Δευτέρα, 17 Σεπτεμβρίου 2018

Τέλειοι Φίλοι

Τέλειοι αριθμοί / perfect numbers ονομάζονται οι θετικοί ακέραιοι (φυσικοί) οι οποίοι ισούνται με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών τους. 

Ο μικρότερος τέλειος αριθμός είναι ο 6=1+2+3. Ο επόμενος είναι ο 28=1+2+4+7+14, τρίτος ο 496 και τέταρτος ο 8128. Αυτοί οι τέσσερις τέλειοι είναι ανακάλυψη του Ευκλείδη και είναι οι μόνοι που ήταν γνωστοί στην αρχαιότητα. 

Οι τέλειοι αριθμοί του Ευκλείδη παράγονται από τον τύπο 2ν-1(2ν-1) και ο Ευκλείδης απέδειξε ότι αυτός ο τύπος δίνει έναν τέλειο αριθμό αν ο 2ν-1 είναι πρώτος. Οι πρώτοι αριθμοί της μορφής 2ν-1 είναι γνωστοί ως πρώτοι του Mersenne, από το όνομα του Marin Mersenne (1588-1648) Γάλλου πολυμαθούς ιερέα, με σημαντική συνεισφορά στα μαθηματικά στην φυσική ακουστική και γενικά στην επιστήμη της εποχής του.

Μέχρι το 2016 είχαν ανακαλυφθεί 49 τέλειοι αριθμοί και ο 49ος έχει 44.677.235 ψηφία. Όλοι οι τέλειοι αριθμοί είναι άρτιοι, δεν είναι γνωστό αν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί. 

Φίλιοι αριθμοί / αmicable numbers ονομάζονται τα ζεύγη θετικών ακεραίων αριθμών (φυσικών), στα όποια ο καθένας από αυτούς ισούται με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του άλλου. 

Σύμφωνα με την παράδοση ο Πυθαγόρας ή οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν το ζεύγος (220,284), το οποίο εθεωρείτο μέχρι και τον Μεσαίωνα ως σύμβολο φιλίας (ιδιαίτερα στον Μεσαίωνα πουλούσαν φυλαχτά με χαραγμένους αυτούς τους αριθμούς και λειτουργούσαν ως ερωτικά φίλτρα). 

Οι γνήσιοι διαιρέτες του 220 είναι οι: 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110 και το άθροισμά τους: 284. Αντίστοιχα οι γνήσιοι διαιρέτες του 284 είναι οι: 1,2,4,71,142, με άθροισμα: 220. 

Ο N. Paganini (ναι, ο γνωστός!) σε ηλικία 16 ετών ανακάλυψε το ζευγάρι φίλων αριθμών (1184,1210), το οποίο είχε ξεφύγει από τους Fermat (17296,18416), Descartes (9363584, 9437056) και Euler (ανακάλυψε 62 ζεύγη!).

3 σχόλια:

γεράσιμος μπερεκέτης είπε...

Πολύ ωραία .... παράταση των καλοκαιρινών αναζητήσεων!

Μήπως θα έπρεπε στον ορισμό των φίλιων αριθμών να προστεθεί:
ζεύγη θετικών άρτιων ακεραίων αριθμών (φυσικών) ... κλπ.

Όλοι οι φίλιοι, άρτιοι (λόγω εκλεκτής φιλίας) δεν είναι;

Dimitrios Sykias είπε...

Σύμφωνα με τη Βικιπαίδεια στο λήμμα “Amicable Numbers”, οι φίλιοι ή θα είναι και οι δύο άρτιοι ή και οι δύο περιττοί. Δεν είναι γνωστό αν υπάρχει ζεύγος άρτιου-περιττού, αλλά αν υπάρχει, τότε ο άρτιος θα πρέπει να είναι είτε τετράγωνος αριθμός ή το διπλάσιό του και ο περιττός τετράγωνος.

γεράσιμος μπερεκέτης είπε...

Ναι το είδα - έπρεπε να το δω πριν βιαστώ να βγάλω συμπέρασμα μόνο από τα παραδείγματα που παρέθεσες. Η Wikipedia έχει παράδειγμα και με ζεύγος περιττών.