αναλλοίωτες δομικές σχέσεις του (ευρύτερου) κόσμου των Ιδεών.
• Μια μαθηματική πρόταση είναι αληθής αν μετέχει του κόσμου των Ιδεών.
• Η ύπαρξή τους είναι ανεξάρτητη από τον άνθρωπο, τον τρόπο προσέγγισης και τον φορμαλισμό που χρησιμοποιείται για την διατύπωσή τους.
• Είναι αναλλοίωτες, ανεξάρτητες από το χρόνο.
• Γίνονται γνωστές μέσω της νόησης, χωρίς αισθητηριακή αντίληψη, αν κι αυτή, μαζί με την “μαιευτική” μέθοδο, μπορεί κάποιες φορές να βοηθήσει στη σύλληψή τους.
• Τα εφαρμοσμένα μαθηματικά δικαιώνονται από τα καθαρά· δεν ισχύει το αντίστροφο.
• Μια μαθηματική ιδέα μπορεί να συλληφθεί ή όχι, τα πιθανά λάθη είναι καθαρά γλωσσικά.

Τέλος, ο Κόσμος των Ιδεών προσεγγίζεται:

• με τον μαθηματικό στοχασμό,
• την ενασχόληση με το Δίκαιο,
• την εποπτεία του Ωραίου.

Είχε δίκιο ο Πλάτωνας;

Υπάρχει όντως ο μαθηματικός πλατωνικός κόσμος; Αυτό δεν μπορούμε να το απαντήσουμε εδώ και κατά τη γνώμη μας δεν συνιστά επιστημονικό ερώτημα μιας και δεν ικανοποιεί την αρχή της διαψευσιμότητας (falsification\footnote{Κατά τον K. Popper επιστημονική είναι μόνο μία πρόταση που μπορεί να διαψευσθεί - δηλαδή που περιέχει τα κριτήρια για τον έλεγχό της. Μια θρησκευτική δοξασία ή μια θεωρία για το τι υπήρχε πριν τη γέννηση του χρόνου δεν είναι επιστημονικές προτάσεις γιατί δεν υπόκεινται σε έλεγχο εγκυρότητας.}), δεν μπορεί να γίνει δηλαδή κάποιο πείραμα που να αποδεικνύει την ύπαρξή του ή όχι. Πολλοί μαθηματικοί θεωρούν ότι μια τέτοια ιδέα είναι εξωπραγματική, φανταστική και μυστικιστική. Πρακτικά πάντως είναι χρήσιμη για τους εξής λόγους:

• Αναδεικνύει τη διάσταση ανάμεσα στον άνθρωπο και τη γνώση
• Μας καθιστά προσεκτικούς στη διάκριση μεταξύ μαθηματικών οντοτήτων και των προσεγγίσεών τους στο φυσικό κόσμο
• Εισάγει τα αφηρημένα μαθηματικά μοντέλα στην ερμηνεία των φυσικών φαινομένων

Η Άποψη του Poincaré

Ο H. Poincaré, στο ``La Valeur de la Science" (1905), σχολιάζει έμμεσα τον Πλατωνικό κόσμο:

Τούτη η αρμονία, την οποία η ανθρώπινη νόηση πιστεύει ότι ανακαλύπτει μέσα στη φύση, υπάρχει άραγε εκτός αυτής της νόησης; Είναι αδύνατο να υπάρχει μια πραγματικότητα εντελώς ανεξάρτητη από το πνεύμα που τη συλλαμβάνει, τη βλέπει ή την αισθάνεται. Ένας κόσμος τόσο εξωτερικός σαν αυτόν, ακόμη κι αν υπήρχε, θα μας ήταν για πάντα απρόσιτος. Ωστόσο, ό,τι ονομάζουμε αντικειμενική πραγματικότητα αποτελεί σε τελευταία ανάλυση αυτό που είναι κοινό για πολλά σκεπτόμενα όντα, και θα μπορούσε να είναι κοινό για όλα. Αυτό το κοινό στοιχείο, δεν μπορεί παρά να είναι η αρμονία που εκφράζεται από μαθηματικούς νόμους.

Αυτή η αρμονία, λοιπόν, είναι η μόνη αντικειμενική πραγματικότητα, η μόνη αλήθεια που θα μπορούσαμε να προσεγγίσουμε. Αν προσθέσω δε ότι η  αρμονία του κόσμου είναι η πηγή κάθε ομορφιάς, θα καταλάβουμε ποια αξία πρέπει να προσδώσουμε στις αργές και κοπιαστικές προόδους που μας ωθούν σιγά σιγά να τη γνωρίσουμε.

Ο Πλατωνιστής Gödel

Το 1931, ο ιδιοφυής, πλατωνιστής, 25-χρόνος μαθηματικός Gödel, που θεωρούσε ότι ο πλατωνισμός είναι η μόνη ολοκληρωμένη απάντηση στο μεταφυσικό πρόβλημα της ύπαρξης ή μη των μαθηματικών οντοτήτων, δημοσίευσε δύο θεωρήματα που έμελλε να έχουν σοβαρές και βαθιές επιπτώσεις στον αισιόδοξο κόσμο των μαθηματικών της εποχής. Αποδομεί ο Gödel τον πλατωνικό κόσμο των ιδεών, πλατωνιστής ων; Ας περιγράψουμε πρώτα, άκρως εκλαϊκευμένα, τα δύο Θεωρήματα της Μη Πληρότητας:
Για κάθε επαρκές και πλήρες σύνολο αξιωμάτων ενός Τυπικού Λογικού Συστήματος [15], ισχύουν:

• Αν το Σύστημα είναι συνεπές, τότε δεν μπορεί να είναι πλήρες.
• Η συνέπεια των αξιωμάτων του Συστήματος δεν μπορεί να αποδειχθεί εντός του Συστήματος.

Μια κριτική για τις επιπτώσεις των θεωρημάτων του Gödel στον κόσμο των Ιδεών ξεφεύγει από τις γνώσεις και τις διανοητικές ικανότητες του γράφοντος. Θα δανειστώ πάλι από τον Penrose, πρώτα από τον “Αυτοκράτορα” [16]:

“Πολλοί βλέπουν το θεώρημα του σαν κάτι το απαισιόδοξο - κάτι που δείχνει τους αναγκαίους περιορισμούς της τυποποιημένης μαθηματικής συλλογιστικής. Όσο κι αν νομίζουμε ότι το σύστημά μας υπήρξε περιεκτικό, πάντα θα υπάρχουν κάποιες προτάσεις που διαφεύγουν από τον κλοιό που έχουμε στήσει.”

Και από το “The Road [17]:

Υπάρχει μια κοινή παρανόηση, ότι ο Gödel μας λέει ότι υπάρχουν “αναπόδεικτες μαθηματικές προτάσεις” και αυτό συνεπάγεται την ύπαρξη μη προσβάσιμων σε μας περιοχών του πλατωνικού Κόσμου. Κάτι τέτοιο απέχει πολύ από τα συμπεράσματα που μπορεί να εξάγει κανείς από τα θεωρήματα της μη πληρότητας. Αυτό που πραγματικά λέει ο Gödel είναι ότι οποιουσδήποτε αποδεικτικούς κανόνες - που έχουμε θεωρήσει ως αληθείς, δηλ. κανόνες που δεν οδηγούν σε ψευδή συμπεράσματα - θέσουμε εκ των προτέρων (αξιώματα) και οι οποίοι δεν είναι πολύ περιορισμένοι, τότε, εφοδιαζόμαστε με νέα μέσα για να πλησιάσουμε αλήθειες, τις οποίες αυτοί οι ιδιαίτεροι κανόνες δεν είναι αρκετά ικανοί να προσεγγίσουν.

Φιλοσοφία των Μαθηματικών του 20ο αι. 

Από τα τέλη του 19^ου αι. και μετά διατυπώνονται νέες απόψεις για τη φύση των Μαθηματικών. Βασικές αιτίες τα παράδοξα που εμφανίστηκαν στη Συνολοθεωρία και μια πιο υλιστική θεώρηση του κόσμου. Ο Πλατωνισμός ξεθωριάζει, εξακολουθούν όμως σπουδαίοι μαθηματικοί να τον ενστερνίζονται. Συνοπτικά αναφέρουμε πέντε θεωρίες:
Σχήμα 5 Οι σπουδαιότερες θεωρίες της Φιλοσοφίας των Μαθηματικών

• Λογικισμός ή Λογικοκρατία (Logicismus ή Logismus): Η άποψη ότι τα Μαθηματικά αποτελούν επέκταση της Λογικής και επομένως μπορούν να αναχθούν σε αυτή, είχε ήδη διατυπωθεί από το 1879 από τον Gottlob Frege (1848-1925). Οι Bertrand Russell (1872-1970) και Alfred North Whitehead (1861-1947), βασικοί εκπρόσωποι αυτής της Σχολής σκέψης, στο μνημειώδες τρίτομο έργο τους “Principia Mathematica” (1910 / 1927) επιχειρούν μια πλήρη τυποποίηση των Μαθηματικών και θεμελιώνουν τον Λογικισμό. Όλες οι μαθηματικές έννοιες είναι δυνατόν να αναχθούν σε αφηρημένες ιδιότητες οι οποίες παράγονται μέσω των κανόνων της Λογικής. Ο Λογικισμός αποκλείει, ή έστω αφήνει λίγα περιθώρια για την διαίσθηση, ανάγει τα Μαθηματικά σε μια ταυτολογία. Θεωρεί την απόδειξη ως ένα απλό χειρισμό συμβόλων· το δε νόημα των συμβόλων δεν παίζει κανένα ρόλο. Ο μαθηματικός επιλέγει αξιωματικό σύστημα και ακολουθεί μια παραγωγική διαδικασία με απόλυτη αυστηρότητα.
• Φορμαλισμός (Formalism): Γενικότερη φιλοσοφική θεώρηση που αφορά στα Μαθηματικά, αλλά και γενικότερα στη Γλωσσολογία, την ίδια τη Φιλοσοφία, στη Θρησκεία και στις Τέχνες (μουσική, ζωγραφική, λογοτεχνία, αρχιτεκτονική κ.τ.λ.). Στα Μαθηματικά υπάρχουν αρκετές και διαφορετικές θεωρήσεις του Φορμαλισμού (Hilbert, Tomae κ.α.). Στις αρχές του 20^ου αι. ο σπουδαίος μαθηματικός David Hilbert (1862-1943) πρότεινε μια λύση στο πρόβλημα των παράδοξων και ασυνεπειών στα Θεμέλια των Μαθηματικών. Σύμφωνα με το λεγόμενο “Πρόγραμμα Hilbert” όλες οι μαθηματικές θεωρίες θα πρέπει να θεμελιωθούν σε ένα πλήρες και συνεπές Σύστημα Αξιωμάτων. Τελικός σκοπός η αναγωγή όλων των Μαθηματικών στη βασική Αριθμητική. Ο Frege θεωρούσε ότι με τον Φορμαλισμό τα Μαθηματικά περιορίζονται σε ένα παιγνίδι συμβόλων. Τα Θεωρήματα Μη Πληρότητας του Gödel του 1931 κατέδειξαν ότι μια τέτοια προσπάθεια ήταν ανέφικτη.
• Ιντουισιονισμός ή Διαισθησιαρχία (Intuitionism): Η σχολή αυτή διαμορφώνεται από τον L. E. J. Brouwer (1881-1966) το 1908. Για τον Brouwer τα Μαθηματικά δεν είναι τυπική, αλλά νοητική κατασκευή, προϊόν της σκέψης του μαθηματικού. Οι μαθηματικές έννοιες θεωρούνται νοητικές κατασκευές και δεν εξαρτώνται απόλυτα από την απόδειξη. Είναι ανεξάρτητα από την εμπειρία, τη γλώσσα και τη Λογική. Η Λογική προκύπτει από τα Μαθηματικά. Οι ιντουισιονιστές πιστεύουν στην εμπλοκή του μαθηματικού στις έννοιες που πραγματεύεται σε αντίθεση με τον πλατωνισμό όπου οι έννοιες είναι απόλυτες. Την “απόδειξη” ονομάζουν “κατασκευή”. Σε αντίθεση με τους πλατωνιστές πιστεύουν ότι τα μαθηματικά αντικείμενα είναι ανθρώπινα κατασκευάσματα.
• Τα Μαθηματικά ως Διαλεκτική Κατασκευή: Ο Ούγγρος μαθηματικός Imre Lakatos (1922-1974) διαφωνεί με όλες τις απόψεις που εκτέθηκαν ανωτέρω. Θεωρεί ότι τα Μαθηματικά είναι μια κοινωνική διαλεκτική κατασκευή. Πιστεύει ότι δεν υπάρχει θεώρημα που να είναι τελικό ή τέλειο. Ένα θεώρημα αληθεύει τελειωτικά, μόνο ότι δεν έχει ακόμα ανακαλυφθεί κάποιο αντιπαράδειγμα. Μόλις ανακαλυφθεί αντιπαράδειγμα, δηλαδή κάτι που αντιφάσκει με ή δεν εξηγείται από το θεώρημα, επαναδιατυπώνουμε το θεώρημα, πιθανώς με την επέκταση της περιοχής που ισχύει. Αυτός είναι ένας συνεχής τρόπος με τον οποίο συσσωρεύεται η γνώση μας, μέσα από τη λογική και τη διαδικασία των αποδείξεων και των ανασκευών τους. Πρότεινε τη μέθοδο δοκιμής και λάθους. Η μαθηματική κοινότητα μεταχειρίζεται ένα είδος διαλεκτικής προκειμένου να αποφασίσει ποιες μαθηματικές αποδείξεις είναι έγκυρες και ποιες όχι. Το “Ερευνητικό Πρόγραμμα” του Lakatos, που αποτελείται από τον “σκληρό πυρήνα” και τις “βοηθητικές” προτάσεις”, προσπαθεί να συγκεράσει τις απόψεις του Karl Popper (1902-1994) περί “διαψευσιμότητας” και αυτές του Thomas Kuhn (1922-1996) περί “συμβατικής αυτοσυνέπειας”. Ένας επιστημονικός τομέας χαρακτηρίζεται ως ψευδοεπιστήμη αν αποτυγχάνει να κάνει σωστές προβλέψεις για άγνωστα προβλήματα που τον αφορούν.
• Θεωρητικός Αναρχισμός: Ο Αυστριακός φιλόσοφος της Επιστήμης Paul Karl Feyerabend (1924-1994) στα έργα του Against Method (1975 και Science in a Free Society (1978) επιχειρεί μια ιστορικιστική στροφή και θεωρεί ότι δεν υπάρχουν μεθοδολογικοί κανόνες στην επιστήμη. Αντιπαρατάχτηκε απέναντι σε οποιαδήποτε μεμονωμένη κανονιστική επιστημονική μέθοδο με την αιτιολογία ότι μια τέτοια μέθοδος θα μπορούσε να περιορίσει τις δραστηριότητες των επιστημόνων και επομένως να περιορίσει την επιστημονική πρόοδο. Θεωρεί γόνιμο τον “θεωρητικό αναρχισμό” ο οποίος κατά την άποψή του είναι πιο ανθρωπιστικός σε σχέση με άλλα είδη οργάνωσης, καθώς δεν επιβάλλει αυστηρούς κανόνες για τους επιστήμονες.

---

[1] Με τον όρο μαθηματικά αντικείμενα ή μαθηματικές οντότητες εννοούμε το σύνολο των αξιωμάτων, θεωρημάτων, τελεστών συμβόλων κ.τ.λ. Σίγουρα ο όρος από φιλοσοφικής πλευράς δεν είναι δόκιμος, είναι όμως χρηστικός.
[2] Penrose Roger, Ο Νέος Αυτοκράτορας(;), μτφ. Βασιλική Νικολαΐδου, Γκοβόστης
[3] Penrose Roger, The Road to Reality, Vintage Books, 2004
[4] “Ἀγέννητον”, “ἀνώλεθρον”, “ἕν, συνεχές”, “ἄναρχον”. “αὐτὰρ ἀκίνητον μεγάλων ἐν πείρασι δεσμῶν ἔστιν ἄναρχον ἄπαυστον, ἐπεί γένεσεσις και ὄλεθρος τῆλε μἀλ᾽ ἐπλάχθησαν, ἀπῶσε δὲ πίστις ἀληθής. ταὐτ῀ον τ᾽ ἐν ταὐτωι τε μένον καθ᾽ ἑαυτό τε κεῖται χοὔτως ἔμπεδον αὖθι μένει· κρατερὴ γὰρ Ἀνάγκη πείρατος ἐν δεσμοῖσιν ἔχει”. (Σπάραγμα 8, 26-31). “Αλλά ακίνητο, δεμένο ισχυρά στα πέρατα, υπάρχει, δίχως τέλος και αρχή, γιατί η γένεση και ο αφανισμός εκδιώχθηκαν μακριά, τ’ απώθησε η πίστη η αληθινή. Το ίδιο μένοντας, στο ίδιο μέρος, στον εαυτό του κείται κι έτσι σταθερό θα παραμένει. Γιατί η παντοδύναμη Ανάγκη το κρατάει δέσμιο, στα όρια μέσα που το περικλείουν.”
[5] Με τον Παρμενίδη γεννιέται ο φιλοσοφικός κλάδος της Οντολογίας, ο λόγος περί του όντος, της φύσης και της συγκρότησής του.
[6] “[Η Φιλοσοφία κατά τον Πλάτωνα] δεν είναι ένα συμπαγές σύνολο προτάσεων που μπορούν να διδαχθούν, αλλά ζωή αφιερωμένη στην ενεργή προσωπική αναζήτηση της αλήθειας και της αρετής, με φωτεινούς οδηγούς μία ή δύο μεγαλεπήβολες και ένθερμες πεποιθήσεις.” [Taylor A.E., Πλάτων, Ο Άνθρωπος και το Έργο του, ΜΙΕΤ, 1992]
[7] Στον “Τίμαιο” ο Πλάτωνας λέει ότι η ψυχή δημιουργήθηκε από το Θεό με βάση τις αναλογίες της Πυθαγόρειας μουσικής κλίμακας.
[8] Εντούτοις στην “Απολογία” του ο Σωκράτης λέει ότι κανείς δεν ξέρει τι ακριβώς συμβαίνει μετά θάνατον. Γενικά στον Πλάτωνα συναντάμε τρεις απόψεις για το θάνατο α΄) η ψυχή συνεχίζει σε έναν άλλο κόσμο, β) ο θάνατος είναι μια ατέλειωτη νύχτα και γ) η ψυχή μετενσαρκώνεται. Τα (α) και (β) στην “Απολογία, το (γ΄) στο διάλογο “Φαίδων”, στον οποίο καταλήγει μάλιστα να πει ότι όλη η επιχειρηματολογία του περί αθανασίας της ψυχής είναι “κούφια λόγια, παρηγοριές για σας και συνάμα για τον εαυτό μου”.
[9] Popper Karl, Ο Κόσμος του Παρμενίδη, Κεφ. “Ο Πλάτων και η Γεωμετρία” (1957), Καρδαμίτσας
[10] Στο χαμένο έργο του “Περί Ιδεών” ανέπτυσσε την κριτική του στον δάσκαλό του. Μια σύνοψη αυτής της κριτικής εμπεριέχεται στο  9ο κεφάλαιο του βιβλίου Α της πραγματείας “Μετά τα Φυσικά”.
[11] Για πρώτη φορά στην Ιστορία της ελληνικής θεολογικής σκέψης εισάγεται η έννοια του ενός θεού δημιουργού στα “Απομνημονεύματα” του Ξενοφώντα και μετά στους διαλόγους “Σοφιστή”, “Πολιτικό”, “Φίληβο” και “Τίμαιο” του Πλάτωνα.
[12] Παρόμοια άποψη για την ύλη συναντάμε και στον ελληνιστή Ιουδαίο φιλόσοφο Φίλωνα τον Αλεξανδρινό (20 π.Χ.-40 μ.Χ.). Ο Θεός δεν έφτιαξε την ύλη από το μηδέν, προϋπήρχε μαζί με το Θεό. Πριν την θεϊκή επέμβαση είναι άτακτη και άμορφη και για να αποφύγει τον δυϊσμό την θεωρεί κατώτερη του Θεού. Την ονομάζει δυάδα ή θηλυκό στοιχείο της Φύσης.
[13] Στην Ορφική θεολογία είναι η βίαιη, αναπόφευκτη θεϊκή δύναμη. Ο Ιερώνυμος την ταυτίζει με την Αδράστεια, ο Πλάτωνας τη θεωρεί μητέρα των Μοιρών, ο Πλούταρχος μητέρα της Αδράστειας, ο Πρόκλος μητέρα της Ειμαρμένης, ο Στοβαίος κόρη του Κρόνου και ο Ευριπίδης με την Ερινύα.
[14] Αυτό το καταλαβαίνω ως εξής: αν ο Θεός αποφασίσει να δώσει μια συγκεκριμένη μάζα στο ηλεκτρόνιο δεν μπορεί να αυθαιρετήσει στη μάζα του πρωτονίου. Για να φτιάξει το συγκεκριμένο Σύμπαν που βλέπουμε και ζούμε, αυτές οι δύο μάζες θα πρέπει να σχετίζονται. Έχει βρεθεί ότι ο λόγος της μάζας ηρεμίας του πρωτονίου προς τη μάζα ηρεμίας του ηλεκτρονίου είναι σταθερός και δεν αλλάζει με το χρόνο, συμβολίζεται με μ ή β και ισούται περίπου με 1836.
[15] Tυπικό σύστημα (formal system), ή Λογικό Σύστημα (Logic System) ονομάζεται μια τυπική γλώσσα (γλώσσα που ορίζεται από ακριβείς μαθηματικούς κανόνες που μπορεί να καταλάβει μια υπολογιστική μηχανή) σε συνδυασμό με ένα συμπερασματικό σύστημα, που αποτελείται από ένα σύνολο από κανόνες και / ή αξιώματα, που χρησιμοποιούνται για να παράγουν τα θεωρήματα του τυπικού συστήματος.
[16] σελ.125 της ελληνικής έκδοσης.
[17] §16.6, σ. 377 της αγγλικής έκδοσης, σε μετάφραση δική μου.