Τρίτη, 29 Ιουλίου 2014

BACH: 4 Duets, BWV 802-805

Clavier-Übung ΙΙΙ
Clavier-Übung (Άσκηση για Πληκτροφόρα) είναι ένας τίτλος που χρησιμοποίησε ο Bach για τέσσερις συλλογές έργων για πληκτροφόρα όργανα που εκδόθηκαν μεταξύ του 1726 και 1741.

Οι συλλογές αυτές είναι:
Clavier-Übung Ι (1726-31): οι 6 Παρτίτες, BWV 825-830
Clavier-Übung ΙI (1735): το Ιταλικό Κοντσέρτο, BWV 971 και η Γαλλική Εισαγωγή, BWV 831˙
Clavier-Übung ΙII (1739): αποτελείται από λειτουργική μουσική για εκκλησιαστικό όργανο, BWV 669-689, ένα Πρελούδιο και Φούγκα, BWV 552 και 4 Duetti, BWV 802-805˙
Clavier-Übung [IV] (1741): οι Παραλλαγές Goldberg, BWV 988
Το Clavier-Übung ΙΙΙ (μερικές φορές αναφέρεται και ως German Organ Mass), το τρίτο από τα τέσσερα βιβλία Clavier-Übung (τα υπόλοιπα τρία είναι για τσέμπαλο), είναι μία συλλογή έργων για εκκλησιαστικό όργανο, την οποία ο Bach ξεκίνησε το 1735-36 και εξέδωσε περί το τέλος Σεπτεμβρίου του 1739. Ήταν η πρώτη συλλογή έργων για εκκλησιαστικό όργανο που εξέδιδε και το πιο φιλόδοξο ποτέ εκδοτικό του σχέδιο. Clavier-Übung σημαίνει Άσκηση (Übung) για πληκτροφόρο (Clavier) και ακολουθεί την μακρά παράδοση ανάλογων έργων (Kuhnau, Krieger, L­übeck, κ.α). Το χειρόγραφο δεν σώζεται.

Ο Bach προλογίζει το έργο ως εξής:
“Dritter Theil der Clavier-Übung bestehend in verschiedenen Vorspielen über die Catechismus- und andere Gesaenge, vor die Orgel: Denen Liebhabern, in besonders denen Kennern von dergleichen Arbeit, zur Gemüths Ergezung verfertiget von Johann Sebastian Bach, Koenigl. Pohlnischen und Churfürstl. Saechss. Hoff-Compositeur, Capellmeister, und Directore Chori Musici in Leipzig. In Verlegung des Authoris.” 
“Τρίτος Τόμος των Ασκήσεων για Πληκτροφόρο, αποτελούμενος από κατηχητικά πρελούδια και άλλους ύμνους για το εκκλησιαστικό όργανο. Μία σύνθεση για τους φιλόμουσους και ιδιαίτερα για τους επαΐοντες τέτοιων έργων, για την ανάταση του πνεύματος, από τον Johann Sebastian Bach, Αυλικό Συνθέτη της Βασιλικής Πολωνικής και Ελεκτορικής Σαξονικής Αυλής, διευθυντού ορχήστρας (Capellmeister) και διευθυντού χορωδίας της chorus musicus, Λειψία. Έκδοση του συνθέτη.”
Περιέχει μερικές από τις σημαντικότερες, πολύπλοκες και τεχνικά απαιτητικές συνθέσεις του κάντορα για το εκκλησιαστικό όργανο. 21 Χορικά Πρελούδια, BWV 669-689, ένα Πρελούδιο και μία Φούγκα, BWV 552.1 & 552.2, και τέσσερα Duetti, BWV 802-805. Η προτίμησή του για τις χορικές τροπικές μελωδίες του 16ου αι. του δίνει την δυνατότητα να υπερβεί τα όρια του μείζονος - ελάσσονος και να διερευνήσει την τροπική αρμονία με έναν συστηματικό τρόπο. Το Clavier-Übung III αποτελεί σταθμό στο συνθετικό έργο του Bach και στέκεται στο κατώφλι της τρίτης συνθετικής περιόδου του. Πολλά υφολογικά στοιχεία που θα αποτελέσουν τον κύριο πυρήνα της τρίτης περιόδου προδιαγράφονται σε αυτό το έργο: η προτίμηση στις τεχνικές της φούγκας του κανόνα και της παραλλαγής, η συνειδητή διάκριση ανάμεσα στο stile antico και moderno, η προτίμηση για τις αφηρημένες και πολύπλοκες μορφές και τέλος η επιθυμία του να πει την τελευταία λέξη για τα μουσικά είδη με τα οποία ασχολείται με έργα μνημειώδους σύλληψης (Boyd, 1999).

4 Duetti, BWV 802-805
Προβληματική είναι η θέση των τεσσάρων duetti στο τρίτο μέρος του Clavier-Übung ΙΙΙ, δεν ταιριάζουν στην κατά τα άλλα τόσο ομοιογενή συλλογή. Στην αρχή θεωρήθηκαν ως έργα για τσέμπαλο, η γραφή τους ταιριάζει περισσότερο για αυτό το όργανο, εντούτοις η έκταση τους είναι πάντα στα όρια αυτής του εκκλησιαστικού οργάνου. Προστέθηκαν στην έκδοση της συλλογής την τελευταία στιγμή, πιθανώς για καθαρά πρακτικούς λόγους, και τελικά βρήκαν τη θέση τους σαν έργα για εκκλησιαστικό όργανο, πλουτίζοντας το ρεπερτόριο οργάνων μικρότερων διαστάσεων. Μπορεί να συμβολίζουν τους τέσσερις Ευαγγελιστές, τις τέσσερις Αρετές, τους τέσσερις Προφήτες, τα τέσσερα Τέρατα γύρω από τον Θρόνο της Αποκάλυψης, τα Τέσσερα Στοιχεία της Φύσης, τους τέσσερις ποταμούς της Εδέμ, τον Λόγο του Θεού, τον Σταυρό, τον Θάνατο και τους Ουρανούς κατά τον Albert Clement, να συμπληρώνουν απλά τον αριθμό 27 στα έργα της συλλογής, να προστέθηκαν στην συλλογή από λάθος κατά τον Albert Schweitzer, ή ακόμη και να συμπληρώνουν τον απαιτούμενο αριθμό σελίδων για εκδοτικούς σκοπούς. Καμιά από τις ανωτέρω επεξηγήσεις της φύσης και της θέσης αυτών των έργων εντός της συλλογής δεν ταιριάζει με το ύφος και το πλάνο του Clavier-Übung III. Ο ίδιος ο Bach δεν απέδωσε καμία θεολογική σημασία σε αυτά τα duetti, το σίγουρο είναι ότι δείχνουν τις δυνατότητες της δίφωνης αντίστιξης με τον καλύτερο τρόπο.
Στο Critica Musica, o Matthesson περιγράφει το duetto ως “μία άρια σε διαλογική μορφή με την δυνατότητα εισαγωγής και επεξεργασίας δύο αντιτιθέμενων θεμάτων” (Volume I, 1722), ή ως “ένα δίφωνο κομμάτι με χρήση και άλλων αυστηρών αντιστικτικών τεχνικών πλέον της μίμησης στην ταυτοφωνία ή στην οκτάβα” (Volume II, 1725). Τα duetti στις καντάτες του Bach έχουν πάντα μορφή διαλόγου, για παράδειγμα ανάμεσα στον Ιησού και στην ψυχή του ανθρώπου, δεν αποκλείεται λοιπόν τα εν λόγω έργα να είναι μια μορφή προσευχής, ένας διάλογος ανάμεσα στον προσευχόμενο και τον Θεό. Ο Matthesson τα χαρακτηρίζει ως αριστουργηματικές, μεγάλης κλίμακας δίφωνες inventions. Ο Bach κάνει χρήση ποικίλων αντιστικτικών τεχνικών (μιμήσεις, κανόνες, αντιστροφές, κλπ), με την μελωδία και την αρμονία των κομματιών να είναι ιδιαίτερα επεξεργασμένες. Τα μελωδικά στοιχεία των duetti δεν είναι παρμένα από μελωδίες χορικών, εντούτοις στο Duetto III, BWV 804 ακούγεται καθαρά η μελωδία του χορικού «Allein Gott in der Höh sei Ehr». Οι τονικότητες των κομματιών καλύπτουν το διάστημα μιας τετάρτης (e–F–G–a). Ανάλογο πρότυπο διαδοχής τονικοτήτων συναντάται στα χορικά πρελούδια BWV 673-677. Η βασική μετρική μονάδα σε κάθε duetto αυξάνει κατά ένα όγδοο από ντουέτο σε ντουέτο (εκκινώντας από όγδοο στο πρώτο ντουέτο καταλήγουμε σε μισό [4 όγδοα] στο τέταρτο ντουέτο).
  • Το Duetto I, BWV 802 αναλύουμε διεξοδικά κατωτέρω.
  • Στο Duetto II, BWV 803 σε Φα μείζονα συναντάμε την σπάνια μορφή φούγκας σε μορφή aria da capo, ABA. Βασική μετρική μονάδα το τέταρτο (= 2 όγδοα). Το τμήμα Α είναι 37 μέτρα, μια τυπική σύνθεση στο πνεύμα των δίφωνων και τρίφωνων inventions. Το τμήμα Β είναι 75 μέτρα, χρωματικό στη φύση και σοβαρό στο ύφος, με επεισόδια σε ελάσσονες τονικότητες, κάνει χρήση strettos, συγκοπών και κανονικής γραφής.
  • Το 39 μέτρων Duetto III, BWV 804 σε Σολ μείζονα είναι το απλούστερο των τεσσάρων. Βασική μετρική μονάδα το παρεστιγμένο τέταρτο (= 3 όγδοα). Έχει ανάλαφρο, χορευτικό χαρακτήρα και βρίσκεται πολύ κοντά στο πνεύμα των δίφωνων inventions.
  • Το Duetto IV, BWV 805 είναι μια φούγκα 108 μέτρων σε Λα ελάσσονα. Βασική μετρική μονάδα το μισό (= 4 όγδοα) σε alla breve χρόνο. Το θέμα έχει μήκος 8 μέτρων, η απάντηση είναι τονική και όλες οι είσοδοι θέματος και απαντήσεων γίνονται στην τονική περιοχή της τονικής και της δεσπόζουσας. Το ύφος είναι έντονα χρωματικό. Οι μεσαίες είσοδοι διασυνδέονται με 3 επεισόδια.
Ανάλυση του Duetto I, BWV 802
Πρόκειται για μία φούγκα με θέμα και σταθερό αντίθεμα (αναφέρεται και ως διπλή φούγκα). Το θέμα κατασκευάζεται από διακριτά στοιχεία / μοτίβα που έχουμε σημειώσει στην παρτιτούρα ως x1 (= x1a + x1a + x1b + x1c), x2 (= x2a + x1c), x2, x3, x4 και x5. Ο σκελετός του αντιθέματος είναι η κατιούσα χρωματική E-D#-D-C#-C-B και κατασκευάζεται με αλυσιδωτή χρήση του μοτίβου y1 στην κατιούσα χρωματική και του y2 και της αντιστροφής του I[y2] (με Ι σημειώνουμε την αντιστροφή ενός μοτίβου, εκ του [I]nversion). Παρατηρήστε την γωνιώδη κατασκευή του αντιθέματος και τα διαστήματα 8Α και 8Κ. Θέμα και αντίθεμα είναι βέβαια κατασκευασμένα σε διπλή αντίστιξη. Με αυτά τα μοτίβα και μόνον κατασκευάζεται όλη η φούγκα, δείγμα οικονομίας από τον κάντορα. Η Απάντηση είναι πραγματική.

(με κλικ η εικόνα μεγεθύνεται)
Ακολουθεί ανάλυση μέτρο προς μέτρο της φούγκας:

ΕΚΘΕΣΗ (μμ. 1-12): μμ. 1-6 Θ(i) στην σοπράνο, Αθ στο μπάσο. Ακολουθούν τα μμ. 7-12 με Α(v) στο μπάσο και Αθ στην σοπράνο [με “Θ” σημειώνουμε το θέμα - κόκκινο στην παρτιτούρα και με “Αθ” το αντίθεμα - μπλε].
ΕΠΕΙΣΟΔΙΟ I.1 (μμ. 13-17): Τα δομικά στοιχεία του επεισοδίου έχουν εισαχθεί ήδη στο τελευταίο μέτρο της Έκθεσης. Το επεισόδιο κατασκευάζεται ως αλυσίδα με κατιούσες 2ες ανά μέτρο και χρησιμοποιεί τα μοτιβικά στοιχεία x5 και y1 εναλλάξ στις δύο φωνές. Σύμφωνα με τον Gedalge πρόκειται για Επεισόδιο Τύπου ΙΙΙ, όπου δύο φωνές μιμούνται η μία την άλλη. Συγκρίνετε το Επεισόδιο I.1 με το Ι.2 (μμ. 41-45).
ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ Ι (μμ.18-20): Διασυνδέει το τέλος του Επεισοδίου Ι.1 με την επιπλέον είσοδο του Θ στο μ. 21. Κατασκευάζεται με το μοτίβο x1.
ΕΠΙΠΡΟΣΘΕΤΗ ΕΚΘΕΣΗ (μμ. 21-25): Μία μόνον είσοδος του Θ(i) στην σοπράνο (δεν την ονομάζουμε Αντέκθεση διότι σε αυτήν την περίπτωση η διάταξη των εισόδων θα έπρεπε να αντιστραφεί σύμφωνα με τον κανόνα της σχολικής φούγκας). Το Θ διακόπτεται στο 5ο του μέτρο το οποίο και αποτελεί κατασκευαστικό στοιχείο του Επεισοδίου που θα ακολουθήσει.
ΕΠΕΙΣΟΔΙΟ ΙI.1 (μμ. 26-28): Αλυσιδωτή ανά μέτρο με βάση τον κύκλο των 5ων κατασκευή και με χρήση των μοτιβικών στοιχείων x4 και y2. Πρόκειται για Επεισόδιο Τύπου Ι κατά Gedalge, όπου κάθε φωνή εκθέτει μια ξεχωριστή φιγούρα. Συγκρίνετε το Επεισόδιο ΙI.1 με το ΙΙ.2 (μμ. 54-56).
ΜΕΣΑΙΕΣ ΕΙΣΟΔΟΙ Ι.1 & Ι.2 (μμ. 29-40): Ακολουθεί ένα ζεύγος μεσαίων εισόδων του Θ στην μέση, ΙΙΙ (Σολ) και υποτονική, VII (Ρε) αντίστοιχα.
ΕΠΕΙΣΟΔΙΟ I.2 (μμ. 41-45): Ανάλογο του Επεισοδίου Ι.1 με αντίστροφη διάταξη των μοτιβικών στοιχείων x5 και y1.
ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ IΙ (μμ.18-20): Διασυνδέει το τέλος του Επεισοδίου Ι.2 με την Μεσαία Είσοδο ΙΙ στο μ. 49.
ΜΕΣΑΙΑ ΕΙΣΟΔΟΣ ΙΙ (μμ. 49-53): Αυτή η μεσαία είσοδος στην τονική περιοχή της v μου δίνει την αίσθηση “εξισορρόπησης” της επιπρόσθετης εισόδου του Θ στην i των μμ. 21-25. Όπως και εκεί, χρησιμοποιούνται μόνο τα 5 πρώτα μέτρα του Θ, και το τελευταίο μέτρο “γεννά” το Επεισόδιο ΙΙ.2.
ΕΠΕΙΣΟΔΙΟ ΙI.2 (μμ. 54-56): Ανάλογο του Επεισοδίου ΙΙ.1 με αντίστροφη διάταξη των μοτιβικών στοιχείων x4 και y2.
ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΙΙΙ (μμ.56-60): Διασυνδέει το τέλος του Επεισοδίου ΙΙ.2 με το Τελικό Τμήμα. Κατασκευάζεται με το μοτίβο x1, την αντιστροφή του (σημειώνεται στην παρτιτούρα με I[x1]), την σμίκρυνση του x2 (./.x2) [με ./. δηλώνουμε την σμίκρυνση ενός μοτίβου] καθώς και την σμίκρυνση και αντιστροφή του (./.I[x2]).
ΤΕΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ (μμ. 61-70): Δύο είσοδοι του Θ στην i σε σοπράνο και μπάσο. Παρατηρήστε ότι στην Έκθεση έχουμε Θ(i) - A(v) στο Τελικό Τμήμα Θ(i) - Θ(i), πράγμα που μας θυμίζει Έκθεση και Επανέκθεση σε μορφή σονάτας!
CODA (μμ. 71-73): Το μ. 71 κατασκευάζεται με τα μοτίβα I[x1c] και I[y2]. Ακολουθούν δύο καταληκτικά μέτρα και τέλεια πτώση στην τονική.

Αυτό το άρθρο και τις παρτιτούρες των Duetti μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ.
Την παρτιτούρα χωρίς την αναλυση και το άρθρο μπορείτε επίσης να κατεβάσετε από το νέο μου λογαριασμό στο ISLMP, εδώ.

Στο πρώτο video που ακολουθεί είναι σημειωμένη η ανάλυση του Duetto I. Στα υπόλοιπα τρία είναι απλά η παρτιτούρα παιγμένη από υπολογιστή. Επέλεξα να μην ενσωματώσω στα videos κάποια εμπορική εκτέλεση και να περιοριστώ σε ήχους από υπολογιστή για λόγους copyright. Στην δισκογραφία και στο Youtube μπορείτε να βρείτε εξαιρετικές εκτελέσεις.

(για τα videos επιλέξτε 1080p HD)
Duetto I, BWV 802
Duetto II, BWV 803
Duetto III, BWV 804
Duetto IV, BWV 805
Εργασίες
Για τους σπουδαστές της Αντίστιξης και Φούγκας
  1. Αναλύστε αρμονικά και τα τέσσερα duetti. Λάβετε υπόψη σας ότι στην δίφωνη αντίστιξη οι αρμονίες πολλές φορές δεν είναι σαφείς. Εντοπίστε και ονομάστε όλους τους ξένους φθόγγους. Ιδιαίτερα για το Duetto I θα ήταν πολύ χρήσιμο να το ξαναγράψετε χωρίς τους ξένους φθόγγους (σκελετοποίηση), αυτό θα σας βοηθήσει στην αρμονική ανάλυση.
  2. Μελετήστε την χρήση των μοτίβων και τους αντιστικτικούς συνδυασμούς τους. Εντοπίστε μιμήσεις, μεγεθύνσεις, σμικρύνσεις και αποσπασματικές χρήσεις των μοτίβων.
  3. Στο Duetto IV δώστε ιδιαίτερη προσοχή στην ανάλυση του μ. 105.
Για τους σπουδαστές της Φούγκας
  1. Κάνετε την ανάλυση των υπόλοιπων τριών duetti σύμφωνα με το υπόδειγμα που δόθηκε για το πρώτο.
  2. Κάνετε ένα χρονοδιάγραμμα (timeline) του κάθε ντουέτου με χρήση διαφορετικών χρωμάτων για θέμα, αντίθεμα κλπ.
Βιβλιογραφία
BOYD Malcolm, Oxford Composer Companions, J.S. Bach, Oxford University Press, 1999
BOYD Malcolm, The Master Musicians, Bach, J.M Dent & Sons Ltd, 1986
TOMITA Yo, Clavier-Übung III
Wikipedia, Clavier-Übung III

Πέμπτη, 24 Ιουλίου 2014

Ο Άγγλος Καθηγητής, ο Πυθαγόρας και το Θεώρημα του

Ο Άγγλος καθηγητής, τουλάχιστον για το Πυθαγόρειο Θεώρημα, δεν λέει τίποτα περισσότερο απ’ ότι αναγράφεται σε όλα τα εγχειρίδια Ιστορίας των Μαθηματικών. Τα βρήκαν όλα οι Έλληνες; Όχι μόνον δεν τα βρήκαν αλλά περιορίζοντας την σκέψη τους στο “κανόνα και διαβήτη” έθεσαν ανυπέρβλητα εμπόδια στην εξέλιξη της μαθηματικής τους σκέψης. Η αλήθεια, όπως την αντιλαμβάνομαι απλά από την αγάπη μου για το αντικείμενο και συνυπολογιζομένου του ότι δεν είμαι μαθηματικός, έχει ως εξής:

“Υπάρχει μια μεγάλη Σουμεριο-Βαβυλωνιακή και Αιγυπτιακή μαθηματική παρακαταθήκη, την οποία οι Έλληνες τυποποιούν (τα Στοιχεία του Ευκλείδη είναι το πρότυπο και πρωτότυπο Τυπικό Σύστημα [Formal System] στην Ιστορία των Μαθηματικών) και εξελίσσουν, φθάνοντας με τον Αρχιμήδη στα πρόθυρα του Απειροστικού Λογισμού!” [Ο Χριστιανισμός ανακόπτει για αιώνες αυτήν την πορεία, καλώς ή κακώς είναι άλλο θέμα, οι Άραβες περισώζουν και εξελίσσουν την πνευματική κληρονομιά των Αρχαίων και την παραδίδουν στους αναγεννησιακούς μαθηματικούς].”

Η μεγαλοφυΐα των Ελλήνων συνίσταται στο ότι και γνώριζαν τον γενικό κανόνα αλλά και  μπορούσαν να τον αποδείξουν, δημιουργώντας έτσι Θεωρήματα καθολικής ισχύος. Αυτό δεν το είχε πετύχει κανείς προγενέστερος πολιτισμός.

Τι πέτυχαν οι Σουμέριοι και Βαβυλώνιοι:
• Εφηύραν την γραφή.
• Εισήγαγαν τα κλάσματα.
• Εφηύραν το “Θεσιακό Αριθμητικό Σύστημα”.
• Από τους απλούς υπολογισμούς οδηγήθηκαν στην επίλυση αλγεβρικών και γεωμετρικών προβλημάτων.
• Γνώριζαν (αυτοί και οι Κινέζοι) τις Πυθαγόρειες Τριάδες, άρα και το αντίστοιχο θεώρημα, χωρίς όμως την απόδειξή του.

Τι δεν πέτυχαν:
• Να ανακαλύψουν το μηδέν (0).
• Να ανακαλύψουν την υποδιαστολή (,).
• Να ανακαλύψουν τους άρρητους αριθμούς.
• Τους ενδιέφερε η επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων κι όχι η διατύπωση γενικών νόμων.
• Δεν “αποδείκνυαν” τα μαθηματικά τους ευρήματα.

Κανείς λαός δεν τα βρήκε όλα μόνος του. Σουμέριοι, Βαβυλώνιοι, Αιγύπτιοι, Κινέζοι, Έλληνες και Ινδοί προσέφεραν τις γιγάντιες πλάτες τους για να πατήσουν και να δουν πιο μακριά οι σύγχρονοι γίγαντες: Νεύτων, Φερμά, Γκαλουά, Γκέντελ και πολλοί άλλοι.

Είναι αλήθεια ότι δεν γνωρίζουμε ονόματα Σουμερίων, Βαβυλωνίων και Αιγυπτίων μαθηματικών. Εικάζω ότι αυτό οφείλεται στην πολιτική και θρησκευτική δομή αυτών των λαών. Εντούτοις τα επιτεύγματά τους δεν μπορούν να αμφισβητηθούν λόγω των ευρημάτων, αλλά και της πρακτικής χρήσης των μαθηματικών στην Αρχιτεκτονική και Αστρονομία / Αστρολογία. Ενδεικτικά αναφέρω ότι τέσσερα κλασικά έργα διασώζονται από την αρχαία Κίνα πριν το 1000 π.Χ. Ένα από αυτά το “Σου-Τζινγκ”, γράφτηκε περίπου στο τέλος της 3ης χιλιετίας πιθανόν από τον αυτοκράτορα Γιάο (~2357-2258). Σε αυτό αναφέρονται και τα ονόματα δύο αστρονόμων του Χο και του Χι. Το τελευταίο από τα προαναφερθέντα τέσσερα έργα είναι το “Τζιου-τζαν Σουά-σου”, ή “Αριθμητική σε Εννέα Κεφάλαια”, πιθανόν του Τσανγκ Τσ’ ανγκ γύρω στο 200 π.χ αλλά βασιζόμενο σε παλαιότερα έργα που τοποθετούνται γύρω στο 1000 π.Χ.

Να σημειώσω επίσης ότι οι προηγηθέντες του ελληνικού πολιτισμού ασχολούνται με τις επιστήμες “χρησιμοθηρικά”. Για παράδειγμα στην Αίγυπτο τα μαθηματικά, ενασχόληση ιερέων και γραφέων κυρίως, βάλτωσαν μόλις τελειώσαν οι πυραμίδες. Μόνο οι Έλληνες κάνουν μαθηματικά γιατί είναι όμορφα!

Οι Έλληνες πάντως κατάλαβαν μια μεγάλη συμπαντική αλήθεια, αυτήν που διατυπώνει ο Πλάτων στην Πολιτεία του (VII, 525 Α9-Β2):
Σωκράτης: Κι όλη η αριθμητική και οι υπολογισμοί σχετίζονται με τους αριθμούς;
Γλαύκων: Ναι.
Σωκράτης: Και φαίνεται να οδηγούν το νου προς την αλήθεια;
Γλαύκων: Ναι, μ’ έναν τρόπο θαυμάσιο.

Μου αρέσει να σκέφτομαι το εξής: μπορώ να συννενοηθώ με έναν πολιτισμό που έχει κατακτήσει τις έννοιες του “σημείου”, της “ευθείας” και του ¨επιπέδου”, έστω κι αν απέχει δις έτη φωτός μακριά από την Γη!

Πέμπτη, 17 Ιουλίου 2014

2πR

Μερικοί άνθρωποι βάζουν πολύ μεράκι στην δουλειά τους και έχουν διάθεση για προσφορά, για το κάτι παραπάνω, ακόμη κι όταν μεταφράζουν υπότιτλους για ένα σήριαλ. Το κείμενο που ακολουθεί (σε μορφή plain text στο πρωτότυπο) συνοδεύει τους μεταφρασμένους στα ελληνικά υπότιτλους του Person of Interest S02E11 με τίτλο “2πR”. Επεξηγεί πρόσωπα και πράγματα στα οποία γίνεται αναφορά στο εν λόγω επεισόδιο. Το αναδημοσιεύω μιας και, πέραν του αρχικού του σκοπού, μπορεί να γίνει το έναυσμα για καλοκαιρινά διαβάσματα.

Γιόχαν Καρλ Φρίντριχ Γκάους
Ο Γιόχαν Καρλ Φρίντριχ Γκάους (Johann Carl Friedrich Gauss) ήταν Γερμανός μαθηματικός που συνεισέφερε σε πολλά ερευνητικά πεδία της επιστήμης του, όπως η θεωρία αριθμών, η στατιστική, η μαθηματική ανάλυση, η διαφορική γεωμετρία, αλλά και συναφών επιστημών, όπως η γεωδαισία, η αστρονομία και η φυσική (ηλεκτροστατική, οπτική, γεωμαγνητισμός). Αποκλήθηκε «ο πρίγκηψ των μαθηματικών» και ο «μεγαλύτερος μαθηματικός μετά τον Αρχιμήδη και τον Ευκλείδη». Ο Γκάους υπήρξε ίσως ο σημαντικότερος Γερμανός μαθηματικός όλων των εποχών και ένας από τους δύο ή τρεις σπουδαιότερους των νεότερων χρόνων (μετά την αρχαιότητα) (Waldo Dunnington: "The Sesquicentennial of the Birth of Gauss", Scientific Monthly, τόμος 24, σ. 402-414).
Ο Γκάους ήταν αυτό που αποκαλείται «παιδί - θαύμα» και υπάρχουν αρκετές ιστορίες για τις εκπληκτικές του ικανότητες ως νηπίου, ενώ οι πρώτες μεγάλες μαθηματικές ανακαλύψεις του χρονολογούνται από την εφηβεία του. Σε ηλικία 21 ετών είχε ολοκληρώσει το κύριο έργο του στα καθαρά μαθηματικά, το Disquisitiones Arithmeticae, (= «Αριθμητικές Έρευνες», 1798, εκδόθηκε το 1801). Αυτό το έργο διαδραμάτισε θεμελιώδη ρόλο στην εδραίωση της θεωρίας αριθμών ως αυτοδύναμου κλάδου των μαθηματικών και τη σημάδεψε μέχρι τις μέρες μας.
Οι ιστορίες για την πρώιμη ιδιοφυΐα του ως μικρό παιδί είναι όλες αναπόδεικτες. Σύμφωνα με μία, το ταλέντο του πρωτοεμφανίσθηκε σε ηλικία τριών ετών, όταν διόρθωσε χωρίς χαρτί και μολύβι ένα λάθος που είχε κάνει ο πατέρας του στο χαρτί ενώ έκανε υπολογισμούς για τα οικονομικά της οικογένειας.
Η γνωστότερη ίσως ιστορία αφορά την απόπειρα του δασκάλου του στο δημοτικό, του J.G. Buttner, να απασχολήσει τους μαθητές του σε μια κενή ώρα βάζοντάς τους να προσθέσουν όλους τους ακεραίους από το 1 ως το 100. Ο μικρός Γκάους βρήκε το σωστό άθροισμα σε λιγότερο από 1 λεπτό, εκπλήσσοντας τόσο τον δάσκαλο όσο και τον βοηθό του Martin Bartels. Ο Γκάους αντιλήφθηκε ότι η πρόσθεση κατά ζεύγη από τις δύο άκρες αυτής της σειράς των αριθμών έδινε πάντα το ίδιο άθροισμα: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, κ.ο.κ., οπότε για ένα ολικό άθροισμα 50 ? 101 = 5050 (βλ. αριθμητική σειρά). Ο J. Rotman πάντως γράφει στο βιβλίο του A first course in Abstract Algebra ότι πιστεύει πως αυτό το περιστατικό δεν συνέβη ποτέ.

Αριθμός π
Η μαθηματική σταθερά π είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του στην Ευκλείδεια γεωμετρία, και ο οποίος χρησιμοποιείται πολύ συχνά στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανολογία. Ο συμβολισμός προέρχεται από το αρχικό γράμμα πι της λέξης «περιφέρεια» και έχει καθιερωθεί διεθνώς, ενώ στο λατινικό αλφάβητο συμβολίζεται ως Pi όταν δεν είναι διαθέσιμοι τυπογραφικά ελληνικοί χαρακτήρες. Το π είναι γνωστό επίσης ως σταθερά του Αρχιμήδη (δεν πρέπει να συγχέεται με τον αριθμό του Αρχιμήδη) ή αριθμός του Λούντολφ.
Ο Αρχιμήδης καθόρισε την πρώτη επιστημονικά αποδεδειγμένη μέθοδο με την οποία υπολογίζεται ο αριθμός.
Συνήθως χρησιμοποιείται η προσέγγιση π = 3,14. Τα πρώτα 50 δεκαδικά ψηφία του π είναι:
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

Χάκερ
Αρχικά ο όρος χάκερ (haker) σήμαινε στα αγγλικά το δημιουργό ενός επίπλου ή γενικότερα ξύλινου αντικειμένου με τη βοήθεια πελέκεως (τσεκουριού).
Χάκερ ονομάζεται κάποιος που αντλεί ευχαρίστηση από τη βαθειά κατανόηση της εσωτερικής λειτουργίας ενός συστήματος, ειδικότερα ενός υπολογιστή ή δικτύου υπολογιστών, στον οποίο, όμως, δεν έχει δικαίωμα πρόσβασης. Ο όρος (ειδικά στην ελληνική γλώσσα) συγχέεται πολύ συχνά με τον όρο κράκερ (cracker), κάτι που αποτελεί σφάλμα. Σε αντίθεση με τον χάκερ, ο κράκερ είναι άτομο (ή ομάδα ατόμων) που αποπειράται να αποκτήσει πρόσβαση σε υπολογιστικό σύστημα για την οποία όχι μόνο δε διαθέτει εξουσιοδότηση, αλλά με στόχο να το βλάψει με οποιοδήποτε τρόπο. Οι κράκερ είναι εξ ορισμού κακόβουλοι, αντίθετα προς τους χάκερ, ενώ διαθέτουν και πολλά εργαλεία για τις κακόβουλες ενέργειές τους.Η διεθνής κοινότητα των χάκερ πιστεύει ότι η πρόσβαση στην πληροφορία αποτελεί παγκόσμιο κοινό αγαθό και ότι είναι ηθικό καθήκον τους να μοιράζονται τις ικανότητές τους τόσο δημιουργώντας λογισμικό ανοικτού κώδικα, όσο και διευκολύνοντας την πρόσβαση σε πληροφορίες και υπολογιστικούς πόρους, όπου αυτό είναι εφικτό. Έχουν, επίσης, την αμφιλεγόμενη πεποίθηση ότι το "σπάσιμο" και η "εξερεύνηση" ενός υπολογιστικού συστήματος, τόσο σε επίπεδο υλικού όσο και (κυρίως) λογισμικού είναι ηθικά αποδεκτή, εφόσον ο χάκερ δεν διαπράττει κλοπή, βανδαλισμό ή παραβίαση εμπιστευτικότητας. Για τους χάκερς, όποιος "αξίζει αυτόν τον τίτλο, είναι στην πραγματικότητα ένας έξυπνος προγραμματιστής ή άτομο με ιδιαίτερες ικανότητες στην κατανόηση και το χειρισμό υπολογιστικών συστημάτων". Σε καμία, όμως, περίπτωση, δεν αποδέχονται ότι οι πράξεις ενός χάκερ έχουν κακόβουλους στόχους και αυτή η διαφορά είναι που τους διακρίνει από τους κράκερς.

Κέβιν Μίτνικ
Ο Κέβιν Ντέιβιντ Μίτνικ (Kevin David Mitnick) (6 Αυγούστου 1963) είναι ένας από τους πιο διάσημους Αμερικανούς χάκερ. Έχοντας εισβάλει σε πολλά τηλεπικοινωνιακά δίκτυα και κλέβοντας δεδομένα από αυτά, τον καταδίκασαν σε φυλάκιση για ηλεκτρονικά εγκλήματα και κατοχή πλαστών στοιχείων. Ο Μίτνικ απέκτησε πολλούς υποστηρικτές που πίστευαν ότι η τιμωρία του ήταν υπερβολική και τον θεώρησαν σαν τον μεγαλύτερο χάκερ της εποχής μας καθώς επίσης και ως τον καλύτερο κοινωνικό μηχανικό (social engineer).

Κοινωνικός Μηχανικός (Social Engineer)
Ο όρος που δίνεται σε έναν άνθρωπο που είναι ικανός να αποκτήσει πληροφορίες δυσπρόσιτες στο κοινό χρησιμοποιώντας μόνο τεχνικές επικοινωνίας, εξαπάτησης ή/και παραπλάνησης -εν ολίγοις, χωρίς χρήση κάποιου υπολογιστικού ή εν γένει μηχανικού μέσου.

Θείος Σαμ
Παρατσουκλι της Αμερικής. Ο Θείος Σαμ είναι μια φιγουρα που χρησιμοποιείτε απο τον στρατο των ΗΠΑ, στις αφίσες της Στρατολογίας , από τα μέσα του 19ου αιώνα.

ARPANET
Το ARPANET ταν το πρώτο δίκτυο ανταλλαγής δεδομένων, και ο "μπαμπάς" του Internet που χρησιμοποιούμε στις μέρες μας ενώ ήταν δημιούργημα των Εθνικών Υπηρεσιών Ασφαλείας των ΗΠΑ με αρχικό σκοπό την ανταλλαγή στρατιωτικών πληροφοριών.

Συμπίεση Δεδομένων
Με τον όρο συμπίεση δεδομένων (data compression) εννοούμε τη μετατροπή ενός ψηφιακού αρχείου (για αποστολή ή αποθήκευση) σε μικρότερο αρχείο (που περιέχει μικρότερο αριθμό μπιτ) με τρόπο ώστε να είναι δυνατή η επαναμετατροπή του συμπιεσμένου αρχείου στο αρχικό. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιούνται πολλές μέθοδοι, οι οποίες χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: τις μη απωλεστικές και τις απωλεστικές.
Πολλά αρχεία περιέχουν μεγάλα τμήματα τα οποία επαναλαμβάνονται (όπως ένα αρχείο κειμένου μπορεί να περιέχει πολλές φορές τη λέξη Κωνσταντινούπολη οπότε αρκεί η λέξη να τοποθετηθεί σε έναν πίνακα με λέξεις και να αντικαθίσταται με έναν αριθμό που δείχνει τη θέση της στον πίνακα) ή περιέχουν δεδομένα που η απώλειά τους δεν προκαλεί σοβαρή μεταβολή του περιεχόμενου.
Η συμπίεση μπορεί να μειώσει τον όγκο των δεδομένων που στέλνονται ή αποθηκεύονται, με την ελαχιστοποίηση του ενυπάρχοντος πλεονασμού. Ο πλεονασμός παρουσιάζεται κατά τη δημιουργία των δεδομένων. Με τη διαδικασία της συμπίεσης η μεταφορά και η αποθήκευση γίνονται με πιο αποδοτικό τρόπο, ενώ παράλληλα διατηρείται η ακεραιότητα των δεδομένων.
Μη απωλεστική συμπίεση
Στην μη απωλεστική συμπίεση (lossless compression) διατηρείται η ακεραιότητα των δεδομένων. Τα αρχικά δεδομένα και τα δεδομένα μετά τη συμπίεση και την αποσυμπίεση είναι ακριβώς τα ίδια, επειδή σε αυτές τις μεθόδους ο αλγόριθμος συμπίεσης και ο αλγόριθμος αποσυμπίεσης είναι ακριβώς αντίστροφοι. Κατά τη διαδικασία δε χάνεται κανένα μέρος των δεδομένων. Τα πλεονάζοντα δεδομένα κωδικοποιούνται κατά τη συμπίεση και αποκωδικοποιούνται κατά την αποσυμπίεση. Αυτοί οι μέθοδοι χρησιμοποιούνται όταν δεν πρέπει να χαθεί ούτε ένα μπιτ δεδομένων όπως στην περίπτωση ενός αρχείου κειμένου ή ενός προγράμματος.
Τα γνωστά προγράμματα 7z, bz, zip και rar χρησιμοποιούν μη απωλεστική συμπίεση.
Απωλεστική συμπίεση
Η απώλεια δεδομένων μπορεί να μην είναι αποδεκτή σε αρχεία κειμένου ή ενός προγράμματα, είναι όμως αποδεκτή σε εικόνες και ταινίες. Ο λόγος είναι ότι τα μάτια μας και τα αφτιά μας δεν μπορούν να διακρίνουν πολύ μικρές αλλαγές. Για τέτοιες περιπτώσεις είναι κατάλληλες οι απωλεστικές μεθόδοι συμπίεσης (lossy data compression). Οι μέθοδοι αυτές είναι οικονομικότερες και απαιτούν λιγότερο χρόνο και χώρο όταν πρέπει να σταλούν εκατομμύρια μπιτ εικόνων και βίντεο το δευτερόλεπτο. Χαρακτηριστικό παράδειγμα απωλεστικής συμπίεσης εικόνας είναι η μέθοδος JPEG (Joint Photografic Experts Group) για βίντεο η μέθοδος MPEG (Moving Pictures Experts Group) και για ήχο το πρότυπο mp3.

Κβαντική Φυσική
Η Κβαντική Μηχανική (ή Κβαντική Φυσική ή Κβαντομηχανική), είναι αξιωματικά θεμελιωμένη θεωρία της φυσικής, που αναπτύχθηκε με σκοπό την ερμηνεία φαινομένων που η Νευτώνεια μηχανική αδυνατούσε να περιγράψει. Η κβαντομηχανική περιγράφει τη συμπεριφορά της ύλης στο μοριακό, ατομικό και υποατομικό επίπεδο. Ο όρος κβάντο (quantum, μικρή ποσότητα - προέρχεται από τη λέξη quantus που στα Λατινικά σημαίνει πόσο) αναφέρεται σε διακριτές μονάδες που χαρακτηρίζουν συγκεκριμένες φυσικές ποσότητες, όπως η ενέργεια ενός ατόμου ύλης σε κατάσταση ηρεμίας.
Η κβαντομηχανική είναι μια θεωρία της φυσικής μηχανικής. Θεωρείται πιο θεμελιώδης από την κλασσική μηχανική, καθώς εξηγεί φαινόμενα που η κλασσική μηχανική και η κλασσική ηλεκτροδυναμική αδυνατούν να αναλύσουν, όπως:
Την κβάντωση (διακριτοποίηση) πολλών φυσικών ποσοτήτων, όπως για παράδειγμα την κίνηση του ηλεκτρονίου μόνο σε συγκεκριμένες ενεργειακές τροχιές σε ένα άτομο.
Τον κυματοσωματιδιακό δυϊσμό, δηλαδή την εκδήλωση, σε ορισμένες περιπτώσεις, κυματικής συμπεριφοράς από σωματίδια ύλης, κυρίως ηλεκτρόνια.
Τον κβαντικό εναγκαλισμό, που σχετίζεται με την περιγραφή της κατάστασης ενός συστήματος από επαλληλία καταστάσεων.
Το φαινόμενο σήραγγας, χάρη στο οποίο σωματίδια μπορούν να υπερπηδήσουν φράγματα δυναμικού και να βρεθούν σε περιοχές του χώρου απαγορευμένες από την κλασσική μηχανική.
Θεωρείται επίσης θεμελιώδης επειδή σε συγκεκριμένες περιπτώσεις, για παράδειγμα όταν μελετώνται μακροσκοπικά σώματα, οι νόμοι που περιγράφουν τα κβαντικά φαινόμενα συγκλίνουν με τους νόμους της κλασσικής μηχανικής, κι έτσι η δεύτερη θεωρείται οριακή περίπτωση της πρώτης. Η περίπτωση αυτή είναι γνωστή ως αρχή της αντιστοιχίας, που αρχικά διατύπωσε ο Νιλς Μπορ.
Η κβαντομηχανική σε έναν αιώνα πειραματισμού δεν έχει διαψευστεί. Κρύβεται πίσω από πολλά φυσικά φαινόμενα και ιδιαιτέρως τα χημικά φαινόμενα καθώς και τη φυσική της στερεάς κατάστασης.

AUMF = Authorization for Use of Military Force Against Terrorists = Αντιτρομοκρατική
CODIS = βάση δεδομένων DNA για εγκληματίες

Δευτέρα, 7 Ιουλίου 2014

Passereau: Il Est Bel Et Bon

Θυμάμαι αυτό το τραγουδάκι από τα όμορφα χρόνια στην Παιδική Χορωδία του Αγ. Ευθυμίου Κερατσινίου, με εξαιρετικό μαέστρο τον Δημήτρη Κανάρη. “Il est bel et bon”, τραγουδισμένο γρήγορα ήταν ένας όμορφος και ακατανόητος γλωσσοδέτης. Το άκουσα πρόσφατα σε μια καταπληκτική εκτέλεση από τους King’s Singers κι αποφάσισα να το αντιγράψω και να ασχοληθώ λίγο μαζί του.

Το Γαλλικό Αναγεννησιακό Chanson
Πρόκειται για ένα chanson του Γάλλου αναγεννησιακού συνθέτη Pierre Passereau που μαζί με τον Clément Janequin [1] ήταν από τους πιο δημοφιλείς παριζιάνους συνθέτες chansons την δεκαετία του 1530. Από τις αρχές του 16ου αι., Francis I (1515-47) βασιλεύοντος, το chanson (από το λατινικό cantio) είναι το βασικό μουσικό είδος στη Γαλλία. Πρόκειται για μια τετράφωνη σύνθεση με κοσμικό κείμενο, συνήθως πολυφωνική αλλά και με ομοφωνικά μέρη επηρεασμένα από την ιταλική frottola [2], και τα Canti carnascialeschi [3]. Από το 1520 και μετά συνθέτες όπως οι Claudin de Sermisy [4] και Clément Janequin, γνωστοί ως συνθέτες του chanson του Παρισιού, επηρεασμένοι από το πρώιμο ιταλικό μαδριγάλι με εκφραστική απόδοση των κειμένων και χρήση χρωματισμού, εγκαταλείπουν τις formes fixes [5] και γράφουν απλούστερα και πιο ομοφωνικά τετράφωνα chansons, σε γρήγορα tempi, δίσημο ρυθμό, σύντομες μιμήσεις μεταξύ των φωνών με την κυρίως μελωδία στην σοπράνο, έντονα ρυθμικά στοιχεία, συλλαβική τοποθέτηση του κειμένου και χρήση επαναλαμβανόμενων φθόγγων και φράσεων. Η μορφή τους αποτελείται από μικρά διακριτά τμήματα τα οποία επαναλαμβανόμενα σχηματίζουν μια κατασκευή του τύπου: aabc, ή abca. Η θεματική τους είναι συνήθως παρμένη από την φύση (τραγούδι των πουλιών - Chant des oiseaux του Janequin, κακαρίσματα πουλάδων - Il est bel et bon του Passereau), σκηνές κυνηγιού, απεικονίσεις μαχών - La Guerre του Janequin / προοιωνίζοντας πολλά μελλοντικά κομμάτια “μάχης”, σκηνές από την αγορά κλπ, έτσι ώστε να μπορούμε να μιλάμε για προγραμματικό chanson. Πολλές φορές το κείμενο είχε διπλή σημασία (με σκωπτικούς ή πονηρούς αρμονικούς…). Ενδεικτικό της δημοφιλίας του είδους είναι ότι εκδόθηκαν εκατοντάδες μεταγραφών chansons για λαούτο, ή για φωνή και λαούτο. Τα περισσότερα chansons της εποχής τυπώθηκαν από τον Pierre Attaingnant, ο οποίος εξέδωσε περισσότερες από 50 συλλογές του είδους, σύνολο 1500 έργων.

Passereau: Il Est Bel Et Bon
To “Il est bel et bon” εκδόθηκε το 1534 και έγινε τόσο δημοφιλές που τραγουδήθηκε ακόμη και στην μακρινή Βενετία συναγωνιζόμενο τις συνθέσεις του ομότεχνού του Janequin. Ο Attaingnant εξέδωσε το 1536 μια συλλογή με chansons των δύο συνθετών.
Ακολουθεί το πρωτότυπο γαλλικό κείμενο του chanson (με ορθογραφία της εποχής):
Il est bel et bon, commère, mon mari.
Il estoit deux femmes toutes d'ung pays.
Disanst l'une à l'aultre - "Avez bon mary?"
Il ne me courrousse, ne me bat aussy.
Il faict le mesnaige,
Il donne aux poulailles,
Et je prens mes plaisirs.
Commère, c'est pour rire
Quand les poulailles crient:
Petite coquette (co co co co da), qu’esse-cy?
Γνωρίζοντας "και" τις ποιητικές δεξιότητες του Γεράσιμου Μπερεκέτη, ζήτησα μια μετάφραση του κειμένου στα νέα ελληνικά. Επισυνάπτω και τα μεταφραστικά του σχόλια:
-Είν’ ωραίος και γλυκός σαν καραμέλα ο άντρας μου.
Δυο κουτσομπόλες του χωριού
η μια την άλλη ρώταγε: “έχεις καλόν άντρα;”
-Δε φωνάζει, δε βαράει,
ξέρει από νοικοκυριό
τις πουλάδες τις ταΐζει,
κι έχω και τα τυχερά μου.
Είν’ στ’ αλήθεια να γελάς
σαν οι πουλάδες κακαρίζουν:
“κο κο κο κο ντε, κοκετίτσα, τι ‘ν’ εκειό;”.
Μεταφραστικά σχόλια από τον Γ. Μπερεκέτη
• Bon-bon: στα γαλλικά είναι η καραμέλα, και θεωρώ την επανάληψη bon, bon σκόπιμη έμμεση αναφορά. Οπότε σχεδόν αυτόκλητη υπεισήλθε η γνωστή φράση “γλυκός σαν καραμέλα” από το παλιό ελληνικό τραγουδάκι Ρικοκό:
Τ’ αγόρι μου τ’ αγόρι μου τ’ αγόρι μου
γλυκό και τραγανό σαν καραμέλα ...
στίχοι: Γιώργος Γιαννακόπουλος, μουσική: Τάκης Μωράκης

co co co co da: H τελευταία αυτή φράση ακούγεται στα γαλλικά σαν παρήχηση κακαρίσματος, οπότε προσπάθησα να την αποδώσω ανάλογα στα ελληνικά.

Υποσημειώσεις
[1] Clément Janequin (π.1485–1558) Ένας από του πιο διάσημους Γάλλους συνθέτες chansons της Αναγέννησης.
[2] Frottola: κύρια, φαινομενικά λαϊκή ομοφωνική και αργότερα πολυφωνική, μορφή ιταλικού τραγουδιού σε ερωτική ως επί το πλείστον ποίηση του ύστερου 15ου και πρώιμου 16ου αι.
[3] Canti carnascialeschi: τραγούδια του καρναβαλιού και των μεταμφιέσεων στο τέλος του 15ου αι. στην Φλωρεντία, ιδίως στην εποχή του Lorenzo il Magnifico (1449-1492).
[4] Claudin de Sermisy (π.1490-1562): Γάλλος συνθέτης της Αναγέννησης, γνωστός για τα περίφημα chansons του αλλά και την θρησκευτική μουσική του.
[5] Formes fixes: οι τρεις γαλλικές ποιητικές, επίσης μουσικές, φόρμες του14ου και 15ου αι., η μπαλάντα (ballade), το ροντό (rondeau) και το βιρελέ (virelai). Κατασκευάζονταν σύμφωνα με ένα επαναληπτικό πρότυπο στίχων και ένα ρεφρέν (refrain).
[6] Pierre Attaingnant (π.1494-1551/52): Γάλλος εκδότης μουσικών έργων.

Βιβλιογραφία
• Grout & Palisca, A History of Western Music, Norton, 6th Edition
• Michels Ulrich, Άτλας της Μουσικής, Νάκας 1994
• Wikipedia, Pierre Passereau
• Wikipedia, Chanson

Το ανωτέρω άρθρο και την παρτιτούρα του “Il est bel et bon” μπορείτε να κατεβάσετε σε μορφή PDF από εδώ.