Δευτέρα, 23 Ιουλίου 2012

Το Ξέβγαλμα και η Σπασμένη Συμμετρία

Water Fall

TIGER, tiger, burning bright 
In the forests of the night, 
What immortal hand or eye 
Could frame thy fearful symmetry?
The Tiger, William Blake
Περιορίζοντας στο ελάχιστο την τυπική μου υποχρέωση στα μπάνια του λαού, αφιέρωσα αρκετό χρόνο στην εξοχή στο να κατανοήσω την “προτεραιότητα κλείστρου” και την “προτεραιότητα διαφράγματος” της φωτογραφικής μου μηχανής. Για την “προτεραιότητα κλείστρου” θεώρησα ότι η καλύτερη άσκηση είναι να “συλλάβω” το νερό που τρέχει από κυλινδρικό σωλήνα, κάτι που σε άλλες περιπτώσεις χρησιμεύει για το ξέβγαλμα από τα αλάτια της θάλασσας, υγιεινό να μένουν στο σώμα, τελείως ανθυγιεινό για το πληκτρολόγιο του MacBook. Επεξεργαζόμενος μια σειρά φωτογραφιών για να φτιάξω το ανωτέρω gif animation διαπίστωσα ότι αφενός μεν θα έπρεπε να είχα χρησιμοποιήσει τρίποδο - τώρα το  animation έχει κάτι το αφύσικο: αν ο σωλήνας ταλαντωνόταν ως εικονίζεται, η ροή του νερού λόγω της αδράνειας και της αντίστασης του αέρα θα έπρεπε επιπλέον να κυματίζει, ας το θεωρήσουμε ως εικαστική παρέμβαση - και αφετέρου θυμήθηκα τα βιβλία των Weyl και Stewart για την Συμμετρία που είχα διαβάσει στο παρελθόν. Γιατί; Διότι το νερό που έβγαινε από το σωλήνα είχε “σπάσει” την κυλινδρική του συμμετρία (δείτε κοντά στο στόμιο του σωλήνα, εδώ η ροή έχει σχεδόν κυλινδρική συμμετρία, λάβετε επίσης υπόψη ότι δεν φυσούσε σχεδόν καθόλου).
Στο μάθημα της Μορφολογίας βρίσκω ενδιαφέρον να παρουσιάζω τους μετασχηματισμούς μοτίβου  ως γεωμετρικούς μετασχηματισμούς, π.χ η αντιστροφή (inversion) μπορεί να παρασταθεί με το συμμετρικό μιας καμπύλης ως προς τον άξονα x σ’ ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων, το transpotro ισοδυναμεί με τον γεωμετρικό μετασχηματισμό της μετατόπισης, κλπ.
Αλλά πότε ένα αντικείμενο είναι συμμετρικό; όταν αυτό το αντικείμενο (μαθηματικό, όπως ο κύκλος, ή φυσικό, όπως ένα έντομο) διατηρεί αναλλοίωτη τη μορφή του μετά από κάποιους μετασχηματισμούς, π.χ. περιστροφή, μετατόπιση, κατοπτρισμός. [τα έντομα επιλέγουν ερωτικό σύντροφο με βάση το ποιόν της συμμετρίας του υποψήφιου]. 
Και τι είναι ένας μετασχηματισμός; σηκώστε ένα ζάρι, γυρίστε το ανάποδα και βάλτε το ξανά πάνω στο εαυτό του, στον ίδιο χώρο από όπου ξεκίνησε. Αν θέλετε ένα μουσικό παράδειγμα, πάρτε ένα διάστημα τρίτης μεγάλης και αντιστρέψτε το. Το διάστημα έκτης μικρής που θα προκύψει είναι ένας μετασχηματισμός του αρχικού διαστήματος (γι’ αυτό όταν μου λένε οι μαμάδες στο ωδείο ότι το παιδί τους είναι άριστο στα μαθηματικά στο σχολείο, αλλά τη θεωρία της μουσικής δεν την καταλαβαίνει, λένε ψέματα!)
Το 1894 στο Journal de Physique Theorique et Apliquée, ο Pierre Curie (αυτός που με την Μαρία ανακάλυψαν το ράδιο και το πολώνιο) διατύπωσε την Αρχή της Διατήρησης της Συμμετρίας, γνωστή και ως Αρχή του Curie: 
“Αν ορισμένες αιτίες παράγουν ορισμένα αποτελέσματα, τότε οι συμμετρίες των αιτίων επανεμφανίζονται στα παραγόμενα αποτελέσματα”. 
Η Αρχή μπορεί να διατυπωθεί και αντίστροφα:
“Αν ορισμένα αποτελέσματα αποκαλύπτουν κάποια ασυμμετρία, η ασυμμετρία αυτή θα αντανακλάται και στα αίτια που προκαλούν τα αποτελέσματα αυτά”.
Κι όμως, ενώ η Θεωρία του Χάους αποδεικνύει ότι ντετερμινιστικές αιτίες μπορεί να έχουν τυχαία αποτελέσματα, συμβαίνει και το αντίθετο: συμμετρικές αιτίες μπορούν να παράγουν μη συμμετρικά αποτελέσματα. Η Αρχή του Curie δεν παύει να ισχύει σε τέτοιες περιπτώσεις, καλύπτεται όμως από ένα πέπλο μαθηματικού μυστηρίου το οποίο πρέπει να ανασηκωθεί με προσοχή για να αναδείξει την μαθηματική και φυσική αλήθεια.
Η συμμετρία μπορεί να χαθεί ανάμεσα στο αίτιο και το αποτέλεσμα, το γεγονός αυτό ονομάζεται σπάσιμο της συμμετρίας. Από τον μακρόκοσμο (σπειροειδής περιδίνηση των αστέρων, αλυσίδα ηφαιστείων που συνθέτουν τα νησιά της Χαβάης) μέχρι τον μικρόκοσμο (σχήμα των ιών, δομή των υποατομικών σωματιδίων) πολλά από τα πρότυπα - μορφώματα (patterns) της φύσης είναι αποτέλεσμα του σπασίματος της συμμετρίας.

Αν ενδιαφέρεται να διαβάσει κανείς για την Συμμετρία, για το Κάλλος στα μαθηματικά και την Τέχνη γενικότερα, υπάρχουν δύο - ανάμεσα σε πολλά άλλα - αριστουργηματικά βιβλία:
Weyl Hermann, Symmetry, Princeton University Press, 1969 - το κλασικό του είδους, και

Δεν υπάρχουν σχόλια: