Ο Per Nørgård (1932) είναι ένας περίφημος Δανός συνθέτης που, ας μου επιτραπεί η έκφραση, “μαθηματοκοποίησε” τον Sibelius, διατηρώντας όλο το συναισθηματισμό και λυρισμό του. Παρουσιάζω εδώ απλά και επιφανειακά μια “έξυπνη” συνθετική τεχνική του.
Ο όρος «ακολουθία / σειρά Nørgård / Nørgård Infinity Series» αναφέρεται σε μια ακολουθία (ακεραίων) ή σειρά - Uendelighedsrækken στα δανέζικα - που συνεχίζεται για όσο θέλουμε και συγκεκριμένα αναφέρεται σε μια συνθετική τεχνική που αναπτύχθηκε από τον Nørgård το 1959 και την χρησιμοποίησε για πρώτη φορά στο Voyage into the Golden Screen για μικρό σύνολο (1968), το οποίο θεωρείται το πρώτο έργο φασματικής μουσικής. Η απειροσειρά αυτή μπορεί να παραχθεί μέσω μιας σχετικά απλής επαναληπτικής διαδικασίας / iterative process, ξεκινώντας από ένα μικρό μοτίβο, π.χ. ένα ή δύο τονικά ύψη ή μια ρυθμική ακολουθία. Κάθε επανάληψη επεκτείνει την ακολουθία, διατηρώντας στοιχεία του αρχικού μοτίβου ενώ εισάγει νέο υλικό. Το αποτέλεσμα είναι μια αυτο-όμοια / self similar δομή που είναι πολύπλοκη και επεκτάσιμη στο άπειρο, αλλά ταυτόχρονα περιέχει έμφυτες / inherent σχέσεις και συμμετρίες.
Αυτές οι σειρές έχουν χρησιμοποιηθεί σε διάφορες συνθέσεις του Nørgård και προσφέρουν ένα πλούσιο φάσμα δυνατοτήτων για τη δημιουργία μελωδικού, αρμονικού και ρυθμικού υλικού. Ενδιαφέρουν επίσης μουσικολόγους και μαθηματικούς λόγω των μοναδικών μαθηματικών τους ιδιοτήτων.
Η σειρά μπορεί να χρησιμοποιηθεί με πολλούς τρόπους, από τη δημιουργία υλικού τονικού ύψους έως τη ρυθμική οργάνωση και να επεκταθεί η χρήση της και σε άλλες μουσικές παραμέτρους. Τα έργα του Per Nørgård που αξιοποιούν αυτή σειρά αποτελούν εξαιρετικά παραδείγματα του πώς αυτή η τεχνική μπορεί να εφαρμοστεί δημιουργικά.
Οι υπολογισμοί με το “χέρι” είναι επίπονοι και επιρρεπείς σε λάθη. Με χρήση προγραμμάτων όμως αλγοριθμικής σύνθεσης, η όλη διαδικασία απλοποιείται και μπορεί κανείς να φτάσει εύκολα σε ένα αποτέλεσμα που να τον ικανοποιεί αισθητικά.
Στο παράδειγμα της εικόνας δίνω τον αρχικό όρο της ακολουθίας, τον αναδρομικό της τύπο και τους 12 πρώτους όρους της. Μ’ αυτό το υλικό κατασκευάζω μια σειρά τονικών υψών, μια ρυθμική σειρά και τέλος συνδυάζω τα 12 τονικά ύψη με την ρυθμική ακολουθία. Αυτό είναι ένα απλό παράδειγμα, σκεφτείτε όμως ότι ο Nørgård έγραψε μια ολόκληρη συμφωνία, την 2η, μ’ αυτήν την τεχνική.
Ευτυχισμένοι Aριθμοί: παίρνουμε ένα θετικό ακέραιο και τον αντικαθιστούμε με το άθροισμα των τετραγώνων των ψηφίων του. Συνεχίζουμε την διαδικασία μέχρι να καταλήξουμε στη μονάδα. Τότε ο αριθμός είναι ευτυχισμένος. Αν δεν καταλήξουμε στη μονάδα, ο αριθμός είναι δυστυχισμένος.
Ας πάρουμε για παράδειγμα το 13. Είναι ευτυχισμένος αριθμός, διότι: 13 -> 1² + 3² = 1 + 9 = 10 -> 1 + 0 = 1. Το 13 είναι μάλιστα διπλά ευτυχισμένος, διότι είναι και πρώτος!
Όλες οι δυνάμεις του 10 είναι ευτυχισμένοι αριθμοί. Αν αντιστρέψουμε τα ψηφία ενός ευτυχισμένοι αριθμού, παίρνουμε πάλι ευτυχισμένο αριθμό. Αν πολλαπλασιάσουμε έναν ευτυχισμένο αριθμό με οποιαδήποτε δύναμη του 10, παίρνουμε πάλι ευτυχισμένο αριθμό. Αν πάρουμε με οποιαδήποτε σειρά τα ψηφία ενός ευτυχισμένοι αριθμού, προκύπτει πάλι ευτυχισμένος αριθμός (στοιχειώδες).
Οι ευτυχισμένοι αριθμοί μέχρι το 500 είναι:
1 7 10 13 19 23 28 31 32 44 49 68 70 79 82 86 91 94 97 100 103 109 129 130 133 139 167 176 188 190 192 193 203 208 219 226 230 236 239 262 263 280 291 293 301 302 310 313 319 320 326 329 331 338 356 362 365 367 368 376 379 383 386 391 392 397 404 409 440 446 464 469 478 487 490 496
Να τώρα και μια ευτυχισμένη 12-φθογγη σειρά:
1 7 10 11 4 8 2 9 0 3 5 6 (στην εικόνα με C = 0)
Μπορούμε να πάρουμε όσες ευτυχισμένες 12-φθογγες σειρές θέλουμε, αλλά κι ευτυχισμένες δυναμικές, ρυθμούς και αρθρώσεις με το κατάλληλο mapping και modulo 12.
