Πέμπτη, 28 Φεβρουαρίου 2013

Harvey Lavan "Van" Cliburn Jr.

"I appreciate more than you will ever know that you are honoring me, but the thing that thrills me the most is that you are honoring classical music, Because I'm only one of many. I'm only a witness and a messenger. Because I believe so much in the beauty, the construction, the architecture invisible, the importance for all generations, for young people to come that it will help their minds, develop their attitudes and give them values. That is why I'm so grateful that you have honored me in that spirit."
Harvey Lavan "Van" Cliburn Jr. 
(12 Ιουλίου 1934 - 27 Φεβρουαρίου 2013)
Από ομιλία του στο πλήθος που συγκεντρώθηκε στις ΗΠΑ για να τον τιμήσει μετά την νίκη του στον διαγωνισμό Τσαϊκόφσκι το 1958

Πέμπτη, 21 Φεβρουαρίου 2013

Τα Παραθετικά της Ατονικότητας



Από ένα λογοπαίγνιο του Peter Schat

Κυριακή, 17 Φεβρουαρίου 2013

Η Σειραϊκή Λίθος και η Εικασία Collatz (updated)

Απόγευμα Σαββάτου και σε μια άκρως ενδιαφέρουσα συζήτηση με ένα αξιολογότατο παλιό μου εκ Λαμίας μαθητή και νυν ακριβό φίλο, μου ανέφερε την Εικασία Collatz. Σε ένα πυρετώδες βράδυ μέχρι τις πρώτες ακτίνες του ήλιου και παρόλη την επίδραση της βενζοδιαζεπίνης, στην αρχή με μολύβι και χαρτί και μετά με το Mathematica, προσπάθησα να δω τι μουσικές χρήσεις μπορούν να έχουν αυτοί οι αριθμοί. Στις σημειώσεις που ακολουθούν δίνω τη βασική ιδέα και μια στοιχειώδη μουσική αντιμετώπιση.

Η Εικασία Collatz
Πάρτε έναν οποιοδήποτε φυσικό αριθμό n μαγαλύτερο του μηδενός. Αν ο n είναι περιττός (μονός) πολλαπλασιάστε τον με το 3 και προσθέστε 1 για να σχηματίσετε το 3n+1. Αν είναι άρτιος (ζυγός) διαιρέστε τον με το 2 και σχηματίστε το n/2. Επαναλάβετε τη διαδικασία με τους αριθμούς που θα βρίσκετε κάθε φορά. Την σειρά των πράξεων ονόμασαν "Μισό ή Τρία και Ένα", "Half Or Triple Plus One", HOTPO εν συντομία. Ο μαθηματικός Lothar Collatz το 1937 έκανε την εικασία - και ονομάστηκε Εικασία Collatz / Collatz conjecture - ότι όποιο αριθμό και να πάρετε θα καταλήξετε στο 1. Αυτή η ιδιότητα των αριθμών συνήθως αναφέρετε ως oneness.

H Εικασία Collatz είναι γνωστή επίσης και ως Εικασία 3n+1, Εικασία Ulam (από τον μαθηματικό Stanislaw Ulam), Πρόβλημα Kakutani (από τον μαθηματικό Shizuo Kakutani), Εικασία Thwaites (Sir Bryan Thwaites), Αλγόριθμος Hasse (Helmut Hasse) ή Συρακούσιο Πρόβλημα. Οι αριθμοί που προκύπτουν από τα βήματα του αλγόριθμου ονομάστηκαν από τον Clifford A. Pickover (επισκεφθείτε τον σύνδεσμο είναι θησαυρός!) ακολουθία χαλαζόκοκκου / hailstone sequence ή αριθμοί χαλαζόκοκκου / hailstone numbers και από τον Douglas R. Hofstadter στο αριστουργηματικό βιβλίο του Gödel, Escher, Bach, θαυμαστοί αριθμοί / wondrous numbers.

Για να αναφέρεται ως Εικασία δεν έχει αποδειχθεί ακόμη. Ο Paul Erdős (ο Μέσι των μαθηματικών) είπε κάποτε ότι τα τα Μαθηματικά δεν είναι ακόμη ώριμα για τέτοια προβλήματα και προσέφερε έπαθλο ένα βασικό μισθό Στουρνάρα 500$ σ' αυτόν που θα το έλυνε. Σαν να μην έφτανε αυτό ο αριθμοθεωρίστας John Horton Conway απέδειξε το 1970 ότι μια φυσική γενίκευση του προβλήματος Collatz είναι αλγοριθμικά αναποφάσιστη, Αυτό απλά (?!) σημαίνει ότι δεν μπορούμε να φτιάξουμε έναν αλγόριθμο που να οδηγεί σε μια απάντηση ναι / όχι και σχετίζεται με το θεώρημα του Gödel. Απ' ότι βρήκα στο διαδίκτυο υπάρχει η εικασία ότι η Εικασία απεδείχθει από έναν μαθητή του Collatz...

Ας δούμε ένα παράδειγμα τώρα, παίρνουμε το 1, σε 3 βήματα θα καταλήξουμε πάλι στο 1:
1 (περιττός)
3.1 + 1 = 4 (άρτιος)
4 ÷ 2 = 2 (άρτιος)
2 ÷ 1 = 1

Αν πάρουμε το 6 σε 8 βήματα θα καταλήξουμε πάλι στο 1: 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

Ψάχνοντας στο Mathematica βρήκα έναν αλγόριθμο που σου δίνει τους θαυμαστούς αριθμούς και αυτό θα βοηθήσει στο μουσικό πρόβλημα που έχω κατά νου (θα χρειαστεί να κατεβάσετε το package "Collatz.m" δωρεάν.) Να οι αριθμοί Collatz από το 1 μέχρι το 10:

Table[Collatz[n], {n, 10}] // ColumnForm
{1},
{2, 1},
{3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1},
{4, 2, 1},
{5, 16, 8, 4, 2, 1},
{6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1},
{7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1},
{8, 4, 2, 1},
{9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1},
{{10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}

Στο διαδίκτυο υπάρχει κι ένας Collatz calculator εδώ.

Το Μουσικό Πρόβλημα
Υπάρχει άραγε ένας φυσικός αριθμός που να φτάνει στο 1 σε 11 βήματα (μαζί με τον αρχικό αριθμό 12) και κάθε αριθμός της ακολουθίας να έχει mod12 διαφορετικό; [To mod12 / ισο­ϋπόλοιποι αριθμοί με μέτρο / μόδιο 12, είναι απαραίτητο για να "φέρουμε" οποιοδήποτε αριθμό μέσα στο σύνολο {0, 1, 2, …,11} που είναι οι 12 χρωματικοί φθόγγοι, π.χ. 16(mod12) = Ε (μι)]. Αν υπάρχει τέτοιος και με C = 0 (στο μεσαίο ντο του πιάνου δίνουμε την τιμή 0, άρα το σι μια 7η ψηλότερα θα έχει τιμή 11) θα φτιάξουμε μια 12-φθογγη σειρά, η οποία φυσικά θα είναι καταλογραφημένη με αριθμό Forte αλλά θα είναι και σειρά Collatz!

Έψαξα μέχρι το 50 αλλά δεν βρήκα ακολουθία που να ακολουθεί το ζητούμενο. Πρέπει να λάβει κανείς υπόψη του για να μην απογοητευτεί ότι όσο μεγαλώνουν οι αριθμοί δεν αυξάνονται απαραίτητα και τα βήματα προς τον τελικό στόχο το 1, π.χ το 39 φτάνει στο 1 σε 35 βήματα, ενώ το 40 σε 8.
39, 118, 59, 178, 89, 268, 134, 67, 202, 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Κλίμακες και Συγχορδίες Collatz
Ακόμη κι αν δεν υπάρχει ακολουθία Collatz που να μας δίνει μια 12-σειρά, μπορούμε να με τους αριθμούς που προκύπτουν από τα βήματα του αλγόριθμου να κατασκευάσουμε συγχορδίες ή κλίμακες, όχι βέβαια απαραίτητα 7-φθογγες. Έχει περάσει ο καιρός που ήμουν σκληροπυρηνικός με τους αριθμούς και την αντιστίχισή τος με τη μουσική, κάλλιστα όμως μαι τέτοια διαδικασία μπορεί να αποτελέσει το πλαίσιο /framework για μια πιο μουσική και εμπνευστική αντιμετώπιση.

Για παράδειγμα, αν πάρουμε το 8, έχουμε: 8, 4, 2, 1, μεταφράζουμε σε φθόγγους με C = 0 και καταλήγουμε στο τετράχορδο.: Ab, E, D, C#, το οποίο έχει Normal Form: {1,2,4,8}, Prime Form: {0,1,3,7} και Forte Number: 4-Z29, άρα το τετράχορδο 4-Z29 είναι ένα Collatz τετράχορδο και θα το ονομάσω C-8.

Με νότες:
Νεότερα
Ένας φίλος μού έστειλε τις εξής παρατηρήσεις:
1. Αντί των βημάτων της ακολουθίας μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε λόγους διαδοχικών βημάτων. Οι λόγοι αντιστοιχούν σε διαστήματα.
2. Δεν είναι ανάγκη να χρησιμοποιηθεί το συγκερασμένο σύστημα (12 ημιτόνια). Τα βήματα μπορούν να αντιστοιχηθούν σε cents.
3. Μέχρι τον αριθμό 608259 δεν ικανοποιείται το αίτημα του κύριου άρθρου.

Για τις σημειώσεις αυτές χρησιμοποιήσα το άρθρο της Wikipedia και το άρθρο του Wolfram MathWorld.

Τετάρτη, 6 Φεβρουαρίου 2013

Ένα Παράδειγμα Αναστρεφόμενης Αντίστιξης

Το άρθρο αυτό μπορείτε να κατεβάσετε σε μορφή PDF από εδώ.

Η φούγκα Νο.16, BWV 885 σε Σολ Ελάσσονα από το 2ο βιβλίο του Καλά Συγκερασμένου Πληκτροφόρου (Das Wohltemperierte Klavier) είναι ένα λαμπρό και ευφυέστατο υπόδειγμα χρήσης αναστρεφόμενης αντίστιξης σε 8η, 10η και 12. Θα επιχειρήσουμε μια σύντομη ανάλυση αυτής της τεχνικής έτσι όπως παρουσιάζεται στην εν λόγω φούγκα.
Πριν ξεκινήσουμε ας δώσουμε κάποιους ορισμούς και συμβολισμούς για να έχουμε ένα κοινό τόπο συνεννόησης:

Διπλή Αντίστιξη: Με τον όρο διπλή αντίστιξη (double counterpoint) εννοούμε δύο συμπληρωματικά θέματα (αντιστικτικές φωνές) τα οποία είναι κατασκευασμένα με τέτοιο τρόπο ώστε το καθένα να μπορεί να χρησιμεύσει ως βάσιμο του άλλου.
Για να συμβεί αυτό θα πρέπει κατά την αναστροφή των φωνών να μην προκύψουν “απαγορευμένα” διαστήματα, διάφωνα διαστήματα δηλαδή με μη ορθό χειρισμό, καθώς επίσης παράλληλες και κρυμμένες 5ες και 8ες.

Αν τρεις φωνές μπορούν να αναστραφούν, μιλάμε για τριπλή αντίστιξη (triple counterpoint) (6 συνδυασμοί, 3! = 1.2.3), τέσσερις συνιστούν τετραπλή αντίστιξη (quadruple counterpoint) (24 συνδυασμοί, 4! = 1.2.3.4). Εάν έχομε περισσότερες από τέσσερις φωνές που μπορούν να αναστραφούν, τότε η αντίστιξη χαρακτηρίζεται ως πολλαπλή. Γενικότερα η διαδικασία αναστροφής των φωνών χαρακτηρίζεται με τον όρο αναστρεφόμενη ή αντιστρεπτή αντίστιξη (invertible counterpoint).

Διάστημα Κάθετης Μετατόπισης: Η αναστροφή των φωνών μπορεί να γίνει θεωρητικά σε οποιοδήποτε διάστημα. Τα συνηθέστερα είναι της 8ης, 10ης, 12ης και 15ης. Για την διπλή αντίστιξη και ανάλογα με το διάστημα μετατόπισης σημειώνουμε: DC[8], DC[10], DC[12] και DC[15] (DC = Double Counterpoint).

Επιστρέφουμε τώρα στη φούγκα. Δίνουμε κατωτέρω το θέμα της (Θ) (με κόκκινο χρώμα), το αντίθεμά της (Αθ) (με μπλε χρώμα) καθώς και τον σκελετό θέματος και αντιθέματος στο κάτω πεντάγραμμο. Σημειώνουμε επίσης τα κάθετα διαστήματα μεταξύ Θ και Αθ.

(με κλικ οι εικόνες μεγεθύνονται)
Θέμα και αντίθεμα είναι έτσι κατασκευασμένα ώστε να αντιστρέφονται στην 8η (αυτόματα και στην 15η, το αντίθετο δεν συμβαίνει διότι προκύπτουν διασταυρώσεις), στην 10η και στην 12η. Αυτό προκύπτει από σύγκριση των κάθετων διαστημάτων και των κατωτέρω Πινάκων Αντιστροφής. Με κόκκινο έχουν επισημανθεί τα προβληματικά διαστήματα κατά την αναστροφή. Αυτό δεν σημαίνει ότι αυτά τα διαστήματα δεν πρέπει να χρησιμοποιηθούν, θα πρέπει όμως να χειριστούμε ορθά τις προκύπτουσες διαφωνίες (διαβατικοί, καθυστερήσεις κλπ). Μία συνοδευτική φωνή επίσης μπορεί να διορθώσει / δικαιολογήσει μια διαφωνία, π.χ. μια 4η (G-C) σε ισχυρό μέρος του μέτρου μπορεί να υποστηριχθεί από ένα Ε στο βάσιμο και να προκύψει μια συγχορδία σε α΄αναστροφή. Θα το δούμε αυτό στη πράξη από τα παραδείγματα του Bach που ακολουθούν. Eυνόητο είναι επίσης ότι αν επιθυμούμε να γράψουμε αντίστιξη που να επιδέχεται αναστροφή σε 8η, 10η και 12η θα πρέπει να λάβουμε συνολικά υπόψη μας τον Πίνακα!


Η αναστροφή στην 15η μας δίνει (χρησιμοποιούμε τον σκελετό ευκολία):


Για να κατασκευάσουμε την αναστροφή στην 15η έχουμε 3 επιλογές:
1. κρατάμε σταθερό το Θ και μεταφέρουμε το Αθ μια 15η ψηλότερα,
2. κρατάμε σταθερό το Αθ και μεταφέρουμε το και μεταφέρουμε το Θ μια 15η χαμηλότερα,
3. μεταφέρουμε το Θ μια 8η χαμηλότερα και το Αθ μια 8η ψηλότερα.
Στο ανωτέρω υπόδειγμα επιλέξαμε την 3η περίπτωση.

Παρατήρηση 1: Κατά την αναστροφή τα διαστήματα μεταφοράς των εμπλεκόμενων φωνών θα πρέπει να αθροίζονται στο διάστημα της κάθετης μετατόπισης DC[x].

Παρατήρηση 2: Η DC[8] και η DC[15] διατηρούν τον αρμονικό σκελετό ενός συνθέματος (χρησιμοποιούνται οι ίδιες κλάσεις τονικών υψών / pitch classes). Κατά την DC[10] και Dc[12] εμπλέκονται διαφορετικές βαθμίδες και ο αρμονικός σκελετός αλλάζει. Συχνά χρειάζεται να χρησιμοποιηθούν αλλοιώσεις για να προσδιοριστεί ορθά η αρμονία.

Για την DC[10] μεταφέρουμε το Θ μια 8η χαμηλότερα και το Αθ μια 3η ψηλότερα, 8+3 = 10 (μην ξεχνάτε, στη μουσική 1+1 = 1!).


Παρατηρείστε το αρνητικό διάστημα (διασταύρωση) στο τελευταίο μέτρο του ανωτέρω υποδείγματος. Όταν η απόσταση μεταξύ των δύο φωνών είναι μεγαλύτερη από το διάστημα κάθετης μετατόπισης τότε κατά την αναστροφή προκύπτει διασταύρωση! Η τονικότητα του συνθέματος άλλαξε! Το αρχικό σύνθεμα ήταν στην Σολ ελάσσονα, η DC[10] είναι στην Σιb μείζονα.
Θα κάνουμε τώρα δύο πράγματα. Πρώτα θα μεταφέρουμε το Θ μία 8η ψηλότερα, δηλαδή θα εφαρμόσουμε DC[8] πάνω στην DC[10] (είπαμε στην αρχή του άρθρου ότι οι δύο φωνές είναι έτσι κατασκευασμένες ώστε να αντιστρέφονται στην 8η, 10η και 12η).


Ακολούθως, θα μεταφέρουμε και τις δύο φωνές μια 3η ψηλότερα (εδώ δεν πρόκειται για αναστροφή αλλά για απλή μεταφορά) και θα οδηγηθούμε στην κατασκευή των μέτρων 32-36 της φούγκας του Bach. Παραθέτουμε το πρωτότυπο (χωρίς τη συνοδευτική φωνή) και τον σκελετό του συνθέματος. Παρατηρείστε τις αλλαγές που κάνει ο Bach (ο σκελετός παραμένει αναλλοίωτος για να διευκολύνει τη σύγκριση).


Οι απαγορευμένες 4ες που εμφανίζονται στα ισχυρά “καλύπτονται” από την συνοδευτική φωνή (συμβουλευτείτε το πρωτότυπο).
Για την κατασκευή της DC[12] θα μεταφέρουμε το Θ μια 8η χαμηλότερα και το Αθ μια 5η ψηλότερα (8 + 5 = 12):


Εδώ εμφανίζονται αρκετά απαγορευμένα διαστήματα τα οποία ο Bach θα τα “διορθώσει” ή θα τα “καλύψει” με την αντιστικτική φωνή. Μεταφέρουμε το σκελετό κατά μια 3η ψηλότερα. Παρατηρείστε επίσης ότι κατά την αναστροφή και μεταφορά αλλάζει και η τονικότητα, άρα θα πρέπει να βάλουμε και τις κατάλληλες αλλοιώσεις! Δίνουμε το σκελετό αναλλοίωτο και το πρωτότυπο, εντοπίστε τις αλλαγές που κάνει o Βach (μμ. 28-32).


Στα μμ.59-63 και 69-72 της φούγκας ένας νέος συνδυασμός χρησιμοποιείται με βάση την εξής αρχή: στην DC[8] όταν χρησιμοποιείται αντίθετη κίνηση μεταξύ των φωνών, μπορεί να προστεθεί και μια νέα άνω φωνή σε παράλληλες 3ες. Αυτό απορρέει λογικά από την αρχή της αναστρεφόμενης αντίστιξης: προσθέτοντας μια άνω 3η, η 8η γίνεται 10η και η 10η, 12η.
Μελετήστε τα αποσπάσματα που ακολουθούν:


Βιβλιογραφία

GAULDIN Robert, A Practical Approach to Eighteenth Century Counterpoint, Waveland Press, Inc., 1995
GROOCOCK Joseph, A Guide to the Study of Bach’s “48”, Greenwood Press, 2003
KENNAN Kent, Αντίστιξη με Βάση την Πρακτική του 18ου αι., Σείστρον, Κεφ.9 Αναστρέψιμη Αντίστιξη, 1994
RENWICK William, Analyzing Fugue, Pendagon Press, 1995