Η Αρχιμήδεια ιδιότητα (Archimedean property) των πραγματικών αριθμών δηλώνει ότι, για κάθε \(x,y>0\), υπάρχει φυσικός αριθμός \(n\geq 1\) τέτοιος ώστε:

\[ nx>y \]

Μια βασική συνέπεια της ιδιότητας είναι ότι υπάρχουν θετικοί αριθμοί της μορφής \(\frac{1}{n}\) οι οποίοι μπορούν να γίνουν αυθαίρετα μικροί. Ειδικότερα, για κάθε \(\epsilon>0\), υπάρχει φυσικός αριθμός \(n\geq 1\) τέτοιος ώστε:

\[ \frac{1}{n}<\epsilon \]

Η ιδιότητα μπορεί να ερμηνευθεί πρακτικά ως εξής: έστω ότι διαθέτουμε ένα μικρό δοχείο χωρητικότητας \(x\) και ένα πολύ μεγαλύτερο βαρέλι χωρητικότητας \(y\). Αν αδειάζουμε επανειλημμένα το μικρό δοχείο μέσα στο βαρέλι, τότε, ύστερα από πεπερασμένο αριθμό επαναλήψεων, η συνολική ποσότητα του υγρού θα ξεπεράσει τη χωρητικότητα του βαρελιού.

Ορισμένες σημαντικές συνέπειες και εφαρμογές της Αρχιμήδειας ιδιότητας στην Ανάλυση είναι οι ακόλουθες:

1. Πυκνότητα των ρητών αριθμών: Ανάμεσα σε οποιουσδήποτε δύο διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς υπάρχει τουλάχιστον ένας ρητός αριθμός. Αντίστοιχα, ανάμεσα σε δύο διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς υπάρχει και τουλάχιστον ένας άρρητος αριθμός.
2. Ύπαρξη του ακέραιου μέρους: Για κάθε πραγματικό αριθμό \(x\), υπάρχει μοναδικός ακέραιος \(n\) τέτοιος ώστε \( n\leq x<n+1 \). Ο ακέραιος αυτός συμβολίζεται με \(\lfloor x\rfloor\) και ονομάζεται ακέραιο μέρος ή κάτω ακέραιο μέρος (floor) του \(x\).

Απλούστερα, η Αρχιμήδεια ιδιότητα εκφράζει το γεγονός ότι, επαναλαμβάνοντας αρκετές φορές ένα οποιοδήποτε θετικό μήκος, μπορούμε να ξεπεράσουμε οποιοδήποτε άλλο δεδομένο θετικό μήκος.

Ειδικότερα, για κάθε \(\alpha,\beta>0\), υπάρχει φυσικός αριθμός \(\mu\geq 1\) τέτοιος ώστε:

\[ \mu\alpha>\beta \]

Στο παρακάτω σχήμα, το τμήμα μήκους \(\alpha\) τοποθετείται διαδοχικά πάνω στην ίδια ευθεία. Έπειτα από πεπερασμένο πλήθος \(\mu\) επαναλήψεων, το συνολικό μήκος \(\mu\alpha\) γίνεται μεγαλύτερο από το μήκος \(\beta\).

Προσοχή στον αριθμό 13 και τα πολλαπλάσια του

Βέβαια δεν γλιτώνετε ακόμη κι αν το άθροισμα δύο ή περισσότερων αριθμών που σας αφορούν είναι 13. Ρωτήστε και τον αστρολόγο σας.

Γεννιέσαι 13 Σεπτεμβρίου, πεθαίνεις 13 Ιουλίου, είναι και Παρασκευή, κάτι πρέπει να κάνεις με τις 12 νότες…

Η δεισιδαιμονία του Arnold Schoenberg ίσως να συνέβαλε —τουλάχιστον ψυχολογικά — και στον θάνατό του. Ο μεγάλος συνθέτης έπασχε από τρισκαιδεκαφοβία (υπάρχουν περίπου 300 καταγεγραμμένες φοβίες, ο ντέντεκτιβ Monk είχε τις περισσότερες): φοβόταν, δηλαδή, τον αριθμό 13. Σύμφωνα με τη φίλη του Katia Mann, πίστευε πως θα πέθαινε σε κάποια ηλικία που θα ήταν πολλαπλάσιο του 13.

Η ανησυχία αυτή ίσως γεννήθηκε το 1908, όταν συνέθετε το δέκατο τρίτο τραγούδι του κύκλου “Das Buch der Hängenden Gärten”, έργο 15. Από τότε, φαίνεται πως το 13 είχε αποκτήσει για εκείνον κάτι περισσότερο από αριθμητική σημασία — σχεδόν προσωπικές προβλέψεις..

Το 1939 περίμενε με τρόμο τα εξηκοστά πέμπτα γενέθλιά του, αφού:

65 = 5 × 13 (αναμφισβήτητο και αναπόφευκτο, είναι θεώρημα)

Ένας φίλος του ζήτησε τότε από τον συνθέτη και αστρολόγο Dane Rudhyar να καταρτίσει το ωροσκόπιο του Schoenberg (κι εσύ Arnold?). Ο Rudhyar τον καθησύχασε — όσο μπορεί να καθησυχάσει ένας αστρολόγος έναν άνθρωπο που φοβάται έναν αριθμό (δηλαδή καθόλου) — λέγοντάς του ότι η χρονιά θα ήταν επικίνδυνη, αλλά όχι μοιραία.

Και πράγματι, ο Schoenberg επέζησε.

Όμως το 1950, στα εβδομηκοστά έκτα γενέθλιά του, ένας άλλος αστρολόγος τού έστειλε ένα σημείωμα προειδοποιώντας τον ότι η χρονιά ήταν κρίσιμη:

7 + 6 = 13.

Η νέα αυτή αριθμητική προοπτική τον συγκλόνισε και τον βύθισε στην κατάθλιψη. Ως τότε φοβόταν μόνο τα πολλαπλάσια του 13· δεν του είχε περάσει από το μυαλό ότι οι αριθμοί μπορούσαν να συνωμοτήσουν και μέσω της πρόσθεσης!

Ο Schoenberg πέθανε την Παρασκευή 13 Ιουλίου 1951, λίγο πριν από τα μεσάνυχτα. Είχε περάσει ολόκληρη την ημέρα στο κρεβάτι, άρρωστος, ανήσυχος και βαθιά καταβεβλημένος.

Η σύζυγός του, Gertrud, έγραψε την επόμενη ημέρα σε τηλεγράφημα προς την κουνιάδα της, Ottilie, ότι ο Arnold πέθανε στις “11:45 μ.μ.” — μόλις δεκαπέντε λεπτά πριν τελειώσει η μοιραία Παρασκευή και μαζί της η 13η Ιουλίου.

Σε επιστολή της προς την Ottilie, με ημερομηνία 4 Αυγούστου 1951, η Gertrud περιέγραψε τις τελευταίες στιγμές:

«Περίπου στις δώδεκα παρά τέταρτο κοίταξα το ρολόι και είπα μέσα μου: άλλο ένα τέταρτο της ώρας, και το χειρότερο θα έχει περάσει. Τότε με φώναξε ο γιατρός. Ο λαιμός του Arnold έβγαλε δύο ρόγχους, η καρδιά του χτύπησε μία φορά δυνατά — και αυτό ήταν το τέλος».

Ο άνθρωπος που αναδιοργάνωσε τους δώδεκα φθόγγους της μουσικής φαίνεται πως δεν συμφιλιώθηκε ποτέ με τον πέμπτο πρώτο αριθμό…

Και λόγω του κλίματος των ημερών, με συγκεκριμμένα κριτήρια,ο  Cruyff ήταν ο GOAT του ποδοσφαίρου και ο Schoenberg της σύνθεσης.