Φανταστείτε τον γεωπλήσιο και κακόσχημο αστεροειδή Έρωτα να σπάει ξαφνικά τα βαρυτικά δεσμά του πατέρα Ήλιου, να ζώνεται με πυρηνικά, από καλή τύχη να περνά σύριζα από τη Γη και τελικά να χάνεται μέσα στη λευκή αφρόεσσα Αφροδίτη. Υπέροχα γραφικά από μια σειρά επιστημονικής φαντασίας, ξάκρισα κι υπομνημάτισα μουσικά με τη “μυστική” συγχορδία την Ερωτική πορεία και το εκρηκτικό φιλί των δύο σωμάτων.
Σάββατο 29 Απριλίου 2017
Σάββατο 22 Απριλίου 2017
Ι. Ιωαννίδη «Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου», Εισαγωγή
Απέδωσα στην τρέχουσα γλώσσα την Εισαγωγή του σχολικού εγχειριδίου Γεωμετρίας του Ι. Ιωαννίδη για τη Γ΄ Γυμνασίου, ΟΕΔΒ, 1969. Αφορμή στάθηκε η άποψή που εκθέτει στην Εισαγωγή του: ο άνθρωπος θέλοντας να απελευθερωθεί από τη δεσποτεία του Κόσμου όπως μας παρέχεται από τις αισθήσεις, δημιουργεί από ένα μικρό σύνολο αξιωμάτων που θέτει ο ίδιος, έναν άλλο, πλήρως ελεγχόμενο από τη νόησή του.
Ο κ. Τάκης Χρονόπουλος στο ιστολόγιο του «Για τους Ρομαντικούς της Γεωμετρίας» γράφει τα εξής για τα σχολικά βιβλία του Ιωαννίδη:
Πρέπει να δεχθούμε, ότι μέχρι τον Θαλή τον Μιλήσιο (639-548 π.Χ.) ο ανθρώπινος νους δεν είχε απελευθερωθεί από την εποπτεία μέσω των αισθήσεων. Αυτή αποτελούσε, μέχρι την εποχή του, την προϋπόθεση και την αιτία της δημιουργίας της Γεωμετρίας, την οποία ασκούσαν οι Αιγύπτιοι και οι Ανατολικοί λαοί.
Ο Θαλής με την εισαγωγή του «απαγωγικού συλλογισμού» και της «υπόθεσης», μετέφερε την αναζήτηση της αλήθειας από την περιοχή του αισθητού στην περιοχή του νοητού. Η αποδεικτική επιστήμη που θεμελιώθηκε από τον Θαλή, δεν έχει τίποτε το κοινό με την προγενέστερη Γεωμετρία των Ανατολικών λαών, διαφέρει απ’ αυτή και σε περιεχόμενο και σε σκοπό. Οι βελτιώσεις και οι τροποποιήσεις που έγιναν στο τέλος του 19ου αι., σε ό,τι αφορά την παρουσίαση της Ελληνικής Γεωμετρίας, τίποτα σχεδόν δεν προσθέτουν στη δημιουργία του Θαλή, η οποία συνίσταται στην απαλλαγή της ανθρώπινης σκέψης από την δεσποτεία του αισθητού. Η εποπτεία μέσω των αισθήσεων αντικαθίσταται από τον Θαλή με την γεωμετρική εποπτεία, και ο αισθητός Χώρος από τον Γεωμετρικό Χώρο.
{Με μια αφαιρετική νοητική διεργασία, μπορούμε να προσεγγίσουμε τα στοιχεία τα οποία συνθέτουν την έννοια του Γεωμετρικού Χώρου (σημείο, γραμμή, επιφάνεια κ.λ.π.) από τα αντίστοιχα στοιχεία του αισθητού χώρου, απαλλάσσοντάς τα από τα μη κοινά τους χαρακτηριστικά (χρώμα, πάχος κ.λ.π.) με τα οποία εμφανίζονται συνδεδεμένα.
Η μετάβαση από τις ανωτέρω εποπτικές έννοιες στις αντίστοιχες αφηρημένες, οι οποίες θα ονομαστούν γεωμετρικές, είναι το πρώτο βήμα προς την αφηρημένη Γεωμετρία.
Αν όμως αφορμή για τη δημιουργία των ανωτέρω γεωμετρικών εννοιών υπήρξε, όπως σημειώσαμε ανωτέρω, η εμπειρία των αισθήσεων, γεννάται εύλογα το ερώτημα: πως και από ποιο σημείο η Γεωμετρία ανεξαρτητοποιείται από την αισθητική εμπειρία;
Η απάντηση σ’ αυτό το ερώτημα συνδέεται με την κατανόηση του σκοπού της γεωμετρικής έρευνας. Αν ο σκοπός της αφηρημένης Γεωμετρίας δεν είναι η θεώρηση των καθεαυτὸ γεωμετρικών εννοιών, αλλά κυρίως η έρευνα των μεταξύ των σχέσεων, τότε η ανεξαρτησία από τον αισθητό χώρο εξασφαλίζεται με την εισαγωγή εννοιών οι οποίες θα θεωρηθούν ως αρχικές (μη οριζόμενες από άλλες έννοιες) και με την εισαγωγή αξιωμάτων καθορισμού των μεταξύ των ανωτέρω αρχικών εννοιών σχέσεων. Ένας τέτοιος όμως καθορισμός μπορεί και επιβάλλεται να είναι ανεξάρτητος από την εμπειρία των αισθήσεων. Η αντίθετη παραδοχή οδηγεί στην υποδούλωση του νου στο αισθητό, στη δεσποτεία των αισθήσεων επί της διάνοιας.
Μ’ αυτόν τον τρόπο η Γεωμετρία θα θέσει για τον εαυτό της τα αξιώματά της, ανεξάρτητα από την εποπτεία των αισθήσεων και γι’ αυτό το λόγο μπορεί να είναι Ευκλείδεια ή μη Ευκλείδεια.
Με την εκλογή των αξιωμάτων που αναφέρονται στις σχέσεις μεταξύ των αρχικών εννοιών, καθορίζεται ο Γεωμετρικός Χώρος, στην έρευνα του οποίου αναφέρεται η αντίστοιχη Γεωμετρία.
Εμείς θα μελετήσουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρία (Γεωμετρία του Ευκλείδειου χώρου) και σ’ αυτό το βιβλίο γίνεται λόγος για τα ἀξιώματα και τα θεωρήματά της.
Πράγματι, για τον ορισμό κάθε έννοιας πρέπει να χρησιμοποιηθούν αναγκαία άλλες έννοιες, οι οποίες με τη σειρά τους, θα πρέπει να οριστούν με τη βοήθεια άλλων εννοιών κ.ο.κ. Γι’ αυτό το λόγο επιβάλλεται να εκλεγούν ορισμένα στοιχεία, οι έννοιες των οποίων θα θεωρηθούν ως αρχικές, βάσει δε αυτών θα οριστούν οι έννοιες των άλλων στοιχείων του Γεωμετρικού Χώρου. Οι αρχικές αυτές έννοιες ονομάστηκαν θεμελιώδη ή αρχικά στοιχεία του Γεωμετρικού Χώρου.
Θεωρούμε ως θεμελιώδη Γεωμετρικά στοιχεία το σημείο, την ευθεία και το επίπεδο.
Τα στοιχεία αυτά πρέπει να θεωρηθούν ανεξάρτητα και άσχετα από την προέλευσή τους ή το εποπτικό τους περιεχόμενο.
Οι ανωτέρω αρχικές έννοιες του σημείου, της ευθείας και του επιπέδου θα οριστούν έμμεσα με τα αξιώματα της Γεωμετρίας, δηλαδή των αρχικών προτάσεων, με τις οποίες ορίζονται οι μεταξύ των ανωτέρω Γεωμετρικών στοιχείων σχέσεις. Στις σχέσεις αυτές αναφέρεται η Γεωμετρική Θεωρία και όχι στα γεωμετρικά αντικείμενα καθαυτά.
Η έννοια της ευθείας του Γεωμετρικού Χώρου θα καθοριστεί από τις ιδιότητες που εμείς θα της αποδώσουμε.
Έτσι με το αξίωμα: «Κάθε ευθεία περιέχει δύο τουλάχιστον σημεία», δεχόμαστε μια σχέση μεταξύ των εννοιών της ευθείας και του σημείου, η οποία περιγράφεται με το ανωτέρω αξίωμα.
Αυτό εννοούμε όταν λέμε ότι τα Γεωμετρικά αντικείμενα ορίζονται έμμεσα με τα αξιώματα της Γεωμετρίας.
Η ύπαρξη των αντικειμένων τα οποία ονομάσαμε Γεωμετρικά Στοιχεία είναι ένα αξίωμα της Γεωμετρίας: το αξίωμα της ὑπάρξεως.
Τα αξιώματα της Γεωμετρίας, χωρίς να έχουν τη μορφή δογμάτων, εκφράζουν θεμελιώδεις αλήθειες, τις οποίες η πείρα και η παρατήρηση μόνες, δεν μπορούν να δώσουν.
Το σύνολο των αξιωμάτων επί των οποίων ιδρύεται η Γεωμετρική Θεωρία, ονομάζεται και σύστημα αξιωμάτων της. Η εκλογή ενός συστήματος αξιωμάτων στη Γεωμετρία αποτελεί και τη θεμελίωσή της.
Η μέθοδος με την οποία η ίδρυση της Γεωμετρίας βασίζεται σε αξιώματα ονομάζεται αξιωματική.
Η ίδρυση της Γεωμετρίας σύμφωνα μ’ αυτήν τη μέθοδο, δεν επιβάλλεται μόνο για το λόγο ότι αποκαλύπτει στον μελετητή την ομορφιά της εξάρτησης των Γεωμετρικών εννοιών από το Λόγο, αλλά και διότι τον εξοικειώνει με την αυστηρότητα της λογικής δημιουργίας, η οποία είναι προνόμιο του ανθρώπινου πνεύματος, δίνοντάς του την ευκαιρία να χαρεί αυτή τη δημιουργία.
Τα συμπεράσματα από την έρευνα των σχέσεων μεταξύ των στοιχείων μέσω της αξιωματικής μεθόδου, τα οποία συνθέτουν την έννοια του Γεωμετρικού Χώρου, δεν προκύπτουν, όπως καταδεικνύεται από τα ανωτέρω, από την εμπειρία, ούτε μπορεί να εξεταστεί αν επαληθεύονται απ’ αυτήν.
Το αντίθετο, τα συμπεράσματα που προκύπτουν από την Γεωμετρική Θεωρία εμφανίζονται πολλές φορές αντίθετα με την αισθητική εμπειρία.
Κατά την περαιτέρω μελέτη της Γεωμετρίας θα εισάγουμε ορισμένα Γεωμετρικά στοιχεία τα οποία θα ονομάσουμε φανταστικά. Τα στοιχεία αυτά είναι στοιχεία του Γεωμετρικού Χώρου και δεν έχουν ασφαλώς σχέση με την αισθητική εμπειρία. Έτσι λοιπόν, ο Γεωμετρικός Χώρος αποτελεί νοητικό κατασκεύασμα, τελείως διαφορετικό από τον αισθητό Χώρο. Ένεκα αυτού, η Γεωμετρική εποπτεία θα μας οδηγήσει σε αλήθειες τις οποίες ποτέ δεν θα ήταν δυνατόν να γνωρίσουμε με την αισθητική εποπτεία.
Ενθουσιασμένος με την καθαρότητα του Γεωμετρικού συλλογισμού ο B. Spinoza (1632-1677) [2] δίνει στην φιλοσοφία του «Γεωμετρικό ρυθμό».
Οι προτάσεις που περιλαμβάνουν τα “Στοιχεία”, καθώς και οι προτάσεις των οποίων η απόδειξη βασίζεται στα αξιώματα του Ευκλείδη, αποτελούν ένα σύνολο το οποίο χαρακτηρίζεται με τον όρο Ευκλείδεια Γεωμετρία ή Γεωμετρία του Ευκλείδειου Χώρου.
Κατά τον 19ο αι., η συστηματική έρευνα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είχε σαν αποτέλεσμα την ίδρυση από τους N. I. Lobatchewsky (1793-1856) και J. Bolyai (1802-1860) μιας πρώτης μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας. [3]
Στη Γεωμετρία αυτή αντί του ε΄ αιτήματος των «Στοιχείων» του Ευκλείδη σύμφωνα με το οποίο: «Από σημείο κείμενο εκτός ευθείας, μία και μόνο παράλληλη άγεται προς την δοθείσα ευθεία», εισάγεται άλλο αξίωμα σύμφωνα με το οποίο: «Από σημείο κείμενο εκτός ευθείας, άγονται περισσότερες της μιας ευθείες που δεν τέμνουν την δοθείσα ευθεία».
Αργότερα ιδρύεται από τον B. Riemann (1826-1866) μία άλλη μη Ευκλείδεια Γεωμετρία στην οποία εισάγεται το εξής αξίωμα: «Από σημείο κείμενο εκτός ευθείας, καμιά παράλληλη προς τη δοθείσα ευθεία άγεται». [4]
Με μια πρώτη ματιά αυτές οι Γεωμετρίες φαίνονται να αντιφάσκουν με την Ευκλείδεια Γεωμετρία. Δεν πρόκειται όμως περί αυτού:
Το περιεχόμενο του ανωτέρω ε΄ αξιώματος τέθηκε από τον Ευκλείδη ως «αίτημα» και όχι ως θεώρημα, όπως το θεώρησαν για πολλούς αιώνες οι Μαθηματικοί και μάταια προσπάθησαν να το αποδείξουν.
Μόλις κατά τον 19ο αι. διαπιστώθηκε ότι αν ήθελε να επιχειρήσει κανείς απόδειξη του αιτήματος με την εις άτοπον απαγωγή, δεν θα προέκυπτε καμιά αντίφαση.
Από τη διαπίστωση αυτή δημιουργούνται οι προϋποθέσεις για την ίδρυση των ανωτέρω νέων Γεωμετριών. Κάθε μια τους μπορούμε να πούμε ότι είναι η Γεωμετρία ενός άλλου Χώρου, διαφορετικού από τον Ευκλείδειο. Δεν έχει λοιπόν νόημα η ερώτηση: ποια Γεωμετρία είναι ορθότερη. Και οι δυο νεότερες Γεωμετρίες είναι ορθές, όπως και η Γεωμετρία του Ευκλείδη.
Η «Προβολική Γεωμετρία», την οποία θα μελετήσουμε πολύ αργότερα, περιλαμβάνει και τις τρεις ανωτέρω Γεωμετρίες ως μερικές περιπτώσεις.
Μετά τους N. I. Lobatchewsky και B. Riemann, ο D. Hilbert (1862-1943) αποβλέποντας στη θεμελίωση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας πάνω σε σταθερή βάση, παρουσίασε ένα σύστημα αξιωμάτων το οποίο αποτελεί σήμερα τη βάση της ανάπτυξης της Γεωμετρικής θεωρίας. [5]
Όπως ήδη αναφέραμε, τα θεμελιώδη Γεωμετρικά στοιχεία ή αντικείμενα του Γεωμετρικού Χώρου, κατατάσσονται σε τρεις κατηγορίες.
Ονομάζουμε σημεία τα αντικείμενα της πρώτης κατηγορίας, ευθείες τα αντικείμενα της δεύτερης και επίπεδα τα αντικείμενα της τρίτης. Συμβολίζουμε, συνήθως, τα σημεία με κεφαλαία γράμματα Α, Β, Γ, … του αλφαβήτου, τις ευθείες με πεζά γράμματα α, β, γ, … και τα επίπεδα με Λατινικά πεζά a, b, c, … ή με τα κεφαλαία γράμματα του αλφαβήτου εντός παρενθέσεως (A), (Β), (Γ), …
Τα αξιώματα με τα οποία ιδρύεται η Ευκλείδεια Γεωμετρία κατατάσσονται σε πέντε κατηγορίες:
1. Στην πρώτη κατηγορία κατατάσσονται τα αξιώματα στα οποία η εισαγόμενη αρχική έννοια είναι αυτή του περιέχειν ή ανήκειν. [6] Τα αξιώματα αυτά ονομάζονται και αξιώματα θέσεως. [7] Έτσι, το αξίωμα: «Κάθε ευθεία α περιέχει τουλάχιστον δύο διαφορετικά σημεία Α και Β», είναι ένα αξίωμα θέσεως.
Το αξίωμα αυτό μας λέει ότι: Κάθε αντικείμενο της δεύτερης κατηγορίας (ευθεία), περιέχει τουλάχιστον δύο αντικείμενα της πρώτης κατηγορίας (σημεία).
2. Στη δεύτερη κατηγορία κατατάσσονται τα αξιώματα στα οποία η εισαγόμενη αρχική έννοια είναι αυτή του κείται μεταξύ. Τα αξιώματα αυτά ονομάζονται διατάξεως. Έτσι, το αξίωμα: «Μεταξύ δύο σημείων Α και Β μιας ευθείας ε, υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Γ» είναι ένα αξίωμα διατάξεως.
3. Η τρίτη κατηγορία αξιωμάτων είναι αυτή της ισότητας. [8] Τα αξιώματα αυτά αναφέρονται στα σχήματα που ορίζονται με βάση τα αξιώματα θέσεως και διατάξεως, τα οποία ονομάζονται ευθύγραμμο τμήμα και γωνία. Η αρχική έννοια που εισάγεται με αυτά τα αξιώματα είναι αυτή του είναι ίσο.
4. Η τέταρτη κατηγορία περιλαμβάνει το αξίωμα των παραλλήλων ή του Ευκλείδη.
5, Η πέμπτη κατηγορία περιλαμβάνει το αξίωμα συνέχειας, γνωστό και ως αξίωμα του Αρχιμήδη ή του Dedekind.
Οι σχέσεις μεταξύ των Γεωμετρικών στοιχείων, τα οποία αποτελούν ένα Γεωμετρικό σχήμα, ονομάζονται ιδιότητες αυτού.
Η διατύπωση των ανωτέρω σχέσεων μεταξύ των στοιχείων των γεωμετρικών σχημάτων γίνεται με τις προς απόδειξη προτάσεις ή τα θεωρήματα της Γεωμετρίας.
Υπόθεση ενός θεωρήματος ονομάζουμε το σύνολο των συνθηκών, που θεωρούμε ότι υφίστανται μεταξύ των στοιχείων ενός γεωμετρικού σχήματος. Από τις υφιστάμενες στην υπόθεση συνθήκες συνεπάγονται οι προς απόδειξη σχέσεις μεταξύ των ή και μεταξύ άλλων στοιχείων του γεωμετρικού σχήματος.
Απόδειξη ονομάζεται η βεβαίωση των συνεπαγόμενων από την υπόθεση ιδιοτήτων μέσω των κανόνων της Λογικής.
Η απόδειξη πρέπει να βασίζεται στα αξιώματα που έχουμε εισάγει, τους ορισμούς και σε θεωρήματα που έχουμε αποδείξει προηγουμένως. Πόρισμα ενός θεωρήματος ονομάζεται κάθε πρόταση που προκύπτει απευθείας από το θεώρημα.
Κατά την ανάπτυξη της Γεωμετρικής Θεωρίας θα καταστεί σαφές ότι οι ιδιότητες των σχημάτων μπορεί να είναι μετρικές, να αναφέρονται δηλαδή σε μέτρηση ευθύγραμμων τμημάτων, γωνιών κ.λ.π., ή γραφικές. Ως γραφικές χαρακτηρίζονται οι μη μετρικές ιδιότητες των σχημάτων.
Η μέθοδος επομένως η οποία συνίσταται στην απόδειξη των θεωρημάτων της ισότητας χρησιμοποιώντας την έννοια της μετακίνησης δεν είναι ορθή, διότι η έννοια της μετακίνησης προϋποθέτει την έννοια της ισότητας την οποία ακριβώς θέλουμε να ορίσουμε. Η μέθοδος αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην «Εποπτική Γεωμετρία».
Στην Θεωρητική όμως Γεωμετρία δεν θα χρησιμοποιήσουμε το ανωτέρω αξίωμα του αναλλοίωτου, άλλα θα θέσουμε άλλα αξιώματα για την κατοχύρωση των αποδείξεων των προτάσεων της Γεωμετρίας, που αναφέρονται στην έννοια της ισότητας. Έτσι θα συνειδητοποιήσουμε με πιο άμεσο τρόπο την καθαρότητα του Γεωμετρικού συλλογισμού.
Αναπτύσσοντας τη θεωρία θα διαπιστώσουμε ότι βασιζόμενοι μόνο στα αξιώματα των τεσσάρων πρώτων κατηγοριών, χωρίς δηλαδή τη χρησιμοποίηση του αξιώματος της συνέχειας, μπορούμε να έχουμε μια Γεωμετρική θεωρία ανεξάρτητη από αριθμητικές έννοιες. Οι σχέσεις και οι πράξεις που εισάγονται κάθε φορά διατηρούν το γεωμετρικό τους χαρακτήρα ακόμη και όταν υπάρχει αναλογία προς τις σχέσεις και πράξεις επί των πραγματικών αριθμών.
Με αυτόν τον τρόπο η Γεωμετρική σπουδή γίνεται πιο σύντομη και πιο απλή.
Σημείωση: Ήδη από τους πρώτους γεωμετρικούς ορισμούς θεωρήσαμε αναγκαίο να εισάγουμε την έννοια του «προσανατολισμού» για την ευθεία και το επίπεδο, για την απλούστευση της διατύπωσης, την αποφυγή της περιπτωσιολογίας και τη γενικότητα των αποδείξεων. Εν προκειμένω, αλλά και σε ό,τι αφορά τις βασικές έννοιες του γινομένου και του λόγου των ευθυγράμμων τμημάτων και την έννοια του προσανατολισμού στο Χώρο, ακολουθήσαμε τις υποδείξεις από την ανέκδοτη ακόμη εργασία του καθηγητή κ. Παναγιώτη Λαδόπουλου: «Ἐπὶ βασικῶν τινων ἐννοιῶν τῆς Εὐκλειδείου Γεωμετρίας».
Σε ό,τι αφορά δε στην έννοια του «Γεωμετρικού Χώρου» και στην ανάλυση των στοιχείων που συνθέτουν αυτήν την έννοια, συμβουλευτήκαμε την Εισαγωγή του συγγράμματος «Στοιχεῖα Προβολικῆς Γεωμετρίας» του ίδιου καθηγητή, στην οποία γίνεται λεπτομερής ανάλυση των ανωτέρω στοιχείων και εννοιών και γενικότερα της πορείας της ανθρώπινης σκέψης, σε ό,τι αφορά στην Επιστήμη του Χώρου, από τον Θαλή μέχρι σήμερα.
[3] Υπερβολική Γεωμετρία ή Γεωμετρία Lobatchewsky.
[4] Ελλειπτική Γεωμετρία ή Γεωμετρία Riemann.
[5] Η μέθοδος αυτή για πρώτη φορά παρουσιάζεται στην Ελλάδα από τον μαθηματικό Α. Σ. Παπασπυρόπουλο στο βιβλίο του «Εἰσαγωγὴ εἰς την μὴ Εὐκλείδειον Γεωμετρίαν», 1938.
[6] Αξιώματα περιεκτικότητας ή σύνδεσης.
[7] Ο Γ. Ντάνης ονομάζει τα αξιώματα διατάξεως και θέσεως. Μου φαίνεται πιο λογικό.
[8] Αξιώματα ισότητας ή εφαρμόσιμο.
Ο κ. Τάκης Χρονόπουλος στο ιστολόγιο του «Για τους Ρομαντικούς της Γεωμετρίας» γράφει τα εξής για τα σχολικά βιβλία του Ιωαννίδη:
Το 1968 ο διακεκριμένος Γεωμέτρης Ιωάννης Ιωαννίδης έγραψε δυο σχολικά βιβλία Γεωμετρίας για την Γ΄ και Δ΄ Γυμνασίου. Τότε Γυμνάσιο και Λύκειο δεν είχαν χωριστεί ακόμα, ήταν ένα σαν εξατάξιο Γυμνάσιο. Στην ύλη το βιβλίο της Γ' Γυμνασίου τότε είχε Επιπεδομετρία και της Δ΄ Γυμνασίου Επιπεδομετρία και Στερεομετρία, με έμφαση σε γεωμετρικούς τόπους και κατασκευές. Όταν κυκλοφόρησαν η συνέχειά τους ήταν το σχολικό βιβλίο του Ιωάννη Πανάκη με τον αντίστοιχο τίτλο «Μαθηματικά Ε΄ Γυμνασίου, Τόμος Β΄». Ανεξαρτήτως διατύπωσης τα σχολικά του Ιωαννίδη, παραμένουν μακράν τα πιο απαιτητικά σχολικά βιβλία Γεωμετρίας που έχουν κυκλοφορήσει για την Γ' Γυμνασίου και Δ' Γυμνασίου (σημερινή Α' Λυκείου). Αξίζει να αναφερθεί πως στις άλυτες του για την Δ' Γυμνασίου, έχει και το διάσημο (για την δυσκολία του) πρόβλημα Malfatti: Να κατασκευασθούν τρεις κύκλοι k1, k2, k3, έκαστος εξωτερικά εφαπτόμενος των δύο άλλων καθώς και δύο πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ.Οι υποσημειώσεις στο κείμενο που ακολουθεί είναι δικές μου.
Επειδή τα σχολικά του Ιωαννίδη ήταν γραμμένα διαφορετικά από τα βιβλία της εποχής πχ. χρησιμοποιούσε προσανατολισμένες γωνίες αλλά κι επειδή ήταν αρκετά απαιτητικά, οι εκπαιδευτικοί διαμαρτύρονταν ότι αδυνατούσαν να τα διδάξουν. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα τα συγκεκριμένα βιβλία να αντέξουν στα σχολεία το σχολικό έτος 1968-69 και αποσύρθηκαν στην διάρκεια του επόμενου σχολικού έτους, πριν τα Χριστούγεννα του 1969. Μετά επανήλθε το προηγούμενο σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας του Νικολάου και με τον καιρό χρησιμοποιήθηκε (στο Λύκειο) στην Θετική Κατεύθυνση το βιβλίο Γεωμετρίας του Πανάκη (σε όλες τις τάξεις, ενώ κυκλοφόρησε αρχικά μόνο για Ε΄ Γυμνασίου) και στην Θεωρητική το προαναφερθέν του Νικολάου.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Από το σχολικό εγχειρίδιο του Ι. Ιωαννίδη «Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου», Τόμος Β΄, ΟΕΔΒ, 1969.1. Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ – ΑΙΣΘΗΤΟΣ ΧΩΡΟΣ
Η Σπουδή της Γεωμετρίας όπως και των άλλων Επιστημών συνδέεται με την προσπάθεια του ανθρώπου να ερμηνεύσει με έναν τρόπο καθολικό τον Κόσμο που τον περιβάλλει. Σ᾽ αυτή του την προσπάθεια συνειδητοποιεί ότι η γνώση του είναι κατ᾽ ανάγκη περιορισμένη, διότι, ακριβώς επειδή είναι εμπειρική, αναφέρεται σε ό,τι η αντίληψη από τον αισθητό Κόσμο του επιτρέπει κάθε φορά να εννοήσει. Πιστεύει ότι ο προορισμός του είναι να έχει αντίληψη πέραν αυτής που του παρέχει η εμπειρία και αποβλέπει προς αυτή την κατεύθυνση: να απελευθερωθεί από τη δεσποτεία του αισθητού. Δεν μπορεί να περιορισθεί στη καταγραφή των φαινομένων του αισθητού Κόσμου, ενδιαφέρεται για τις μεταξύ των σχέσεις. Θα προτιμούσε να βρίσκεται σ᾽ ένα Κόσμο, που να μπορούσε να τον ερμηνεύσει πλήρως. Έτσι λοιπόν οδηγείται στο να κατασκευάσει με το νου του ένα τέτοιο Κόσμο, απαλλαγμένο από τις αντιφάσεις του αισθητού και μέσω αυτού να ερμηνεύσει τον αισθητό, να επιστρέψει δηλαδή σ᾽ αυτόν. Στην περιοχή της Επιστήμης του Χώρου, ο δραματικός αυτός αγώνας του ανθρώπινου νου και οι επιτυχίες που σημειώθηκαν δεν υπήρξαν θεαματικές, δεν απασχόλησαν το ευρύ κοινό, θα παραμείνουν όμως οι ευγενέστερες κατακτήσεις του ανθρώπινου πνεύματος, προς τις οποίες πρέπει σε κάθε περίπτωση να αποβλέπουμε, όταν η πίστη μας προς την πνευματική δημιουργία εμφανίζεται μειωμένη.Πρέπει να δεχθούμε, ότι μέχρι τον Θαλή τον Μιλήσιο (639-548 π.Χ.) ο ανθρώπινος νους δεν είχε απελευθερωθεί από την εποπτεία μέσω των αισθήσεων. Αυτή αποτελούσε, μέχρι την εποχή του, την προϋπόθεση και την αιτία της δημιουργίας της Γεωμετρίας, την οποία ασκούσαν οι Αιγύπτιοι και οι Ανατολικοί λαοί.
Ο Θαλής με την εισαγωγή του «απαγωγικού συλλογισμού» και της «υπόθεσης», μετέφερε την αναζήτηση της αλήθειας από την περιοχή του αισθητού στην περιοχή του νοητού. Η αποδεικτική επιστήμη που θεμελιώθηκε από τον Θαλή, δεν έχει τίποτε το κοινό με την προγενέστερη Γεωμετρία των Ανατολικών λαών, διαφέρει απ’ αυτή και σε περιεχόμενο και σε σκοπό. Οι βελτιώσεις και οι τροποποιήσεις που έγιναν στο τέλος του 19ου αι., σε ό,τι αφορά την παρουσίαση της Ελληνικής Γεωμετρίας, τίποτα σχεδόν δεν προσθέτουν στη δημιουργία του Θαλή, η οποία συνίσταται στην απαλλαγή της ανθρώπινης σκέψης από την δεσποτεία του αισθητού. Η εποπτεία μέσω των αισθήσεων αντικαθίσταται από τον Θαλή με την γεωμετρική εποπτεία, και ο αισθητός Χώρος από τον Γεωμετρικό Χώρο.
{Με μια αφαιρετική νοητική διεργασία, μπορούμε να προσεγγίσουμε τα στοιχεία τα οποία συνθέτουν την έννοια του Γεωμετρικού Χώρου (σημείο, γραμμή, επιφάνεια κ.λ.π.) από τα αντίστοιχα στοιχεία του αισθητού χώρου, απαλλάσσοντάς τα από τα μη κοινά τους χαρακτηριστικά (χρώμα, πάχος κ.λ.π.) με τα οποία εμφανίζονται συνδεδεμένα.
Η μετάβαση από τις ανωτέρω εποπτικές έννοιες στις αντίστοιχες αφηρημένες, οι οποίες θα ονομαστούν γεωμετρικές, είναι το πρώτο βήμα προς την αφηρημένη Γεωμετρία.
Αν όμως αφορμή για τη δημιουργία των ανωτέρω γεωμετρικών εννοιών υπήρξε, όπως σημειώσαμε ανωτέρω, η εμπειρία των αισθήσεων, γεννάται εύλογα το ερώτημα: πως και από ποιο σημείο η Γεωμετρία ανεξαρτητοποιείται από την αισθητική εμπειρία;
Η απάντηση σ’ αυτό το ερώτημα συνδέεται με την κατανόηση του σκοπού της γεωμετρικής έρευνας. Αν ο σκοπός της αφηρημένης Γεωμετρίας δεν είναι η θεώρηση των καθεαυτὸ γεωμετρικών εννοιών, αλλά κυρίως η έρευνα των μεταξύ των σχέσεων, τότε η ανεξαρτησία από τον αισθητό χώρο εξασφαλίζεται με την εισαγωγή εννοιών οι οποίες θα θεωρηθούν ως αρχικές (μη οριζόμενες από άλλες έννοιες) και με την εισαγωγή αξιωμάτων καθορισμού των μεταξύ των ανωτέρω αρχικών εννοιών σχέσεων. Ένας τέτοιος όμως καθορισμός μπορεί και επιβάλλεται να είναι ανεξάρτητος από την εμπειρία των αισθήσεων. Η αντίθετη παραδοχή οδηγεί στην υποδούλωση του νου στο αισθητό, στη δεσποτεία των αισθήσεων επί της διάνοιας.
Μ’ αυτόν τον τρόπο η Γεωμετρία θα θέσει για τον εαυτό της τα αξιώματά της, ανεξάρτητα από την εποπτεία των αισθήσεων και γι’ αυτό το λόγο μπορεί να είναι Ευκλείδεια ή μη Ευκλείδεια.
Με την εκλογή των αξιωμάτων που αναφέρονται στις σχέσεις μεταξύ των αρχικών εννοιών, καθορίζεται ο Γεωμετρικός Χώρος, στην έρευνα του οποίου αναφέρεται η αντίστοιχη Γεωμετρία.
Εμείς θα μελετήσουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρία (Γεωμετρία του Ευκλείδειου χώρου) και σ’ αυτό το βιβλίο γίνεται λόγος για τα ἀξιώματα και τα θεωρήματά της.
2. ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ
Η Γεωμετρία βασίζεται σε ένα σύστημα αρχικών εννοιών οι οποίες δεν μπορούν να οριστούν.[1]Πράγματι, για τον ορισμό κάθε έννοιας πρέπει να χρησιμοποιηθούν αναγκαία άλλες έννοιες, οι οποίες με τη σειρά τους, θα πρέπει να οριστούν με τη βοήθεια άλλων εννοιών κ.ο.κ. Γι’ αυτό το λόγο επιβάλλεται να εκλεγούν ορισμένα στοιχεία, οι έννοιες των οποίων θα θεωρηθούν ως αρχικές, βάσει δε αυτών θα οριστούν οι έννοιες των άλλων στοιχείων του Γεωμετρικού Χώρου. Οι αρχικές αυτές έννοιες ονομάστηκαν θεμελιώδη ή αρχικά στοιχεία του Γεωμετρικού Χώρου.
Θεωρούμε ως θεμελιώδη Γεωμετρικά στοιχεία το σημείο, την ευθεία και το επίπεδο.
Τα στοιχεία αυτά πρέπει να θεωρηθούν ανεξάρτητα και άσχετα από την προέλευσή τους ή το εποπτικό τους περιεχόμενο.
Οι ανωτέρω αρχικές έννοιες του σημείου, της ευθείας και του επιπέδου θα οριστούν έμμεσα με τα αξιώματα της Γεωμετρίας, δηλαδή των αρχικών προτάσεων, με τις οποίες ορίζονται οι μεταξύ των ανωτέρω Γεωμετρικών στοιχείων σχέσεις. Στις σχέσεις αυτές αναφέρεται η Γεωμετρική Θεωρία και όχι στα γεωμετρικά αντικείμενα καθαυτά.
Η έννοια της ευθείας του Γεωμετρικού Χώρου θα καθοριστεί από τις ιδιότητες που εμείς θα της αποδώσουμε.
Έτσι με το αξίωμα: «Κάθε ευθεία περιέχει δύο τουλάχιστον σημεία», δεχόμαστε μια σχέση μεταξύ των εννοιών της ευθείας και του σημείου, η οποία περιγράφεται με το ανωτέρω αξίωμα.
Αυτό εννοούμε όταν λέμε ότι τα Γεωμετρικά αντικείμενα ορίζονται έμμεσα με τα αξιώματα της Γεωμετρίας.
Η ύπαρξη των αντικειμένων τα οποία ονομάσαμε Γεωμετρικά Στοιχεία είναι ένα αξίωμα της Γεωμετρίας: το αξίωμα της ὑπάρξεως.
Τα αξιώματα της Γεωμετρίας, χωρίς να έχουν τη μορφή δογμάτων, εκφράζουν θεμελιώδεις αλήθειες, τις οποίες η πείρα και η παρατήρηση μόνες, δεν μπορούν να δώσουν.
Το σύνολο των αξιωμάτων επί των οποίων ιδρύεται η Γεωμετρική Θεωρία, ονομάζεται και σύστημα αξιωμάτων της. Η εκλογή ενός συστήματος αξιωμάτων στη Γεωμετρία αποτελεί και τη θεμελίωσή της.
Η μέθοδος με την οποία η ίδρυση της Γεωμετρίας βασίζεται σε αξιώματα ονομάζεται αξιωματική.
Η ίδρυση της Γεωμετρίας σύμφωνα μ’ αυτήν τη μέθοδο, δεν επιβάλλεται μόνο για το λόγο ότι αποκαλύπτει στον μελετητή την ομορφιά της εξάρτησης των Γεωμετρικών εννοιών από το Λόγο, αλλά και διότι τον εξοικειώνει με την αυστηρότητα της λογικής δημιουργίας, η οποία είναι προνόμιο του ανθρώπινου πνεύματος, δίνοντάς του την ευκαιρία να χαρεί αυτή τη δημιουργία.
Τα συμπεράσματα από την έρευνα των σχέσεων μεταξύ των στοιχείων μέσω της αξιωματικής μεθόδου, τα οποία συνθέτουν την έννοια του Γεωμετρικού Χώρου, δεν προκύπτουν, όπως καταδεικνύεται από τα ανωτέρω, από την εμπειρία, ούτε μπορεί να εξεταστεί αν επαληθεύονται απ’ αυτήν.
Το αντίθετο, τα συμπεράσματα που προκύπτουν από την Γεωμετρική Θεωρία εμφανίζονται πολλές φορές αντίθετα με την αισθητική εμπειρία.
Κατά την περαιτέρω μελέτη της Γεωμετρίας θα εισάγουμε ορισμένα Γεωμετρικά στοιχεία τα οποία θα ονομάσουμε φανταστικά. Τα στοιχεία αυτά είναι στοιχεία του Γεωμετρικού Χώρου και δεν έχουν ασφαλώς σχέση με την αισθητική εμπειρία. Έτσι λοιπόν, ο Γεωμετρικός Χώρος αποτελεί νοητικό κατασκεύασμα, τελείως διαφορετικό από τον αισθητό Χώρο. Ένεκα αυτού, η Γεωμετρική εποπτεία θα μας οδηγήσει σε αλήθειες τις οποίες ποτέ δεν θα ήταν δυνατόν να γνωρίσουμε με την αισθητική εποπτεία.
Ενθουσιασμένος με την καθαρότητα του Γεωμετρικού συλλογισμού ο B. Spinoza (1632-1677) [2] δίνει στην φιλοσοφία του «Γεωμετρικό ρυθμό».
3. Η ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη (330-273 π.Χ.) αποτελούν το πρώτο παράδειγμα στην ιστορία ίδρυσης επιστήμης με βάση την αξιωματική μέθοδο.Οι προτάσεις που περιλαμβάνουν τα “Στοιχεία”, καθώς και οι προτάσεις των οποίων η απόδειξη βασίζεται στα αξιώματα του Ευκλείδη, αποτελούν ένα σύνολο το οποίο χαρακτηρίζεται με τον όρο Ευκλείδεια Γεωμετρία ή Γεωμετρία του Ευκλείδειου Χώρου.
Κατά τον 19ο αι., η συστηματική έρευνα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είχε σαν αποτέλεσμα την ίδρυση από τους N. I. Lobatchewsky (1793-1856) και J. Bolyai (1802-1860) μιας πρώτης μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας. [3]
Στη Γεωμετρία αυτή αντί του ε΄ αιτήματος των «Στοιχείων» του Ευκλείδη σύμφωνα με το οποίο: «Από σημείο κείμενο εκτός ευθείας, μία και μόνο παράλληλη άγεται προς την δοθείσα ευθεία», εισάγεται άλλο αξίωμα σύμφωνα με το οποίο: «Από σημείο κείμενο εκτός ευθείας, άγονται περισσότερες της μιας ευθείες που δεν τέμνουν την δοθείσα ευθεία».
Αργότερα ιδρύεται από τον B. Riemann (1826-1866) μία άλλη μη Ευκλείδεια Γεωμετρία στην οποία εισάγεται το εξής αξίωμα: «Από σημείο κείμενο εκτός ευθείας, καμιά παράλληλη προς τη δοθείσα ευθεία άγεται». [4]
Με μια πρώτη ματιά αυτές οι Γεωμετρίες φαίνονται να αντιφάσκουν με την Ευκλείδεια Γεωμετρία. Δεν πρόκειται όμως περί αυτού:
Το περιεχόμενο του ανωτέρω ε΄ αξιώματος τέθηκε από τον Ευκλείδη ως «αίτημα» και όχι ως θεώρημα, όπως το θεώρησαν για πολλούς αιώνες οι Μαθηματικοί και μάταια προσπάθησαν να το αποδείξουν.
Μόλις κατά τον 19ο αι. διαπιστώθηκε ότι αν ήθελε να επιχειρήσει κανείς απόδειξη του αιτήματος με την εις άτοπον απαγωγή, δεν θα προέκυπτε καμιά αντίφαση.
Από τη διαπίστωση αυτή δημιουργούνται οι προϋποθέσεις για την ίδρυση των ανωτέρω νέων Γεωμετριών. Κάθε μια τους μπορούμε να πούμε ότι είναι η Γεωμετρία ενός άλλου Χώρου, διαφορετικού από τον Ευκλείδειο. Δεν έχει λοιπόν νόημα η ερώτηση: ποια Γεωμετρία είναι ορθότερη. Και οι δυο νεότερες Γεωμετρίες είναι ορθές, όπως και η Γεωμετρία του Ευκλείδη.
Η «Προβολική Γεωμετρία», την οποία θα μελετήσουμε πολύ αργότερα, περιλαμβάνει και τις τρεις ανωτέρω Γεωμετρίες ως μερικές περιπτώσεις.
Μετά τους N. I. Lobatchewsky και B. Riemann, ο D. Hilbert (1862-1943) αποβλέποντας στη θεμελίωση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας πάνω σε σταθερή βάση, παρουσίασε ένα σύστημα αξιωμάτων το οποίο αποτελεί σήμερα τη βάση της ανάπτυξης της Γεωμετρικής θεωρίας. [5]
Όπως ήδη αναφέραμε, τα θεμελιώδη Γεωμετρικά στοιχεία ή αντικείμενα του Γεωμετρικού Χώρου, κατατάσσονται σε τρεις κατηγορίες.
Ονομάζουμε σημεία τα αντικείμενα της πρώτης κατηγορίας, ευθείες τα αντικείμενα της δεύτερης και επίπεδα τα αντικείμενα της τρίτης. Συμβολίζουμε, συνήθως, τα σημεία με κεφαλαία γράμματα Α, Β, Γ, … του αλφαβήτου, τις ευθείες με πεζά γράμματα α, β, γ, … και τα επίπεδα με Λατινικά πεζά a, b, c, … ή με τα κεφαλαία γράμματα του αλφαβήτου εντός παρενθέσεως (A), (Β), (Γ), …
Τα αξιώματα με τα οποία ιδρύεται η Ευκλείδεια Γεωμετρία κατατάσσονται σε πέντε κατηγορίες:
1. Στην πρώτη κατηγορία κατατάσσονται τα αξιώματα στα οποία η εισαγόμενη αρχική έννοια είναι αυτή του περιέχειν ή ανήκειν. [6] Τα αξιώματα αυτά ονομάζονται και αξιώματα θέσεως. [7] Έτσι, το αξίωμα: «Κάθε ευθεία α περιέχει τουλάχιστον δύο διαφορετικά σημεία Α και Β», είναι ένα αξίωμα θέσεως.
Το αξίωμα αυτό μας λέει ότι: Κάθε αντικείμενο της δεύτερης κατηγορίας (ευθεία), περιέχει τουλάχιστον δύο αντικείμενα της πρώτης κατηγορίας (σημεία).
2. Στη δεύτερη κατηγορία κατατάσσονται τα αξιώματα στα οποία η εισαγόμενη αρχική έννοια είναι αυτή του κείται μεταξύ. Τα αξιώματα αυτά ονομάζονται διατάξεως. Έτσι, το αξίωμα: «Μεταξύ δύο σημείων Α και Β μιας ευθείας ε, υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Γ» είναι ένα αξίωμα διατάξεως.
3. Η τρίτη κατηγορία αξιωμάτων είναι αυτή της ισότητας. [8] Τα αξιώματα αυτά αναφέρονται στα σχήματα που ορίζονται με βάση τα αξιώματα θέσεως και διατάξεως, τα οποία ονομάζονται ευθύγραμμο τμήμα και γωνία. Η αρχική έννοια που εισάγεται με αυτά τα αξιώματα είναι αυτή του είναι ίσο.
4. Η τέταρτη κατηγορία περιλαμβάνει το αξίωμα των παραλλήλων ή του Ευκλείδη.
5, Η πέμπτη κατηγορία περιλαμβάνει το αξίωμα συνέχειας, γνωστό και ως αξίωμα του Αρχιμήδη ή του Dedekind.
4. ΤΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΣΧΗΜΑ
Γεωμετρικό σχήμα ονομάζουμε κάθε πεπερασμένο ή μη σύνολο Γεωμετρικών στοιχείων.Οι σχέσεις μεταξύ των Γεωμετρικών στοιχείων, τα οποία αποτελούν ένα Γεωμετρικό σχήμα, ονομάζονται ιδιότητες αυτού.
Η διατύπωση των ανωτέρω σχέσεων μεταξύ των στοιχείων των γεωμετρικών σχημάτων γίνεται με τις προς απόδειξη προτάσεις ή τα θεωρήματα της Γεωμετρίας.
Υπόθεση ενός θεωρήματος ονομάζουμε το σύνολο των συνθηκών, που θεωρούμε ότι υφίστανται μεταξύ των στοιχείων ενός γεωμετρικού σχήματος. Από τις υφιστάμενες στην υπόθεση συνθήκες συνεπάγονται οι προς απόδειξη σχέσεις μεταξύ των ή και μεταξύ άλλων στοιχείων του γεωμετρικού σχήματος.
Απόδειξη ονομάζεται η βεβαίωση των συνεπαγόμενων από την υπόθεση ιδιοτήτων μέσω των κανόνων της Λογικής.
Η απόδειξη πρέπει να βασίζεται στα αξιώματα που έχουμε εισάγει, τους ορισμούς και σε θεωρήματα που έχουμε αποδείξει προηγουμένως. Πόρισμα ενός θεωρήματος ονομάζεται κάθε πρόταση που προκύπτει απευθείας από το θεώρημα.
Κατά την ανάπτυξη της Γεωμετρικής Θεωρίας θα καταστεί σαφές ότι οι ιδιότητες των σχημάτων μπορεί να είναι μετρικές, να αναφέρονται δηλαδή σε μέτρηση ευθύγραμμων τμημάτων, γωνιών κ.λ.π., ή γραφικές. Ως γραφικές χαρακτηρίζονται οι μη μετρικές ιδιότητες των σχημάτων.
5. ΤΟ ΑΞΙΩΜΑ ΤΟΥ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΟΥ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ
Είναι γνωστό από την Πρακτική Γεωμετρία ότι για να βεβαιωθούμε για την ισότητα δύο τριγώνων μετακινούμε (μεταθέτουμε) το ένα απ’ αυτά έως ότου συμπέσει με το άλλο. Δεχόμαστε δηλαδή ότι ένα γεωμετρικό σχήμα μπορεί να μετακινηθεί και ότι κατ’ αυτήν την μετακίνηση παραμένει αναλλοίωτο. Αυτό όμως δεν μπορεί να σημαίνει τίποτε άλλο παρὰ το ότι παραμένει ίσο με τον εαυτό του. Το ίδιο ισχύει για τα ευθύγραμμα τμήματα και τις γωνίες.Η μέθοδος επομένως η οποία συνίσταται στην απόδειξη των θεωρημάτων της ισότητας χρησιμοποιώντας την έννοια της μετακίνησης δεν είναι ορθή, διότι η έννοια της μετακίνησης προϋποθέτει την έννοια της ισότητας την οποία ακριβώς θέλουμε να ορίσουμε. Η μέθοδος αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην «Εποπτική Γεωμετρία».
Στην Θεωρητική όμως Γεωμετρία δεν θα χρησιμοποιήσουμε το ανωτέρω αξίωμα του αναλλοίωτου, άλλα θα θέσουμε άλλα αξιώματα για την κατοχύρωση των αποδείξεων των προτάσεων της Γεωμετρίας, που αναφέρονται στην έννοια της ισότητας. Έτσι θα συνειδητοποιήσουμε με πιο άμεσο τρόπο την καθαρότητα του Γεωμετρικού συλλογισμού.
Αναπτύσσοντας τη θεωρία θα διαπιστώσουμε ότι βασιζόμενοι μόνο στα αξιώματα των τεσσάρων πρώτων κατηγοριών, χωρίς δηλαδή τη χρησιμοποίηση του αξιώματος της συνέχειας, μπορούμε να έχουμε μια Γεωμετρική θεωρία ανεξάρτητη από αριθμητικές έννοιες. Οι σχέσεις και οι πράξεις που εισάγονται κάθε φορά διατηρούν το γεωμετρικό τους χαρακτήρα ακόμη και όταν υπάρχει αναλογία προς τις σχέσεις και πράξεις επί των πραγματικών αριθμών.
Με αυτόν τον τρόπο η Γεωμετρική σπουδή γίνεται πιο σύντομη και πιο απλή.
Σημείωση: Ήδη από τους πρώτους γεωμετρικούς ορισμούς θεωρήσαμε αναγκαίο να εισάγουμε την έννοια του «προσανατολισμού» για την ευθεία και το επίπεδο, για την απλούστευση της διατύπωσης, την αποφυγή της περιπτωσιολογίας και τη γενικότητα των αποδείξεων. Εν προκειμένω, αλλά και σε ό,τι αφορά τις βασικές έννοιες του γινομένου και του λόγου των ευθυγράμμων τμημάτων και την έννοια του προσανατολισμού στο Χώρο, ακολουθήσαμε τις υποδείξεις από την ανέκδοτη ακόμη εργασία του καθηγητή κ. Παναγιώτη Λαδόπουλου: «Ἐπὶ βασικῶν τινων ἐννοιῶν τῆς Εὐκλειδείου Γεωμετρίας».
Σε ό,τι αφορά δε στην έννοια του «Γεωμετρικού Χώρου» και στην ανάλυση των στοιχείων που συνθέτουν αυτήν την έννοια, συμβουλευτήκαμε την Εισαγωγή του συγγράμματος «Στοιχεῖα Προβολικῆς Γεωμετρίας» του ίδιου καθηγητή, στην οποία γίνεται λεπτομερής ανάλυση των ανωτέρω στοιχείων και εννοιών και γενικότερα της πορείας της ανθρώπινης σκέψης, σε ό,τι αφορά στην Επιστήμη του Χώρου, από τον Θαλή μέχρι σήμερα.
Υποσημειώσεις
[1] Οι επτά πρώτοι «όροι» στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη είναι οι εξής:α´) Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.[2] Ολλανδός φιλόσοφος, εβραϊκής καταγωγής.
β´) Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές.
γ´) Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα.
δ´) Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ᾽ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται.
ε´) Ἐπιφάνεια δὲ ἐστιν, ὅ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει.
ς´) Ἐπιφανείας δὲ πέρατα γραμμαί.
ζ´) Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστίν, ἥτις ἐξ ἴσου δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐπ᾽ εὐθείας κειμένων πρὸς ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις.
[3] Υπερβολική Γεωμετρία ή Γεωμετρία Lobatchewsky.
[4] Ελλειπτική Γεωμετρία ή Γεωμετρία Riemann.
[5] Η μέθοδος αυτή για πρώτη φορά παρουσιάζεται στην Ελλάδα από τον μαθηματικό Α. Σ. Παπασπυρόπουλο στο βιβλίο του «Εἰσαγωγὴ εἰς την μὴ Εὐκλείδειον Γεωμετρίαν», 1938.
[6] Αξιώματα περιεκτικότητας ή σύνδεσης.
[7] Ο Γ. Ντάνης ονομάζει τα αξιώματα διατάξεως και θέσεως. Μου φαίνεται πιο λογικό.
[8] Αξιώματα ισότητας ή εφαρμόσιμο.
Δευτέρα 10 Απριλίου 2017
Μικρὲς Ἱστορίες 36: Σχᾶμα, βᾶμα καὶ τριώβολον
Ὅταν ὁ Πυθαγόρας ἐπέστρεψε ἀπὸ τὴν Βαβυλώνα στὴν Σάμο, πῆγε στὸ Γυμναστήριο τῆς πόλης καὶ πρότεινε σ᾽ἕναν ἀθλητὴ νὰ τοῦ παραδίδει μαθήματα Γεωμετρίας, καὶ ἐπιπλέον νὰ τὸν πληρώνει μὲ τρεῖς ὀβολούς (τριώβολον) γιὰ κάθε θεώρημα ποὺ θὰ τοῦ διδάσκει. Ὁ ἀθλητής δέχτηκε καὶ ἄρχισαν τὰ ἰδιαίτερα μαθήματα Γεωμετρίας. Μετὰ ἀπὸ λίγες μέρες ὁ Πυθαγόρας ἤθελε νὰ δεῖ ποιὰ ἐπίδραση εἶχε ἡ Γεωμετρία στὴν ψυχὴ τοῦ μαθητῆ καὶ τοῦ λέει:
- Ξέρεις, ἔχω οἰκονομικές δυσκολίες καὶ δὲν μπορῶ νὰ σοῦ πληρώνω τρεῖς ὀβολοὺς γιὰ κάθε θεώρημα ποὺ σοῦ διδάσκω.
Ὁ ἀθλητὴς ἀπάντησε:
- Δὲν πειράζει, δέχομαι νὰ μοῦ κάνεις μάθημα χωρίς νὰ μοῦ δίνεις χρήματα.
- Κοίτα, ἔχω οἰκονομικὲς ἀνάγκες κι οὔτε αὐτὸ μπορῶ νὰ κάμω, διότι πρέπει νὰ ἐργάζομαι γιὰ τὰ πρὸς τὸ ζεῖν.
- Θὰ σοῦ πληρώνω ἐγὼ τότε τρεῖς ὀβολούς γιὰ κάθε θεώρημα.
Ἀπὸ τὸ περιστατικό αὐτὸ προῆλθε ἡ παροιμία:
῾Σχᾶμα καὶ βᾶμα
ἀλλ᾽οὐ σχᾶμα καὶ τριώβολον᾽
δηλαδὴ: Μὲ κάθε σχῆμα (δηλ. θεώρημα) κι ἕνα βῆμα πρὸς τὴν φιλοσοφία, ἀλλ᾽ὄχι σχῆμα (θεώρημα) καὶ τριώβολο, ὄχι Γεωμετρία ἐπὶ πληρωμῇ χωρίς φιλοσοφία.
Προσαρμογή ἀπὸ τὴν πραγματεία περὶ Πυθαγόρου τοῦ Εὐάγγελου Σταμάτη, 1981.
- Ξέρεις, ἔχω οἰκονομικές δυσκολίες καὶ δὲν μπορῶ νὰ σοῦ πληρώνω τρεῖς ὀβολοὺς γιὰ κάθε θεώρημα ποὺ σοῦ διδάσκω.
Ὁ ἀθλητὴς ἀπάντησε:
- Δὲν πειράζει, δέχομαι νὰ μοῦ κάνεις μάθημα χωρίς νὰ μοῦ δίνεις χρήματα.
- Κοίτα, ἔχω οἰκονομικὲς ἀνάγκες κι οὔτε αὐτὸ μπορῶ νὰ κάμω, διότι πρέπει νὰ ἐργάζομαι γιὰ τὰ πρὸς τὸ ζεῖν.
- Θὰ σοῦ πληρώνω ἐγὼ τότε τρεῖς ὀβολούς γιὰ κάθε θεώρημα.
Ἀπὸ τὸ περιστατικό αὐτὸ προῆλθε ἡ παροιμία:
῾Σχᾶμα καὶ βᾶμα
ἀλλ᾽οὐ σχᾶμα καὶ τριώβολον᾽
δηλαδὴ: Μὲ κάθε σχῆμα (δηλ. θεώρημα) κι ἕνα βῆμα πρὸς τὴν φιλοσοφία, ἀλλ᾽ὄχι σχῆμα (θεώρημα) καὶ τριώβολο, ὄχι Γεωμετρία ἐπὶ πληρωμῇ χωρίς φιλοσοφία.
Προσαρμογή ἀπὸ τὴν πραγματεία περὶ Πυθαγόρου τοῦ Εὐάγγελου Σταμάτη, 1981.
Τρίτη 4 Απριλίου 2017
La fille plus que divisée
Δέκα χρόνια πρὶν τὸν Glass, ὁ Ἀμερικανός συνθέτης LaMonte Young (1935) ἤδη πειραματιζόταν μὲ τὸν μινιμαλισμό. Ἀπὸ τοὺς πιὸ ἰδιαίτερους συνθέτες τοῦ αἰώνα ποὺ πέρασε, ἔθεσε ἐκ νέου τὸ ἐρώτημα περὶ τῆς φύσεως καὶ τοῦ ὁρισμοῦ τῆς μουσικῆς κι ἔφτασε, ἀκολουθώντας τὴν παράδοση τῶν Partch καὶ Harrison, μέχρι καὶ στὴν δημιουργία νέου συστήματος χορδίσματος, ἀναπόσπαστο μέρος τοῦ - ἐν ἐξελίξει (work in progress) - ἀριστουργήματός του “The Well Tuned Piano”, ἕνα πλέον τῶν πέντε ὠρῶν ἔργο. Αὐτὸ ἀκριβῶς τὸ ἰδιαίτερο χόρδισμα ἦταν ἡ ἀφορμὴ γιὰ τὸ κομμάτι μου.
Τὰ τονικά ὕψη στὸ σύστημα χορδίσματος τοῦ Young κατασκευάζονται ἀπὸ τοὺς ἁρμονικοὺς ἑνὸς κατὰ δέκα ὀκτάβες ὑποκείμενου Μιb τοῦ χαμηλότερου Μιb ἑνὸς Bösendorfer Model 290 Imperial (Εb0, 97 πλῆκτρα). Ἀποφεύγει κάθε λόγο ποὺ περιλαμβάνει τὸν ἀριθμὸ 5, ἀντίθετα χρησιμοποιεί τὸν 7 (π.χ. γιὰ τὴν μικρή 3η, ἀντὶ τὸν 5:4 / 386 cents, χρησιμοποιεί τὸν 9:7 / 435 cents / septimal major third).
Ἀκολουθεῖ ἕνας πίνακας ποὺ συγκρίνει τὰ διαστήματα σὲ cents τοῦ ἰσοσυγκερασμένου μὲ αὐτὰ τοῦ συστήματος τοῦ Young μὲ θεμέλιο τὸ Mib:
Ἐνδιαφέρον παρουσιάζει τὸ γεγονὸς ὅτι τὸ G εἶναι ψηλότερο τοῦ G#!
Οἱ πληροφορίες γιὰ τὸ σύστημα συγκερασμού τοῦ Young προέρχονται ἀπὸ τὸ ἄρθρο τοῦ Kyle Gann, La Monte Young's The Well-Tuned Piano, Perspectives of New Music, Vol. 31, No. 1. (Winter, 1993), pp. 134-162.
Εγγραφή σε:
Αναρτήσεις (Atom)
