Αυτός που μετρούσε τα Ουράνια

Mensus eram coelos, nunc Terrae metior umbras.
Mens coelestis erat, corporis umbra jacet.
KGW 19 393

Άλλοτε μετρούσα τα ουράνια,
Τώρα μετρώ σκιές στη γη.
Άλλοτε ταξίδευα με το νου μου στους ουρανούς,
Τώρα σ’ αυτό το χώμα κείτεται μόνο η σκιά του σαρκίου μου. [1]

Ο Kepler πέθανε στις 15 Νοεμβρίου του 1630 στο Regensburg έπειτα από μια σύντομη ασθένεια. Θάφτηκε στην τοπική εκκλησία η οποία κατεστράφη ολοσχερώς κατά τη διάρκεια του Τριακονταετούς Πολέμου. Τίποτα δεν απέμεινε από τον τάφο του, το τι ήταν γραμμένο πάνω στην επιτύμβια πλάκα είναι γνωστό από ένα προσχέδιο της πλάκας.

Εδώ μια βιογραφία του Kepler που εστιάζει στο επιστημονικό έργο του.
Εδώ η βιογραφία του στην αγγλόφωνη Wikipedia.
Εδώ η βιογραφία του στην ελληνόφωνη Wikipedia.
Εδώ μια κατατοπιστική περιγραφή των Νόμων του.
Κι εδώ οι Νόμοι του με κινούμενες απεικονίσεις.
___________________________________________

[1] Μετάφραση της Έλενας Πισσία, από το Άπειρο, τα Μαθηματικά της Αθανασίας του John D. Barrow, ΤΡΑΥΛΟΣ 2007.

Ελεύθερη Λύση Διάφωνων Φθόγγων Συγχορδιών

Ο Δρ. Henry Hiles [1], Καθηγητής Μουσικής στο πανεπιστήμιο Manchester, συγκέντρωσε σε τέσσερεις κανόνες τις δυνατές λύσεις ενός διάφωνου φθόγγου μιας συγχορδίας (7^η της V⁷, 9^η της V^9/7), η ενός φθόγγου με συγκεκριμένη λύση (προσαγωγέας, διάφωνος φθόγγος χρωματικής συγχορδίας).

Κανόνας Ι. Ένας διάφωνος φθόγγος μιας συγχορδίας, ή ένας φθόγγος με συγκεκριμένη διαδοχή, μπορεί να οδηγηθεί με κατιόν βήμα (ημιτονίου ή τόνου) στην 1^η, 3^η, 5^η, 7^η, 9^η, ή άλλο διάφωνο φθόγγο της επόμενης συγχορδίας.

Ακολουθούν οι λύσεις της 7^ης της V⁷ της Ντο σύμφωνα με τον Κανόνα Ι:

Ηχητικό Παρ. Κανόνα Ι

Κανόνας ΙΙ. Ένας διάφωνος φθόγγος μιας συγχορδίας, ή ένας φθόγγος με συγκεκριμένη διαδοχή μπορεί να κρατηθεί ως κοινός φθόγγος στην επόμενη συγχορδία και να αποτελέσει την 1^η, 3^η, 5^η, 9^η, ή άλλο διάφωνο φθόγγο αυτής της συγχορδίας.

Ακολουθούν οι λύσεις της 7^ης της V⁷ της Ντο σύμφωνα με τον Κανόνα ΙΙ:

Ηχητικό Παρ. Κανόνα ΙΙ

Κανόνας ΙΙΙ. Ένας διάφωνος φθόγγος μιας συγχορδίας, ή ένας φθόγγος με συγκεκριμένη διαδοχή, μπορεί να οδηγηθεί με ανιόν βήμα (ημιτονίου ή τόνου) στην 1^η, 3^η, 5^η, 7^η, 9^η, ή άλλο διάφωνο φθόγγο της επόμενης συγχορδίας. Η 3^η της συγχορδίας που φέρει τον διάφωνο φθόγγο θα κρατηθεί ως κοινός φθόγγος ή θα κινηθεί με βήμα σε φθόγγο της επόμενης συγχορδίας.

Ακολουθούν οι λύσεις της 7^ης της V⁷ της Ντο σύμφωνα με τον Κανόνα ΙΙΙ:

Η ανιούσα λύση της 7^ης μιας V⁷ θα πρέπει να χρησιμοποιείται με φειδώ και μόνο όταν είμαστε σίγουροι για το μουσικό του αποτελέσματος. Να αποφεύγεται στο βάσιμο.

Στα ανωτέρω παραδείγματα χρησιμοποιήθηκε η 7^ης της V⁷. Οι τρεις κανόνες ισχύουν όμως για την ελεύθερη λύση κάθε φθόγγου ο οποίος έχει συγκεκριμένη διαδοχή, όπως ο προσαγωγέας, η 9^η της V^9/7 καθώς και οι διάφωνοι φθόγγοι των χρωματικών συγχορδιών.

Ηχητικό Παρ. Κανόνα ΙΙΙ

Κανόνας ΙV. Όταν ένας διάφωνος φθόγγος μιας συγχορδίας, ή ένας φθόγγος με συγκεκριμένη διαδοχή, μπορεί να κρατηθεί ως κοινός φθόγγος στην επόμενη συγχορδία, τότε αυτός ο φθόγγος μπορεί και να κάνει άλμα σε φθόγγο της επόμενης συγχορδίας αρκεί να μην δημιουργούνται λάθη.

Ηχητικό Παρ. Κανόνα ΙV

Στο IV.1 το φα θα μπορούσε να κρατηθεί ως κοινός φθόγγος στη δεύτερη συγχορδία, σύμφωνα με τον Κανόνα IV όμως κάνει άλμα στο λα της επόμενης συγχορδίας. Προσέξτε την απροετοίμαστη 7^η της ii⁷.

Στα IV.2, 3 το μι θα μπορούσε επίσης να κρατηθεί ως κοινός φθόγγος εντούτοις στο IV.2 οδηγείται στο ντο της συγχορδίας λύσης και στο IV.3 στο σολ. Η δεσπόζουσα των παραδειγμάτων IV.2, 3 είναι γνωστή και ως Δεσπόζουσα Δεκάτης Τρίτης. _______________________________________________

[1] Οι παρούσες σημειώσεις και τα μουσικά παραδείγματα, προέρχονται από το Harmony, Diatonic & Chromatic του Charles Vincent, London, 1900.

Ζήνων

Εμείς οι οπαδοί του Ζήνωνα, πεπεισμένοι ότι το βέλος δεν κινείται, ο ασθμαίνων Αχιλλέας δεν θα φτάσει ποτέ τη χελώνα, σθεναρά ανθιστάμενοι στη νευτώνεια συνωμοσία, προσδοκούμε την γαλήνια απραξία και την ήρεμη απάθεια.
Ο αρνησίχρονος ποιμήν, όνειρο ζωής…